Kimlik öğesi -Identity element

Matematikte , bir küme üzerinde çalışan ikili işlemin kimlik öğesi veya nötr öğesi , işlem uygulandığında kümenin her öğesini değişmeden bırakan kümenin bir öğesidir . Bu kavram, gruplar ve halkalar gibi cebirsel yapılarda kullanılır . Kimlik öğesi terimi , karıştırılma olasılığı olmadığında genellikle özdeşliğe kısaltılır (toplamsal özdeşlik ve çarpımsal özdeşlik durumunda olduğu gibi), ancak özdeşlik dolaylı olarak ilişkili olduğu ikili işleme bağlıdır.

Tanımlar

( S , ∗) ikili işlem ∗ ile donatılmış bir S kümesi  olsun . O zaman S'nin bir e öğesi  ,  S'deki tüm  a için e ∗ a = a ise sol özdeşlik ve  S'deki tüm  a için a ∗ e = a ise sağ özdeşlik olarak  adlandırılır . e hem sol hem de sağ kimlik ise, buna iki taraflı kimlik veya basitçe kimlik denir .

Toplama ile ilgili bir özdeşliğe, bir toplama kimliği (genellikle 0 ile gösterilir) ve çarpma ile ilgili bir özdeşliğe, bir çarpımsal özdeşlik (genellikle 1 olarak gösterilir) denir . Altta yatan işlem oldukça keyfi olabileceğinden, bunların sıradan toplama ve çarpma olması gerekmez. Örneğin bir grup söz konusu olduğunda , kimlik öğesi bazen basitçe simgesiyle gösterilir . Toplamsal ve çarpımsal kimlik arasındaki ayrım, en sık olarak halkalar , integral etki alanları ve alanlar gibi hem ikili işlemleri destekleyen kümeler için kullanılır . Çarpımsal özdeşliğe genellikle ikinci bağlamda birlik denir (birliğe sahip bir halka). Bu, çarpımsal tersi olan herhangi bir eleman olan halka teorisindeki bir birim ile karıştırılmamalıdır . Kendi tanımına göre, birliğin kendisi zorunlu olarak bir birimdir. ${\görüntüleme stili e}$

Örnekler

Özellikleri

Verilen eşitliklerle S = { e,f } örneğinde , S bir yarıgruptur . ( S , ∗ ) 'nin birkaç sol kimliğe sahip olma olasılığını gösterir . Aslında, her öğe bir sol kimlik olabilir. Benzer şekilde, birkaç doğru kimlik olabilir. Ancak hem sağ kimlik hem de sol kimlik varsa, bunlar eşit olmalı ve iki taraflı tek bir özdeşliğe yol açmalıdır.

Bunu görmek için, eğer l bir sol özdeşlik ise ve r bir sağ özdeşlik ise, o zaman l = l ∗ r = r olduğuna dikkat edin . Özellikle, hiçbir zaman birden fazla iki taraflı özdeşlik olamaz: eğer iki tane varsa, diyelim ki e ve f , o zaman e ∗ f hem e hem de f'ye eşit olmalıdır .

( S , ∗ ) 'nin çarpma işlemi altındaki çift tam sayıların durumu gibi hiçbir kimlik elemanına sahip olmaması da oldukça mümkündür . Diğer bir yaygın örnek, vektörlerin çapraz çarpımıdır ; burada bir kimlik elemanının yokluğu, sıfır olmayan herhangi bir çapraz ürünün yönünün her zaman herhangi bir elemanın çarpımına dik olmasıyla ilişkilidir. Yani orijinal ile aynı yönde sıfır olmayan bir vektör elde etmek mümkün değildir. Kimlik öğesi olmayan bir başka yapı örneği, pozitif doğal sayıların toplamalı yarı grubunu içerir .

Ayrıca bakınız

• emici eleman
• toplamsal ters
• genelleştirilmiş ters
• Kimlik (denklem)
• kimlik işlevi
• ters eleman
• monoit
• sahte halka
• yarıgrup
• Birim (anlam ayrım)

Notlar ve referanslar

bibliyografya

• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), Lineer Cebirde İlk Ders: Gruplara, Halkalara ve Alanlara İsteğe Bağlı Giriş ile , Boston: Houghton Mifflin Company , ISBN 0-395-14017-X
• Fraleigh, John B. (1976), Soyut Cebirde İlk Ders (2. baskı), Okuma: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
• Herstein, IN (1964), Cebirde Konular , Waltham: Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016
• McCoy, Neal H. (1973), Modern Cebire Giriş, Gözden Geçirilmiş Baskı , Boston: Allyn ve Bacon , LCCN  68015225

daha fazla okuma

• M. Kilp, U. Knauer, AV Mikhalev, Çelenk Ürünlerine ve Grafiklere Uygulamalı Monoidler, Eylemler ve Kategoriler , Matematikte De Gruyter Sergileri vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN  3-11-015248-7 , s. 14–15