İşaret (matematik) - Sign (mathematics)

Artı ve eksi sembolleri bir sayının işaretini göstermek için kullanılır.

Gelen matematik , işaret a reel sayı ya pozitif, olma özelliğidir negatif ya da sıfır . Yerel geleneklere bağlı olarak, sıfır ne pozitif ne de negatif olarak kabul edilebilir (işaretsiz veya benzersiz bir üçüncü işarete sahip değildir) veya hem pozitif hem de negatif (her iki işarete sahip) olarak kabul edilebilir. Özel olarak belirtilmediği durumlarda, bu madde ilk sözleşmeye bağlıdır.

Bazı bağlamlarda, imzalı bir sıfırı ( bilgisayarlardaki gerçek sayıların kayan noktalı temsilleri gibi) dikkate almak mantıklıdır . Matematik ve fizikte, "işaret değişimi" ifadesi , bu yapıya izin veren herhangi bir nesnenin toplamalı tersinin (olumsuzlama veya -1 ile çarpma ) üretilmesiyle ilişkilidir ve gerçek sayılarla sınırlı değildir. Yalnızca pozitif, negatif veya sıfır olarak tanımlanmayan vektörlere, matrislere ve karmaşık sayılara diğer nesneler arasında uygulanır. "İşaret" kelimesi aynı zamanda, matematiksel nesnelerin tek ve çift ( bir permütasyonun işareti ), yön veya dönme hissi ( cw/ccw ), tek taraflı limitler , ve aşağıdaki § Diğer anlamlarda açıklanan diğer kavramlar .

Bir sayının işareti

Sayılar çeşitli sayı sistemlerinden gibi tamsayılar , rasyonel , karmaşık sayılar , kuaterniyonlar , oktonyon cebirleri , ... bir sayı belirli özelliklerini düzeltmek birden fazla özelliği, sahip olabilir. Bir sayı sistemi , örneğin tamsayılar gibi sıralı bir halka yapısını taşıyorsa , kendisine eklendiğinde hiçbir sayıyı değiştirmeyen bir sayı içermelidir (bir ek kimlik öğesi ). Bu sayı genellikle 0 olarak gösterilir . Bu halkadaki toplam sıralama nedeniyle , pozitif sayılar adı verilen sıfırdan büyük sayılar vardır. Her bir pozitif sayı için bir halkanın içinde gerekli olan diğer özellikleri için, daha küçük bir sayı vardır 0 pozitif bir sayı ilave edildiği zaman, sonuç verir 0 Bu sayılar daha az 0 adlandırılır negatif sayılar. Bu tür her bir çiftteki sayılar, onların ilgili toplamsal tersleridir . Yalnızca sıfır (0) , pozitif (+) veya negatif (-) olan bir sayının bu niteliği , işareti olarak adlandırılır ve genellikle sırasıyla 0, 1 ve -1 gerçek sayılarına kodlanır (benzer şekilde). yol işaret işlevi tarif edilmiştir) hazırlandı. Rasyonel ve gerçek sayılar da sıralı halkalar (çift alanlar ) olduğundan, bu sayı sistemleri aynı işaret özelliğini paylaşır .

İken aritmetik , eksi işareti genellikle, çıkarma ikili işlem temsil olarak düşünülür cebir , genellikle temsil olarak düşünülür tekli çalışmasını elde katkı ters (bazen olumsuzluk işlenen). İse 0 , kendi katkı tersidir (-0 = 0), pozitif bir sayı aditif ters negatif olduğunu ve negatif bir sayı aditif ters pozitiftir. Bu işlemin ikili uygulaması −(−3) = 3 olarak yazılır . Artı işareti ağırlıklı olarak cebirde ikili toplama işlemini belirtmek için ve nadiren bir ifadenin pozitifliğini vurgulamak için kullanılır.

Ortak sayı gösteriminde ( aritmetikte ve başka yerlerde kullanılır), bir sayının işareti genellikle sayıdan önce bir artı veya eksi işareti konularak açık hale getirilir . Örneğin, +3 "pozitif üç" anlamına gelir ve -3 "negatif üç" anlamına gelir (cebirsel olarak: 3'ün toplamsal tersi ). Belirli bir bağlam olmadan (veya açık bir işaret verilmediğinde), varsayılan olarak bir sayı pozitif olarak yorumlanır. Bu gösterim, eksi işareti " - " negatif sayılarla ve artı işareti "+" ile pozitif sayılar arasında güçlü bir ilişki kurar .

sıfır işareti

Kongre içinde sıfır ne pozitif ne de negatif olarak, belirli bir işaret değeri 0 sayı değeri tahsis edilebilir 0 . Bu, gerçek sayılar için tanımlandığı gibi -function işlevinde kullanılır . Aritmetikte, +0 ve -0 her ikisi de aynı 0 sayısını gösterir . Her iki işareti de 0'a atama kuralı bu ayrımcılığa hemen izin vermese de, genellikle değeri işaretiyle karıştırma tehlikesi yoktur .

Bazı bağlamlarda, özellikle hesaplamada , imzalı sıfırların farklı, ayrık sayı temsillerine atıfta bulunduğu işaretli sıfır sürümlerini düşünmek yararlıdır ( daha fazlası için işaretli sayı temsillerine bakın).

Semboller + 0 ve -0 nadiren için ikame olarak görünür 0 + ve 0 - , kullanılan matematik ve matematiksel analiz için tek taraflı sınırlar (sağ taraflı sınırı ve sol taraflı sınırı, sırasıyla). Bu gösterim, bir fonksiyonun gerçek girdi değişkeni pozitif (karşılıklı, negatif) değerler boyunca 0'a yaklaştığı için davranışına atıfta bulunur ; iki sınırın var olması veya aynı fikirde olması gerekmez.

İşaretler için terminoloji

Ne zaman 0 ne olumlu ne de olumsuz olduğu söylenir, aşağıdaki ifadeler bir dizi işareti anlamlara gelebilir:

  • Bir sayı sıfırdan büyükse pozitiftir .
  • Bir sayı sıfırdan küçükse negatiftir .
  • Bir sayı sıfırdan büyük veya sıfıra eşitse negatif değildir .
  • Bir sayı sıfırdan küçük veya sıfıra eşitse pozitif değildir .

Zaman 0 hem pozitif hem negatif olduğu söylenir, modifiye edilmiş ifadeler bir dizi işareti ifade etmek için kullanılmaktadır:

  • Bir sayı sıfırdan büyükse kesinlikle pozitiftir .
  • Bir sayı sıfırdan küçükse kesinlikle negatiftir .
  • Bir sayı sıfırdan büyük veya sıfıra eşitse pozitiftir .
  • Bir sayı sıfırdan küçük veya sıfıra eşitse negatiftir .

Örneğin, gerçek bir sayının mutlak değeri her zaman "negatif değildir", ancak ilk yorumda mutlaka "pozitif" olmak zorunda değildir, oysa ikinci yorumda "pozitif" olarak adlandırılır - mutlaka "kesinlikle pozitif" olmasa da .

Aynı terminoloji bazen gerçek veya diğer işaretli değerler veren işlevler için kullanılır . Örneğin, bir işlev , etki alanının tüm argümanları için değerleri pozitifse pozitif bir işlev veya tüm değerleri negatif değilse negatif olmayan bir işlev olarak adlandırılır .

Karışık sayılar

Karmaşık sayıların sıralanması imkansızdır, bu nedenle sıralı bir halkanın yapısını taşıyamazlar ve buna göre pozitif ve negatif karmaşık sayılara bölünemezler. Bununla birlikte, mutlak değer veya büyüklük olarak adlandırılan gerçeklerle bir nitelik paylaşırlar . Büyüklükler her zaman negatif olmayan gerçek sayılardır ve sıfır olmayan herhangi bir sayının mutlak değeri olan pozitif bir gerçek sayı vardır .

Örneğin, −3'ün mutlak değeri ve 3'ün mutlak değeri 3'e eşittir . Bu sembollerde | -3 | = 3 ve | 3 | = 3.

Genel olarak, herhangi bir keyfi gerçek değer, büyüklüğü ve işareti ile belirlenebilir. Standart kodlama kullanılarak, standart kodlamada büyüklük ve işaretin çarpımı ile herhangi bir gerçek değer verilir. Bu ilişki, karmaşık sayılar için bir işaret tanımlamak üzere genelleştirilebilir .

Gerçek ve karmaşık sayılar hem bir alan oluşturduğundan hem de pozitif gerçekleri içerdiğinden, sıfırdan farklı tüm sayıların büyüklüklerinin karşılıklarını da içerirler. Bu, sıfır olmayan herhangi bir sayının, büyüklüğünün tersi ile çarpılabileceği, yani büyüklüğüne bölünebileceği anlamına gelir. Sıfır olmayan herhangi bir gerçek sayının bölümü, büyüklüğüne göre tam olarak işaretini verir. Benzer şekilde, bir karmaşık sayının işareti z oranı olarak tanımlanabilir ve z ve büyüklük | z | . Karmaşık sayının büyüklüğü bölündüğünden , karmaşık sayının sonuçtaki işareti bir anlamda karmaşık argümanını temsil eder. Bu, karmaşık bir işaret fonksiyonunun tanımı dışında, gerçek sayıların işaretiyle karşılaştırılmalıdır . bkz . aşağıdaki § Karmaşık işaret işlevi .

İşaret işlevleri

Gerçek işaret fonksiyonu y = sgn( x )

Sayılarla uğraşırken, işaretlerinin bir sayı olarak mevcut olması genellikle uygundur. Bu, herhangi bir sayının işaretini çıkaran ve daha sonraki hesaplamalar için kullanılabilir hale getirmeden önce önceden tanımlanmış bir değere eşleyen işlevlerle gerçekleştirilir. Örneğin, yalnızca pozitif değerler için karmaşık bir algoritma formüle etmek ve işaretle ancak daha sonra ilgilenmek avantajlı olabilir.

Gerçek işaret işlevi

İşaret işlevi veya sinyalnum fonksiyonu üç reals setine gerçek sayılar kümesini eşleyerek, gerçek sayının işaretini ayıklar Aşağıdaki gibi tanımlanabilir:

Böylece SGN ( x ) 1 'dir x pozitiftir ve SGN ( x ) -1 zaman x negatiftir. x'in sıfır olmayan değerleri için bu fonksiyon formülle de tanımlanabilir.

nerede | x | bir mutlak değeri bir x .

Karmaşık işaret işlevi

Gerçek bir sayı 1 boyutlu bir yöne sahipken, karmaşık bir sayı 2 boyutlu bir yöne sahiptir. Karmaşık işaret işlevi , şu şekilde hesaplanabilen z = x + iy argümanının büyüklüğünü gerektirir.

Yukarıdakine benzer şekilde, karmaşık işaret işlevi , sıfır olmayan karmaşık sayılar kümesini tek modüllü karmaşık sayılar kümesiyle eşleyerek bir karmaşık sayının karmaşık işaretini çıkarır ve 0 ila 0: Aşağıdaki gibi tanımlanabilir:

Let z aynı zamanda büyüklük ile ifade ve bağımsız değişkenler bir cp kadar z = | z |⋅ e , o zaman

Bu tanım aynı zamanda normalleştirilmiş bir vektör, yani yönü değişmemiş ve uzunluğu birliğe sabitlenmiş bir vektör olarak kabul edilebilir . Orijinal değer kutupsal biçimde R,θ ise, işaret(R, θ) 1 θ'dir. sign() veya signum()'un herhangi bir sayıda boyuta genişletilmesi açıktır, ancak bu zaten bir vektörün normalleştirilmesi olarak tanımlanmıştır.

Kongre başına işaretler

Bir nitelik için tam olarak iki olasılığın olduğu durumlarda, bunlar genellikle gelenek tarafından sırasıyla artı ve eksi olarak etiketlenir . Bazı bağlamlarda, bu atamanın seçimi (yani, hangi değer aralığının olumlu ve hangisinin olumsuz olduğu düşünülür) doğaldır, oysa diğer bağlamlarda seçim keyfidir ve açık bir işaret konvansiyonunu gerekli kılar; tek gereklilik, kongre.

Bir açının işareti

Ölçülmesi x-ekseni üzerinde açıları birim çember pozitif olarak sayım saatin tersi yönünde ve negatif saat yönünde.

Birçok bağlamda, bir işareti bir açının ölçüsüyle , özellikle de yönlendirilmiş bir açı veya bir dönme açısıyla ilişkilendirmek yaygındır . Böyle bir durumda işaret, açının saat yönünde mi yoksa saat yönünün tersine mi olduğunu gösterir . Farklı kurallar kullanılabilse de, matematikte saat yönünün tersine açıların pozitif ve saat yönündeki açıların negatif olarak sayılması yaygındır .

Dönme ekseninin yönlendirilmiş olduğu varsayılarak, bir işareti üç boyutlu bir dönüş açısıyla ilişkilendirmek de mümkündür . Spesifik olarak, yönlendirilmiş bir eksen etrafında sağ elle döndürme tipik olarak pozitif olarak sayılırken, sol elle döndürme negatif olarak sayılır.

Bir değişiklik işareti

Bir x miktarı zamanla değiştiğinde , x değerindeki değişiklik tipik olarak şu denklemle tanımlanır:

Bu kongre, bir artış kullanarak x , pozitif değişiklik olarak sayar bir azalma olurken x negatif bir değişiklik olarak sayar. Olarak hesap , bu Aynı durum tanımında kullanılan türevi . Sonuç olarak, artan herhangi bir fonksiyonun pozitif türevi, azalan herhangi bir fonksiyonun ise negatif türevi vardır.

Bir yön işareti

Gelen analitik geometri ve fizik , pozitif veya negatif olarak belirli yön etiketlemek için yaygındır. Basit bir örnek için, sayı doğrusu genellikle sağda pozitif sayılar ve solda negatif sayılar olacak şekilde çizilir:

Sayı-satır.svg

Sonuç olarak, doğrusal hareket , yer değiştirme veya hız tartışılırken , sağa doğru bir hareket genellikle pozitif olarak düşünülürken, sola benzer hareketin negatif olduğu düşünülür.

Açık Kartezyen düzlemde , sağa ve yukarı doğru yön genellikle sağa doğru pozitif olma ile, pozitif olarak düşünülmektedir x doğrultusu ve yukarı doğru pozitif olan y doğrultusu. Bir yer değiştirme veya hız ise vektör onun ayrılır vektör bileşenlerine dikey kısmı aşağı doğru hareket için yukarıya doğru hareket ve negatif için olumlu olacaktır, daha sonra yatay bir kısmı, sol hareket için sağ ve negatif için hareket için pozitif olacaktır.

Hesaplamada imza

en önemli bit
0 1 1 1 1 1 1 1 = 127
0 1 1 1 1 1 1 0 = 126
0 0 0 0 0 0 1 0 = 2
0 0 0 0 0 0 0 1 = 1
0 0 0 0 0 0 0 0 = 0
1 1 1 1 1 1 1 1 = -1
1 1 1 1 1 1 1 0 = -2
1 0 0 0 0 0 0 1 = -127
1 0 0 0 0 0 0 0 = -128
Çoğu bilgisayar , bir tamsayının işaretini temsil etmek için ikinin tümleyenini kullanır.

Olarak işlem , bir tamsayı değeri, bir bilgisayar numarası için bir işaret takip olup olmadığına bağlı olarak, işaretli veya işaretsiz olabilir. Bir tamsayı değişkenini yalnızca negatif olmayan değerlerle sınırlayarak, bir sayının değerini saklamak için bir bit daha kullanılabilir. Bilgisayarlarda tamsayı aritmetiğinin yapılma şekli nedeniyle, işaretli sayı temsilleri genellikle işareti tek bir bağımsız bit olarak saklamaz, bunun yerine örneğin ikinin tamamlayıcısını kullanır .

Buna karşılık, gerçek sayılar kayan nokta değerleri olarak saklanır ve işlenir . Kayan nokta değerleri, mantis, üs ve işaret olmak üzere üç ayrı değer kullanılarak temsil edilir. Bu ayrı işaret biti verildiğinde, hem pozitif hem de negatif sıfırı temsil etmek mümkündür. Çoğu programlama dili normalde pozitif sıfırı ve negatif sıfırı eşdeğer değerler olarak ele alır, ancak ayrımın tespit edilebileceği araçlar sağlarlar.

Diğer anlamlar

Elektrik yükü pozitif veya negatif olabilir.

Gerçek bir sayının işaretine ek olarak, işaret kelimesi matematik ve diğer bilimler boyunca çeşitli ilgili şekillerde de kullanılır:

Ayrıca bakınız

Referanslar

  1. ^ "Cebir Sembollerinin Kapsamlı Listesi" . Matematik Kasası . 2020-03-25 . 2020-08-26 alındı .
  2. ^ a b c Weisstein, Eric W. "İşaret" . matematik dünyası.wolfram.com . 2020-08-26 alındı .
  3. ^ "Hesap ve Analiz Sembollerinin Listesi" . Matematik Kasası . 2020-05-11 . 2020-08-26 alındı .
  4. ^ "SignumFonksiyonu" . www.cs.cas.cz . 2020-08-26 alındı .
  5. ^ "Açıların İşareti | Açı Nedir? | Pozitif Açı | Negatif Açı" . Matematik Sadece Matematik . 2020-08-26 alındı .