Ultrametrik uzay - Ultrametric space

In matematik , bir ultrametrik uzay bir olan metrik uzay hangi üçgen eşitsizliği ile güçlendirilmiştir . Bazen ilişkili metriğe Arşimet dışı metrik veya süper metrik de denir . Ultrametrik uzaylar için bazı teoremler ilk bakışta tuhaf görünse de, birçok uygulamada doğal olarak görünürler.

Resmi tanımlama

Bir ultrametrik bir üzerinde ayarlanan M bir olan gerçek -valued işlevi

(burada gerçek sayıları ifade eder ), öyle ki tüm x , y , zM için :

  1. d ( x , y )≥0 ;
  2. d ( x , y ) = d ( y , x ) ( simetri )
  3. d ( x , x )=0 ;
  4. Eğer D ( x , y ) = 0 , sonra x = y  ;
  5. d ( x , z ) ≤ maks { d ( x , y ), d ( y , z ) } ( güçlü üçgen eşitsizliği veya ultrametrik eşitsizlik ).

Bir ultrametrik alan bir çift ( M , d ) bir dizi oluşan E bir ultrametrik ile birlikte d üzerindeki M (bir adlandırılan mekanın ilişkili mesafe fonksiyonu olarak adlandırılır, metrik ).

Eğer d dışında tatmin koşulların tümü muhtemelen durum 4, sonra d bir adlandırılır ultrapseudometric ile M . Bir ultrapseudometric alan bir çift ( M , d ) bir dizi oluşan E ve ultrapseudometric d üzerine M .

Durumda M , bir grup (toplamalı yazılmış) ve bir D , bir tarafından üretilen uzunluk fonksiyonu (ki ), son özellik kullanılarak güçlü yapılabilir Krull bileme için:

eşitlik ile eğer .

Eğer if , o zaman eşitliğin if olduğunu ispatlamak istiyoruz . Genelliği kaybetmeden bunu kabul edelim . Bu şu anlama gelir . Ama aynı zamanda hesaplayabiliriz . Şimdi, değeri olamaz , çünkü durum buysa, ilk varsayımın tersi var demektir . Böylece, ve . İlk eşitsizliği kullanarak, elimizde ve dolayısıyla .

Özellikler

Sağdaki üçgende, iki alt nokta x ve y, d(x, y) ≤ max(d(x, z), d(y, z)) koşulunu ihlal ediyor.

Yukarıdaki tanımdan, ultrametrinin birkaç tipik özelliği sonucuna varılabilir. Tüm Örneğin, üç eşitliğin en az bir ya da ya da tutar. Yani, uzaydaki her üçlü nokta bir ikizkenar üçgen oluşturur , dolayısıyla tüm uzay bir ikizkenar kümesidir .

Tanımlanması (açık) topu yarıçapı merkezli olarak , aşağıdaki özelliklere sahiptir:

  • Bir topun içindeki her nokta onun merkezidir, yani eğer öyleyse .
  • Kesişen toplar birbirinin içindedir, yani boş değilse , o zaman ya da .
  • Kesinlikle olumlu yarıçapı tüm topları hem açık ve kapalı kümeler uyarılan içinde topoloji . Bu açık topları da kapalı ve kapalı toplar (yerine edilir olduğu ile ) de açıktır.
  • Yarıçapı ve merkezi kapalı bir yarıçap topunda bulunan tüm açık topların kümesi , ikincisinin bir bölümünü oluşturur ve iki farklı açık topun karşılıklı mesafesi (daha büyük veya) eşittir .

Bu ifadeleri kanıtlamak öğretici bir alıştırmadır. Hepsi doğrudan ultrametrik üçgen eşitsizliğinden türetilir. İkinci ifadeye göre, bir topun sıfır olmayan mesafeye sahip birkaç merkez noktası olabileceğini unutmayın. Bu kadar garip görünen etkilerin ardındaki sezgi, güçlü üçgen eşitsizliği nedeniyle, ultrametriklerdeki mesafelerin toplanmamasıdır.

Örnekler

  • Ayrık metrik bir ultrametrik olup.
  • P -adic sayılar tam ultrametrik boşluk oluşturur.
  • Bazı alfabe Σ üzerinde , Σ * , keyfi uzunluktaki (sonlu veya sonsuz) kelime kümesini düşünün . İki farklı kelime arasındaki mesafeyi 2 - n olarak tanımlayın , burada n , kelimelerin farklı olduğu ilk yerdir. Ortaya çıkan metrik bir ultrametriktir.
  • Bir alfabe Σ üzerinde n uzunluğunda yapıştırılmış uçlara sahip kelimeler kümesi , p- kapama mesafesine göre bir ultrametrik uzaydır . İki kelime x ve y olan p -yakın arasında herhangi bir alt eğer p ardışık harfler ( p < n ) 'de, her iki kez aynı sayıda (aynı zamanda sıfır olabilir) görünür x ve y .
  • Eğer r = ( r n ) sıfıra azalan bir reel sayılar dizisiyse, o zaman | x | r  := limit s n →∞ | x n | r n , sonlu olduğu tüm karmaşık dizilerin uzayında bir ultrametrik indükler. ( Homojenlikten yoksun olduğu için bunun bir seminorm olmadığına dikkat edin - r n'nin sıfır olmasına izin verilirse, burada 0 0 =0 şeklinde oldukça sıra dışı bir kural kullanılmalıdır .)
  • Eğer G bir kenar ağırlıklı olan yönsüz grafik , tüm kenar ağırlıkları pozitiftir ve d ( u , v ) ağırlığıdır minimaks yolu ile , u ve v (edilene seçilen bir yol ile, bir kenar büyük ağırlığıdır bu en büyük ağırlığı en aza indirin), daha sonra d ile ölçülen mesafe ile grafiğin köşeleri bir ultrametrik uzay oluşturur ve tüm sonlu ultrametrik uzaylar bu şekilde temsil edilebilir.

Uygulamalar

Referanslar

bibliyografya

daha fazla okuma