Mutlak değer - Absolute value


Vikipedi, özgür ansiklopedi

Grafik gerçek sayılar için mutlak değer fonksiyon
Bir sayının mutlak değeri sıfır olan mesafesi olarak düşünülebilir.

In matematik , mutlak değer veya modül | x | a gerçek sayı  x olan negatif olmayan değeri  x onun bakılmaksızın işaret . Yani, | x | = X bir için pozitif  x , | x | = - X bir için negatif  x (durumda olan - X pozitif) ve | 0 | = 0 . Örneğin 3 mutlak değeri 3'tür ve -3 mutlak değeri, bir sayının mutlak değeri olarak düşünülebilir 3'tür mesafe sıfırdan.

Gerçek sayılar için mutlak değer genellemeler matematiksel ayarları çok çeşitli olabilir. Örneğin, bir mutlak değer de için tarif edildiği karmaşık sayılar , quaternions , sipariş halkalar , alanları ve vektör uzayı . Mutlak değer kavramları yakından ilişkilidir büyüklük , mesafe ve norm çeşitli matematiksel ve fiziksel bağlamlarda.

Terminoloji ve notasyonu

1806 yılında Jean-Robert Argand vadeli tanıtıldı modülü anlamına ölçü birimini özel olarak, Fransızca karmaşık mutlak değer ve Latin eşdeğer olarak 1866 yılında İngilizce'ye ödünç edildi modülü . Terimi mutlak değer İngilizce Fransızca en az 1806 den bu anlamda kullanılmıştır ve 1857 olmuştur. notasyonu | x | Bir ile dikey çubuk tarafından tanıtılan her iki tarafta Karl Weierstrass için 1841 Diğer isimleri mutlak değer içerir sayısal değeri ve büyüklüğünü . Programlama dilleri ve hesaplama yazılım paketleri olarak, mutlak değeri x genel abs (temsil edilir x ) ya da benzer bir ifade.

Dikey çubuk gösterimde, diğer matematiksel bağlamda bir dizi görünür: örneğin, bir dizi uygulandığında, kendi belirtmektedir önem düzeyi ; Bir uygulandığında matris , kendi belirtmektedir belirleyici . Dikey çubuklar yalnızca mutlak değer kavramı tanımlandığı için ön nesne, bir ait özellikle, bir element için mutlak değeri belirtir normlu bölme cebir gerçek bir sayı, karmaşık sayı, quaternion benzeri yer alır. Bir yakından ilgili fakat farklı notasyonu için dikey çubuklardan kullanılmasıdır Öklid norm veya destek norm olarak bir vektörün simgeler (çift dikey çubuklar her ne kadar, ve , sırası ile) daha yaygın ve daha belirgin bir gösterim bulunmaktadır.

Tanımı ve özellikleri

Gerçek sayılar

Herhangi biri için gerçek sayı  x , mutlak değer veya modülü arasında  x ile temsil edilir | x | (a dikey çubuk miktar her iki tarafında) olarak tanımlanır ve

Mutlak değeri  x böylece her zaman, ya bir pozitif ya da sıfır , ama asla negatif olduğunda: x kendisi negatiftir ( x <0 ), daha sonra mutlak değeri zorunlu olarak pozitiftir ( | x | = - x > 0 ).

Bir kaynaktan analitik geometri bakış açısından, gerçek bir sayının mutlak değeri bu sayı en olan mesafe boyunca sıfırdan reel sayı hattı ve iki gerçek sayılar farkın daha genel olarak mutlak değeri bunların arasındaki mesafedir. Gerçekten de, bir arka kavramı uzaklık fonksiyonu matematik (bakınız farkın mutlak değerinin bir genelleme olarak görülebilir "mesafe" aşağıda).

Yana karekök sembolü benzersiz temsil pozitif karekökünü (pozitif bir sayı uygulandığında), o izler

Yukarıdaki tanım eşdeğerdir ve gerçek sayılar mutlak değerinin alternatif bir tanımında olarak kullanılabilir.

Mutlak değeri, aşağıdaki dört temel özelliklerini sahiptir ( bir , b , diğer etki için bu kavramı genelleme için kullanılan gerçek sayılar):

Sigara negatiflik
Pozitif-kesinlik
Multiplicativity
Subadditivity , özellikle üçgen eşitsizliği

Sigara olumsuzluk, pozitif kesinlik ve multiplicativity tanımından anlaşılacaktır. O subadditivity alarak iki alternatiflerden biri ilk nota muhafazaları görmek için s ya kadar -1 veya +1 teminat Şimdi bu yana ve değeri hangisi olduğunu şu s , birine sahiptir hepsi gerçek . Sonuç olarak, arzu edildiği takdirde. (Karmaşık sayılar bu argüman bir genelleme için bkz "karmaşık sayılar için üçgen eşitsizlik Belgesi" altında.)

Bazı ek yararlı özellikleri aşağıda verilmiştir. Bunlar, ya hemen tanım sonuçları veya yukarıdaki dört temel özellikleri ile ima bulunmaktadır.

Idempotence (mutlak değerinin mutlak değeri, mutlak değeri)
Düzlük ( yansıma simetri grafiğin)
İndiscernibles Kimlik (pozitif-kesinlik eşdeğeri)
Üçgen eşitsizliği (subadditivity eşdeğer)
(varsa ) bölünme Koruma (multiplicativity eşdeğer)
Ters üçgen eşitsizliği (subadditivity eşdeğeri)

eşitsizlikleri ilgili diğer iki kullanışlı özellikler şunlardır:

veya

Bu ilişkiler mutlak değerleri kapsayan eşitsizlikleri çözmek için kullanılabilir. Örneğin:

"Sıfır mesafe" olarak mutlak değeri, tanımlamak için kullanılır mutlak fark keyfi gerçek sayılar arasında, standart metrik reel sayılar üzerinde.

Karışık sayılar

Bir karmaşık sayının mutlak değeri  mesafedir  ait kökenli. Ayrıca resimde görüldüğü onun ve
karmaşık eşlenik aynı mutlak değeri vardır. 

Yana karmaşık sayılar değildir sipariş gerçek mutlak değeri üstünde verilen tanım ile doğrudan kompleks sayılara uygulanamaz. Ancak, 0 olan mesafesi gerçek bir sayının mutlak değerinden geometrik yorumu genelleştirilebilir. Bir karmaşık sayının mutlak değeri, buna karşılık gelen nokta Öklid mesafe tarafından tanımlanır , kompleks düzlemin gelen kökenli . Bu kullanılarak hesaplanabilir Pisagor teoremi : Karmaşık sayı için

burada x ve y reel sayılardır, mutlak değer veya modülü arasında  z gösterilir | z | ve şu şekilde tanımlanmıştır

burada Re ( Z ) = x ve Im ( z ) = y gerçek ve sanal parçaları ifade z sırasıyla. Sanal bileşen olduğunda y sıfırdır, bu gerçek sayı mutlak değerinin tanımı ile denk  x .

Bir kompleks sayı olduğunda  z onun ifade edilir kutupsal formda olarak

ile (ve θ (arg ∈ z ) olan bağımsız değişken bölgesinin (veya faz) z ), mutlak değer

.

Herhangi bir karmaşık sayı ürünü yana  z ve karmaşık eşlenik  aynı değerde, negatif olmayan bir gerçek sayı her zaman , uygun bir şekilde ifade edilebilir bir karmaşık sayının mutlak değeri

reals alternatif bir tanım benzeyen:

Karmaşık mutlak değeri, gerçek mutlak değer için yukarıda verilen dört temel özellikleri paylaşır.

Dilinde grup teorisi mutlak değeri bir aşağıdaki gibidir:, çarpımsal özelliği rephrased edilebilir grup homomorfizması gelen çarpımsal grubu üzerine karmaşık sayılar grubunun bir çarpma altında pozitif reel sayı .

Önemli olan, mülkiyet subadditivity ( " üçgen eşitsizliği ") herhangi sonlu koleksiyonuna uzanan n  kompleks sayılar olarak

Bu eşitsizlik de sonsuz için de geçerlidir ailelere şartıyla, sonsuz seriler ise mutlak yakınsak . Eğer Lebesgue entegrasyon toplamı sürekli analog olarak görülür, bu eşitsizlik benzer şekilde karmaşık-değerli, itaat olan ölçülebilir fonksiyonlar bir fazla entegre edildiğinde ölçülebilir alt kümesi :

(Bu içerir Riemann-integrallenebilen sınırlı bir aralık boyunca işlevleri özel bir durum olarak).

Karmaşık üçgen eşitsizliği kanıtı

Tarafından verilen üçgen eşitsizliği, Şöyle ki, her karmaşık sayı için: karmaşık sayı üç kolayca tespit özellikleri uygulanarak gösterilebilir ,

: (i) vardır , öyle ki ve ;
(ii): .

Ayrıca, karmaşık sayılar kişilik bir aile için , . Özellikle,

(iii): eğer , daha sonra .

Kanıtı : seçimşekildeve(özetlenmiş). Aşağıdaki hesaplama daha sonra arzu edilen eşitsizlik elde edilir:

.

Eşitlik içinde tutan bu kanıtı açıktır tam olarak tüm eğer tüm sıfırdan farklı ise sırayla tam olarak ortaya negatif olmayan reel sayılar vardır aynısından argüman yani, karmaşık bir sabiti için ve gerçek sabitler için .

Yana ölçülebilir ima da ölçülebilir, eşitsizlik kanıtı değiştirerek, aynı teknikle yoluyla ilerleyen ile ve ile .

Mutlak değer fonksiyonu

Grafik gerçek sayılar için mutlak değer fonksiyon
Kompozisyon , bir mutlak değer kübik işlevi farklı sıralarda

Gerçek mutlak değer fonksiyonu olan sürekli her yerde. Bu ise türevlenebilir dışında her yerde x  = 0 O olduğu monoton olarak azalan aralığına (-∞, 0] ve tekdüze bir aralıkta artan + ∞ [0) . Bir reel sayı ve yana karşıt aynı mutlak değere sahip bir olduğunu da işlev , ve bundan dolayı değil, tersine çevrilebilir . Gerçek mutlak değeri fonksiyonu olan parçalı lineer , dışbükey fonksiyonu .

Hem gerçek ve karmaşık fonksiyonları İdempotent .

işareti işlevine İlişki

Oysa gerçek sayının mutlak değer fonksiyonu, bakılmaksızın işaret değerini verir işareti (ya da sinyal) işlevi ne olursa olsun değeri bir dizi belirtisi döndürür. Aşağıdaki denklemler bu iki işlevi arasındaki ilişkiyi gösterir:

veya

ve için X ≠ 0 ,

Türev

Gerçek mutlak değeri fonksiyonu her bir türevi yer alır X ≠ 0 , değil ama türevlenebilir de x = 0 . Onun türevi X ≠ 0 ile verilmektedir basamak fonksiyonu :

Subdiferansiyel arasında  | x | en  x = 0 olduğu aralığı  [1,1] .

Karmaşık mutlak değer fonksiyonu her yerde sürekli ama türevlenebilir karmaşık hiçbir yerde ihlal ettiğinden Cauchy-Riemann denklemleri .

İkinci türev  | x | göre  x'in mevcut değil sıfır, dışında her yerde sıfırdır. Bir şekilde genel bir fonksiyonu , ikinci türev iki katı olarak alınabilir Dirac delta fonksiyonunun .

İlkel

İlkel gerçek mutlak değer fonksiyon (belirsiz integral) olduğu

burada Cı- keyfi bir entegrasyon sabit . Bu değil karmaşık İlkel kompleks Antitürev'in sadece karmaşık türevlenebilir (ana kadar, çünkü holomorfik kompleks mutlak değeri fonksiyonu değildir) işlevleri.

Mesafe

Mutlak değer yakından mesafeye fikrine ilişkilidir. Yukarıda belirtildiği gibi, gerçek veya karmaşık sayının mutlak değeri mesafe , daha genel olarak mutlak değeri, karmaşık sayılar için, gerçek sayılar için, ya da kompleks bir düzlemde, reel sayı çizgisi boyunca kökenli bu numaradan, ve iki ya da kompleks sayı farkı bunların arasındaki mesafedir.

Standart Öklit mesafesi iki nokta arasında

ve

içinde Öklid N ile uzay şu şekilde tanımlanır:

Bu için, çünkü bir genelleme olarak görülebilir ve , mutlak değer alternatif tanıma göre, bir 1-uzayda, yani gerçek

ve için ve sayı kompleks, bir 2-uzayda yani

yukarıdaki "mutlak değer" -uzaklık, gerçek ve karmaşık sayılar için, bunlar, sırasıyla bir ve iki boyutlu bir Öklid boşluklar olarak göz önünde bir sonucu olarak miras standart Öklid mesafe ile uyumlu olduğunu gösterir.

Mutlak iki gerçek veya karmaşık sayılar fark değerinin özellikleri: olmayan olumsuzluk, indiscernibles, simetri kimlik ve yukarıda verilen üçgen eşitsizliği, bir daha genel kavramını motive etmek için görülebilir uzaklık fonksiyonu aşağıdaki gibi:

Gerçek değerli fonksiyon d kümesi üzerinde X  x  X bir adlandırılır metriği (ya da bir mesafe fonksiyonu üzerine)  X , aşağıdaki dört belitleri karşılamakta ise,:

Sigara negatiflik
indiscernibles Kimlik
Simetri
Üçgen eşitsizliği

genellemeler

sıralı halkalar

Yukarıdaki gerçek sayılar için verilen mutlak değerinin tanımı bir uzatılabilir sipariş halka . Yani, eğer  bir sıralı bir halka bir elemanıdır  R , o zaman mutlak değeri arasında  bir ile gösterilen, | bir | , Olarak tanımlanır:

burada - bir olan katkı maddesi ters arasında  bir 0 katkı maddesi elementi ve <ve ≥ halkada sipariş göre alışılmış anlamı taşımaktadır.

Alanlar

aşağıdaki gibi gerçek sayılar için mutlak değer dört temel özellikleri, isteğe bağlı bir alana mutlak değer kavramını genelleme için kullanılabilir.

Bir gerçek değerli bir fonksiyondur  v bir ilgili alan  F bir adlandırılır mutlak değeri (aynı zamanda bir modülü , büyüklüğü , değer veya değer aşağıdaki dört belitleri tatmin ise):

Sigara negatiflik
Pozitif-kesinlik
Multiplicativity
Subadditivity veya üçgen eşitsizliği

Burada 0 belirtmektedir katkı kimlik elemanı  F . Bu pozitif kesinlik ve multiplicativity izler bu h ( 1 ) = 1 , 1 belirtmektedir çarpımsal kimlik elemanı  F . Yukarıda tanımlandığı gerçek ve karmaşık mutlak değerleri, bir rasgele bir alan için mutlak değerler örnekleridir.

Eğer v mutlak değeri  F , işlev  d üzerine F  x  F ile tanımlanan, d ( a ,  b ) = h ( a - b ) , bir ölçümdür ve aşağıdaki eşdeğerdir:

  • d tatmin ultrametrik eşitsizliği tüm x , y , z de  , F .
  • olan sınırlı olarak  R .
  • her için
  • hepsi için
  • hepsi için

Yukarıda belirtilen koşullardan herhangi karşılayan bir mutlak değeri (dolayısıyla tümü) olduğu söylenir olmayan Arşimet aksi takdirde olduğu söylenir, Arşimet .

Vektör uzayları

Yine gerçek sayılar için mutlak değer temel özellikleri, bir rasgele vektör boşluğuna kavramının genelleştirilmesine, ufak bir değişiklikle, kullanılabilir.

Bir A gerçek değerli bir fonksiyondur vektör alan  V alan üzerinde  F olarak temsil ‖ · ‖ , bir adlandırılır mutlak değeri , daha çok rastlanan haliyle, bir norm aşağıdaki belitleri karşılamakta ise,:

Tüm için  bir in  F ve h , u olarak  V ,

Sigara negatiflik
Pozitif-kesinlik
Pozitif homojenlik veya pozitif ölçeklenebilirlik
Subadditivity veya üçgen eşitsizliği

Bir vektörün normu aynı zamanda denir uzunluğu veya büyüklüğü .

Durumunda Öklid alan  R ' , n , fonksiyon tarafından tanımlanan

denilen bir norm Öklit norm . Reel sayılar zaman  R, tek boyutlu vektör uzayı olarak kabul edilir  , R 1 , mutlak değer a, norm ve bir p -norm (bakınız L s alanı için herhangi bir)  p . Aslında mutlak değeri üzerinde "sadece" norm olduğu R 1 anlamda, yani her norm için ‖ · ‖ üzerinde  R 1 , x ‖ = ‖1‖ ⋅ | x | . Karmaşık mutlak değeri bir norm özel bir durumu olan , iç ürün alanı . Eğer, Öklid norm ile aynıdır kompleks düzlem ile tanımlanan Öklid düzlemi  R 2 .

Kompozisyon cebiri

Her kompozisyon cebir A bir sahiptir involusyonu xx * olarak adlandırılan onun çekimlerini . Ürün bir bir eleman x ve konjugat x * yazılır N ( X ) = xx * ve adı x norm .

Gerçek sayılar ℝ, karmaşık sayılar ℂ ve kuaterniyonlar ℍ tarafından verilen normlara tüm kompozisyon cebirleridir kesin kuadratik formların . Bu mutlak değer bölme cebirlerin verilir karekökü bileşim cebri norm.

Genel olarak, bir bileşimin cebir normu olabilir dörtgen bir şekilde kesin değildir ve vardır boş vektörler . Bir eleman, ancak bölme cebirlerin durumunda olduğu gibi x sıfır olmayan bir norma sahip, daha sonra x bir olan çarpımsal ters tarafından verilen x * / N ( X ).

notlar

Referanslar

Dış bağlantılar