türev - Subderivative

Bir dışbükey işlev (mavi) ve x 0'da (kırmızı) "taban çizgileri" .

Gelen matematik , subderivative , subgradient ve Subdiferansiyel jeneralize türevi zorunda değildir dışbükey işlevlere türevlenebilir . Alt türevler , genellikle dışbükey optimizasyonla bağlantılı olarak dışbükey fonksiyonların incelenmesi olan dışbükey analizde ortaya çıkar .

Let bir olmak gerçek bir tanımlanan -valued dışbükey fonksiyonu açık aralığında gerçek hattının. Böyle bir fonksiyonun her noktada türevlenebilir olması gerekmez: Örneğin, mutlak değer fonksiyonu f ( x )=| x | x = 0 olduğunda türevlenemez . Bununla birlikte, sağdaki grafikte görüldüğü gibi (mavideki f(x)' in mutlak değer fonksiyonuna benzer türevlenemez bükülmelere sahip olduğu yerde), fonksiyonun tanım kümesindeki herhangi bir x 0 için , ( x 0 , f ( x 0 ) ) noktası ve her yerde f grafiğine dokunan veya altında olan nokta . Eğimi , bir çizgi bir adlandırılır subderivative (hat grafiğinin altındaki çünkü f ).

Tanım

Kesin olarak, açık aralık I'de x 0 noktasında bir dışbükey fonksiyonun bir alt türevi , gerçek bir c sayısıdır, öyle ki,

Herkes için x in I . Bir gösterebilir grubu en subderivatives arasında x 0 dışbükey bir işlev için bir bir boş olmayan aralık kapalı [ a , b ] bir ve b olan tek taraflı sınırlar

var olması ve ab'yi sağlaması garanti edilir .

Grubu [ a , b her subderivatives ait] olarak adlandırılır Subdiferansiyel fonksiyonu f de x , 0 . Yana f isimli konveks olan Subdiferansiyel az ise , tam olarak bir subderivative içerir, daha sonra f noktasında türevli .

Örnek

f ( x )=| fonksiyonunu düşünün. x | hangi dışbükey. O halde, orijindeki alt diferansiyel [-1, 1] aralığıdır. Herhangi bir x 0 <0 noktasındaki alt diferansiyel, {−1} tekil kümesidir , herhangi bir x 0 >0 noktasındaki alt diferansiyel, {1} tekil kümesidir. Bu, işaret işlevine benzer , ancak tüm olası alt türevleri içeren, 0'da tek değerli bir işlev değildir.

Özellikler

  • Dışbükey fonksiyonu f : IR türevlenebilir olan en x , 0 , ancak ve ancak, eğer Subdiferansiyel türev sadece bir noktadan, oluşur x 0 .
  • Bir nokta x 0 a, genel minimum dışbükey fonksiyonu f ve ancak sıfır yukarıdaki şekilde, bir subdiferansiyelin, içerdiği takdirde bir grafiği yatay bir "subtangent hattı" çekebilir, f (en x 0 , f ( x 0 )). Bu son özellik, yerel bir minimumda türevlenebilir bir fonksiyonun türevinin sıfır olduğu gerçeğinin bir genellemesidir.
  • Eğer ve Subdiferansiyelin dışbükey işlevlerdir ve ile işlevlerden biri, daha sonra subdiferansiyelin iç noktası olmak olan (ek operatör belirtmektedir Minkowsky toplamı ). Bu, "bir toplamın alt diferansiyeli, alt diferansiyellerin toplamıdır" şeklinde okunur.

alt gradyan

Alt türev ve alt diferansiyel kavramları, birkaç değişkenli fonksiyonlara genelleştirilebilir. Eğer f : UR, bir tanımlı gerçek değerli bir fonksiyondur dışbükey dışbükey da açık olarak Öklid alan R , n , bir vektör bu alanda bir adlandırılır subgradient bir noktada x 0 olarak U herhangi eğer x olarak U birine sahip

nokta, nokta çarpımını gösterir . Tüm Subgradientlerle grubu X 0 adlandırılır Subdiferansiyel de x , 0 ve olduğunu ifade edilmiş ∂ f ( x 0 ). Alt diferansiyel her zaman boş olmayan bir dışbükey kompakt kümedir .

Bu kavramlar , yerel dışbükey uzayda V bir dışbükey küme üzerinde f : UR dışbükey fonksiyonlarına daha da genellenir . Bir fonksiyonel * de çift boşluk V * olarak adlandırılan subgradient de x , 0 içinde U ise tüm x olarak U

Tüm Subgradientlerle grubu x , 0 ile Subdiferansiyel denir x , 0 ve bir tekrar ifade edilmiş ∂ f ( x 0 ). Alt diferansiyel her zaman bir dışbükey kapalı kümedir . Boş bir küme olabilir; örneğin , dışbükey olan ancak alt gradyanı olmayan sınırsız bir operatör düşünün. Eğer f süreklidir, Subdiferansiyel boş olmayan olduğunu.

Tarih

Dışbükey fonksiyonlarda alt diferansiyel, 1960'ların başında Jean Jacques Moreau ve R. Tyrrell Rockafellar tarafından tanıtıldı . Genelleştirilmiş Subdiferansiyel konveks olmayan fonksiyonlar için 1980'lerin başında FH Clarke ve RT Rockafellar tarafından tanıtıldı.

Ayrıca bakınız

Referanslar

Dış bağlantılar