Mutlak değer (cebir) - Absolute value (algebra)

Olarak cebri , bir mutlak değer (bir denilen değer , büyüklüğünü ya da normu "da, standart ", genellikle bir mutlak değer belirli bir tür anlamına gelir alanı olan) fonksiyonu , bir alan ya da elemanların "büyüklüğü" ölçen yekpare etki alanı . Daha doğrusu, eğer D bir integral alan ise, o zaman mutlak değer herhangi bir eşlemedir | x | dan D için gerçek sayı R karşılamasıdır:

	•	${\ displaystyle \ sol | x \ sağ | \ geq 0}$		(olumsuz olmama)
	•	${\ displaystyle \ sol | x \ sağ | = 0}$ ancak ve ancak ${\ displaystyle x = 0}$		( pozitif kesinlik )
	•	${\ displaystyle \ sol | xy \ sağ | = \ sol | x \ sağ | \ sol | y \ sağ |}$		(çok yönlülük)
	•	${\ displaystyle \ sol | x + y \ sağ | \ leq \ sol | x \ sağ | + \ sol | y \ sağ |}$		( üçgen eşitsizliği )

Bu aksiyomlardan | 1 | = 1 ve | -1 | = 1. Ayrıca, her pozitif tam sayı için n ,

| n | = | 1 + 1 + ... + 1 ( n kez) | = | −1 - 1 - ... - 1 ( n kez) | ≤  n .

Klasik " mutlak değer ", örneğin | 2 | = 2 olduğu, ancak diğer birçok işlevin yukarıda belirtilen gereksinimleri karşıladığı bir değerdir , örneğin klasik mutlak değerin karekökü (ancak karesi değil).

Mutlak bir değer bir metriği (ve dolayısıyla bir topolojiyi ) indükler : ${\ displaystyle d (f, g) = | fg |.}$

Örnekler

• Tam sayılar üzerindeki standart mutlak değer.
• Karmaşık sayılar üzerindeki standart mutlak değer .
• P -adic mutlak değeri üzerinde rasyonel sayılar .
• Eğer R, alanıdır Rasyonel fonksiyonların bir alan üzerinde F ve sabit olan indirgenemez elemanı arasında R , daha sonra aşağıdaki mutlak değerini tanımlar R : için de R tanımlamak için , burada ve ${\ displaystyle p (x)}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle | f |}$${\ displaystyle 2 ^ {- n}}$${\ displaystyle f (x) = p (x) ^ {n} {\ frac {g (x)} {h (x)}}}$${\ displaystyle \ gcd (g (x), p (x)) = 1 = \ gcd (h (x), p (x)).}$

Mutlak değer türleri

Önemsiz | mutlak değeri ile mutlak değer x | = 0, x = 0 ve | x | = 1 aksi halde. Her integral alan, en azından önemsiz mutlak değeri taşıyabilir. Önemsiz değer, sonlu bir alandaki olası tek mutlak değerdir, çünkü sıfır olmayan herhangi bir eleman, 1'i verecek şekilde bir güce yükseltilebilir.

Mutlak bir değer daha güçlü özelliği sağlıyorsa | x  +  y | ≤ max (| x |, | y |) tüm x ve y için , sonra | x | Bir adlandırılır ultrametrik veya olmayan Arşimet mutlak değeri , ve aksi takdirde bir Arşimet mutlak değeri .

Yerler

Eğer | x | ₁ ve | x | ₂ aynı D integral alanı üzerindeki iki mutlak değerdir , bu durumda iki mutlak değer eşdeğerdir eğer | x | ₁ <1 eğer ve sadece eğer | x | Tüm x için ₂ <1 . İki önemsiz mutlak değer eşdeğer ise, o zaman bazı üsler e için | x | ₁ ^e = | x | Tüm x için ₂ . Mutlak bir değeri 1'den küçük bir kuvvete yükseltmek başka bir mutlak değerle sonuçlanır, ancak 1'den büyük bir kuvvete yükseltmek mutlaka mutlak bir değerle sonuçlanmaz. (Örneğin, gerçek sayılar üzerindeki olağan mutlak değerin karesinin alınması, mutlak değer olmayan bir fonksiyon verir, çünkü | x + y | ≤ | x | + | y | kuralını ihlal eder .) Eşdeğerliğe kadar mutlak değerler veya diğer bir deyişle, mutlak değerlerin eşdeğerlik sınıfına yer denir .

Ostrowski'nin teoremi , Q rasyonel sayılarının önemsiz yerlerinin sıradan mutlak değer ve her asal p için p -adik mutlak değer olduğunu belirtir . Verilen bir asal p için , herhangi bir rasyonel sayı q , p ⁿ ( a / b ) olarak yazılabilir , burada a ve b , p ile bölünemeyen tam sayılardır ve n , bir tamsayıdır. S ve -adic mutlak değeri q olduğu

${\ displaystyle \ sol | p ^ {n} {\ frac {a} {b}} \ sağ | _ {p} = p ^ {- n}.}$

Sıradan mutlak değer ve p -adic mutlak değerler yukarıdaki tanıma göre mutlak değerler olduğundan, bunlar yerleri tanımlar.

Değerlemeler

Bazı ultrametrik mutlak değer ve herhangi bir b  > 1 tabanı için , ν ( x ) = −log _b | x | için X  ≠ 0 ve cyclotron frekansının (0) = ∞, ∞ sonra bir işlev elde etmek, tüm gerçek sayılar daha büyük olduğu sıralanır burada D için R  ∪ {∞}, aşağıdaki özelliklere sahip:

• ν ( x ) = ∞ ⇒ x = 0,
• ν ( xy ) = ν ( x ) + ν ( y ),
• ν ( x + y ) ≥ min (ν ( x ), ν ( y )).

Bu tür bir işlev olarak bilinen bir değerleme terminolojisinde Bourbaki ama başka yazarlar terimini kullanmak değerleme için mutlak değer ve daha sonra söz üstel değerleme yerine değerleme .

Tamamlama sayısı

Mutlak bir değere sahip bir D integral alanı verildiğinde , D elemanlarının Cauchy dizilerini mutlak değere göre, her ε> 0 için tüm m , n > N tamsayıları için pozitif bir N tamsayısının olmasını şart koşarak tanımlayabiliriz. biri var | x _m - x _n | <ε. Cauchy dizileri , noktasal toplama ve çarpma altında bir halka oluşturur . Boş diziler , D elemanlarının dizileri ( a _n ) olarak da tanımlanabilir , öyle ki | bir _n | sıfıra yakınsar. Boş diziler, Cauchy dizilerinin halkasında birincil bir idealdir ve bölüm halkası bu nedenle bir integral alandır. Alan D olan gömülü olarak adlandırılan bu bölüm halkada tamamlanması arasında D mutlak değere göre | x |.

Alanlar integral alanlar olduğundan, bu aynı zamanda bir alanın mutlak bir değere göre tamamlanması için bir yapımdır. Sonucun bir alan olduğunu ve sadece bir integral alan olmadığını göstermek için, boş dizilerin bir maksimal ideal oluşturduğunu gösterebilir veya tersini doğrudan inşa edebiliriz. İkincisi, bölüm halkasının sıfır olmayan tüm elemanları için, dizinin son sıfır elemanının ötesindeki bir noktadan başlayan bir sıra alınarak kolaylıkla yapılabilir. Bölüm halkasının sıfır olmayan herhangi bir elemanı, böyle bir diziden sıfır olmayan bir sıra ile farklılık gösterecektir ve noktasal ters çevirme alarak temsili bir ters eleman bulabiliriz.

Alexander Ostrowski'nin başka bir teoremi, Arşimet mutlak değerine göre tamamlanan herhangi bir alanın , gerçek veya karmaşık sayılara izomorfik olduğunu ve değerlemenin olağan olana eşdeğer olduğunu söyler . Gelfand-Tornheim teoremi bir Arşimet değerleme ile herhangi bir alan, bir izomorf bildiren alt alanı arasında C , her zamanki mutlak değerine eşit olduğu değerleme C .

Alanlar ve integral alanlar

Eğer D mutlak değere sahip ayrılmaz bir etki alanıdır | X |, sonra mutlak değerinin tanımı uzanabilir fraksiyonların alanı arasında D ayarıyla

${\ displaystyle | x / y | = | x | / | y |. \,}$

Öte yandan, eğer F ultrametrik mutlak değeri olan bir alansa | x |, sonra F'nin öğeleri kümesi, öyle ki | x | ≤ 1 tanımlar bir değerleme halka a,, alt halka D ve F , öyle ki her bir sıfır olmayan bir elemanı, x ve F , en az bir x ve x ^-1 ait D . Yana F bir alandır, D bir sahiptir sıfır bölenler ve tamamlayıcı bir etki alanıdır. Tüm x'i içeren benzersiz bir maksimal ideale sahiptir, öyle ki | x | <1 ve bu nedenle yerel bir halkadır .

Notlar

Referanslar