kardinalite - Cardinality

Tüm Platonik katıların kümesi 5 elemente sahiptir. Böylece .${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili |S|=5}$

Gelen matematik , önem düzeyi a grubu "sayısının bir ölçüsüdür elemanlar kümesinin". Örneğin, küme 3 eleman içerir ve bu nedenle 3'lük bir kardinaliteye sahiptir. 19. yüzyılın sonlarında başlayarak, bu kavram sonsuz kümelere genelleştirildi , bu da kişinin farklı sonsuzluk türleri arasında ayrım yapmasına ve bunlar üzerinde aritmetik yapmasına olanak tanır. . Kardinaliteye yönelik iki yaklaşım vardır: biri, kümeleri doğrudan alıntılar ve enjeksiyonlar kullanarak karşılaştıran ve diğeri temel sayıları kullanan bir yaklaşımdır . Bir kümenin kardinalitesine, diğer boyut kavramlarıyla karıştırmanın mümkün olmadığı durumlarda boyutu da denir . ${\ Displaystyle A=\{2,4,6\}}$${\görüntüleme stili A}$

Bir dizi önem düzeyi genellikle gösterilir a, dikey çubuk her iki tarafında; bu mutlak değerle aynı gösterimdir ve anlamı bağlama bağlıdır . Bir dizi kardinalitesi alternatif ile temsil edilebilir , , ya da . ${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili |A|}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili n(A)}$${\görüntüleme stili A}$${\ Displaystyle \ operatör adı {kart} (A)}$${\görüntüleme stili \#A}$

Tarih

19. yüzyılın sonlarında başlayarak, bu kavram sonsuz kümelere genelleştirildi, bu da kişinin farklı sonsuzluk türlerini ayırt etmesine ve bunlar üzerinde aritmetik yapmasına izin verdi.

kümeleri karşılaştırma

Dan örten fonksiyonu N grubu ile E arasında çift sayıda . E , N'nin uygun bir alt kümesi olmasına rağmen , her iki küme de aynı kardinaliteye sahiptir.

N onun aynı önem düzeyi olmayan güç grubu P ( N ): her fonksiyonu için f gelen N ile P ( N ), resim grubu , T = { n ∈ N : n ∉ f ( n her set katılmadığını)} aralığı içinde f , bu nedenle ön örten olamaz. Resim bir f örneğini ve karşılık gelen T'yi göstermektedir ; kırmızı : n ∈ f ( n )\ T , mavi : n ∈ T \ f ( n ).

Sonlu bir kümenin kardinalitesi, yalnızca öğelerinin sayısı olsa da, kavramı sonsuz kümelere genişletmek, genellikle (bazıları muhtemelen sonsuz olan) keyfi kümelerin karşılaştırma kavramını tanımlamakla başlar.

Tanım 1: | bir | = | B |

İki set A ve B bir mevcutsa aynı önem düzeyi var bijection (aka yazışmalar bire bire) den A'ya göre B olduğunu, bir fonksiyon elde A'ya karşı B hem olduğuna İnjektif ve örten . Bu tür kümelere eşpotansiyelli , eşdeğerli veya eş sayılı olduğu söylenir . Bu ilişki ayrıca A ≈ B veya A ~ B olarak da gösterilebilir .

Örneğin, negatif olmayan çift ​​sayıların E = {0, 2, 4, 6, ...} kümesi , doğal sayıların N = {0, 1, 2, 3, ...} kümesiyle aynı kardinaliteye sahiptir. numaraları fonksiyonu için, f ( n ) = 2 , n bir bijection olan n için E (resim).

Tanım 2: | bir | ≤ | B |

Bir kardinalitesi e eşit ya da daha az önem düzeyi olan B bir birebir işlev mevcutsa, A içine B .

Tanım 3: | bir | < | B |

Bir kesinlikle daha az kardinalitesi daha önem düzeyi olan B bir birebir fonksiyon varsa, ancak hiçbir bijective işlevi, gelen A için B .

Örneğin, sabitlenmiş , N tüm doğal sayılar kesinlikle daha az olan daha önem düzeyi olan güç grubu P ( N , çünkü) g ( n ) = { n } bir birebir fonksiyonudur N için P ( N ), ve bu gösterilebilir hiçbir fonksiyon N için P ( N ) (resim) örten olabilir. Benzer bir argümanla, N'nin kardinalitesi , tüm gerçek sayıların R kümesinin kardinalitesinden kesinlikle daha azdır . Kanıtlar için Cantor'un köşegen argümanına veya Cantor'un ilk sayılamazlık kanıtına bakın .

Eğer | bir | ≤ | B | ve | B | ≤ | A |, sonra | bir | = | B | ( Schröder-Bernstein teoremi olarak bilinen bir gerçek ). Seçim aksiyomu, | bir | ≤ | B | veya | B | ≤ | bir | her A , B için .

Kardinal sayılar

Yukarıdaki bölümde, bir kümenin "kardinalitesi" işlevsel olarak tanımlanmıştır. Başka bir deyişle, belirli bir nesnenin kendisi olarak tanımlanmadı. Ancak, böyle bir nesne aşağıdaki gibi tanımlanabilir.

Aynı önem düzeyi olan ilişkisi denir equinumerosity ve bu bir olan denklik ilişkisi üzerine sınıfın tüm setleri. Denklik sınıfı bir dizi A , bu ilişki sonucunda, daha sonra, aynı önem düzeyi olan bütün kümeler oluşmaktadır A . "Bir kümenin kardinalitesini" tanımlamanın iki yolu vardır:

1. Bir A kümesinin kardinalitesi , eşdeğerlik altındaki denklik sınıfı olarak tanımlanır.
2. Bir temsili kümesi her denklik sınıfı için tayin edilmiştir. En yaygın seçim, o sınıftaki ilk sıradır . Bu genellikle tanımı olarak alınır sayma sayısının içinde aksiyomatiktir grubu teorisi .

Seçim aksiyomunu varsayarsak, sonsuz kümelerin kardinaliteleri gösterilir.

${\displaystyle \aleph _{0}<\aleph _{1}<\aleph _{2}<\ldots .}$

Her sıra için , 'den büyük olan en küçük kardinal sayıdır . ${\görüntüleme stili \alfa }$${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}}$${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$

Kardinalitesi doğal sayılar gösterilir aleph boş ( kardinalitesi ise) gerçek sayılar "ile işaret edilmektedir " (küçük harf fraktur komut "c"), ve aynı zamanda şu şekilde de ifade edilir süreklilik cardinality . Cantor kullanılarak gösterdi diyagonal bağımsız değişken olduğu, . Bunun aynı zamanda doğal sayıların tüm alt kümelerinin kümesinin kardinalitesi olduğunu gösterebiliriz . ${\displaystyle \aleph _{0}}$${\görüntüleme stili {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}>\aleph _{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}}$

Süreklilik hipotezi söylüyor , yani daha küçük asılsayı büyüktür kimin kardinalitesi kesinlikle gerçek sayıların tamsayılar arasındaki ve olduğu hakkında hiçbir dizi var, yani. Sürekli bir hipotez , bağımsız bir ZFC , resim teorinin standart aksiyomlaştırılması; yani, ZFC'nin tutarlı olması koşuluyla, süreklilik hipotezini veya ZFC'den olumsuzluğunu kanıtlamak imkansızdır. Daha fazla ayrıntı için, aşağıdaki sürekliliğin § Kardinalitesine bakın. ${\displaystyle \aleph _{1}=2^{\aleph _{0}}}$${\ Displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$

Sonlu, sayılabilir ve sayılamayan kümeler

Eğer seçim aksiyomu tutan, trichotomy yasası kardinalitesi için de geçerlidir. Böylece aşağıdaki tanımları yapabiliriz:

• Kardinalitesi doğal sayılardan daha az olan herhangi bir X kümesi veya | X  | < | N  |, sonlu bir küme olduğu söylenir .
• Doğal sayılar kümesiyle aynı kardinaliteye sahip herhangi bir X kümesi veya | X  | = | N  | = , sayılabilir sonsuz bir küme olduğu söylenir .${\displaystyle \aleph _{0}}$
• Doğal sayılardan daha büyük kardinaliteye sahip herhangi bir X kümesi veya | X  | > | N  |, örneğin | sağ  | = > | N  |, sayılamayan olduğu söylenir .${\görüntüleme stili {\mathfrak {c}}}$

sonsuz kümeler

Sonlu kümelerden edindiğimiz sezgimiz, sonsuz kümelerle uğraşırken bozulur . On dokuzuncu yüzyılın sonlarında Georg Cantor , Gottlob Frege , Richard Dedekind ve diğerleri, bütünün parça ile aynı boyutta olamayacağı görüşünü reddetti. Bunun bir örneği Hilbert'in Grand Hotel paradoksu . Nitekim Dedekind, sonsuz bir kümeyi, katı bir alt kümeyle (yani Cantor'un anladığı anlamda aynı büyüklüğe sahip olan) bire bir denklik içine yerleştirilebilen bir küme olarak tanımlamıştır; bu sonsuzluk kavramına Dedekind sonsuz denir . Cantor kardinal sayıları tanıttı ve -bijeksiyona dayalı boyut tanımına göre- bazı sonsuz kümelerin diğerlerinden daha büyük olduğunu gösterdi. En küçük sonsuz kardinalite, doğal sayılarınkidir ( ). ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Sürekliliğin kardinalitesi

Cantor'un en önemli sonuçlarından biri, sürekliliğin ( ) kardinalitesinin doğal sayılardan ( ) daha büyük olmasıdır ; yani, N doğal sayılarından daha fazla gerçek sayı R vardır . Yani, Cantor şunu gösterdi (bkz. Beth one ) şunları karşılıyor: ${\görüntüleme stili {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}=\beth _{1}}$

${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}>\aleph _{0}}$

( Cantor'un köşegen argümanına veya Cantor'un ilk sayılamazlık kanıtına bakın ).

Süreklilik hipotezi hiçbir olduğu devletler asılsayı reals kardinalitesi ve doğal sayılarının kardinalitesi arasında,

${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$

Bununla birlikte, ZFC tutarlıysa , bu hipotez, yaygın olarak kabul edilen ZFC aksiyomatik küme teorisi içinde ne kanıtlanabilir ne de çürütülebilir .

Kardinal aritmetik, yalnızca gerçek sayı doğrusundaki noktaların sayısının o doğrunun herhangi bir bölümündeki noktaların sayısına eşit olduğunu göstermek için değil, bunun bir düzlemdeki noktaların sayısına eşit olduğunu ve aslında, herhangi bir sonlu boyutlu uzayda. Onlar orada var olduğunu ima çünkü bu sonuçlar, son derece mantığa aykırı olan uygun alt kümeleri ve doğru supersetleri sonsuz bir küme içinde S ile aynı boyuta sahip S rağmen, S alt kümelerinin aittir yok unsurları içerir ve içinde süpersetler S unsurlar içermesi buna dahil değildir.

Bu sonuçlardan ilki, örneğin (−½π, ½π) ve R aralığı arasında bire bir denklik sağlayan tanjant fonksiyonu göz önüne alındığında belirgindir (ayrıca bkz. Hilbert'in Grand Hotel paradoksu ).

İkinci Sonuç ilk 1878'de Cantor gösterdiği, ancak zaman, 1890 daha belirgin olmuştur Giuseppe Peano kişiye boşluk doldurucu eğrileri , büküm ve bir kare ya da bir küp veya bütün doldurmak için yeterli edecek hatları kavisli hiperküp , veya sonlu boyutlu uzay. Bu eğriler, bir doğrunun sonlu boyutlu bir uzayla aynı sayıda noktaya sahip olduğunun doğrudan bir kanıtı değildir, ancak böyle bir kanıt elde etmek için kullanılabilirler .

Cantor ayrıca, kardinalitesi var olandan kesinlikle daha büyük olan kümelerin olduğunu da gösterdi (bkz. onun genelleştirilmiş köşegen argümanı ve teoremi ). Örneğin şunları içerir: ${\görüntüleme stili {\mathfrak {c}}}$

• R'nin tüm alt kümelerinin kümesi , yani, R'nin güç kümesi , P ( R ) veya 2 ^{R olarak} yazılır
• ayarlanan R ^R tüm fonksiyonların R için R

Her ikisinin de kardinalitesi var

${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}=\beth _{2}>{\mathfrak {c}}}$

(bkz. Beth iki ).

Ana eşitlikler ve kullanılarak gösterilebilir ana aritmetik : ${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{2}={\mathfrak {c}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}},}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=2^{\mathfrak {c}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{2}=\left(2^{\aleph _{0}}\sağ)^{2}=2^{2\times {\aleph _{0}} }=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}},}$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}=\left(2^{\aleph _{0}}\sağ)^{\aleph _{0}}=2^{{ \aleph _{0}}\times {\aleph _{0}}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}},}$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=\left(2^{\aleph _{0}}\sağ)^{\mathfrak {c}}=2^{{\mathfrak {c}}\times \aleph _{0}}=2^{\mathfrak {c}}.}$

Örnekler ve özellikler

• Eğer X = { a , b , c } ve Y = {elma, portakal, şeftali} ardından | X  | = | Y  | çünkü { ( a , elmalar), ( b , portakallar), ( c , şeftaliler)}, X ve Y kümeleri arasında bir önermedir . X ve Y'nin her birinin kardinalitesi 3'tür.
• Eğer | X  | ≤ | Y  |, o zaman öyle bir Z vardır ki | X  | = | Z  | ve Z ⊆ Y .
• Eğer | X  | ≤ | Y  | ve | Y  | ≤ | X  |, sonra | X  | = | Y  |. Bu sonsuz kardinaller için bile geçerlidir ve Cantor–Bernstein–Schroeder teoremi olarak bilinir .
• Sürekliliğin kardinalitesine sahip kümeler , tüm gerçek sayıların kümesini, tüm irrasyonel sayıların kümesini ve aralığı içerir .${\görüntüleme stili [0,1]}$

Birlik ve kavşak

Eğer A ve B olan ayrık kümeler daha sonra,

${\displaystyle \left\vert A\cup B\right\vert =\left\vert A\right\vert +\left\vert B\right\vert .}$

Buradan, bir genel olarak kardinallikleri olduğunu gösterebilir sendikalar ve kavşaklar aşağıdaki denklem ile ilişkilidir:

${\displaystyle \left\vert C\cup D\right\vert +\left\vert C\cap D\right\vert =\left\vert C\right\vert +\left\vert D\right\vert .}$

Ayrıca bakınız

• alef numarası
• Beth numarası
• cantor paradoksu
• Cantor teoremi
• sayılabilir küme
• sayma
• sıradanlık
• güvercin deliği prensibi

Referanslar