İnvolüsyon (matematik) - Involution (mathematics)

Evrim, iki kez uygulandığında birini başlangıç ​​noktasına geri getiren bir fonksiyondur .${\görüntüleme stili f:X\to X}$

In matematik , bir involisyon , involutory fonksiyon veya kendinden ters fonksiyon bir olduğunu fonksiyonu f o kendi olduğu ters ,

f ( f ( x )) = x

Herkes için x in etki arasında f . Eşdeğer olarak, f'nin iki kez uygulanması orijinal değeri üretir.

Terimi, bir anti-involüsyon göre involutions belirtir antihomomorphisms (bakınız § Kuaterniyon cebri grupları, yar ı grupların aşağıda)

f ( xy ) = f ( y ) f ( x )

öyle ki

xy = f ( f ( xy )) = f ( f ( y ) f ( x ) ) = f ( f ( x )) f ( f ( y )) = xy .

Genel Özellikler

Herhangi bir involüsyon bir bijeksiyondur .

Kimlik haritası bir involusyonunun önemsiz bir örnektir. Aşikar olmayan involutions matematiksel olarak yaygın örnekleri çarpma ile -1 de aritmetik , alınmasının tersinin , tamamlama olarak grubu teorisi ve karmaşık konjugasyon . Diğer örnekler arasında daire ters çevirme , yarım tur döndürme ve ROT13 dönüşümü ve Beaufort polialfabetik şifre gibi karşılıklı şifreler bulunur .

n = 0, 1, 2, ... elemanlı bir kümede özdeş evrişim de dahil olmak üzere dönüşlerin sayısı , 1800'de Heinrich August Rothe tarafından bulunan bir yineleme bağıntısı ile verilir :

${\displaystyle a_{0}=a_{1}=1}$ve için${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}}$${\görüntüleme stili n>1.}$

Bu dizinin ilk birkaç terim olan 1 , 1, 2 , 4 , 10 , 26 , 76 , 232 (dizi A000085 olarak OEIS ); bu numaralara telefon numaraları denir ve ayrıca belirli sayıda hücreye sahip Young tablolarının sayısını da sayarlar . Bileşim gr ∘ f iki involutions arasında f ve g bir involüsyon ise ve gidip yalnızca: g ∘ f = f ∘ gr .

Tek sayıda eleman üzerindeki her involüsyonun en az bir sabit noktası vardır . Daha genel olarak, sonlu bir eleman kümesi üzerinde bir evrişim için, elemanların sayısı ve sabit noktaların sayısı aynı pariteye sahiptir .

Matematik alanları boyunca involüsyon

ön hesap

Temel dönüş örnekleri, işlevlerdir:

${\displaystyle f_{1}(x)=-x}$, veya   , kompozisyonlarının yanı sıra${\displaystyle f_{2}(x)={\frac {1}{x}}}$${\displaystyle (f_{1}\circ f_{2})(x)=(f_{2}\circ f_{1})(x)=f_{3}(x)=-{\frac {1} {x}}.}$

Bunlar sadece ön-hesap involüsyonları değildir. Olumlu gerçekler içinde bir diğeri:

${\displaystyle f(x)=\ln \left({\frac {e^{x}+1}{e^{x}-1}}\sağ).}$

Grafik (gerçek sayılar üzerinde) involüsyonunun olan hat-simetrik hat üzerinden . Bunun nedeni, herhangi bir genel fonksiyonun tersinin , 45° çizgisi üzerindeki yansıması olacağı gerçeğidir . Bu "takas" tarafından görülebilir ile . Özellikle fonksiyon bir involüsyon ise , o zaman kendi yansıması olarak hizmet edecektir. ${\görüntüleme stili y=x}$${\görüntüleme stili y=x}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili y}$

Diğer temel dönüşler, fonksiyonel denklemlerin çözümünde faydalıdır .

Öklid geometrisi

Üç boyutlu bir involüsyonunun basit bir örnek Öklid alanı olan yansıma bir geçiş düzlem . İki kez yansıma yapmak, bir noktayı orijinal koordinatlarına geri getirir.

Başka bir içe dönüş, orijin yoluyla yansımadır ; yukarıdaki anlamda bir yansıma değil, dolayısıyla belirgin bir örnek.

Bu dönüşümler afin involüsyon örnekleridir .

projektif geometri

Evrim, 2. periyodun bir yansıtmasıdır , yani nokta çiftlerini değiştiren bir yansıtmadır.

• İki noktayı değiştiren herhangi bir yansıtma, bir involüsyondur.
• Tam bir dörtgenin karşıt taraflarının üç çifti, üç çift involüsyonda herhangi bir çizgiyle (bir tepe noktasından değil) buluşur. Bu teorem, Desargues'in Evrim Teoremi olarak adlandırılmıştır . Kökeni için lemmalarõn Lemma IV görülebilir Porisms Cildinde VII Öklid Koleksiyonu ait İskenderiye Pappus .
• Bir involüsyonun bir sabit noktası varsa, başka bir noktası vardır ve bu iki noktaya göre harmonik eşlenikler arasındaki yazışmalardan oluşur . Bu örnekte involüsyona "hiperbolik" denir, sabit noktalar yoksa "eliptik" olur. Projektiflikler bağlamında, sabit noktalara çift ​​nokta denir .

Projektif geometride meydana gelen başka bir evrişim türü, 2. periyodun bir korelasyonu olan bir polaritedir .

Lineer Cebir

Lineer cebirde, bir involüsyon, bir vektör uzayı üzerinde lineer bir T operatörüdür , öyle ki . Karakteristik 2 dışında, bu tür operatörler, karşılık gelen matrisin köşegeninde sadece 1'ler ve -1'ler ile belirli bir temel için köşegenleştirilebilir. Operatör ortogonal ise (bir ortogonal involüsyon ), ortonormal olarak köşegenleştirilebilir. ${\displaystyle T^{2}=I}$

Örneğin, bir vektör uzayı için temel olduğunu varsayalım V seçilir ve bu e ₁ ve E ₂ temel elemanlardır. Orada bir lineer transformasyon var f gönderir e ₁ için e ₂ ve gönderir e ₂ için e ₁ ve tüm diğer baz vektörleri ile kimlik hangi. Bu kontrol edilebilir f ( f ( x )) = x tüm x de V . Yani f , V'nin bir involüsyonudur .

Belirli bir temel için, herhangi bir doğrusal operatör bir T matrisi ile temsil edilebilir . Her matrisin, satırları sütunlarla değiştirerek elde edilen bir devrik değeri vardır . Bu yer değiştirme, matrisler kümesinde bir evrişimdir.

İnvolüsyonun tanımı kolaylıkla uzanan modülleri . Bir modül verilen M bir fazla halka R , bir R Endomorfizma f ait M ise bir involüsyonu adlandırılır f  ² ile ilgili kimlik homomorfizma M .

İnvolüsyonlar idempotentlerle ilgilidir ; 2 ters çevrilebilirse , bire bir şekilde karşılık gelirler .

Kuaterniyon cebiri, gruplar, yarı gruplar

Bir dördey cebrinde , bir (anti-)dönüşüm aşağıdaki aksiyomlarla tanımlanır: eğer bir dönüşüm düşünürsek, o zaman bu bir evirmedir. ${\displaystyle x\mapsto f(x)}$

• ${\görüntüleme stili f(f(x))=x}$ (kendi tersi)
• ${\displaystyle f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})}$ve (doğrusaldır)${\displaystyle f(\lambda x)=\lambda f(x)}$
• ${\displaystyle f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})}$

Bir anti-involution, son aksiyoma uymaz, bunun yerine

• ${\displaystyle f(x_{1}x_{2})=f(x_{2})f(x_{1})}$

Bu eski yasaya bazen anti-dağıtıcı denir . Ayrıca gruplar halinde ( xy ) ^-1 = y ^-1 x ^-1 olarak da görünür . Bir aksiyom olarak alındığında, bu, grup olmayan doğal örnekleri olan, evrişimli yarı grup kavramına yol açar , örneğin evrişim olarak devrik ile kare matris çarpımı (yani tam doğrusal monoid ) .

halka teorisi

In halka teorisi , kelime involusyonu alışıldığı bir anlamında olup antihomomorphism kendi ters fonksiyonudur. Ortak halkalardaki involüsyon örnekleri:

• kompleks bir birleştirme ile ilgili kompleks düzlemde
• bölünmüş karmaşık sayılarda j ile çarpma
• devrik bir matris halkasında alınır.

grup teorisi

Gelen grup teorinin , bir unsuru grubu sahip olduğu takdirde, bir karışıklık olduğu düzeni 2; yani, bir involüsyonu bir elemandır bir şekilde bir ≠ e ve bir ² = E , E bir elementi .

Başlangıçta, bu tanım yukarıdaki ilk tanımla aynı fikirdeydi, çünkü grupların üyeleri her zaman bir kümeden kendi içine alıntılardı; yani grup , permütasyon grubu olarak alınmıştır . 19. yüzyılın sonunda, grup daha geniş bir şekilde tanımlandı ve buna göre involution da oldu .

Bir permütasyon , bir veya daha fazla örtüşmeyen transpozisyonun bir ürünü olarak yazılabilirse, tam olarak bir involüsyondur .

Bir grubun dönüşleri, grubun yapısı üzerinde büyük bir etkiye sahiptir. Evrimlerin incelenmesi, sonlu basit grupların sınıflandırılmasında etkiliydi .

Bir G grubunun bir x elemanı , x ^t = x ⁻¹ (burada x ^t = t ⁻¹ ⋅ x ⋅ t ) olan bir t involüsyonu varsa, kuvvetle gerçek olarak adlandırılır .

Coxeter grupları , yalnızca üreten evrişim çiftleri için verilen ilişkiler tarafından belirlenen ilişkilerle, dönüşler tarafından oluşturulan gruplardır. Coxeter grupları, diğer şeylerin yanı sıra, olası düzenli çokyüzlüleri ve bunların daha yüksek boyutlara genellemelerini tanımlamak için kullanılabilir .

matematiksel mantık

Boolean cebirlerinde tamamlayıcının işlemi bir involüsyondur. Buna göre, olumsuzluk klasik mantık tatmin içinde çifte olumsuzlama yasası: ¬¬ A eşdeğerdir A .

Genellikle klasik olmayan mantıkta, çifte olumsuzlama yasasını karşılayan olumsuzlamaya kapsayıcı denir . Cebirsel anlambilimde, böyle bir olumsuzlama, doğruluk değerleri cebirinde bir involüsyon olarak gerçekleştirilir . Kapsayıcı olumsuzlamaya sahip mantık örnekleri, Kleene ve Bochvar üç değerli mantık , Łukasiewicz çok değerli mantık , bulanık mantık IMTL, vb.'dir. Kapsayıcı olumsuzlama bazen kapsayıcı olmayan olumsuzlama ile mantıklara ek bir bağlayıcı olarak eklenir; bu, örneğin t-norm bulanık mantıklarda olağandır .

Olumsuzlamanın kapsayıcılığı, mantık ve buna karşılık gelen cebir çeşitleri için önemli bir karakterizasyon özelliğidir . Örneğin, dahil edici olumsuzlama, Heyting cebirleri arasında Boole cebirlerini karakterize eder . Buna uygun olarak, klasik Boole mantığı , sezgisel mantığa çift ​​olumsuzlama yasasını ekleyerek ortaya çıkar . Aynı ilişki MV-cebirleri ve BL-cebirleri (ve dolayısıyla correspondingukasiewicz mantığı ve bulanık mantık BL arasında ), IMTL ve MTL ve diğer önemli cebir çeşitleri (ilgili mantıklar) arasında da geçerlidir.

İkili ilişkilerin incelenmesinde her ilişkinin bir ters ilişkisi vardır . Tersinin tersi orijinal ilişki olduğundan, dönüştürme işlemi ilişkiler kategorisi üzerinde bir involüsyondur . İkili ilişkiler vardır sipariş yoluyla dahil . Bu sıralama, tamamlama involüsyonu ile tersine çevrilirken , dönüştürme altında korunur.

Bilgisayar Bilimi

XOR bit düzeyinde işlemi bir parametre için belirli bir değeri olan bir karışıklık olup. XOR maskeleri , bir zamanlar görüntülerin üzerine, arka planda iki kez çizildiğinde arka planı orijinal durumuna döndürecek şekilde grafikler çizmek için kullanılıyordu. Değil bit düzeyinde işlemi aynı zamanda bir involusyonu olan ve bir parametre 1 tüm bitleri bulunmaktadır XOR işleminin özel bir durumdur.

Başka bir örnek, R ve B'yi değiş tokuş eden ve BGR biçiminde sonuçlanan, örneğin RGB biçiminde tamsayılar olarak depolanan renk değerleri üzerinde çalışan bir bit maskesi ve kaydırma işlevidir. f(f(RGB))=RGB, f(f(BGR))=BGR.

RC4 şifreleme ve şifre çözme işlemleri aynı işlevi olarak kullanmak şifreleme şifre, bir karışıklık olduğu.

Pratik olarak tüm mekanik şifreleme makineleri , yazılan her harf üzerinde bir dönüş olan karşılıklı bir şifre uygular . Biri şifreleme ve diğeri şifre çözme için olmak üzere iki tür makine tasarlamak yerine, tüm makineler aynı olabilir ve aynı şekilde kurulabilir (anahtarlanabilir).

Ayrıca bakınız

• otomorfizm
• iktidarsızlık
• ROT13

Referanslar

daha fazla okuma

• Ell, Todd A.; Sangwine, Stephen J. (2007). "Dördey involutions ve anti-involutions". Uygulamalı Bilgisayar ve Matematik . 53 (1): 137–143. arXiv : matematik/0506034 . doi : 10.1016/j.camwa.2006.10.029 . S2CID  45639619 .
• Knus, Max-Albert; Merkurjev, İskender ; Rost, Markus ; Tignol, Jean-Pierre (1998), Involutions kitabı , Colloquium Publications, 44 , Önsözüyle J. Tits, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0904-0, Zbl  0955.16001
• "Involution" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]