Grup (matematik) -Group (mathematics)

Bir tarafı döndürülmüş bir Rubik küpü
Rubik Küpünün manipülasyonları Rubik Küp grubunu oluşturur .

Matematikte grup , kümenin herhangi iki öğesini birleştirerek kümenin üçüncü bir öğesini üreten bir işlemle donatılmış bir kümedir , öyle ki işlem ilişkiseldir , bir kimlik öğesi vardır ve her öğenin tersi vardır . Grup aksiyomları olarak adlandırılan bu üç koşul, sayı sistemleri ve diğer birçok matematiksel yapı için geçerlidir . Örneğin, tamsayılartoplama işlemi ile birlikte bir grup oluşturur. Bir grup kavramı ve grup aksiyomları aracılığıyla tanımı, çok farklı matematiksel nitelikteki varlıkların (sayılar, geometrik şekiller ve polinom kökleri gibi ) temel yapısal özelliklerini birleşik bir şekilde ele almak için detaylandırılmıştır. Grupların birçok alanda (matematiğin içinde ve dışında) her yerde bulunması nedeniyle, bazı yazarlar onları çağdaş matematiğin merkezi bir düzenleyici ilkesi olarak görürler.

Gruplar, simetrilerin ve geometrik dönüşümlerin incelenmesi için geometride doğal olarak ortaya çıkar : bir nesnenin simetrileri, nesnenin simetri grubu olarak adlandırılan bir grup oluşturur ve belirli bir türün dönüşümleri genellikle bir grup oluşturur. Bu örnekler grup kavramının kökenindeydi ( Galois gruplarıyla birlikte ). Lie grupları , geometride simetri grupları olarak ortaya çıkar. Kuantum Mekaniğinin ortaya çıkışıyla birlikte Eugene Wigner , atomlar ve moleküller gibi Kuantum sistemlerinin durumlarını sınıflandırmak için Grup Teorisi tekniklerine öncülük etti. En dikkat çekici şekilde yöntemler , parçacık fiziğinin Standart Modelinde de yerlerini buldular . Poincare grubu , özel görelilikteki uzay - zaman simetrilerinden oluşan bir Lie grubudur . Nokta grupları moleküler kimyada simetriyi tanımlar .

Grup kavramı, 1830'larda , şimdi Galois grubu olarak adlandırılan bir denklemin köklerinin simetri grubu için grup terimini ( Fransızca groupe ) tanıtan Évariste Galois ile başlayan polinom denklemlerinin çalışmasından ortaya çıktı . Sayı teorisi ve geometri gibi diğer alanların katkılarından sonra , grup kavramı genelleştirildi ve 1870 civarında sağlam bir şekilde kuruldu. Modern grup teorisi - aktif bir matematik disiplini - grupları kendi başlarına inceler. Grupları keşfetmek için matematikçiler, grupları alt gruplar , bölüm grupları ve basit gruplar gibi daha küçük, daha iyi anlaşılabilir parçalara ayırmak için çeşitli kavramlar geliştirdiler . Grup teorisyenleri, soyut özelliklerine ek olarak, hem temsil teorisi (yani grubun temsilleri aracılığıyla ) hem de hesaplamalı grup teorisi açısından bir grubun somut olarak ifade edilebileceği farklı yolları da inceler . Sonlu gruplar için, 2004 yılında tamamlanan sonlu basit grupların sınıflandırılmasıyla sonuçlanan bir teori geliştirilmiştir . 1980'lerin ortalarından itibaren, sonlu olarak oluşturulmuş grupları geometrik nesneler olarak inceleyen geometrik grup teorisi , grup teorisinde aktif bir alan haline gelmiştir. .

Tanım ve illüstrasyon

İlk örnek: tam sayılar

Daha tanıdık gruplardan biri tamsayılar kümesidir.

eklenmesiyle birlikte . Herhangi iki tamsayı ve için toplam da bir tamsayıdır; bu kapatma özelliği, üzerinde ikili bir işlem olduğunu söylüyor . Aşağıdaki tamsayı toplama özellikleri, aşağıdaki tanımdaki grup aksiyomları için bir model görevi görür.
  • Tüm tamsayılar için ve ,  bir sahiptir . Sözcüklerle ifade edilir, önce eklenir ve ardından sonuca eklenir, ve  toplamına eklemekle aynı nihai sonucu verir .
Bu özellik çağrışım olarak bilinir .
  • Herhangi bir tamsayı ise, o zaman ve .
  • Sıfır , herhangi bir tamsayıya eklenmesi aynı tamsayıyı döndürdüğü için toplamanın kimlik öğesi olarak adlandırılır .
  • Her tamsayı için , ve şeklinde bir tamsayı vardır . Tam sayı, tamsayının ters
  • elemanı olarak adlandırılır ve ile gösterilir  .

    Tamsayılar, işlemle birlikte, benzer yapısal yönleri paylaşan geniş bir sınıfa ait matematiksel bir nesne oluşturur. Bu yapıları bir kolektif olarak uygun şekilde anlamak için aşağıdaki tanım geliştirilmiştir.

    Tanım

    Bir grup için aksiyomlar kısa ve doğaldır... Yine de bu aksiyomların ardında bir şekilde canavar basit grup gizlidir , çok sayıda tuhaf tesadüfün var olmasına güveniyor gibi görünen devasa ve olağanüstü bir matematiksel nesne. Gruplar için aksiyomlar, bunun gibi bir şeyin var olduğuna dair açık bir ipucu vermez.

    Matematikçilerde Richard Borcherds : İç Dünyaya Dıştan Bir Bakış

    Bir grup, herhangi iki

    öğeyi birleştiren ve burada " " olarak gösterilen ikili işlemle birlikte bir kümedir ve bir öğe oluşturmak üzere gösterilir , öyle ki, grup aksiyomları olarak bilinen aşağıdaki üç gereksinim karşılanır:
    çağrışım
    Herkes için , içinde , bir vardır .
    kimlik öğesi
    İçinde öyle bir öğe vardır ki , her in için bir ve vardır .
    Böyle bir eleman benzersizdir ( aşağıya bakınız ). Grubun kimlik öğesi olarak adlandırılır .
    ters eleman
    'deki her biri için öyle bir öğe vardır ve , kimlik öğesi nerededir.
    Her biri için öğe benzersizdir (
    aşağıya bakın ); buna tersi denir ve yaygın olarak gösterilir .

    Notasyon ve terminoloji

    Biçimsel olarak, grup, bir kümenin sıralı çifti ve bu kümede grup aksiyomlarını karşılayan ikili bir işlemdir . Kümeye grubun temel kümesi denir ve işleme grup işlemi veya grup yasası denir .

    Bir grup ve onun altında yatan küme, bu nedenle iki farklı matematiksel nesnedir . Hantal gösterimden kaçınmak için, her ikisini de belirtmek için aynı sembolü kullanarak gösterimi kötüye kullanmak yaygındır. Bu aynı zamanda gayri resmi bir düşünce biçimini de yansıtır: grubun, operasyon tarafından sağlanan ek yapı ile zenginleştirilmesi dışında, küme ile aynı olduğu.

    Örneğin, toplama ve

    çarpma işlemlerine sahip gerçek sayılar kümesini ele alalım . Biçimsel olarak, bir kümedir, bir gruptur ve bir alandır . Ancak bu üç nesneden herhangi birini belirtmek için yazmak yaygındır .

    Alanın toplama grubu , temel kümesi toplama olan ve işlemi toplama olan gruptur. Alanın

    çarpımsal grubu , temel kümesi sıfırdan farklı gerçek sayılar kümesi olan ve işlemi çarpma olan gruptur .

    Daha genel olarak, grup işlemi toplama olarak gösterildiğinde, bir toplama grubundan söz edilir; bu durumda, özdeşlik tipik olarak gösterilir ve bir elemanın tersi gösterilir . Benzer şekilde, grup işlemi çarpma olarak not edildiğinde bir

    çarpma grubundan söz edilir; bu durumda, özdeşlik tipik olarak gösterilir ve bir elemanın tersi gösterilir . Çarpımsal bir grupta, işlem sembolü genellikle tamamen atlanır, böylece işlem yerine yan yana getirilerek gösterilir .

    Bir grubun tanımı, tüm öğeler için bunu gerektirmez ve .

    Bu ek koşul geçerliyse, işlemin değişmeli olduğu söylenir ve gruba değişmeli grup denir . Değişken bir grup için ya toplamalı ya da çarpımsal gösterimin kullanılabileceği yaygın bir kuraldır, ancak belirsiz olmayan bir grup için yalnızca çarpımsal gösterim kullanılır.

    Elemanları sayı olmayan gruplar için yaygın olarak birkaç başka gösterim kullanılır. Elemanları fonksiyon olan bir grup için işlem genellikle fonksiyon kompozisyonudur ; o zaman kimlik id olarak gösterilebilir.

    Geometrik dönüşüm grupları, simetri grupları, permütasyon grupları ve otomorfizm gruplarının daha spesifik durumlarında, çarpımsal gruplarda olduğu gibi sembol genellikle ihmal edilir. Notasyonun diğer birçok çeşidiyle karşılaşılabilir.

    İkinci örnek: bir simetri grubu

    Bir dönüş , yansıma ve öteleme kombinasyonu kullanılarak biri diğerine dönüştürülebiliyorsa, düzlemdeki iki şekil uyumludur . Herhangi bir şekil kendisi ile uyumludur. Bununla birlikte, bazı rakamlar kendileriyle birden fazla yönden uyumludur ve bu fazladan uyumlara simetri denir . Bir karenin sekiz simetrisi vardır. Bunlar:

    Karenin simetri grubunun elemanları, . Köşeler renk veya sayı ile tanımlanır.
    Dört köşesi 1'den 4'e kadar işaretlenmiş kare
    (olduğu gibi tutmak)
    Kare saat yönünde 90° döndürülür;  köşeler buna göre numaralandırılmıştır.
    (saat yönünde 90° döndürme)
    Kare saat yönünde 180° döndürülür;  köşeler buna göre numaralandırılmıştır.
    (180° döndürme)
    Kare saat yönünde 270° döndürülür;  köşeler buna göre numaralandırılmıştır.
    (saat yönünde 270° döndürme)
    Kare dikey olarak yansıtılır;  köşeler buna göre numaralandırılmıştır.
    (dikey yansıma)

    Kare yatay olarak yansıtılır;  köşeler buna göre numaralandırılmıştır.
    (yatay yansıma)

    Kare, GB-KD diyagonali boyunca yansıtılır;  köşeler buna göre numaralandırılmıştır.
    (diyagonal yansıma)

    Kare, GD–KB köşegeni boyunca yansıtılır;  köşeler buna göre numaralandırılmıştır.
    (karşı çapraz yansıma)

    • her şeyi değiştirmeden bırakan kimlik işlemi , id olarak gösterilir;
    • karenin merkezi etrafında saat yönünde 90°, 180° ve 270° dönüşleri, ve ile gösterilir ;
    • yatay ve dikey orta çizgi ( ve ) hakkında veya iki
    köşegen ( ve ) boyunca yansımalar.

    Bu simetriler fonksiyonlardır. Her biri karedeki bir noktayı simetri altında karşılık gelen noktaya gönderir. Örneğin, karenin merkezi etrafında saat yönünde 90° dönüşüne bir nokta gönderir ve karenin dikey orta çizgisi boyunca yansımasına bir nokta gönderir. Bu simetrilerden ikisini oluşturmak başka bir simetri verir. Bu simetriler , derece dörtlü

    dihedral grup olarak adlandırılan bir grubu belirler . Grubun altında yatan küme, yukarıdaki simetri kümesidir ve grup işlemi, fonksiyon bileşimidir. İki simetri, fonksiyon olarak bir araya getirilerek, yani birincisi kareye, ikincisi ise ilk uygulamanın sonucuna uygulanarak birleştirilir. Önce gerçekleştirmenin sonucu sonra sağdan sola sembolik olarak ("simetriyi uyguladıktan sonra simetriyi uygula " ) şeklinde yazılır . Bu, işlevlerin bileşimi için genel gösterimdir.

    Grup tablosu , olası tüm bu tür bileşimlerin sonuçlarını listeler. Örneğin, saat yönünde 270° döndürmek ( ) ve ardından yatay olarak yansıtmak ( ) köşegen ( ) boyunca bir yansıma yapmakla aynıdır . Grup tablosunda mavi ile vurgulanan yukarıdaki sembolleri kullanarak:

    Grup tablosu
    , , ve öğeleri , grup tablosunda vurgulanan bir alt grup oluşturur.  kırmızı (sol üst bölge). Bu alt grubun sol ve sağ kosetleri şurada vurgulanmıştır: yeşil (son sırada) ve sırasıyla sarı (son sütun).

    Bu simetri seti ve açıklanan işlem göz önüne alındığında, grup aksiyomları aşağıdaki gibi anlaşılabilir.

    İkili işlem : Kompozisyon ikili bir işlemdir. Yani, herhangi iki simetri için bir simetri ve . Örneğin,

    yani, yatay olarak yansıttıktan sonra saat yönünde 270° döndürmek, karşı köşegen ( ) boyunca yansıtmaya eşittir. Aslında, iki simetrinin diğer tüm kombinasyonları, grup tablosu kullanılarak kontrol edilebileceği gibi, yine de bir simetri verir.

    Associativite : Associativite aksiyomu ikiden fazla simetriyi oluşturmakla ilgilenir: Üç eleman ve of ile başlayarak , karenin simetrisini belirlemek için bu üç simetriyi bu sırayla kullanmanın iki olası yolu vardır. Bu yollardan biri, önce tek bir simetri oluşturmak ve sonra bu simetriyi ile oluşturmaktır . Diğer yol ise önce oluşturmak ve sonra elde edilen simetriyi ile oluşturmaktır . Bu iki yol her zaman aynı sonucu vermelidir, yani,

    Örneğin, grup tablosu kullanılarak kontrol edilebilir:

    Identity element : Identity element , sağda veya solda oluşturulduğunda simetriyi değiştirmediği için .

    Ters eleman : Her simetrinin bir tersi vardır: , yansımalar , , ve 180° dönüş kendi tersleridir, çünkü bunları iki kez gerçekleştirmek kareyi orijinal yönüne geri getirir. Döndürmeler ve birbirlerinin tersidir, çünkü 90° döndürme ve ardından 270° döndürme (veya tam tersi), kareyi değiştirmeden bırakan 360°'nin üzerinde bir döndürme sağlar. Bu, masada kolayca doğrulanır.

    İşlemin sırasının önemsiz olduğu yukarıdaki tamsayı grubunun aksine, örneğin ama 'da olduğu gibi 'de önemlidir . Başka bir deyişle, değişmeli değildir.

    Tarih

    Modern soyut grup kavramı , matematiğin çeşitli alanlarından gelişti. Grup teorisinin orijinal motivasyonu

    , 4'ten daha yüksek dereceli polinom denklemlerinin çözümlerini aramaktı . köklerinin simetri grubu ( çözümler) cinsinden polinom denklemi . Böyle bir Galois grubunun elemanları , köklerin belirli permütasyonlarına karşılık gelir. İlk başta, Galois'in fikirleri çağdaşları tarafından reddedildi ve ancak ölümünden sonra yayınlandı. Daha genel permütasyon grupları, özellikle Augustin Louis Cauchy tarafından araştırıldı . Arthur Cayley'nin Gruplar Teorisi Üzerine adlı eseri, sembolik denkleme bağlı olarak ( 1854) sonlu bir grubun ilk soyut tanımını verir .

    Geometri, Felix Klein'ın 1872 Erlangen programının bir parçası olarak özellikle simetri gruplarının sistematik olarak kullanıldığı ikinci bir alandı . Hiperbolik ve projektif geometri gibi yeni geometriler ortaya çıktıktan sonra, Klein onları daha tutarlı bir şekilde düzenlemek için grup teorisini kullandı. Bu fikirleri daha da geliştiren Sophus Lie , 1884'te Lie grupları çalışmasını kurdu .

    Grup teorisine katkıda bulunan üçüncü alan, sayılar teorisiydi . Bazı değişmeli grup yapıları, Carl Friedrich Gauss'un sayı-teorik çalışması Disquisitiones Arithmeticae'de (1798) ve daha açık bir şekilde Leopold Kronecker tarafından örtük olarak kullanılmıştır . 1847'de Ernst Kummer ,

    asal sayılara çarpanlara ayırmayı tanımlayan gruplar geliştirerek Fermat'ın Son Teoremini kanıtlamak için erken girişimlerde bulundu .

    Bu çeşitli kaynakların tek tip bir grup teorisine yakınlaşması, Camille Jordan'ın Traité des substitutions et des équations algébriques ( 1870) ile başladı. Walther von Dyck (1882), bir grubu oluşturucular ve ilişkiler aracılığıyla belirleme fikrini ortaya attı ve aynı zamanda zamanın terminolojisinde bir "soyut grup"un aksiyomatik bir tanımını veren ilk kişi oldu. 20. yüzyıldan itibaren gruplar, sonlu grupların

    temsil teorisi , Richard Brauer'in modüler temsil teorisi ve Issai Schur'un makaleleri üzerinde çalışan Ferdinand Georg Frobenius ve William Burnside'ın öncü çalışmaları ile geniş bir tanınırlık kazandı . Lie grupları teorisi ve daha genel olarak yerel olarak kompakt gruplar , Hermann Weyl , Élie Cartan ve diğerleri tarafından incelenmiştir . Cebirsel karşılığı, cebirsel gruplar teorisi , ilk olarak Claude Chevalley (1930'ların sonundan itibaren) ve daha sonra Armand Borel ve Jacques Tits'in çalışmaları tarafından şekillendirildi .

    Chicago Üniversitesi'nin 1960–61 Yılı Grup Teorisi Yılı, Daniel Gorenstein , John G. Thompson ve Walter Feit gibi grup teorisyenlerini bir araya getirerek , çok sayıda diğer matematikçiden gelen girdilerle sonluların sınıflandırılmasına yol açan bir işbirliğinin temelini attı. Aschbacher ve Smith tarafından 2004'te atılan son adımla

    basit gruplar . Bu sınıflandırma kanıtı ile ilgili araştırmalar devam etmektedir. Grup teorisi, aşağıdaki örneklerin gösterdiği gibi, diğer birçok alanı etkileyen oldukça aktif bir matematik dalı olmaya devam ediyor .

    Grup aksiyomlarının temel sonuçları

    Grup aksiyomlarından doğrudan elde edilebilen tüm gruplarla ilgili temel gerçekler, genel olarak temel grup teorisi altında toplanır . Örneğin, çağrışım aksiyomunun tekrarlanan uygulamaları,

    üçten fazla faktöre genelleme yapar. Bu, parantezlerin böyle bir dizi terim içinde herhangi bir yere eklenebileceğini ima ettiğinden , parantezler genellikle atlanır.

    Bireysel aksiyomlar, yalnızca bir sol özdeşliğin ve sol terslerin varlığını ileri sürmek için "zayıflatılabilir" . Bu tek taraflı aksiyomlardan , aynı eleman için sol özdeşliğin de bir sağ özdeşlik olduğu ve sol tersinin de sağ tersi olduğu kanıtlanabilir. Gruplarla tamamen aynı yapıları tanımladıkları için, toplu olarak aksiyomlar daha zayıf değildir.

    Kimlik öğesinin benzersizliği

    Grup aksiyomları, kimlik öğesinin benzersiz olduğunu ima eder: Eğer ve bir grubun kimlik öğeleriyse, o zaman .

    Bu nedenle , kimlikten bahsetmek gelenekseldir .

    terslerin benzersizliği

    Grup aksiyomları ayrıca her bir elemanın tersinin benzersiz olduğunu ima eder: Bir grup elemanının hem ve hem de tersleri varsa, o zaman

         kimlik unsuru olduğundan
         tersi olduğundan _
         parantezlerin yeniden düzenlenmesine izin veren ilişkilendirme ile
         tersi olduğundan _
         çünkü kimlik unsurudur.

    Bu nedenle, bir elemanın tersinden söz etmek gelenekseldir.

    Bölünme

    Verilen elemanlar ve bir grubun , denklemde benzersiz bir çözümü vardır . (Abelian olmadığı sürece kesir gösterimini kullanmaktan kaçınılır, çünkü anlamının mı yoksa anlamına mı geldiğinin belirsizliği vardır . ) Buradan her in için, her birini eşleyen işlevin bir

    bijection olduğu sonucu çıkar ; buna sol çarpma veya sol çeviri denir .

    Benzer şekilde, verilen ve , için benzersiz çözüm is . Her biri için, her birini eşleyen işlev ,

    doğru çarpma veya doğru çevirme olarak adlandırılan bir önermedir .

    Temel konseptler

    Kümeleri incelerken, altküme , fonksiyon ve bölüm gibi kavramlar bir denklik bağıntısıyla kullanılır . Grupları incelerken, bunun yerine alt gruplar , homomorfizmalar ve bölüm grupları kullanılır . Bunlar, grup yapısının varlığını dikkate alan uygun analoglardır.

    grup homomorfizmaları

    Grup homomorfizmaları, grup yapısına saygı gösteren fonksiyonlardır; iki grubu ilişkilendirmek için kullanılabilirler. Bir gruptan bir gruba homomorfizma öyle bir fonksiyondur ki

    tüm öğeler için ve .

    ' deki herkes için kimliklere, 'lere ve terslere saygı gösterilmesini talep etmek doğal olacaktır . Bununla birlikte, bu ek gereksinimlerin homomorfizma tanımına dahil edilmesi gerekmez, çünkü bunlar zaten grup işlemine saygı gösterme gerekliliği ile ima edilir.

    Bir grubun özdeş homomorfizmi , her bir elementi kendisine eşleyen homomorfizmadır . Bir

    homomorfizmanın ters homomorfizmi , öyle bir homomorfizmadır ve , yani öyle ki herkes içinde ve öyle ki için herkes içinde . Bir izomorfizm , ters bir homomorfizme sahip bir homomorfizmdir; eşdeğer olarak, bu bir bijektif homomorfizmadır. Gruplar ve izomorfizm varsa izomorfik olarak adlandırılır . Bu durumda, elemanları fonksiyona göre basitçe yeniden adlandırılarak elde edilebilir ; o zaman , ifadede belirtilen belirli öğelerin de yeniden adlandırılması şartıyla, herhangi bir ifade için doğrudur .

    Tüm grupların toplanması, aralarındaki homomorfizmalarla birlikte bir kategori , gruplar kategorisi oluşturur .

    alt gruplar

    Gayri resmi olarak, bir alt grup , daha büyük bir grubun içinde yer alan bir gruptur: aynı işlemle öğelerinin bir alt kümesine sahiptir . Somut olarak, bu, kimlik öğesinin içinde yer alması gerektiği anlamına gelir ve her ikisi de içinde olduğunda , o zaman ve , öğelerinin grup işlemiyle donatılmış olması, bununla sınırlı , aslında bir grup oluşturur.

    Bir karenin simetrileri örneğinde, özdeşlik ve döndürmeler , örneğin grup tablosunda kırmızı ile vurgulanan bir alt grup oluşturur: oluşan herhangi iki döndürme hala bir döndürmedir ve bir döndürme (yani, terstir) tarafından geri alınabilir. a) 90° için 270°, 180° için 180° ve 270° için 90° tamamlayıcı dönüşler. Alt

    grup testi , bir G grubunun boş olmayan bir H alt kümesinin alt grup olması için gerekli ve yeterli bir koşul sağlar : bunu tüm öğeler için ve içinde kontrol etmek yeterlidir . Bir grubun alt gruplarını bilmek , grubu bir bütün olarak anlamak için önemlidir.

    Bir grubun herhangi bir alt kümesi verildiğinde , tarafından oluşturulan alt grup, elemanlarının ve bunların terslerinin çarpımlarından oluşur . içeren en küçük alt gruptur . Bir karenin simetrileri örneğinde, alt grup tarafından oluşturulan ve bu iki öğeden oluşur, kimlik öğesi ve öğe . Yine, bu bir alt gruptur, çünkü bu dört öğeden herhangi ikisini veya bunların tersini (bu özel durumda, aynı öğelerdir) birleştirmek, bu alt grubun bir öğesini verir.

    kosetler

    Birçok durumda, belirli bir alt grubun bir öğesi tarafından farklılık gösteriyorlarsa, iki grup öğesinin aynı kabul edilmesi arzu edilir. Örneğin, bir karenin simetri grubunda, herhangi bir yansıma yapıldığında, tek başına döndürmeler kareyi orijinal konumuna döndüremez, bu nedenle karenin yansıyan konumlarının tümü birbirine eşdeğer ve eşdeğer olarak düşünülebilir. yansımayan konumlara; döndürme işlemlerinin yansıma yapılıp yapılmadığı sorusuyla ilgisi yoktur. Kosetler bu kavrayışı resmileştirmek için kullanılır: bir alt grup , keyfi bir grup öğesi tarafından çevirileri olarak düşünülebilecek sol ve sağ kosetleri belirler . Sembolik terimlerle, bir eleman içeren

    sol ve sağ kosetler ,
    ve sırasıyla.

    Herhangi bir alt

    grubun sol kosetleri ; yani, tüm sol kosetlerin birleşimi eşittir ve iki sol koset ya eşittir ya da boş bir kesişime sahiptir . İlk durum tam olarak , yani iki öğe 'nin bir öğesiyle farklılık gösterdiğinde gerçekleşir . Benzer düşünceler doğru kosetler için de geçerlidir . Sol kosetleri, sağ kosetleri ile aynı olabilir veya olmayabilir. Eğer öyleyseler (yani, hepsi tatmin edici ise ), o zaman normal bir alt grup olduğu söylenir .

    ' de, bir karenin simetriler grubunda , dönme alt grubuyla birlikte, sol kosetler ya kendisinin bir öğesiyse eşittir ya da başka bir şekilde eşittir ( grup tablosunda yeşil renkle vurgulanmıştır ). Alt grup normaldir, çünkü ve benzer şekilde grubun diğer unsurları için. (Aslında, durumunda, yansımalar tarafından üretilen kosetlerin tümü eşittir: .)

    Bölüm grupları

    Bazı durumlarda, bir alt grubun kosetleri kümesine, bir bölüm grubu veya faktör grubu veren bir grup yasası verilebilir . Bunun mümkün olması için alt grubun normal olması gerekir. Herhangi bir normal alt grup N verildiğinde , bölüm grubu şu şekilde tanımlanır:

    burada gösterim " modulo " olarak okunur . Bu küme, orijinal gruptan bir grup işlemini (bazen koset çarpması veya koset toplama olarak adlandırılır) devralır : iki koset'in çarpımı ve for all and in . Bu tanım, kendi kosetini herhangi bir öğeyle ilişkilendiren haritanın bir grup homomorfizmi olması gerektiği fikri (kendisi yukarıda ana hatları verilen genel yapısal değerlendirmelerin bir örneği) tarafından veya
    evrensel özellikler olarak adlandırılan genel soyut düşünceler tarafından motive edilir . Koset , bu grupta özdeşlik görevi görür ve bölüm grubundakinin tersi .
    Bölüm grubunun grup tablosu

    Bölüm grubunun öğeleri , özdeşliği temsil eden kendisidir ve . Bölüm üzerindeki grup işlemi tabloda gösterilmiştir. Örneğin, . Hem alt grup hem de karşılık gelen bölüm değişmeli iken değişmeli değildir. Alt grubu ve bölümü gibi daha küçük gruplarla daha büyük gruplar oluşturmak, yarı doğrudan ürün adı verilen bir kavramla soyutlanır .

    Bölüm grupları ve alt gruplar birlikte, her grubu sunumuyla tanımlamanın bir yolunu oluşturur : herhangi bir grup, serbest grubun , ilişkilerin alt grubu tarafından bölümlenen, grubun oluşturucuları üzerindeki bölümüdür . Dihedral grup , örneğin, iki eleman ve (örneğin, doğru döndürme ve dikey (veya başka herhangi bir) yansıma) tarafından oluşturulabilir; bu, karenin her simetrisinin bu iki simetrinin sonlu bir bileşimi olduğu anlamına gelir veya onların tersleri. İlişkiler ile birlikte

    grup tamamen tanımlanmıştır. Bir grubun sunumu, ayrı grupları grafiksel olarak yakalamak için kullanılan bir cihaz olan Cayley grafiğini oluşturmak için de kullanılabilir .

    Alt ve bölüm grupları şu şekilde ilişkilidir: bir alt grup , hedefin herhangi bir öğesinin kendisiyle eşleşen en fazla bir

    öğeye sahip olduğu bir enjektif haritaya karşılık gelir . Enjektif haritaların karşılığı , kanonik harita gibi surjective haritalardır (hedefin her öğesi üzerine haritalanır) . Bu homomorfizmaların ışığında alt grup ve bölümlerin yorumlanması, bu tanımlara içkin yapısal kavramı vurgular. Genel olarak, homomorfizmalar ne nesnel ne de örtüktür. Grup homomorfizmalarının çekirdeği ve görüntüsü ve ilk izomorfizm teoremi bu fenomeni ele alır.

    Örnekler ve uygulamalar

    Bir daire bir noktaya kadar küçülür, diğeri tam olarak küçülmez çünkü içindeki bir delik buna engel olur.
    Bir düzlemin temel grubu eksi bir nokta (kalın), eksik noktanın etrafındaki halkalardan oluşur. Bu grup tamsayılara göre izomorfiktir.

    Grup örnekleri ve uygulamaları boldur. Bir başlangıç ​​noktası, yukarıda tanıtılan, grup işlemi olarak eklenmiş tamsayılar grubudur. Toplama yerine çarpma düşünülürse,

    çarpımsal gruplar elde edilir . Bu gruplar soyut cebirdeki önemli yapıların öncülleridir .

    Gruplar diğer birçok matematiksel alanda da uygulanmaktadır. Matematiksel nesneler genellikle grupları onlarla ilişkilendirerek ve karşılık gelen grupların özelliklerini inceleyerek incelenir. Örneğin, Henri Poincaré , temel grubu tanıtarak şimdi cebirsel topoloji denilen şeyi kurdu . Bu bağlantı sayesinde yakınlık ve süreklilik gibi topolojik özellikler grupların özelliklerine dönüşür. Örneğin, temel grubun öğeleri döngülerle temsil edilir. İkinci görüntü, bir düzlemde eksi bir nokta olan bazı döngüleri gösterir. Mavi döngü, boş homotopik (ve dolayısıyla alakasız) olarak kabul edilir, çünkü sürekli olarak bir noktaya kadar küçülebilir. Deliğin varlığı, turuncu halkanın bir noktaya kadar küçülmesini engeller. Bir nokta silinmiş olan düzlemin temel grubu, turuncu döngü (veya deliğin etrafına bir kez sarılmış herhangi bir başka döngü) tarafından oluşturulan sonsuz döngüseldir . Bu şekilde, temel grup deliği tespit eder.

    Daha yakın tarihli uygulamalarda, grup teorik arka planı ile geometrik yapıları motive etmek için etki tersine çevrilmiştir. Benzer bir şekilde, geometrik grup teorisi , örneğin hiperbolik grupların çalışmasında, geometrik kavramları kullanır . Grupları önemli ölçüde uygulayan diğer dallar, cebirsel geometri ve sayı teorisini içerir.

    Yukarıdaki teorik uygulamalara ek olarak, grupların birçok pratik uygulaması mevcuttur. Kriptografi , özellikle sonlu gruplar için uygulandığında,

    hesaplamalı grup teorisinde elde edilen algoritmik bilgi ile birlikte soyut grup teorisi yaklaşımının birleşimine dayanır . Grup teorisinin uygulamaları matematikle sınırlı değildir; fizik , kimya ve bilgisayar bilimi gibi bilimler kavramdan yararlanır.

    sayılar

    Tamsayılar ve rasyonel sayılar gibi birçok sayı sistemi, doğal olarak verilen bir grup yapısına sahiptir. Rasyoneller gibi bazı durumlarda, hem toplama hem de çarpma işlemleri grup yapılarına yol açar. Bu tür sayı sistemleri, halkalar ve alanlar olarak bilinen daha genel cebirsel yapıların öncülleridir . Modüller , vektör uzayları ve cebirler gibi diğer soyut cebirsel kavramlar da gruplar oluşturur.

    tamsayılar

    Toplama altında gösterilen tamsayılar grubu yukarıda açıklanmıştır. Toplama işlemi yerine çarpma işlemi yapılan tam sayılar grup

    oluşturmaz . İlişkisellik ve özdeşlik aksiyomları sağlanır, ancak tersi yoktur: örneğin, bir tamsayıdır, ancak bu durumda denklemin tek çözümü , rasyonel bir sayıdır, ancak bir tam sayı değildir. Dolayısıyla, öğesinin her öğesinin (çarpımsal) bir tersi yoktur.

    rasyoneller

    Çarpımsal terslerin mevcudiyeti arzusu, kesirleri dikkate almayı önerir.

    Tam sayıların kesirleri ( sıfır olmayan)
    rasyonel sayılar olarak bilinir . Tüm bu indirgenemez kesirlerin kümesi genel olarak gösterilir . Çarpma ile rasyonellerin bir grup olması için hala küçük bir engel var: sıfırın bir çarpımsal tersi olmadığı için (yani, öyle bir şey yok ), hala bir grup değil.

    Bununla birlikte, sıfırdan farklı tüm rasyonel sayıların kümesi, çarpma işlemi altında aynı zamanda gösterilen bir değişmeli grup oluşturur

    . İlişkisellik ve özdeşlik elemanı aksiyomları, tam sayıların özelliklerinden çıkar. Sıfırdan farklı iki rasyonelin çarpımı hiçbir zaman sıfır olmadığından, kapatma gereksinimi sıfırı çıkardıktan sonra da geçerlidir. Son olarak, tersidir , bu nedenle ters elemanın aksiyomu sağlanır.

    Rasyonel sayılar (sıfır dahil) ayrıca toplama altında bir grup oluşturur. İç içe geçen toplama ve çarpma işlemleri, halkalar olarak adlandırılan daha karmaşık yapılar ve - eğer sıfırdan başka bir bölme mümkünse, örneğin, - soyut cebirde merkezi bir konum işgal eden alanlar verir. Grup teorik argümanları bu nedenle bu varlıkların teorisinin bazı bölümlerinin temelini oluşturur.

    Modüler aritmetik

    Saat ibresi saat 9'u gösterir;  4 saat sonra saat 1'de.
    Bir saatteki saatler, modülo  12'yi kullanan bir grup oluşturur . Burada, 9 + 4 ≡ 1 .

    Bir modül için modüler aritmetik , herhangi iki öğeyi tanımlar ve eşdeğer olmak üzere katları ile farklılık gösterir ve ile gösterilir . Her tamsayı ile arasındaki tamsayılardan birine eşdeğerdir ve modüler aritmetik işlemleri, herhangi bir işlemin sonucunu eşdeğer

    temsilcisiyle değiştirerek normal aritmetiği değiştirir . ile arasındaki tamsayılar için bu şekilde tanımlanan modüler toplama, kimlik öğesi olarak ve öğesinin ters öğesi olarak veya olarak gösterilen bir grup oluşturur .

    Tanıdık bir örnek, kimliğin temsilcisi olarak 0 yerine 12'nin seçildiği bir saatin yüzüne saatlerin eklenmesidir . Akrep açıksa ve ileri saat ise , şekilde gösterildiği gibi sona erer . Bu, "modulo " ile uyumlu olduğu söylenerek veya sembollerle ifade edilir.

    Herhangi bir asal sayı için , modulo

    tamsayılarının çarpımsal grubu da vardır . Elemanları ile temsil edilebilir . Grup işlemi, çarpma modulo , olağan ürünü temsilcisi ile değiştirir, bölme işleminin geri kalanı . Örneğin, için dört grup öğesi ile temsil edilebilir . Bu grupta, çünkü normal çarpım şuna eşittir : ona bölündüğünde kalanını verir . asallığı, iki temsilcinin olağan ürününün ile bölünemeyeceğini ve dolayısıyla modüler ürünün sıfırdan farklı olmasını sağlar. Özdeşlik öğesi ile temsil edilir ve ilişkilendirme , tamsayıların karşılık gelen özelliğinden gelir. Son olarak, ters eleman aksiyomu, ile bölünemeyen bir tamsayı verildiğinde, öyle bir tamsayı olmasını gerektirir :
    yani, eşit olarak bölünecek şekilde . Tersi ,
    Bézout'un özdeşliği ve en büyük ortak bölenin eşittir olduğu gerçeği kullanılarak bulunabilir . Yukarıdaki durumda , ile temsil edilen elemanın tersi, ile temsil edilendir ve ile temsil edilen elemanın tersi, ile temsil edilir . Dolayısıyla tüm grup aksiyomları yerine getirilmiştir. Bu örnek yukarıdakine benzer: tam olarak halkadaki çarpımsal tersi olan öğelerden oluşur. ile gösterilen bu gruplar, açık anahtarlı kriptografi için çok önemlidir .

    döngüsel gruplar

    Köşeleri düzenli olarak bir daire üzerinde bulunan bir altıgen
    Birliğin 6. karmaşık kökleri döngüsel bir grup oluşturur. ilkel bir öğedir, ancak değildir, çünkü 'nin tek kuvvetleri 'nin bir kuvveti değildir .

    Döngüsel grup , tüm öğeleri belirli bir öğenin güçleri olan bir gruptur . Çarpımsal gösterimde, grubun elemanları

    burada , anlamına gelir , vb. anlamına gelir. Böyle bir öğeye , bir oluşturucu veya grubun
    ilkel öğesi denir . Eklemeli gösterimde, bir elemanın ilkel olması için gerekli olan, grubun her bir elemanının şu şekilde yazılabilmesidir.

    Yukarıda tanıtılan gruplarda eleman ilkeldir, dolayısıyla bu gruplar döngüseldir. Gerçekten de, her öğe, tüm terimlerinin toplamı olarak ifade edilebilir . Elemanları olan herhangi bir döngüsel grup, bu grup için izomorfiktir. Döngüsel gruplar için ikinci bir örnek , birliğin karmaşık köklerinin oluşturduğu gruptur ve bunu

    sağlayan karmaşık sayılarla verilir . Bu sayılar, için resimde mavi ile gösterildiği gibi, düzenli bir -gon üzerindeki köşeler olarak görselleştirilebilir . Grup işlemi karmaşık sayıların çarpımıdır. Resimde, ile çarpma, saat yönünün tersine 60° döndürmeye karşılık gelir . Alan teorisinden , grup asal için döngüseldir : örneğin, if , , , ve ' den beri bir üreteçtir .

    Bazı döngüsel grupların sonsuz sayıda elemanı vardır. Bu gruplarda sıfırdan farklı her element için 'nin tüm güçleri ayrıdır; "döngüsel grup" ismine rağmen, elementlerin güçleri döngü oluşturmaz. Sonsuz bir döngüsel grup, yukarıda tanıtılan toplama altındaki tamsayılar grubu ile izomorfiktir. Bu iki prototipin ikisi de değişmeli olduğundan, tüm döngüsel gruplar da öyle.

    Sonlu olarak oluşturulmuş değişmeli grupların incelenmesi, sonlu olarak oluşturulmuş değişmeli grupların temel teoremi de dahil olmak üzere oldukça olgunlaşmıştır ; ve bu durumu yansıtan merkez ve komütatör gibi grupla ilgili birçok kavram, belirli bir grubun ne ölçüde değişmeli olmadığını tanımlar.

    simetri grupları

    Simetri grupları , yukarıda bir giriş örneği olarak verilen karenin simetri grubu gibi, esas olarak geometrik varlıklar olmak üzere, verilen matematiksel nesnelerin simetrilerinden oluşan gruplardır, ancak bunlar aynı zamanda cebirde de ortaya çıkarlar, örneğin, burada ele alınan polinom denklemlerinin kökleri arasındaki simetriler. Galois teorisi (aşağıya bakınız). Kavramsal olarak, grup teorisi simetri çalışması olarak düşünülebilir. Matematikte simetriler, geometrik veya analitik nesnelerin incelenmesini büyük ölçüde basitleştirir .

    Her grup elemanı X üzerindeki bir işlemle ilişkilendirilebiliyorsa ve bu işlemlerin bileşimi grup yasasına uyuyorsa, bir grubun başka bir matematik nesnesi X üzerinde hareket ettiği söylenir . Örneğin, (2,3,7) üçgen grubunun bir elemanı, üçgenleri değiştirerek hiperbolik düzlemin üçgen döşemesi üzerinde hareket eder . Bir grup eylemiyle, grup deseni, üzerinde işlem yapılan nesnenin yapısına bağlanır.

    Kristalografi gibi kimyasal alanlarda, uzay grupları ve nokta grupları moleküler simetrileri ve kristal simetrileri tanımlar . Bu simetriler, bu sistemlerin kimyasal ve fiziksel davranışlarının altında yatar ve grup teorisi, bu özelliklerin kuantum mekaniksel analizinin basitleştirilmesini sağlar. Örneğin, grup teorisi, belirli kuantum seviyeleri arasındaki optik geçişlerin, yalnızca ilgili durumların simetrisi nedeniyle gerçekleşemeyeceğini göstermek için kullanılır.

    Grup teorisi, bir malzeme bir faz geçişine maruz kaldığında meydana gelen fiziksel özelliklerdeki değişiklikleri, örneğin bir kübikten dörtyüzlü bir kristal forma, tahmin etmeye yardımcı olur. Bir örnek, bir paraelektrikten bir ferroelektrik duruma geçişin Curie sıcaklığında meydana geldiği ve yüksek simetrili paraelektrik durumundan düşük simetrili ferroelektrik durumuna bir değişiklikle ilişkili olduğu ve buna yumuşak fonon modu adı verilen bir mod eşlik ettiği ferroelektrik malzemelerdir. geçişte sıfır frekansa giden titreşimli bir kafes modu.

    Böyle kendiliğinden simetri kırılması , oluşumunun Goldstone bozonlarının görünümüyle ilişkili olduğu temel parçacık fiziğinde daha fazla uygulama bulmuştur .

    Bir Buckminsterfullerene molekülünün şematik bir tasviri Bir Amonyak molekülünün şematik bir tasviri Küba molekülünün şematik bir tasviri Hexaaquacopper iyonunun şematik bir tasviri Hiperbolik bir düzlemin mozaiklenmesi
    Buckminsterfullerene ikosahedral simetri gösterir
    Amonyak , NH3 . Simetri grubu, 120°'lik bir dönüş ve bir yansıma ile oluşturulan 6. derecedendir. Cubane C 8 H 8
    oktahedral simetriye sahiptir .
    Hexaaquacopper(II) kompleks iyon , [Cu (O H 2 ) 6 ] 2+ , Jahn–Teller etkisi nedeniyle mükemmel simetrik bir şekilden bozulur. Hiperbolik bir grup olan (2,3,7) üçgen grubu, hiperbolik düzlemin bu döşemesine etki eder.

    Mathieu grupları gibi sonlu simetri grupları , sırayla iletilen verilerin

    hata düzeltmesinde ve CD çalarlarda uygulanan kodlama teorisinde kullanılır . Başka bir uygulama, belirli diferansiyel denklemlerin çözümlerinin iyi davranıldığı zaman için grup teorik kriterleri veren, önceden belirlenmiş bir formun ters türevlerine sahip fonksiyonları karakterize eden diferansiyel Galois teorisidir . Grup eylemleri altında sabit kalan geometrik özellikler (geometrik) değişmez teoride araştırılır .

    Genel lineer grup ve temsil teorisi

    İki vektör aynı uzunluğa sahiptir ve 90°'lik bir açıya sahiptir.  Ayrıca, 90° döndürülürler, ardından bir vektör uzunluğunun iki katı kadar gerilir.
    Matrislerle çarpılan iki vektör (soldaki resim) (ortadaki ve sağdaki resimler). Ortadaki resim 90° saat yönünde dönüşü temsil ederken, en sağdaki resim -koordinatını faktör 2 kadar uzatır.

    Matris grupları , matris çarpımı ile birlikte matrislerden oluşur . Genel lineer grup , gerçek girişleri olan tüm ters çevrilebilir -by- matrislerden oluşur. Alt gruplarına matris grupları veya doğrusal gruplar denir . Yukarıda bahsedilen dihedral grup örneği (çok küçük) bir matris grubu olarak görülebilir. Bir diğer önemli matris grubu, özel ortogonal gruptur . Boyutlardaki tüm olası dönüşleri açıklar . Bu gruptaki döndürme matrisleri bilgisayar grafiklerinde kullanılır .

    Temsil teorisi hem grup kavramının bir uygulamasıdır hem de grupların daha derinden anlaşılması için önemlidir. Grubu, diğer alanlardaki grup eylemleriyle inceler. Geniş bir grup temsili sınıfı, grubun üç boyutlu Öklid uzayı gibi bir vektör uzayı üzerinde hareket ettiği doğrusal temsillerdir . Bir grubun -

    boyutlu gerçek vektör uzayında temsili, gruptan genel lineer gruba bir grup homomorfizmidir . Bu şekilde, soyut olarak verilebilen grup işlemi, matrislerin çarpımına dönüşerek onu açık hesaplamalar için erişilebilir hale getirir.

    Bir grup eylemi, üzerinde işlem yapılan nesneyi incelemek için daha fazla yol sağlar. Öte yandan, grup hakkında da bilgi verir. Grup temsilleri, sonlu gruplar, Lie grupları, cebirsel gruplar ve topolojik gruplar , özellikle (yerel olarak) kompakt gruplar teorisinde düzenleyici bir ilkedir .

    Galois grupları

    Galois grupları , simetri özelliklerini yakalayarak polinom denklemlerini çözmeye yardımcı olmak için geliştirildi. Örneğin, ikinci dereceden denklemin çözümleri şu şekilde verilir:

    Her çözüm, işaretin veya ile değiştirilmesiyle elde edilebilir ; benzer formüller
    kübik ve kuartik denklemler için bilinir , ancak genel olarak derece 5 ve üstü için mevcut değildir . İkinci dereceden formülde, işareti değiştirmek (sonuçtaki iki çözüme izin vermek) (çok basit) bir grup işlemi olarak görülebilir. Benzer Galois grupları, daha yüksek dereceli polinomların çözümleri üzerinde hareket eder ve çözümleri için formüllerin varlığı ile yakından ilişkilidir. Bu grupların soyut özellikleri (özellikle çözülebilirlikleri ), bu polinomların çözümlerini yalnızca toplama, çarpma ve yukarıdaki formüle benzer kökler kullanarak ifade etme yeteneği için bir kriter verir.

    Modern Galois teorisi , alan teorisine geçerek ve bir polinomun bölme alanı olarak oluşturulan alan uzantılarını dikkate alarak yukarıdaki Galois gruplarını genelleştirir. Bu teori , Galois teorisinin temel teoremi aracılığıyla, alanlar ve gruplar arasında kesin bir ilişki kurar ve grupların matematikte her yerde bulunabileceğini bir kez daha vurgular.

    sonlu gruplar

    Sonlu sayıda elemanı olan bir gruba sonlu denir . Elemanların sayısına grubun sırası denir . Önemli bir sınıf, nesnelerin permütasyon grupları olan simetrik gruplardır . Örneğin, 3 harf üzerindeki simetrik grup , nesnelerin tüm olası yeniden sıralanmalarının grubudur. Üç ABC harfi, toplam 6 (3 faktöriyel ) eleman oluşturacak şekilde ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA şeklinde yeniden sıralanabilir . Grup işlemi, bu yeniden sıralamaların bileşimidir ve kimlik öğesi, sırayı değiştirmeden bırakan yeniden sıralama işlemidir. Bu sınıf, Cayley teoremine göre, herhangi bir sonlu grup, uygun bir tamsayı için simetrik bir grubun alt grubu olarak ifade edilebildiği sürece temeldir . Yukarıdaki karenin simetri grubuna paralel, bir eşkenar üçgenin simetri grubu olarak da yorumlanabilir .

    Bir gruptaki bir elemanın sırası , en az pozitif tam sayıdır , öyle ki , burada temsil edilir

    yani, " " işleminin kopyalarına uygulanması . (" " çarpmayı temsil ediyorsa, o zaman 'nin inci kuvvetine karşılık gelir .) Sonsuz gruplarda böyle bir şey olmayabilir, bu durumda mertebesinin sonsuz olduğu söylenir. Bir elemanın sırası, bu eleman tarafından oluşturulan döngüsel alt grubun sırasına eşittir.

    Daha karmaşık sayma teknikleri, örneğin kosetleri sayma, sonlu gruplar hakkında daha kesin ifadeler verir: Lagrange Teoremi , sonlu bir grup için herhangi bir sonlu alt grubun mertebesinin . Sylow teoremleri kısmi bir tersini verir .

    Bir karenin simetrilerinin dihedral grubu 8. dereceden sonlu bir gruptur . Yansıma elemanlarının vs. sırası 2'dir. Lagrange teoreminin öngördüğü gibi her iki sıra da 8'i böler. Çarpma modulo a asal grupları sıralıdır .

    Sonlu basit grupların sınıflandırılması

    Matematikçiler genellikle matematiksel bir kavramın tam bir sınıflandırması (veya listesi) için uğraşırlar. Sonlu gruplar bağlamında, bu amaç zor matematiğe yol açar. Lagrange teoremine göre , bir asal sayı olan sonlu dereceli gruplar zorunlu olarak döngüsel gruplardır ve dolayısıyla aynı zamanda değişmelilerdir. Düzen gruplarının, yukarıdaki değişmeli olmayan düzen grubunun gösterdiği gibi, düzene genellemeyen bir ifade olan değişmeli olduğu da gösterilebilir. Küçük grupları listelemek için bilgisayar cebir sistemleri kullanılabilir , ancak tüm sonlu grupların sınıflandırılması yoktur. Bir ara adım, sonlu basit grupların sınıflandırılmasıdır. Önemsiz bir grup, tek normal alt grupları önemsiz grup ve grubun kendisiyse, basit olarak adlandırılır . Jordan-Hölder teoremi , tüm sonlu gruplar için yapı taşları olarak sonlu basit grupları sergiler. Tüm sonlu basit grupları listelemek , çağdaş grup teorisinde büyük bir başarıydı. 1998 Fields Madalyası kazanan Richard Borcherds, en büyük sonlu basit sporadik grup ("canavar grup") ile belirli modüler işlevler , bir parça klasik karmaşık analiz ve sicim teorisi arasındaki şaşırtıcı ve derin bir ilişki olan canavarca kaçak içki varsayımlarını kanıtlamayı başardı. teorinin birçok fiziksel fenomenin tanımını birleştirmesi gerekiyordu.

    Ek yapıya sahip gruplar

    Grubun eşdeğer bir tanımı, grup aksiyomlarının "vardır" bölümünün, sonucu olması gereken öğe olan işlemlerle değiştirilmesinden oluşur. Bu nedenle, bir grup, ikili işlem (grup işlemi), tekli işlem (tersini sağlayan) ve işleneni olmayan ve kimlik öğesiyle sonuçlanan bir boş işlem ile donatılmış bir kümedir. Aksi takdirde, grup aksiyomları tamamen aynıdır. Tanımın bu çeşidi varoluşsal niceleyicilerden kaçınır ve gruplarla hesaplamada ve bilgisayar destekli ispatlar için kullanılır .

    Grupları tanımlamanın bu yolu, bir kategorideki grup nesneleri kavramı gibi genellemelere uygundur . Kısaca bu, grup aksiyomlarını taklit eden dönüşümlerle ( morfizmler olarak adlandırılır) gelen bir nesnedir (yani başka bir matematiksel yapının örnekleri) .

    topolojik gruplar

    Dairenin bir kısmı (vurgulanmış) bir çizgiye yansıtılır.
    Karmaşık çarpma altında karmaşık düzlemdeki birim çember bir Lie grubudur ve dolayısıyla bir topolojik gruptur. Karmaşık çarpma ve bölme sürekli olduğundan topolojiktir. Bu bir manifolddur ve dolayısıyla bir Lie grubudur, çünkü şekildeki kırmızı yay gibi her küçük parça gerçek çizginin bir parçası gibi görünür (altta gösterilmiştir).

    Bazı topolojik uzaylar bir grup yasasına sahip olabilir. Grup yasası ve topolojinin iç içe geçmesi için grup işlemleri sürekli fonksiyonlar olmalıdır; gayri resmi olarak ve çok az değişiklik gösterse bile çılgınca değişmemelidir. Bu tür gruplara topolojik gruplar denir ve bunlar topolojik uzaylar kategorisindeki grup nesneleridir . En temel örnekler, toplama altındaki gerçek sayılar grubu ve çarpma altındaki sıfırdan farklı gerçek sayılar grubudur. Karmaşık sayılar alanı veya p -adik sayılar alanı gibi diğer herhangi bir topolojik alandan benzer örnekler oluşturulabilir . Bu örnekler yerel olarak kompakttır , bu nedenle Haar ölçümlerine sahiptirler ve harmonik analiz yoluyla incelenebilirler . Diğer yerel olarak kompakt topolojik gruplar, bir yerel alan veya adele halkası üzerindeki bir cebirsel grubun noktalarının grubunu ; bunlar sayı teorisi için temeldir Sonsuz cebirsel alan uzantılarının Galois grupları, sonsuz Galois teorisinde rol oynayan Krull topolojisi ile donatılmıştır . Cebirsel geometride kullanılan bir genelleme, temel gruptur .

    yalan grupları

    Bir Lie grubu , türevlenebilir bir manifold yapısına da sahip olan bir gruptur ; gayri resmi olarak, bu, yerel olarak sabit bir boyutta bir Öklid uzayı gibi göründüğü anlamına gelir . Yine tanım, ek yapının, burada manifold yapısının uyumlu olmasını gerektirir: çarpma ve ters haritaların düzgün olması gerekir .

    Standart bir örnek, yukarıda tanıtılan genel lineer gruptur: bu, tüm matrislerin uzayının açık bir alt kümesidir , çünkü eşitsizlik tarafından verilir.

    burada bir -by- matrisi gösterilir.

    Lie grupları modern fizikte temel öneme sahiptir: Noether teoremi , sürekli simetrileri korunan niceliklere bağlar . Dönme ve uzay ve zamandaki ötelemeler , mekanik yasalarının temel simetrileridir . Örneğin, basit modeller oluşturmak için kullanılabilirler - örneğin bir duruma eksenel simetri dayatmak, fiziksel bir açıklama sağlamak için çözülmesi gereken denklemlerde tipik olarak önemli basitleştirmelere yol açacaktır. Diğer bir örnek, hareket halindeki iki gözlemcinin zaman ve hız ölçümlerini birbirine göre ilişkilendiren Lorentz dönüşümleri grubudur. Dönüşümleri Minkowski uzayının rotasyonel simetrisi olarak ifade ederek tamamen grup teorik bir şekilde çıkarılabilirler . İkincisi -önemli yerçekimi yokluğunda- özel görelilikte bir uzay -zaman modeli olarak hizmet eder . Minkowski uzayının tam simetri grubu, yani ötelemeler dahil, Poincaré grubu olarak bilinir . Yukarıdakilerle, özel görelilik ve dolaylı olarak kuantum alan teorileri için çok önemli bir rol oynar . Konumla değişen simetriler , ayar teorisi yardımıyla fiziksel etkileşimlerin modern tanımının merkezinde yer alır . Ayar teorisinin önemli bir örneği, bilinen dört temel kuvvetten üçünü tanımlayan ve bilinen tüm temel parçacıkları sınıflandıran Standart Modeldir .

    genellemeler

    Grup benzeri yapılar
    bütünlük çağrışım Kimlik ters çevrilebilirlik değişebilirlik
    yarıgrupoid Gereksiz Gerekli Gereksiz Gereksiz Gereksiz
    Küçük kategori Gereksiz Gerekli Gerekli Gereksiz Gereksiz
    grupoid Gereksiz Gerekli Gerekli Gerekli Gereksiz
    magma Gerekli Gereksiz Gereksiz Gereksiz Gereksiz
    yarıgrup Gerekli Gereksiz Gereksiz Gerekli Gereksiz
    birim magma Gerekli Gereksiz Gerekli Gereksiz Gereksiz
    yarı grup Gerekli Gerekli Gereksiz Gereksiz Gereksiz
    Döngü Gerekli Gereksiz Gerekli Gerekli Gereksiz
    Grup veya Boş Gerekli Gerekli Gereksiz Gerekli Gereksiz
    monoit Gerekli Gerekli Gerekli Gereksiz Gereksiz
    değişmeli monoid Gerekli Gerekli Gerekli Gereksiz Gerekli
    Grup Gerekli Gerekli Gerekli Gerekli Gereksiz
    değişmeli grup Gerekli Gerekli Gerekli Gerekli Gerekli
    Birçokkaynak tarafından kullanılan ve farklı şekilde tanımlanankapatma

    Soyut cebirde, bir grubu tanımlayan bazı aksiyomların gevşetilmesiyle daha genel yapılar tanımlanır. Örneğin, her elemanın tersi olması şartı ortadan kalkarsa, elde edilen cebirsel yapıya monoid denir . Toplama altındaki doğal sayılar (sıfır dahil), çarpma işlemi altındaki sıfır olmayan tam sayıların yaptığı gibi bir monoid oluşturur , yukarıya bakın. Grothendieck grubu olarak bilinen, herhangi bir (abelian) monoide elementlere resmi olarak tersler eklemek için genel bir yöntem vardır . Grupoidler , kompozisyonun tümü ve için tanımlanması gerekmemesi dışında gruplara benzer . Genellikle temel grupoid veya yığınlar gibi topolojik ve analitik yapılarda daha karmaşık simetri biçimlerinin incelenmesinde ortaya çıkarlar . Son olarak, ikili işlemi keyfi bir n -ary ile değiştirerek bu kavramlardan herhangi birini genelleştirmek mümkündür (yani, n argüman alan bir işlem). Grup aksiyomlarının uygun bir şekilde genelleştirilmesiyle bu, bir n -ary grubu ortaya çıkarır . Tablo, grupları genelleştiren çeşitli yapıların bir listesini vermektedir.

    Ayrıca bakınız

    notlar

    alıntılar

    Referanslar

    Genel referanslar

    • Artin, Michael (2018), Cebir , Prentice Hall , ISBN 978-0-13-468960-9, Bölüm 2, bu makalede ele alınan kavramların lisans düzeyinde bir açıklamasını içerir.
    • Cook, Mariana R. (2009), Matematikçiler: İç Dünyanın Dış Görünümü , Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-13951-7
    • Hall, GG (1967), Uygulamalı Grup Teorisi , American Elsevier Publishing Co., Inc., New York, MR  0219593, temel bir giriş.
    • Herstein, İsrail Nathan (1996), Soyut Cebir (3. baskı), Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall Inc., ISBN 978-0-13-374562-7, MR  1375019.
    • Herstein, İsrail Nathan (1975), Cebirde Konular (2. baskı), Lexington, Mass.: Xerox College Publishing, MR  0356988.
    • Lang, Serge (2002), Cebir , Matematikte Lisansüstü Metinler , cilt. 211 (Gözden geçirilmiş üçüncü baskı), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556
    • Lang, Serge (2005), Lisans Cebir (3. baskı), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-22025-3.
    • Ledermann, Walter (1953), Sonlu Gruplar Teorisine Giriş , Oliver ve Boyd, Edinburgh ve Londra, MR  0054593.
    • Ledermann, Walter (1973), Grup Teorisine Giriş , New York: Barnes and Noble, OCLC  795613.
    • Robinson, Derek John Scott (1996), Gruplar Teorisi Kursu , Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6.

    Özel referanslar

    Tarihsel referanslar

    Dış bağlantılar