tamsayı - Integer

Bir tamsayı ( "bütün" anlamına gelen Latince tamsayıdan gelir), halk dilinde kesirli bir bileşen olmadan yazılabilen bir sayı olarak tanımlanır . Örneğin, 21, 4, 0 ve -2048 tamsayı iken 9.75, 5+1/2, ve  2 değildir.

Tam sayılar kümesi sıfır ( 0 ), pozitif doğal sayılar ( 1 , 2 , 3 , ...), aynı zamanda tam sayılar veya sayma sayıları olarak da adlandırılır ve bunların toplamalı tersinden ( negatif tam sayılar , yani -1 , −) oluşur. 2, -3, ...). Tam sayılar kümesi genellikle kalın yazı tipiyle ( Z ) veya karatahta kalın harfi "Z" ile gösterilir - orijinal olarak Almanca Zahlen ("sayılar") kelimesinin karşılığıdır .

Bir olan alt kümesi tüm setin rasyonel sayılar sırayla bir alt kümesidir, gerçek sayılar . Doğal sayılar gibi , sayılabilir sonsuzdur .

Tam sayılar en küçük grubu ve doğal sayıları içeren en küçük halkayı oluşturur . Gelen cebirsel sayılar teorisi , tam sayılar bazen olarak nitelendirilen rasyonel tamsayılar daha genel ayırt etmek cebirsel tamsayılar . Aslında, (rasyonel) tam sayılar, aynı zamanda rasyonel sayılar olan cebirsel tam sayılardır .

sembol

Sembol farklı yazar arasında kullanımını değişen çeşitli setleri gösteren notlar edilebilir: , ya da pozitif tamsayılar için, ya da negatif olmayan tamsayılar için ve sıfırdan tamsayılar için. Bazı yazarlar sıfır olmayan tamsayılar için kullanırken, diğerleri bunu negatif olmayan tamsayılar veya {–1, 1} için kullanır . Ek olarak, modulo p tamsayıları kümesini (yani, tamsayıların uyum sınıfları kümesi ) veya p -adic tamsayılar kümesini belirtmek için kullanılır .

cebirsel özellikler

Tamsayılar, sonsuz uzunlukta bir sayı doğrusu üzerinde ayrık, eşit aralıklı noktalar olarak düşünülebilir . Yukarıda negatif olmayan tam sayılar mavi, negatif tam sayılar kırmızı ile gösterilmiştir.

Gibi doğal sayılar , bir kapalı altında operasyonlar ek ve çarpma olduğunu, herhangi iki tam sayının toplamı ve ürün bir tam sayıdır. Ancak negatif doğal sayıların dahil edilmesiyle (ve daha da önemlisi,  0 ), doğal sayılardan farklı olarak çıkarma işlemine de kapalıdır .

Tamsayılar , aşağıdaki anlamda en temel olan bir birim halka oluşturur: herhangi bir birim halka için, tam sayılardan bu halkaya benzersiz bir halka homomorfizmi vardır . Bu evrensel özellik , yani bir olmak ilk amacı, içinde halkaların kategorisi , halka karakterize  .

bölme altında kapalı değildir , çünkü iki tamsayının (örneğin, 1'in 2'ye bölünmesi) bölümünün bir tamsayı olması gerekmemektedir. Doğal sayılar üs altında kapalı olsa da , tam sayılar değildir (çünkü üs negatif olduğunda sonuç bir kesir olabilir).

Aşağıdaki tablo, a , b ve c tam sayıları için toplama ve çarpma işlemlerinin bazı temel özelliklerini listeler :

Tam sayılarda toplama ve çarpmanın özellikleri
İlave Çarpma işlemi
Kapanış : a + b  bir tamsayıdır a × b  bir tamsayıdır
ilişkilendirme : a + ( b + c ) = ( a + b ) + c a × ( b × c ) = ( a × b ) × c
Değişebilirlik : a + b = b + bir a × b = b × bir
Bir kimlik öğesinin varlığı : bir + 0 = bir bir × 1 = bir
Ters elemanların varlığı : bir + (− bir ) = 0 Tek ters çevrilebilir tam sayılar ( birimler olarak adlandırılır ) -1 ve  1'dir .
Dağılım : a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )  ve ( a + b ) × c = ( a × c ) + ( b × c ) 
Sıfır bölen yok : Eğer bir x b = 0 , daha sonra , bir = 0 ya da b = 0 (ya da her ikisi)

Yukarıda toplama için listelenen ilk beş özellik, toplama altında bir değişmeli grup olduğunu söylüyor . Aynı zamanda döngüsel bir gruptur , çünkü sıfır olmayan her tam sayı, 1 + 1 + ... + 1 veya (-1) + (-1) + ... + (-1) sonlu bir toplam olarak yazılabilir . Aslında, altında toplama tek sonsuz döngüsel gruptur - herhangi bir sonsuz döngüsel grubun izomorfik olması anlamında .

Çarpma için yukarıda listelenen ilk dört özellik, çarpma altında değişmeli bir monoid olduğunu söylüyor . Ancak, her tam sayının bir çarpımsal tersi yoktur (2 sayısında olduğu gibi), bu da çarpma altında bir grup olmadığı anlamına gelir .

Yukarıdaki özellik tablosundaki tüm kurallar (sonuncusu hariç), birlikte alındığında, toplama ve çarpma ile birlikte birlik ile değişmeli bir halka olduğunu söyler . Bu tür cebirsel yapının tüm nesnelerinin prototipidir . Yalnızca eşitlikler arasında ifadelerde de doğruysa  herkes için herhangi unital değişmeli halka içinde doğruysa değişkenlerin değerleri. Bazı sıfır olmayan tam sayılar , belirli halkalarda sıfıra eşlenir.

Tamsayılarda sıfır bölenlerinin olmaması ( tablodaki son özellik), değişmeli halkanın bir integral alan olduğu anlamına gelir  .

Bölme altında kapalı olmamasına eşdeğer olan çarpımsal terslerin olmaması , bunun bir alan olmadığı anlamına gelir . Alt halka olarak tam sayıları içeren en küçük alan rasyonel sayılar alanıdır . Rasyonelleri tamsayılardan oluşturma süreci, herhangi bir integral alanının kesirler alanını oluşturmak için taklit edilebilir . Ve geri bir başlayarak cebirsel numarası alanı (rasyonel sayı bir uzantısı) gösterilen, tam sayıların halka içeren, elde edilebilir olan şekilde bölüm halkasının .

Adi bölme üzerinde tanımlı olmamakla birlikte , "geri kalanlı" bölme üzerlerinde tanımlanır. Bu adlandırılır Öklid bölümü ve aşağıdaki önemli özelliğine sahip: iki tamsayı verilen bir ve b ile b ≠ 0 , orada benzersiz tamsayı mevcut q ve r , öyle ki , bir = q x b + r ve 0 ≤ r <| b | , nerede | b | temsil eder mutlak değerini ve b . Tam sayı q adlandırılan bölüm ve r adlandırılır kalan bölünmesi bir göre b . En büyük ortak bölenleri hesaplamak için Öklid algoritması , bir dizi Öklid bölümü ile çalışır.

Yukarıdakiler bunun bir Öklid alanı olduğunu söylüyor . Bu ima bir olan temel ideal alanı ve herhangi bir pozitif tam sayı ürünleri olarak yazılabilir asal bir in esasen benzersiz bir şekilde. Bu, aritmetiğin temel teoremidir .

Sipariş-teorik özellikler

üst veya alt sınırı olmayan tam sıralı bir kümedir . Sıralanması ile elde edilir: : ... -3 <-2 <-1 <0 <1 <2 <3 <... bir tam sayı olduğu pozitif bu daha büyük ise sıfır ve negatif daha az sıfırsa . Sıfır, ne negatif ne de pozitif olarak tanımlanır.

Tam sayıların sıralanması cebirsel işlemlerle şu şekilde uyumludur:

  1. Eğer bir < b ve c < d , o zaman , bir + c < b + d
  2. Eğer bir < b ve 0 < C , o zaman AC < bc .

Böylece , yukarıdaki sıralama ile birlikte sıralı bir halka olduğu sonucu çıkar .

Tamsayılar , pozitif öğeleri iyi sıralı olan, tamamen sıralı , önemsiz olmayan tek değişmeli gruptur . Bu, herhangi bir Noether değerleme halkasının bir alan ya da ayrı bir değerleme halkası olduğu ifadesine eşdeğerdir .

Yapı

-5 ile 5 arasındaki sayılar için denklik sınıflarının gösterimi
Kırmızı noktalar sıralı doğal sayı çiftlerini temsil eder . Bağlantılı kırmızı noktalar, satırın sonundaki mavi tam sayıları temsil eden denklik sınıflarıdır.

İlkokul öğretiminde, tam sayılar genellikle sezgisel olarak (pozitif) doğal sayılar, sıfır ve doğal sayıların olumsuzları olarak tanımlanır. Bununla birlikte, bu tanımlama tarzı birçok farklı duruma yol açar (her aritmetik işlemin her tam sayı türü kombinasyonunda tanımlanması gerekir) ve tam sayıların çeşitli aritmetik yasalarına uyduğunu kanıtlamayı sıkıcı hale getirir. Bu nedenle, modern küme-teorik matematikte, bunun yerine, aritmetik işlemleri tanımlamaya izin veren daha soyut bir yapı, bunun yerine sıklıkla kullanılır. Tamsayı ve böylece resmi olarak inşa edilebilir denklik sınıfları arasında sıralı çiftleri arasında doğal sayılar ( a , b ) .

Sezgisi olmasıdır ( a , b ) çıkarılması sonucu temsil b gelen bir . 1 − 2 ve 4 − 5'in aynı sayıyı gösterdiği yönündeki beklentimizi doğrulamak için , aşağıdaki kuralla bu çiftler üzerinde ~ bir denklik bağıntısı tanımlarız :

tam olarak ne zaman

Tam sayıların toplanması ve çarpımı, doğal sayılar üzerindeki eşdeğer işlemler açısından tanımlanabilir; kullanılarak [( a , b )] sahip olan eşdeğerlik sınıfı göstermek için ( a , b ) bir üyesi olarak, biri:

Bir tamsayının olumsuzlaması (veya toplamsal tersi), çiftin sırası tersine çevrilerek elde edilir:

Dolayısıyla çıkarma, toplamsal tersinin eklenmesi olarak tanımlanabilir:

Tam sayılarda standart sıralama şu şekilde verilir:

ancak ve ancak

Bu tanımların denklik sınıflarının temsilcilerinin seçiminden bağımsız olduğu kolaylıkla doğrulanabilir.

Her denklik sınıfının ( n ,0) veya (0, n ) (veya aynı anda her ikisi ) biçiminde benzersiz bir üyesi vardır . Doğal sayı n , [( n ,0)] sınıfıyla (yani, doğal sayılar n'den [( n ,0)] ' ye harita göndererek tam sayılara gömülür ) ve [(0, n ) sınıfıyla tanımlanır. ] n ile gösterilir (bu, kalan tüm sınıfları kapsar ve -0 = 0'dan beri [(0,0)] sınıfına ikinci kez verir .

Böylece, [( a , b )] ile gösterilir

Doğal sayılar karşılık gelen tam sayılarla tanımlanırsa (yukarıda bahsedilen yerleştirme kullanılarak), bu kural herhangi bir belirsizlik yaratmaz.

Bu gösterim , tamsayıların {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} olarak bilinen temsilini geri getirir .

Bazı örnekler:

Teorik bilgisayar biliminde, tam sayıların oluşturulmasına yönelik diğer yaklaşımlar, otomatik teorem kanıtlayıcılar ve terim yeniden yazma motorları tarafından kullanılır . Tamsayılar, birkaç temel işlem (örneğin, zero , succ , pred ) ve muhtemelen halihazırda oluşturulmuş olduğu varsayılan doğal sayılar kullanılarak (örneğin Peano yaklaşımı kullanılarak ) oluşturulan cebirsel terimler olarak temsil edilir .

İşaretli tamsayıların bu tür en az on yapısı vardır. Bu yapılar çeşitli şekillerde farklılık gösterir: oluşturma için kullanılan temel işlemlerin sayısı, sayı (genellikle 0 ile 2 arasında) ve bu işlemler tarafından kabul edilen argüman türleri; bu işlemlerin bazılarının argümanları olarak doğal sayıların varlığı veya yokluğu ve bu işlemlerin serbest kurucular olup olmadığı, yani aynı tamsayının yalnızca bir veya daha fazla cebirsel terim kullanılarak temsil edilebilmesi.

Bu bölümde yukarıda sunulan tamsayı oluşturma tekniği , argüman olarak iki doğal sayı ve 'yi alan ve bir tamsayı (eşittir ) döndüren tek bir temel işlem çiftinin olduğu özel duruma karşılık gelir . 0 tamsayı çifti (0,0), çifti (1,1) veya çifti (2,2), vb. yazılabileceğinden bu işlem serbest değildir . Bu yapım tekniği ispat yardımcısı Isabelle tarafından kullanılır ; bununla birlikte, diğer birçok araç, özellikle daha basit ve bilgisayarlarda daha verimli uygulanabilen ücretsiz kuruculara dayanan alternatif inşaat teknikleri kullanır.

Bilgisayar Bilimi

Bir tam sayı çoğu zaman, ilkel veri türü olarak bilgisayar dilleri . Bununla birlikte, pratik bilgisayarlar sınırlı kapasiteye sahip olduğundan , tamsayı veri türleri tüm tam sayıların yalnızca bir alt kümesini temsil edebilir . Ayrıca, ortak ikisinin tümleyen temsilinde, işaretin içsel tanımı "negatif, pozitif ve 0" yerine "negatif" ve "negatif olmayan" arasında ayrım yapar. (Bir bilgisayar bir tam sayı değeri gerçekten pozitif olup olmadığını belirlemek için kesinlikle, ancak mümkündür.) Sabit uzunluklu tamsayı yaklaşım veri türleri (ya da alt-gruplar) gösterilir int gibi birçok programlama dilleri (veya Integer Algol68 , C , Java , Delphi , vb.).

bignums gibi tamsayıların değişken uzunluktaki temsilleri , bilgisayarın belleğine uyan herhangi bir tamsayıyı saklayabilir. Diğer tamsayı veri türleri, sabit bir boyutta, genellikle 2'nin (4, 8, 16, vb.) veya akılda kalıcı sayıda ondalık basamak (örneğin, 9 veya 10) olan bir bit sayısıyla uygulanır.

kardinalite

Tam sayılar kümesinin kardinalitesi 0'a eşittir ( aleph-null ). Bu hali hazırda, bir inşaat ile gösterilmiştir eşleşme olduğu, bir fonksiyon injektif ve örten gelen için olarak tanımlanabilir Böyle bir fonksiyon

ile grafik (çiftlerinin grubu olduğu

{... (−4,8), (−3,6), (−2,4), (−1,2), (0,0), (1,1), (2,3), (3,5), ...} .

Onun ters fonksiyon ile tanımlanır

grafikli

{(0, 0), (1, 1), (2, -1), (3, 2), (4, -2), (5, -3), ...} .

Ayrıca bakınız

Sayı sistemleri
karmaşık
Gerçek
Akılcı
tamsayı
Doğal
Sıfır : 0
bir : 1
asal sayılar
Bileşik sayılar
Negatif tam sayılar
kesir
sonlu ondalık
İkili (sonlu ikili)
yinelenen ondalık
mantıksız
Cebirsel
Transandantal
Hayali

Dipnotlar

Referanslar

Kaynaklar

Dış bağlantılar

Bu makale , Creative Commons Atıf/Benzer Paylaşım Lisansı altında lisanslanan PlanetMath üzerinde Integer'dan alınan materyalleri içermektedir .