Dizine eklenmiş aile - Indexed family

In matematik , bir ailenin ya endeksli ailesi , gayri nesneleri topluluğudur bir indeks kümesi bir dizin ile ilişkili her biri. Örneğin, tam sayılar kümesi tarafından indekslenen bir gerçek sayılar ailesi, belirli bir fonksiyonun her tam sayı için bir gerçek sayı (muhtemelen aynı) seçtiği bir gerçek sayılar topluluğudur.

Daha resmi olarak, indekslenmiş bir aile, etki alanı $I$ ve görüntü $X$ ile birlikte matematiksel bir fonksiyondur . Genellikle $X$ kümesinin elemanları aileyi oluşturan olarak adlandırılır. Bu görünümde, dizinlenmiş aileler, işlevler yerine dizinlenmiş öğelerin koleksiyonları olarak yorumlanır. Seti $Ben$ denir endeksi (set) ailesinin ve $X'in$ ise endeksli seti . Diziler , belirli etki alanlarına sahip bir tür ailedir.

matematiksel ifade

Tanım. Let $Ben$ ve $X'in$ setleri olabilir ve $f$ bir fonksiyonu olacak şekilde

{\begin{aligned}f\colon I&\to X\\f\colon i&\mapsto x_{i}=f(i),\end{hizalı}}

nerede $I$ öğesinin bir öğesini temsil eder ve $f$ fonksiyonunun altındaki görüntüsü olarak belirtilir (örneğin, olarak gösterilir . Sembol , bunun $X$ öğesinin bir öğesi olduğunu belirtmek için kullanılır ), o zaman bu , $X'te$ dizinlenmiş bir öğe ailesi oluşturur dizin kümesinin bilindiği varsayıldığında veya basitçe $($ $x$ $i$ $)$ ile gösterilen $I ile$ dizinlenir . Bazen parantezler yerine köşeli parantezler veya parantezler kullanılır, ikincisi aileleri kümelerle karıştırma riski taşır. Basitçe söylemek gerekirse, indeks gösterimi kullanıldığında, indekslenen nesneler, bunların koleksiyonu olarak (dizine alınmış) bir aile oluşturur. Terimi, toplama yerine kullanılan grubu olan bir eleman birden çok zaman alabilir bir aile çoktan her biri aynı eleman farklı dizine olarak (bir dizi düzensiz ve farklı bir nesne topluluğudur iken). ${\görüntüleme stili ben}$ ${\görüntüleme stili f(i)}$ ${\görüntüleme stili ben}$ $x_{i}$ ${\görüntüleme stili f(3)}$ $x_{3}$ ${\görüntüleme stili x}$ $x_{i}$ $(x_{i})_{i\in I}$

$I$ etki alanına sahip herhangi bir $f$ işlevi bir aileyi $($ $f$ $($ $i$ $))$ $i$ $\in$ $I$ indüklediğinden , işlevler ve aileler biçimsel olarak eşdeğerdir . Bir ailenin öğesi olmak, karşılık gelen işlevin aralığında olmakla eşdeğerdir. Ancak pratikte aile bir işlevden çok bir koleksiyon olarak görülür. Bir aile, ancak ve ancak karşılık gelen işlev injective ise , herhangi bir öğeyi tam olarak bir kez içerir .

Dizine alınmış bir aile, küme , yani $f$ altındaki $I'in$ görüntüsü dikkate alınarak kümeye dönüştürülebilir . $f$ eşlemesinin injektif olması gerekmediğinden , $x$ $i$ $=$ $x$ $j$ $olacak$ şekilde $i$ $\neq$ $j$ ile var olabilir . Böylece, nerede $|$ $bir$ $|$ $A$ kümesinin kardinalitesini gösterir . Bu, bir ailenin, farklı şekilde indekslendikleri sürece aynı öğeye birden çok kez sahip olabileceği anlamına gelir ve bu, indekslenmiş aileler ve kümeler arasındaki farktır. Örneğin , dizin kümesinin doğal sayılar kümesi olduğu yerde . ${\mathcal {X}}=\{x_{i}:i\in I\}$ ${\görüntüleme stili ben,j\in I}$ $|{\matematiksel {X}}|\leq |I|$ $\{(-1)^{i}:i\in \mathbb {N} \}=\{-1,1\}$ $\mathbb {N} =\{1,2,3,\noktalar \}$

Herhangi kümesi $X'in$ bir ailenin yol açmaktadır $(x x) x \in X$ olarak $X$ kendisi tarafından dizine alınmasını. Böylece herhangi bir küme doğal olarak bir aile olur. Herhangi bir $(A i) i \in I$ ailesi için tüm öğelerin kümesi vardır ${A i | i \in I}$ , ancak bu, aynı öğenin (farklı şekilde dizine eklenmiş) birden fazla içermesi veya $I$ tarafından verilen yapı hakkında herhangi bir bilgi taşımaz . Bu nedenle, aile yerine bir küme kullanıldığında bazı bilgiler kaybolabilir.

İndeks kümesi $I$ sayılabilir olmakla sınırlı değildir ve bir kuvvet kümesinin bir alt kümesi indekslenebilir, bu da indekslenmiş bir kümeler ailesi ile sonuçlanır . Diziler , belirli bir alana sahip bir işlev olarak tanımlandığı için diziler bir tür ailedir (hangi dizinin tanımlandığına ve hangi tanımın kullanıldığına bağlı olarak bir tamsayı aralığı, doğal sayılar kümesi veya ilk n doğal sayılar kümesi) ).

Örnekler

Dizine alınmış vektörler

Örneğin, aşağıdaki cümleyi düşünün:

v ₁ , …, v _n vektörleri lineer olarak bağımsızdır.

Burada $(v i) i \in {1, \dots, n}$ bir vektör ailesini ifade eder. $İ$ -inci vektör $v i$ setleri sırasız olarak sadece bu yüzden hiçbir yoktur, bu aileye göre mantıklı $i$ -inci vektör kümesinin. Ayrıca, doğrusal bağımsızlık bir koleksiyonun özelliği olarak tanımlanır; bu nedenle, bu vektörlerin bir küme veya bir aile olarak lineer olarak bağımsız olmaları önemlidir. Örneğin, $n = 2$ ve $v 1 = v 2 = (1, 0)$ 'ı aynı vektör olarak kabul edersek , bunların kümesi yalnızca bir öğeden oluşur ( küme sıralanmamış farklı öğelerin bir koleksiyonu olduğundan) ve lineer bağımsızdır, ancak aile aynı elemanı iki kez içerir (farklı indekslendiğinden beri) ve lineer olarak bağımlıdır (aynı vektörler lineer olarak bağımlıdır).

matrisler

Bir metnin şunları söylediğini varsayalım:

Bir kare matris A , ancak ve ancak A'nın satırları lineer olarak bağımsız olduğunda tersinirdir .

Önceki örnekte olduğu gibi, A'nın satırlarının bir küme olarak değil, bir aile olarak lineer olarak bağımsız olması önemlidir . Örneğin, matrisi düşünün

A={\başlangıç{bmatrix}1&1\\1&1\son{bmatrix}}.

Grubu satır tek bir eleman içerir $(1, 1)$ , doğrusal bağımsız şekilde bir dizi tek elemanlardan yapılmış olduğu gibi, fakat matris matris tersi değil belirleyici başka eller üzerinde 0'dır, aile ve satırlar, 1. satır $(1, 1)$ ve 2. satır $(1,1)$ gibi farklı şekilde indekslenmiş iki öğe içerir $,$ dolayısıyla doğrusal olarak bağımlıdır. Bu nedenle ifade, satır ailesine atıfta bulunuyorsa doğrudur, ancak satır kümesine atıfta bulunursa yanlıştır. ("Satırlar", öğelerin de ayrı tutulduğu ancak dizinlenmiş bir ailenin yapısından bazılarının eksik olduğu bir multiset'e atıfta bulunarak yorumlandığında da bu ifade doğrudur .)

Diğer örnekler

Let $n$ sonlu bir set olmak ${1, 2, ..., n}$ , nerede $n$ pozitif olan tamsayı .

Bir sıralı ikili (2- tuple ) iki elemandan grubu tarafından indekslenen bir ailedir $2 = {1, 2}$ ; sıralı çiftin her elemanı, küme $2'nin$ her bir elemanı tarafından indekslenir .
Bir $n-$ tuple , $n$ kümesi tarafından indekslenen bir ailedir .
Sonsuz bir dizi , doğal sayılarla indekslenen bir ailedir .
Bir liste bir olduğu $, n$ belirsiz bir için -tuple $n$ ya da sonsuz bir sekans.
Bir $n \times m$ matrisi , elemanları sıralı çiftler olan Kartezyen ürün $n \times m$ tarafından indekslenen bir ailedir , örneğin, $(2, 5)$ 2. satır ve 5. sütundaki matris öğesini indeksler.
Bir ağ , yönlendirilmiş bir küme tarafından indekslenen bir ailedir .

Endeksli ailelere yönelik işlemler

İndeks kümeleri genellikle toplamlarda ve diğer benzer işlemlerde kullanılır. Örneğin, $(a i) i \in I$ dizine alınmış bir sayı ailesiyse, tüm bu sayıların toplamı şu şekilde gösterilir:

\sum _{i\in I}a_{i}.

Ne zaman $(A i) i \in I$ olan bir setlerinin aile , Sendika tüm bu setleri ile gösterilir

\bigcup _{i\in I}A_{i}.

Aynı şekilde kavşaklar ve Kartezyen ürünler için .

Dizine eklenmiş alt aile

Dizinli bir aile $(B I) i \in J$ a, alt familyası dizinlenmiş bir ailenin $(A i) i \in I$ , ancak ve ancak $J$ bir alt kümesidir $I$ ve $B i = A ı$ tüm tutar $i$ içinde $J$ .

Kategori teorisinde kullanım

Kategori teorisindeki benzer konsepte diyagram denir . Bir diyagramı olan funktor bir nesnelerin dizinlenmiş bir ailesine mahal kategorisi $C$ başka kategori tarafından dizine, $J$ , ve ile ilgili Morfizm iki endeks bağlı olarak değişir.

Ayrıca bakınız

Referanslar

Japonya Matematik Derneği , Ansiklopedik Matematik Sözlüğü , 2. baskı, 2 cilt, Kiyosi Itô (ed.), MIT Press, Cambridge, MA, 1993. EDM (cilt) olarak alıntılandı.

Languages

In other projects