çelişki - Contraposition

İçinde mantık ve matematik , , tersine karşılık gelir çıkarım bir gidiş ve koşullu tablosunda onun içine mantıksal olarak eşdeğer çelişki ve, tersine göre kanıt olarak bilinen bir izolasyon yöntemi. Bir ifadenin karşıt pozitifinin öncülü ve sonucu ters çevrilir ve ters çevrilir .

Şartlı Beyanı . In formüller : bir çelişkiDİR. ${\ Displaystyle P\rightarrow Q}$${\ Displaystyle P\rightarrow Q}$${\displaystyle \neg Q\sağ ok \neg P}$

Eğer P O, S . — Q değilse, P değil . " Eğer Yağıyor, o zaman benim ceket giymek" - "Eğer ben ceketimi giymem, o zaman o yağmurlu değil."

Çelişki yasası, koşullu bir ifadenin, ancak ve ancak, karşıt pozitifliği doğruysa doğru olduğunu söyler.

Kontrapozitif ( ) diğer üç ifadeyle karşılaştırılabilir: ${\displaystyle \neg Q\sağ ok \neg P}$

Ters çevirme ( ters ), ${\displaystyle \neg P\rightarrow \neg Q}$

"Eğer yağmur değil, o zaman ben ceketimi giymem ." Zıt anlamlıdan farklı olarak, tersinin doğruluk değeri , burada kanıtlandığı gibi, orijinal önermenin doğru olup olmadığına hiçbir şekilde bağlı değildir.

Dönüşüm ( konversiyon ),${\displaystyle Q\sağ ok P}$

"Eğer benim ceket giymek, o zaman o yağmur olup ." Tersi aslında tersinin zıttıdır ve bu nedenle her zaman tersiyle aynı doğruluk değerine sahiptir (daha önce belirtildiği gibi, her zaman orijinal önermeninkiyle aynı doğruluk değerini paylaşmaz).

Olumsuzlama ( mantıksal tamamlayıcı ),${\displaystyle \neg (P\rightarrow Q)}$

" O durum böyle değil ise yağıyor sonra ben. Paltomu giymek eşdeğer olarak veya" " Yağmur yağarken, ceketimi giymem, bazen ." Yadsınması daha sonra orijinal önerme, doğru ise ( ve uzantısı olarak, karşıt pozitif) yanlıştır.

Eğer Not doğrudur ve bir verilir yanlıştır (yani ), o zaman mantıken sonucuna varılabilir da false olmalıdır (yani ). Bu genellikle çelişki yasası veya modus tollens çıkarım kuralı olarak adlandırılır . ${\ Displaystyle P\rightarrow Q}$${\görüntüleme stili Q}$${\görüntüleme stili \neg Q}$${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili \neg P}$

Sezgisel açıklama

Gösterilen Euler diyagramında , A'da bir şey varsa, B'de de olmalıdır. Böylece "A'nın tamamı B'dedir" ifadesini şu şekilde yorumlayabiliriz:

${\ Displaystyle A\'dan B'ye}$

Ayrıca olduğu şey temizlemek edilir değil B (mavi bölge) içinde olamaz ya, A içinde olması. Bu ifade şu şekilde ifade edilebilir:

${\displaystyle \neg B\to \neg A}$

yukarıdaki ifadenin zıt anlamlısıdır. Bu nedenle, şunu söyleyebiliriz

${\displaystyle (A\to B)\leftrightarrow (\neg B\to \neg A)}$.

Uygulamada, bu denklik bir ifadenin kanıtlanmasını kolaylaştırmak için kullanılabilir. Örneğin, Amerika Birleşik Devletleri'ndeki (A) her kızın kahverengi saçlı (B) olduğunu kanıtlamak isteyen kişi, Amerika Birleşik Devletleri'ndeki tüm kızların gerçekten kahverengi saçlı olduğunu kontrol ederek doğrudan kanıtlamaya çalışabilir veya kahverengi saçlı tüm kızların gerçekten ABD dışında olduğunu kontrol ederek kanıtlayın . Özellikle, ABD'de kahverengi saçlı en az bir kız bulsaydınız, o zaman hem de aynı şekilde çürütülürdü . ${\ Displaystyle A\'dan B'ye}$${\displaystyle \neg B\to \neg A}$${\displaystyle \neg B\to \neg A}$${\ Displaystyle A\'dan B'ye}$

Genel olarak, bir ifade için bir ima B , değil B daima ima bir değil . Sonuç olarak, bu ifadelerden birinin ispatlanması veya ispatlanması, mantıksal olarak birbirine eşdeğer oldukları için diğerini otomatik olarak ispatlar veya çürütür.

Resmi tanımlama

Aşağıdaki ilişki geçerli olduğunda, bir Q önermesi , bir P önermesi tarafından ima edilir :

${\görüntüleme stili (P\to Q)}$

Bu, "eğer öyleyse " veya "Eğer Sokrates bir insansa , o zaman Sokrates insandır " der . Bu gibi bir koşullu gibi olarak, bir önce gelen ve bir sonuç olarak . Bir ifade, ancak onun öncülü diğerinin olumsuzlanmış sonucu olduğunda ve bunun tersi olduğunda diğerinin karşıt pozitifidir . Bu nedenle, bir kontrapozitif genellikle şu şekli alır: ${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili Q}$${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili Q}$

${\displaystyle (\neg Q\to \neg P)}$.

Yani, "Değilse- , o zaman değil- " veya daha açık bir ifadeyle, "Öyle değilse , o zaman P durum böyle değildir." Örneğimizi kullanarak bu, "Eğer Sokrates insan değilse , Sokrates insan değildir " şeklinde çevrilir . Bu ifadenin orijinal ile çeliştiği ve mantıksal olarak ona eşdeğer olduğu söylenir . Mantıksal denklikleri nedeniyle , birinin etkin bir şekilde diğerini ifade etmesi; biri doğru olduğunda diğeri de doğrudur ve biri yanlış olduğunda diğeri de yanlıştır. ${\görüntüleme stili Q}$${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili Q}$

Kesin olarak konuşursak, bir çelişki yalnızca iki basit koşulda var olabilir. Bununla birlikte, eğer benzerlerse, iki karmaşık, evrensel koşulda bir çelişki de bulunabilir. Bu nedenle, veya "Tüm ler vardır , s" contraposed olan "olmayan tüm ya da s olmayan vardır s." ${\displaystyle \forall {x}(P{x}\to Q{x})}$${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili Q}$${\displaystyle \forall {x}(\neg Q{x}\to \neg P{x})}$${\görüntüleme stili Q}$${\görüntüleme stili P}$

Koşullu tanımıyla basit ispat

Olarak birinci dereceden mantık , koşullu olarak tanımlanır:

${\displaystyle A\to B\,\leftrightarrow \,\neg A\lor B}$

aşağıdaki gibi, karşıt pozitifine eşdeğer hale getirilebilir:

${\displaystyle {\begin{hizalı}\neg A\lor B\,&\,\leftrightarrow B\lor \neg A\\\,&\,\leftrightarrow \neg B\to \neg A\end{hizalı} }}$

Çelişkiyle basit kanıt

İzin vermek:

${\displaystyle (A\to B)\land \neg B}$

A doğruysa, B doğrudur ve B'nin doğru olmadığı da verilir. O zaman çelişki yoluyla A'nın doğru olmaması gerektiğini gösterebiliriz. Çünkü A doğru olsaydı, B'nin de doğru olması gerekirdi ( Modus Ponens'e göre ). Ancak, B'nin doğru olmadığı verildiği için bir çelişkimiz var. Bu nedenle, A doğru değildir ( doğru veya yanlış olan iki değerlikli ifadelerle uğraştığımızı varsayarsak ):

${\displaystyle (A\to B)\to (\neg B\to \neg A)}$

Aşağıdaki varsayımlardan yola çıkarak aynı işlemi tersi yönde de uygulayabiliriz:

${\displaystyle (\neg B\to \neg A)\kara A}$

Burada B'nin doğru ya da doğru olmadığını da biliyoruz. B doğru değilse, A da doğru değildir. Bununla birlikte, A'nın doğru olduğu verilir, dolayısıyla B'nin doğru olmadığı varsayımı bir çelişkiye yol açar, yani B'nin doğru olmadığı durum değildir. Bu nedenle, B doğru olmalıdır:

${\displaystyle (\neg B\to \neg A)\to (A\to B)}$

Kanıtlanmış iki ifadeyi bir araya getirerek, koşullu ve karşıt pozitif arasında aranan mantıksal denkliği elde ederiz:

${\displaystyle (A\to B)\eş (\neg B\to \neg A)}$

Kontrapozitiflerin denkliğinin daha kesin kanıtı

İki önerme arasındaki mantıksal denklik, onların birlikte doğru ya da birlikte yanlış oldukları anlamına gelir. Zıt anlamlıların mantıksal olarak eşdeğer olduğunu kanıtlamak için, maddi çıkarımın ne zaman doğru veya yanlış olduğunu anlamamız gerekir.

${\ Displaystyle P\'den Q'ya}$

Bu yalnızca doğru ve yanlış olduğunda yanlıştır. Bu nedenle, bu önermeyi "Yanlış olduğunda ve değil- " (yani "Öyle olmadığında doğru ve öyle değil- ") ifadesine indirgeyebiliriz : ${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili Q}$${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili Q}$${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili Q}$

${\displaystyle \neg (P\land \neg Q)}$

Bir bağlacın öğeleri hiçbir etkisi olmadan tersine çevrilebilir ( değişebilirlik ile ):

${\displaystyle \neg (\neg Q\land P)}$

Bu tanımlar "eşit olarak " ve eşit olarak (başka, eşit olduğu gibi eşit olan ): ${\görüntüleme stili R}$${\görüntüleme stili \neg Q}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili \neg P}$${\görüntüleme stili \neg S}$${\displaystyle \neg \neg P}$${\görüntüleme stili P}$

${\displaystyle \neg (R\land \neg S)}$

Bu , maddi koşullu tanımın tanımı olan " ( R doğrudur ve S yanlıştır) "durum böyle değildir. O zaman bu ikameyi yapabiliriz:

${\görüntüleme stili R\to S}$

Geri alma ile R ve S içine geri ve , o zaman arzu edilen çelişki elde: ${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili Q}$

${\displaystyle \neg Q\to \neg P}$

karşılaştırmalar

Örnekler

Deyimi "Take Tüm kırmızı nesneler renge sahiptir. " Gibi bu equivalently ifade edilebilir " bir nesne kırmızı edilirse, o zaman rengi vardır. "

• Contrapositive "dır bir nesne renge sahip değilse, o zaman kırmızı değildir. " Bu bizim ilk açıklamada mantıksal takip eder ve bunun gibi, besbelli doğrudur.
• Bunun tersi " Bir nesne kırmızı değilse, rengi yoktur. " Mavi olan bir nesne kırmızı değildir ve hala rengi vardır. Bu nedenle, bu durumda tersi yanlıştır.
• Bunun tersi " Bir nesnenin rengi varsa kırmızıdır. " Nesnelerin başka renkleri de olabilir, dolayısıyla ifademizin tersi yanlıştır.
• Olumsuzluk "dir renk var olmayan bir kırmızı nesne söz konusudur. " Değilleme ilk ifade doğrudur, çünkü bu deyim yanlıştır.

Başka bir deyişle, kontrapozitif, iki koşullu için yeterli olmasa da, belirli bir koşullu ifadeye mantıksal olarak eşdeğerdir .

Benzer şekilde, ifadeyi "almak Tüm dörtgenler , dört tarafı var " "veya eşdeğer ifade bir çokgen bir dörtlü ise o zaman dört yanı vardır. "

• Contrapositive "dir . Bir çokgen dört tarafı yoksa, o zaman bir dörtlü değildir Bu mantıken şöyle", ve kural olarak, contrapositives paylaşan doğruluk değeri kendi koşullu ait.
• Ters "dır Bir çokgen bir dörtlü değilse, o zaman dört tarafı yoktur. " Bu durumda, son örnekte aksine, ifadenin tersi doğrudur.
• Bunun tersi " Bir çokgenin dört kenarı varsa, o zaman bir dörtgendir. " Yine bu durumda, son örnekten farklı olarak, ifadenin tersi doğrudur.
• Olumsuzluk "dir dört tarafı yok en az bir dörtlü vardır. " Bu ifade açıkça yanlıştır.

Deyim ve tersi ikisi de doğru olduğundan, bir denir biconditional ve şu şekilde ifade edilebilir " Bir poligon dörtlü bir yalnızca, eğer ve dört tarafı vardır. " (İfade ancak ve ancak bazen olarak kısaltılır iff .) Yani dört kenarlı olmak hem dörtgen olmak için hem de onu dörtgen saymak için tek başına yeterlidir.

Hakikat

• Eğer bir ifade doğruysa, o zaman onun zıttı doğrudur (ve tersi).
• Bir ifade yanlışsa, çelişkisi yanlıştır (ve tersi).
• Bir ifadenin tersi doğruysa, tersi de doğrudur (ve tersi).
• Bir ifadenin tersi yanlışsa, tersi de yanlıştır (ve tersi).
• Bir ifadenin olumsuzlaması yanlışsa, o zaman ifade doğrudur (ve tersi).
• Bir ifade (veya onun zıt anlamlısı) ve tersi (veya tersi) her ikisi de doğruysa veya her ikisi de yanlışsa, o zaman mantıksal iki koşullu olarak bilinir .

Başvuru

Çünkü olumlu çelişki açıklamada her zaman tablosunda kendisiyle aynı gerçeği değeri (gerçek ya sahtelik) vardır, bu matematiksel ispatı için güçlü bir araç olabilir teoremleri contrapositive gerçeği ifadenin gerçeği daha kurmak daha kolaydır, özellikle ( kendisi). Çelişkili bir kanıt (çelişkili) , bir ifadenin çelişkili olduğunun doğrudan bir kanıtıdır . Bununla birlikte, örneğin 2'nin karekökünün mantıksızlığının ispatında olduğu gibi, çelişki ile ispat gibi dolaylı yöntemler , zıtlık ile de kullanılabilir . Bir rasyonel sayının tanımıyla, " Eğer rasyonel ise, indirgenemez bir kesir olarak ifade edilebilir " ifadesi yapılabilir . Bu ifade doğrudur çünkü bir tanımın yeniden ifadesidir . Bu ifadenin zıt anlamlısı " Eğer indirgenemez bir kesir olarak ifade edilemiyorsa rasyonel değildir " şeklindedir. Bu çelişki, orijinal ifade gibi, aynı zamanda doğrudur. Bu nedenle, indirgenemez bir kesir olarak ifade edilemeyeceği kanıtlanabiliyorsa, rasyonel bir sayı olmaması gerekir . İkincisi çelişki ile kanıtlanabilir. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Önceki örnek, bir teoremi kanıtlamak için bir tanımın zıt anlamlısını kullanmıştı. Bir teorem, teoremin ifadesinin çelişkili olduğunu kanıtlayarak da kanıtlanabilir. N pozitif bir tamsayının kare olmayan bir sayı olduğunu kanıtlamak için , karekökünün irrasyonel olduğunu kanıtlamak için, aynı şekilde, pozitif bir tamsayı N'nin rasyonel olan bir karekökü varsa, N'nin bir kare sayı olduğunu, çelişkili olduğunu kanıtlayabiliriz . Bu ayarı ile gösterilebilir √ N rasyonel ifadesi için eşit a / b ile bir ve b ortak bir ana faktör olan pozitif bir tamsayı olmak ve elde etmek için kare alma N = bir ² / b ² ve not beri , N pozitif bir tamsayıdır b =1 öyle ki N = a ² , bir kare sayı.

Diğer matematiksel çerçevelerle yazışmalar

Sezgisel mantık

Gelen sezgisel mantık , ifade eşdeğer olduğu kanıtlanmış edilemez . Bunun ima ettiğini kanıtlayabiliriz , ancak 'den ' ye ters çıkarım, hariç tutulan orta veya eşdeğer bir aksiyom yasasını gerektirir. ${\ Displaystyle P\'den Q'ya}$${\görüntüleme stili \l değil Q\to \l değil P}$${\ Displaystyle P\'den Q'ya}$${\görüntüleme stili \l değil Q\to \l değil P}$${\görüntüleme stili \l değil Q\to \l değil P}$${\ Displaystyle P\'den Q'ya}$

olasılık hesabı

Çelişki , belirli bir biçimde şu şekilde ifade edilebilen Bayes teoreminin bir örneğini temsil eder :

${\displaystyle \Pr(\lnot P\mid \lnot Q)={\frac {\Pr(\lnot Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)}{\Pr(\lnot Q\mid \lP değil)\,a(\lP değil)+\Pr(\lnot Q\mid P)\,a(P)}}}$.

Yukarıdaki denklemde koşullu olasılık mantıksal ifadeyi genelleştirir , yani DOĞRU veya YANLIŞ atamanın yanı sıra ifadeye herhangi bir olasılık da atayabiliriz. Terim , temel oranı (aka. önceki olasılık ) belirtir . Bunun DOĞRU olmaya eşdeğer olduğunu ve bunun YANLIŞ olmaya eşdeğer olduğunu varsayın . O görmek ardından kolaydır zaman yani zaman DOĞRUDUR. Bunun nedeni , yukarıdaki denklemin sağ tarafındaki kesrin 1'e eşit olması ve dolayısıyla DOĞRU olmaya eşdeğer olmasıdır . Bu nedenle, Bayes teoremi , karşıtlığın bir genellemesini temsil eder . ${\displaystyle \Pr(\l Q\mid P değil)}$${\displaystyle P\to \lnot Q}$${\görüntüleme stili bir(P)}$${\görüntüleme stili P}$${\displaystyle \Pr(\l Q\mid P değil)=1}$${\displaystyle P\to \lnot Q}$${\displaystyle \Pr(\l Q\mid P değil)=0}$${\displaystyle P\to \lnot Q}$${\displaystyle \Pr(\l değil P\mid \l değil Q)=1}$${\displaystyle \Pr(Q\mid P)=1}$${\ Displaystyle P\'den Q'ya}$${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)=1-\Pr(Q\mid P)=0}$${\displaystyle \Pr(\l değil P\mid \l değil Q)=1}$${\görüntüleme stili \l değil Q\to \l değil P}$

öznel mantık

Çelişki , öznel mantıkta öznel Bayes teoreminin şu şekilde ifade edilen bir örneğini temsil eder :

${\displaystyle (\omega _{P{\tilde {|}}Q}^{A},\omega _{P{\tilde {|}}\lnot Q}^{A})=(\omega _{ Q|P}^{A},\omega _{Q|\P}^{A})\,{\widetilde {\phi \,}}\,a_{P}\,}$,

burada kaynak tarafından verilen bir çift iki terimli koşullu görüşü belirtir . Parametre , temel oranı (aka. önceki olasılık ) belirtir . Ters çevrilmiş koşullu görüş çifti gösterilir . Koşullu görüş , mantıksal ifadeyi genelleştirir , yani, DOĞRU veya YANLIŞ atamanın yanı sıra, kaynak , ifadeye herhangi bir öznel görüş atayabilir. Vaka mutlak DOĞRU görüşü kaynağına eşdeğerdir söyleyerek DOĞRUDUR ve dava mutlak YANLIŞ görüşü kaynağına eşdeğerdir söyleyerek YANLIŞ. Koşullu görüşün mutlak DOĞRU olduğu durumda , öznel mantığın öznel Bayes teoremi operatörü , mutlak bir YANLIŞ koşullu görüş ve dolayısıyla DOĞRU olmaya eşdeğer bir mutlak DOĞRU koşullu görüş üretir . Bu nedenle, ilgili Bayes teoremi ikisinin bir genelleme temsil , tersine ve teoremi Bayes' . ${\displaystyle (\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})}$${\görüntüleme stili A}$${\ Displaystyle a_{P}}$${\görüntüleme stili P}$${\displaystyle (\omega _{P{\tilde {|}}Q}^{A},\omega _{P{\tilde {|}}\lnot Q}^{A})}$${\ Displaystyle \ omega _ {Q|P}^{A}}$${\ Displaystyle P\'den Q'ya}$${\görüntüleme stili A}$${\ Displaystyle \ omega _ {Q\mid P}^{A}}$${\görüntüleme stili A}$${\ Displaystyle P\'den Q'ya}$${\ Displaystyle \ omega _ {Q\mid P}^{A}}$${\görüntüleme stili A}$${\ Displaystyle P\'den Q'ya}$${\ Displaystyle \ omega _ {Q|P}^{A}}$${\ Displaystyle {\widetilde {\phi \,}}}$${\displaystyle \omega _{P{\widetilde {|}}\lnot Q}^{A}}$${\displaystyle \omega _{\P değil{\widetilde {|}}\L değil Q}^{A}}$${\görüntüleme stili \l değil Q\to \l değil P}$

Ayrıca bakınız

• Reductio reklam absurdum

Referanslar

Kaynaklar

• Audun Jøsang, 2016, Öznel Mantık; Belirsizlik Altında Akıl Yürütme İçin Bir Biçimcilik Springer, Cham, ISBN  978-3-319-42337-1

Dış bağlantılar

• İlgili Medya , tersine Wikimedia Commons