alt katkı - Subadditivity
Gelen matematik , subadditivity durumları, kabaca iki toplamı işlevini değerlendirmek o fonksiyonu bir özelliğidir elemanları arasında etki her zaman daha az her bir elemanın en fonksiyon değerlerinin toplamına eşit ya da daha bir şekil. Matematik, özellikle çeşitli alanlarda eksiltme fonksiyonları sayısız örneği vardır normlar ve kare kökleri . Toplamsal haritalar , toplamsal işlevlerin özel durumlarıdır.
Tanımlar
Bir eksiltme fonksiyonu olan işlev , bir olan alan A ve bir sipariş değer kümesi B her ikisi de olan kapalı aşağıdaki özelliği ile, ekleme altında:
Bir örnek, etki alanı ve kod etki alanı olarak negatif olmayan gerçek sayılara sahip olan karekök işlevidir , çünkü elimizde:
Bir dizi , adı eksiltme eğer tatmin eşitsizlik
Özellikler
diziler
Michael Fekete'den kaynaklanan aşağıdaki lemma , alt-toplama dizileriyle ilgili yararlı bir sonuçtur .
Fekete en eksiltme lemması - her eksiltme sırası için , sınır vardır ve eşit infimum . (Sınır olabilir .)
Fekete'nin lemmasının analoğu, üstkatmanlı diziler için de geçerlidir, yani: (Bu durumda limit pozitif sonsuz olabilir: diziyi düşünün .)
Orada herkes için muhafazasına eşitsizliği (1) alması gerekmez Fekete en lemmasının uzantılarıdır m ve n , ama sadece m ve n öyle ki Dahası, durum şu şekilde zayıflamış olabilir: şartıyla böyle artan bir fonksiyonudur integral yakınsar (sonsuza yakın).
Fekete'nin lemmasında varlığı belirtilen sınıra yakınsama hızının, hem üst üste hem de alt toplamlılık varsa, çıkarsanmasına izin veren sonuçlar da vardır .
Ayrıca, Fekete'nin lemmasının analogları, uygun bir grubun sonlu alt kümelerinden ve ayrıca iptal edici bir sol-uygun yarı grubun sonlu alt kümelerinden (ek varsayımlarla birlikte) subadditive gerçek haritalar için kanıtlanmıştır.
Fonksiyonlar
Teorem: — Her ölçülebilir alt- toplama fonksiyonuiçin limitvardır ve şuna eşittir(Limit olabilir)
Eğer f bir eksiltme fonksiyonudur ve 0 o zaman, kendi etki alanında f Bu görmek için (0) ≥ 0. üstteki eşitsizliği alır. . Buradan
Bir içbükey işlev ile de eksiltme olup. Bunu görmek için önce şunu gözlemler . Sonra gitmekte bu toplamından bakarak ve nihayet doğrular f eksiltme olduğunu.
Bir alt-toplama fonksiyonunun negatifi , süper-toplamsaldır .
Çeşitli alanlarda örnekler
Entropi
Entropi , von Neumann'a bağlı olarak genelleştirilmiş bir formülasyonda kuantum mekaniğinde olduğu kadar bilgi teorisinde ve istatistiksel fizikte de temel bir rol oynar . Entropi, tüm formülasyonlarında her zaman bir alt toplamsal nicelik olarak görünür, yani bir süper sistemin entropisi veya bir dizi rastgele değişkenler birliği, her zaman ayrı bileşenlerinin entropilerinin toplamından daha az veya ona eşittir. Ek olarak, fizikteki entropi, klasik istatistiksel mekanikteki Entropinin Güçlü Alt Toplamalılığı ve onun kuantum analogu gibi birkaç katı eşitsizliği karşılar .
ekonomi
Alt toplamsallık, bazı belirli maliyet fonksiyonlarının temel bir özelliğidir . Genel olarak, bir doğal tekelin doğrulanması için gerekli ve yeterli bir koşuldur . Sadece bir firmadan yapılan üretimin, orijinal miktarın bir kısmının eşit sayıda firma tarafından üretilmesinden sosyal olarak (ortalama maliyetler açısından) daha ucuz olduğunu ima eder.
Ölçek ekonomileri, toplamsal ortalama maliyet fonksiyonları ile temsil edilir .
Tamamlayıcı mallar dışında, malların fiyatı (miktarın bir fonksiyonu olarak) alt katkı olmalıdır. Aksi takdirde, eğer iki öğenin toplam maliyeti, ikisinin bir arada olduğu paketin maliyetinden daha ucuzsa, o zaman hiç kimse paketi satın alamaz ve bu da, etkin bir şekilde paketin fiyatının, diğer öğelerin fiyatlarının toplamı "olmasına" neden olur. iki ayrı öğe. Böylece doğal bir tekel için yeterli bir koşul olmadığını kanıtlamak; çünkü değişim birimi bir kalemin gerçek maliyeti olmayabilir. Bu durum, bazı azınlıkların, belirli bir hükümet düzeyinde belirli bir özgürlüğün kaybedilmesinin, birçok hükümetin daha iyi olduğu anlamına geldiğini iddia ettiği siyasi arenadaki herkese aşinadır; oysa çoğunluk başka bir doğru maliyet birimi olduğunu iddia ediyor.
finans
Subadditivity istenen özelliklerinden biridir tutarlı risk ölçümleri de risk yönetimi . Risk ölçümü alt eklenebilirliğinin arkasındaki ekonomik sezgi, bir portföy riskine maruz kalmanın, en kötü ihtimalle, portföyü oluşturan bireysel pozisyonların risk maruziyetlerinin toplamına eşit olması gerektiğidir. Diğer herhangi bir durumda, çeşitlendirmenin etkileri , bireysel risk maruziyetlerinin toplamından daha düşük bir portföy riski ile sonuçlanacaktır. Alt-toplanabilirlik eksikliği , risk faktörlerinin normalliği varsayımına dayanmayan VaR modellerinin ana eleştirilerinden biridir . Gauss VaR alt eklenebilirliği sağlar: örneğin, güven düzeyinde iki üniter uzun pozisyon portföyünün Gauss VaR'si , ortalama portföy değeri değişiminin sıfır olduğu ve VaR'nin negatif bir kayıp olarak tanımlandığı varsayıldığında,
Termodinamik
Aşırı molar hacim ve
karışım ısısı veya aşırı entalpi gibi ideal olmayan çözeltilerin ve karışımların termodinamik özelliklerinde alt-toplanma meydana gelir .kelimeler üzerinde kombinatorik
Bir faktöryel dil bir eğer biridir
kelimesi ise , o zaman tüm faktörler o kelimenin da vardır . Sözcük kombinatoriklerinde ortak bir problem, faktöriyel bir dilde uzunluk- kelimelerin sayısını belirlemektir . Açıkça , alt toplamsal da öyledir ve bu nedenle Fekete'nin lemması, 'nin büyümesini tahmin etmek için kullanılabilir .Ayrıca bakınız
- Görünür molar özellik
- choquet integrali
- süper katkı
- Üçgen eşitsizliği - geometrinin özelliği, aynı zamanda metrik uzaylarda "mesafe" kavramını genelleştirmek için kullanılır
Notlar
- ^ Fekete, M. (1923). "Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen cebirsel Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten". Matematiksel Zeitschrift . 17 (1): 228–249. doi : 10.1007/BF01504345 .
- ^ de Bruijn, NG; Erdos, P. (1952). "Bazı lineer ve bazı ikinci dereceden özyineleme formülleri. II". Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Sör. Bir . 55 : 152-163. doi : 10.1016/S1385-7258(52)50021-0 .( Indagationes Math. 14 ile aynı .) Ayrıca bakınız Steele 1997, Teorem 1.9.2.
- ^ Michael J. Steele. "Olasılık teorisi ve kombinatoryal optimizasyon". SIAM, Philadelphia (1997). ISBN 0-89871-380-3 .
- ^ Michael J. Steele (2011). Olasılık Teorisi ve Kombinatoryal Optimizasyon Üzerine CBMS Dersleri . Cambridge Üniversitesi.
- ^ Lindenstrauss, Elon; Weiss, Benjamin (2000). "Ortalama topolojik boyut" . İsrail Matematik Dergisi . 115 (1): 1–24. CiteSeerX 10.1.1.30.3552 . doi : 10.1007/BF02810577 . ISSN 0021-2172 . Teorem 6.1
- ^ Ornstein, Donald S.; Weiss, Benjamin (1987). "Uygun grupların eylemleri için entropi ve izomorfizm teoremleri". Journal d'Analiz Mathématique . 48 (1): 1–141. doi : 10.1007/BF02790325 . ISSN 0021-7670 .
- ^ Gromov, Mişa (1999). "Dinamik Sistemlerin Topolojik Değişmezleri ve Holomorfik Haritaların Uzayları: I". Matematiksel Fizik, Analiz ve Geometri . 2 (4): 323–415. doi : 10.1023/A:1009841100168 . ISSN 1385-0172 .
- ^ Ceccherini-Silberstein, Tullio; Krieger, Fabrice; Coornaert, Michel (2014). "İptal edilebilir uygun yarı gruplar üzerinde alt-toplamsal fonksiyonlar için Fekete'nin lemmasının bir analogu". J. Anal. matematik . 124 : 59-81. arXiv : 1209.6179 . doi : 10.1007/s11854-014-0027-4 . Teorem 1.1
- ^ Hille 1948, Teorem 6.6.1. (Ölçülebilirlik, Bölüm 6.2 "Ön Bilgiler"de belirtilmiştir.)
- ^ Schechter, Eric (1997). Analiz El Kitabı ve Temelleri . San Diego: Akademik Basın. ISBN'si 978-0-12-622760-4., s.314,12.25
- ^ Rau-Bredow, H. (2019). "Daha Büyük Her Zaman Daha Güvenli Değildir: Tutarlı Risk Önlemleri için Alt Toplama Varsayımının Kritik Bir Analizi" . Riskler . 7 (3): 91. doi : 10.3390/riskler7030091 .
- ^ Şur, Arseny (2012). "Güçsüz dillerin büyüme özellikleri". Bilgisayar Bilimi İnceleme . 6 (5–6): 187–208. doi : 10.1016/j.cosrev.2012.09.001 .
Referanslar
- György Polya ve Gábor Szegő . "Analizdeki problemler ve teoremler, cilt 1". Springer-Verlag, New York (1976). ISBN 0-387-05672-6 .
- Einar Hille . " Fonksiyonel analiz ve yarı gruplar ". Amerikan Matematik Derneği, New York (1948).
- NH Bingham, AJ Ostaszewski. "Genel alt ekleme işlevleri." Amerikan Matematik Derneği Bildirileri, cilt. 136, hayır. 12 (2008), s. 4257–4266.
Dış bağlantılar
Bu makale ,
Creative Commons Atıf/Benzer Paylaşım Lisansı altında lisanslanan PlanetMath'teki alt eklenebilirlik materyallerini içermektedir .