Katkı kimliği - Additive identity

Gelen matematik , katkı kimlik a set ile donatılmıştır işlemi arasında ilave bir bir eleman , herhangi bir öğe ilave edildiğinde x kümesinde, verimler x . En çok bilinen katkı kimliklerin biri sayısı 0 dan temel matematik , katkı kimlikler eklenmesi, olarak tanımlanır diğer matematiksel yapılarda meydana gelen grup ve halkalar .

İlköğretim örnekleri

• İlköğretim matematiğinden aşina olduğumuz toplamsal özdeşlik , 0 ile gösterilen sıfırdır . Örneğin,

  ${\displaystyle 5+0=5=0+5.}$

• Olarak doğal sayılar , N (0 dahil), eğer tam sayı , Z , rasyonel sayılar S , gerçek sayılar R ve karmaşık sayılar Cı katkı kimlik Bu için söylüyor 0'dır sayısı , n bunlardan herhangi birine ait setler,

  ${\displaystyle n+0=n=0+n.}$

Resmi tanımlama

Let , N bir olmak grubu altında kapalı olan işlem arasında ek , belirtilen + . İçin bir katkı kimlik N ile gösterilen E , bir elementtir N , öyle ki herhangi bir element , n de , N ,

e + n = n = n + e .

Diğer örnekler

• Bir grupta , ek kimlik grubun kimlik öğesidir , genellikle 0 ile gösterilir ve benzersizdir (kanıt için aşağıya bakın).
• Bir halka veya alan , toplama işlemi altındaki bir gruptur ve dolayısıyla bunlar da benzersiz bir toplam kimliği 0'a sahiptir . Halka (veya alan) birden fazla öğeye sahipse, bu , çarpımsal kimlik 1'den farklı olarak tanımlanır . Toplamsal özdeşlik ve çarpımsal özdeşlik aynıysa, halka önemsizdir (aşağıda kanıtlanmıştır).
• Halka E olarak _{m  X  N} ( R arasında) m ile n, matrisler , bir halka üzerinde , R , katkı kimlik sıfır matris, belirtilen O ya da 0 ve bir m ile n, girişleri tamamen kimlik elemanının 0 oluşur matrisi R ' . Örneğin, M ₂ ( Z ) tamsayıları üzerindeki 2 × 2 matrislerinde toplamsal özdeşlik şöyledir:

  ${\displaystyle 0={\başlangıç{bmatrix}0&0\\0&0\son{bmatrix}}}$

• Gelen quaternions , 0 katkı kimliktir.
• Halkasındaki işlevleri ile ilgili R için R , fonksiyon haritalama 0 her sayıda katkı kimliktir.
• İçinde katkı maddesi grubu arasında vektörleri içinde R ^{, n} , kökenin ya da sıfır vektör katkı kimliktir.

Özellikler

Katkı kimliği bir grupta benzersizdir

(Olsun G +) içerisinde 0 ve 0' bir grup olabilir ve izin G, bu yüzden herhangi bir için, göstermektedirler katkı kimlikler iki g olarak G ,

0 + g = g = g + 0 ve 0' + g = g = g + 0'.

Daha sonra yukarıdakilerden şu sonucu çıkar:

0' = 0' + 0 = 0' + 0 = 0 .

Katkı kimliği, halka öğelerini yok eder

Bir çarpma işlemi ile bir sistemde dağıtımların ilave üzerinde, ilave kimlik çarpımsal olan emici elemanı için herhangi bir anlam, s olarak S , s  · 0 = 0 . Bunun nedeni:

${\displaystyle {\begin{aligned}s\cdot 0&=s\cdot (0+0)=s\cdot 0+s\cdot 0\\\Rightarrow s\cdot 0&=s\cdot 0-s\cdot 0 \\\Rightarrow s\cdot 0&=0.\end{hizalı}}}$

Önemsiz bir halkada toplamsal ve çarpımsal kimlikler farklıdır

Let R, bir halka olabilir ve katkı kimlik, 0 ve 1 eşittir çarpımsal kimliği, örneğin, 0 = 1 Let varsayalım r herhangi eleman R . Sonra

r = r × 1 = r × 0 = 0

R'nin önemsiz olduğunu kanıtlama , yani R  = {0}. Bu nedenle , eğer R önemsiz değilse, 0'ın 1'e eşit olmadığı çelişkili gösterilmektedir.

Ayrıca bakınız

• 0 (sayı)
• toplamsal ters
• kimlik öğesi
• çarpımsal kimlik

Referanslar

bibliyografya

• David S. Dummit, Richard M. Foote, Soyut Cebir , Wiley (3. baskı): 2003, ISBN  0-471-43334-9 .

Dış bağlantılar

• Bir halka içinde ilave kimlik tekliği de PlanetMath .