Kuaterniyon - Quaternion

Kuaterniyon çarpım tablosu
1 ben J k
1 1 ben J k
ben ben -1 k - j
J J - k -1 ben
k k J - ben -1
i , j ve k ile 6 çarpma döngüsünü gösteren Cayley Q8 grafiği . ( SVG dosyasında , vurgulamak için bir döngünün üzerine gelin veya tıklayın.)

Gelen matematik , Dördey sayı sistemi uzanan karmaşık sayılar . Kuaternionlar ilk İrlanda matematikçi tarafından tarif edilmiştir , William Rowan Hamilton 1843 ve uygulanan mekanik olarak üç boyutlu uzayda . Hamilton, bir kuaternionu, üç boyutlu bir uzayda yönlendirilmiş iki çizginin bölümü veya eşdeğer olarak iki vektörün bölümü olarak tanımladı . Kuaterniyonların çarpımı değişmeli değildir .

Kuaterniyonlar genellikle şu şekilde temsil edilir:

burada bir , b , c ve d olarak reel sayılar ; ve i , j ve k olan temel quaternions .

Kuaterniyonlar saf matematikte kullanılır , ancak uygulamalı matematikte , özellikle üç boyutlu bilgisayar grafikleri , bilgisayar görüşü ve kristalografik doku analizi gibi üç boyutlu döndürmeleri içeren hesaplamalar için pratik kullanımları vardır . Euler açıları ve döndürme matrisleri gibi diğer döndürme yöntemleriyle birlikte veya uygulamaya bağlı olarak bunlara alternatif olarak kullanılabilirler.

Modern matematik dilinde , kuaterniyonlar , gerçek sayılar üzerinde dört boyutlu bir ilişkisel normlu bölme cebiri ve dolayısıyla bir alan oluşturur . Kuaterniyonların cebri genellikle ile gösterilir H (için Hamilton ), ya da kalın tahta ile aynı zamanda verilebilir Clifford cebri sınıflandırmalar Aslında, ilk nonkomutatif olduğu bölünme cebri keşfedilecek.

Frobenius teoremine göre cebir , gerçek sayılara uygun bir izomorfik alt halka içeren yalnızca iki sonlu boyutlu bölme halkasından biridir ; diğeri karmaşık sayılardır. Bu halkalar aynı zamanda , kuaterniyonların en büyük birleştirici cebir olduğu Öklid Hurwitz cebirleridir . Kuaterniyonları daha da genişletmek , gerçek sayılar üzerinde son normlu bölme cebiri olan ilişkisel olmayan oktonyonları verir . ( Sedenyonlar , oktonyonların uzantısı, sıfır bölenlere sahiptir ve bu nedenle normlu bir bölme cebri olamaz.)

Birim quaternions bir bir seçim olarak düşünülebilir grubu , yapının 3-küre S 3 grubu verir Spin (3) izomorf, SU (2) ve ayrıca genel kapağının bir SO (3) .

{1, i , j , k }'den ikisi tarafından yayılan 4 boyutlu uzayın düzlemlerinde dördey birimlerinin çarpımlarının 90°'lik dönüşler olarak grafiksel gösterimi . Sol faktör, ürüne ulaşmak için doğru faktör tarafından döndürülmüş olarak görülebilir. Görsel olarak i   j = - ( j   ben ) .
  • In mavisi :
    • 1  ben = ben    (1/ ben düzlem)
    • ben j = k    ( i / k düzlemi)
  • In kırmızı :
    • 1  j = j    (1/ j düzlem)
    • j ben = − k    ( j / k düzlemi)

Tarih

Üzerinde Kuaterniyon plak Brougham (Süpürge) Köprüsü , Dublin , diyor ki:

Burada
16 Ekim 1843'te yanından geçerken,
Sir William Rowan Hamilton
bir deha parıltısıyla dörtlü çarpma
işleminin temel formülünü i 2 = j 2 = k 2 = ijk = -1 keşfetti ve onu bu köprünün bir taşında kesti.


Kuaterniyonlar bu işe 1843 Önemli öncüleri de Hamilton tarafından tanıtıldı dahil Euler dört kare kimliğini (1748) ve Olinde Rodrigues ' dört parametre ile genel rotasyon parametrelerinin belirlenmesine (1840), fakat ikisi de bir dört parametreli rotasyonlar tedavi bu yazarların cebir. Carl Friedrich Gauss da 1819'da kuaterniyonları keşfetmişti, ancak bu çalışma 1900'e kadar yayınlanmadı.

Hamilton, karmaşık sayıların bir düzlemdeki noktalar olarak yorumlanabileceğini biliyordu ve aynı şeyi üç boyutlu uzaydaki noktalar için yapmanın bir yolunu arıyordu . Uzaydaki noktalar, sayıların üçlüleri olan koordinatlarıyla temsil edilebilir ve uzun yıllardır sayıların üçlülerini nasıl toplayıp çıkaracağını biliyordu. Ancak uzun süredir çarpma ve bölme problemine takılıp kalmıştı. Uzaydaki iki noktanın koordinatlarının bölümlerini nasıl hesaplayacağını bulamadı . Aslında, Ferdinand Georg Frobenius daha sonra 1877'de gerçek sayılar üzerinde bir bölme cebirinin sonlu boyutlu ve birleştirici olması için üç boyutlu olamayacağını ve bu tür bölme cebirlerinin yalnızca üçü olduğunu kanıtladı : (karmaşık sayılar) ve (dördeyler) ) sırasıyla 1, 2 ve 4 boyutlarına sahiptir.

Kuaterniyonlardaki büyük atılım nihayet 16 Ekim 1843 Pazartesi günü , Hamilton'ın bir konsey toplantısına başkanlık edeceği İrlanda Kraliyet Akademisi'ne giderken Dublin'de geldi . Karısı ile Kraliyet Kanalı'nın çekici yolunda yürürken , zihninde kuaterniyonların ardındaki kavramlar şekilleniyordu. Cevap aklına geldiğinde Hamilton, kuaterniyonların formülünü oluşturma dürtüsüne karşı koyamadı.

üzerinde durduğunda Brougham Köprüsü'nün taşına saplandı . Oyma o zamandan beri kaybolmuş olsa da, Hamilton'un keşfini anmak için Dunsink Gözlemevi'nden Kraliyet Kanalı köprüsüne yürüyen bilim adamları ve matematikçiler için 1989'dan beri Hamilton Yürüyüşü adı verilen yıllık bir hac vardır .

Ertesi gün Hamilton, arkadaşı ve matematikçi arkadaşı John T. Graves'e, keşfine yol açan düşünce trenini anlatan bir mektup yazdı. Bu mektup daha sonra Londra, Edinburgh ve Dublin Philosophical Magazine ve Journal of Science'a gönderilen bir mektupta yayınlandı ; Hamilton şunları belirtir:

Ve burada, bir anlamda, üçlülerle hesaplama yapmak amacıyla uzayın dördüncü bir boyutunu kabul etmemiz gerektiği fikri aklıma geldi... Bir elektrik devresi kapanıyor gibiydi ve bir kıvılcım parladı.

Hamilton çarpmanın bir bu kurallı bir dörtlü olarak adlandırılan Dördey ve o okuyan ve öğreterek için hayatının geri kalanının çoğu adamıştı. Hamilton'un tedavisi , kuaterniyonların cebirsel özelliklerini vurgulayan modern yaklaşımdan daha geometriktir . Bir "kuaterniyoncular" okulu kurdu ve kuaterniyonları birkaç kitapta popülerleştirmeye çalıştı. Kitaplarının sonuncusu ve en uzunu olan Elements of Quaternions 800 sayfa uzunluğundaydı; oğlu tarafından düzenlendi ve ölümünden kısa bir süre sonra yayınlandı.

Hamilton'un ölümünden sonra, İskoç matematiksel fizikçi Peter Tait , kuaterniyonların baş temsilcisi oldu. Şu anda, kuaterniyonlar Dublin'de zorunlu bir sınav konusuydu. Uzayda kinematik ve Maxwell denklemleri gibi şimdi vektörler kullanılarak açıklanacak olan fizik ve geometri konuları , tamamen kuaterniyonlar cinsinden tanımlandı. Kuaterniyonlar ve diğer hiper karmaşık sayı sistemlerini incelemeye adanmış profesyonel bir araştırma derneği olan Quaternion Society bile vardı .

1880'lerin ortalarından itibaren, kuaterniyonlar , Josiah Willard Gibbs , Oliver Heaviside ve Hermann von Helmholtz tarafından geliştirilen vektör analizi ile yer değiştirmeye başladı . Vektör analizi, kuaterniyonlarla aynı fenomeni tanımladı, bu nedenle kuaterniyonlarla ilgili literatürden liberal olarak bazı fikirleri ve terminolojiyi ödünç aldı. Bununla birlikte, vektör analizi kavramsal olarak daha basit ve notasyonel olarak daha temizdi ve sonunda kuaterniyonlar matematik ve fizikte küçük bir role indirgendi . Bu geçişin bir yan etkisi, Hamilton'un çalışmasının birçok modern okuyucu için anlaşılmasının zor olmasıdır. Hamilton'ın orijinal tanımları tanıdık değil ve yazı stili endişeliydi ve takip etmesi zordu.

Bununla birlikte, kuaterniyonlar, 20. yüzyılın sonlarından bu yana, öncelikle uzaysal rotasyonları tanımlamadaki yararlarından dolayı bir canlanma yaşadı . Döndürmelerin kuaterniyonlarla temsilleri, matrislerle temsillerden daha kompakt ve hesaplanması daha hızlıdır . Ayrıca Euler açılarından farklı olarak " yalpalama kilidine " duyarlı değildirler . Bu nedenle kuaterniyonlar bilgisayar grafiği , bilgisayarla görme , robotik , kontrol teorisi , sinyal işleme , tutum kontrolü , fizik , biyoinformatik , moleküler dinamik , bilgisayar simülasyonları ve yörünge mekaniğinde kullanılmaktadır . Örneğin uzay araçlarının durum kontrol sistemlerinin kuaterniyonlar cinsinden komuta edilmesi yaygındır . Kuaterniyonlar , ikinci dereceden formlarla ilişkileri nedeniyle sayı teorisinden başka bir destek aldı .

fizikte kuaterniyonlar

PR Girard'ın 1984 tarihli makalesi Kuaterniyon grubu ve modern fizik , kuaterniyonların fizikteki bazı rollerini tartışıyor. Çeşitli fiziksel kovaryans grupları, yani ne kadar deneme gösterir , SO (3) , Lorentz grubu, görelilik grubunun genel teori, Clifford cebir SU (2) ve konformal grubu, kolayca ilgili olabilir Dördey grubu olarak , modern cebir . Girard tartışmaya başladı grup temsilleri ve bazı temsil eden uzay grupları arasında kristalografisi . O ilerledi kinematik bir katı cisim hareketin. Daha sonra , Thomas devinimi de dahil olmak üzere, Lorentz özel görelilik grubunu temsil etmek için karmaşık kuaterniyonları ( bikuaterniyonları ) kullandı . Maxwell denklemlerini tek bir diferansiyel denklemde ifade etmek için bir kuaterniyon değişkeninin potansiyel fonksiyonunu kullanan Ludwik Silberstein ile başlayan beş yazardan bahsetti . Genel görelilik ile ilgili olarak, Runge-Lenz vektörünü ifade etti . Clifford cebirinin bir örneği olarak Clifford biquaternions'tan ( split-biquaternions ) bahsetti . Son olarak, bir biquaternion'un tersini çağıran Girard , uzay-zaman üzerindeki uyumlu haritaları tanımladı . Elli referanslar arasında, Girard dahil Alexander MacFarlane ve onun Bülteni ait Kuaternion Derneği . 1999'da Einstein'ın genel görelilik denklemlerinin, kuaterniyonlarla doğrudan bağlantılı bir Clifford cebiri içinde nasıl formüle edilebileceğini gösterdi.

Bu 1924 bulgusu kuantum mekaniği sıkma (bilinen bir elektron ve diğer madde partiküllerinin spinörleri ) quaternions kullanılarak tanımlanabilir ilgi furthered; kuaterniyonlar, elektronların 360° dönüşlerinin 720° dönüşlerinden nasıl ayırt edilebileceğini anlamaya yardımcı oldu (" Plaka hilesi "). 2018 itibariyle, kullanımları rotasyon gruplarını geçmedi .

Tanım

Bir dördey , formun bir ifadesidir

burada a , b , c , d , reel sayılardır ve i , j , k , üç uzaysal ekseni işaret eden birim vektörler olarak yorumlanabilen sembollerdir . Pratikte, a , b , c , d'den biri 0 ise, karşılık gelen terim atlanır; Eğer bir , b , c , d her sıfır, Dördey olan sıfır Dördey , 0 gösterilen; biri, eğer b , c , d 1 olduğunda karşılık gelen bu terim yazılır i , j , ve k .

Hamilton, bir dördey bir skaler kısım ve bir vektör kısımdan oluşan olarak tanımlar . Dördey adlandırılır vektör kısmı (bazen sanal parça arasında) q , ve bir bir skaler parçası (bazen gerçek parça arasında) q . Reel kısmına (yani vektör kısmı sıfırdır) eşit olan bir kuaterniyon skaler veya reel kuaterniyon olarak adlandırılır ve karşılık gelen gerçel sayı ile tanımlanır. Yani, gerçek sayılar kuaterniyonlara gömülüdür . (Daha doğrusu, gerçek sayıların alanı kuaterniyonların bir alt kümesine eşbiçimlidir. Karmaşık sayıların alanı da kuaterniyonların üç alt kümesine eşbiçimlidir.) Vektör kısmına eşit olan bir kuaterniyon, bir vektör kuaterniyon olarak adlandırılır .

Kuaterniyonlar kümesi , bileşen bazında toplama ile temel olarak reel sayılar üzerinde 4 boyutlu bir vektör uzayı haline getirilir.

ve bileşen bazında skaler çarpma

Hamilton çarpımı adı verilen ve yan yana gelme ile gösterilen çarpımsal bir grup yapısı, kuaterniyonlar üzerinde aşağıdaki şekilde tanımlanabilir:

  • Gerçek kuaterniyon 1 , kimlik öğesidir .
  • Gerçek kuaterniyonlar yani, tüm diğer quaternions gidip aq = qa her Dördey için q ve her gerçek Dördey a . Cebirsel terminolojide bu, gerçek kuaterniyonlar alanının bu kuaterniyon cebirinin merkezi olduğunu söylemektir .
  • Çarpım önce temel elemanlar için verilir (bir sonraki alt bölüme bakınız) ve daha sonra gerçek kuaterniyonların dağılma özelliği ve merkez özelliği kullanılarak tüm kuaterniyonlara genişletilir . Hamilton çarpımı değişmeli değil, birleştiricidir , bu nedenle kuaterniyonlar gerçek sayılar üzerinde birleştirici bir cebir oluşturur.
  • Ek olarak, sıfır olmayan her dörtlü, Hamilton çarpımına göre bir tersi vardır:

Böylece kuaterniyonlar bir bölme cebiri oluşturur.

Temel elemanların çarpımı

Çarpım tablosu
× 1 ben J k
1 1 ben J k
ben ben -1 k - j
J J - k -1 ben
k k J - ben -1
Değişmezlik, renkli karelerle vurgulanır

Çarpma 1 baz elemanlarının i , j , ve k gerçeği ile tanımlanır 1 a, çarpımsal kimlik olduğu,

Temel elemanların diğer ürünleri, ürün kurallarından tanımlanır ve

ve

Daha sonra, diğer ürün kuralları değiştirerek elde edilir ile ve uygulama birleşim ve anticommutativity arasında ve (olup, ), burada verir

Merkez

Merkezi a nonkomutatif halka elemanlarının alt halka olduğu C bu şekilde cx = xc her için x . Kuaterniyon cebirinin merkezi, gerçek kuaterniyonların alt alanıdır. Aslında gerçek kuaterniyonların merkeze ait olması tanımın bir parçasıdır. Tersine, eğer q = a + b ben + c j + d k merkeze aitse, o zaman

ve c = d = 0 . Benzer bir hesaplama , j yerine i bir de sahip olduğunu göstermektedir b = 0 . Böylece q = bir a, gerçek Dördey.

Kuaterniyonlar bir bölme cebiri oluşturur. Bu, dördeyleri bir alandan farklı kılan tek özelliğin çarpmanın değişmezliğinin olduğu anlamına gelir . Bu değişmezliğin bazı beklenmedik sonuçları vardır; bunlar arasında , kuaterniyonlar üzerindeki bir polinom denkleminin , polinomun derecesinden daha farklı çözümlere sahip olabileceğidir. Örneğin, Denklem z 2 + 1 = 0 , quaternions olan sonsuz sayıda Dördey çözümler vardır z = b i + c j + d k , öyle ki b 2 + c 2 + d 2 = 1 . Böylece bu "-1'in kökleri" vektör kuaterniyonlarının üç boyutlu uzayında bir birim küre oluşturur .

Hamilton ürünü

İki eleman için a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k ve a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k , bunların çarpımı Hamilton çarpımı olarak adlandırılır ( a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k ) ( a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k ) , temel elemanlar ve dağılım yasasının çarpımı ile belirlenir . Dağılım yasası, ürünü, temel öğelerin ürünleri toplamı olacak şekilde genişletmeyi mümkün kılar. Bu, aşağıdaki ifadeyi verir:

Şimdi temel öğeler, aşağıdakileri elde etmek için yukarıda verilen kurallar kullanılarak çarpılabilir:

İki dönüş kuaterniyonunun çarpımı, a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k dönüşüne ve ardından a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k dönüşüne eşdeğer olacaktır .

Skaler ve vektör parçalar

Formunun bir Dördey a + 0 i + 0 j + 0 k , bir gerçek bir sayıdır, adı skalar ve formun Dördey 0 + b i + c j + d k , burada b , c , ve d reel sayılardır ve b , c veya d'den en az biri sıfırdan farklıdır ve buna vektör kuaterniyon denir . Eğer bir + b i + c j + d k , daha sonra herhangi bir Dördey olan bir kendi denir skalar parçası ve b ı + c j + d k onun adlandırılır vektör parçası . Her dördey dört boyutlu bir vektör uzayında bir vektör olarak görülebilse de, vektör kısmına üç boyutlu uzayda vektörler olarak atıfta bulunulması yaygındır . Bu kurala göre bir vektör, vektör uzayının bir elemanı ile aynıdır.

Hamilton ayrıca vektör kuaterniyonlarını sağ kuaterniyonlar ve gerçek sayılar (sıfır vektör kısmı olan kuaterniyonlar olarak kabul edilir) skaler kuaterniyonlar olarak da adlandırdı .

Bir dördey bir skaler kısım ve bir vektör kısıma bölünürse, yani,

daha sonra toplama ve çarpma formülleri

burada " " ve " " , sırasıyla nokta çarpımı ve çapraz çarpımı belirtir .

Konjugasyon, norm ve karşılıklı

Kuaterniyonların konjugasyonu, karmaşık sayıların konjugasyonuna ve Clifford cebirlerinin elemanlarının transpozisyonuna (tersine çevirme olarak da bilinir) benzerdir. Bunu tanımlamak için izin Dördey ol. Konjugat ve q Dördey olup . Bu ile gösterilir q * , q, t , ya da q . Konjugasyon bir involüsyondur , yani kendi tersidir , bu nedenle bir elementin iki kez konjuge edilmesi orijinal elementi döndürür. İki kuaternyonun bir ürününün konjugatı , ters sırada konjugatların ürünüdür . Yani, eğer p ve q kuaterniyonlarsa, o zaman ( pq ) = q p , p q ∗ değil .

Bir kuaternyonun konjugasyonu, karmaşık düzenin tam tersine, kuaterniyonların çarpımı ve eklenmesiyle ifade edilebilir:

Bir kuaternyonun skaler ve vektör kısımlarını çıkarmak için konjugasyon kullanılabilir. Skaler parçası p olan 1/2( P + p * ) , ve vektör kısmı p olan1/2( p - p ) .

Kare kökü olarak konjügatı ile bir quaternion ürünü olarak adlandırılan standart ve gösterilir || q || (Hamilton bu niceliği q'nun tensörü olarak adlandırdı , ancak bu modern " tensör " anlamı ile çelişiyor ). Formüllerde bu şu şekilde ifade edilir:

Bu her zaman negatif olmayan bir gerçek sayıdır ve vektör uzayı olarak kabul edilen Öklid normuyla aynıdır . Bir kuaternyonu gerçek bir sayı ile çarpmak, normunu sayının mutlak değeriyle ölçeklendirir. Yani, eğer α gerçekse, o zaman

Bu, normun çarpımsal olduğu gerçeğinin özel bir durumudur , yani

herhangi iki kuaterniyon için p ve q . Çarpımsallık, bir ürünün eşleniği formülünün bir sonucudur. Alternatif olarak, kimlikten takip eder

(burada i her zamanki sanal birimi gösterir ) ve dolayısıyla kare matrislerin belirleyicilerinin çarpımsal özelliğinden .

Bu norm, p ve q arasındaki d ( p , q ) mesafesini farklarının normu olarak tanımlamayı mümkün kılar :

Bu bir metrik uzay yapar . Toplama ve çarpma olan sürekli içinde metrik topoloji . Gerçekten de, herhangi bir skaler için, pozitif a tutar

Süreklilik almaktan şöyle bir sınırda sıfıra. Çarpma için süreklilik benzer şekilde geçerlidir.

Birim dördey

Bir birim dördey , norm bir dördeydir. Sıfır olmayan bir Dördey bölünmesi q bir birim Dördey kendi normunun üretir U q denilen versor arasında q :

Her kuaternion bir polar ayrışmaya sahiptir .

Konjugasyon ve normun kullanılması, sıfır olmayan bir kuaternyonun karşılıklılığını tanımlamayı mümkün kılar . Onun karşılığı ile bir quaternion ürün 1 eşit olmalıdır, ve hususlar yukarıda ürünü anlamına ve 1 (çarpma iki sipariş için) 'dir. Yani karşılıklı bir q tanımlanır olmak

Bu, p ve q kuaterniyonlarını iki farklı şekilde ( q sıfır olmadığında) bölmeyi mümkün kılar . Yani, bölümleri ya p q -1 ya da q -1 p olabilir  ; p ve q'nun birbirinin skaler katları olduğu özel durum dışında ( p = 0 olduğu durumu içerir ). Bu nedenle, notasyonP/Qbelirsizdir, çünkü q'nun sola mı yoksa sağa mı bölüneceğini belirtmez (  q -1, p'yi solunda mı yoksa sağında mı çarpar ).

cebirsel özellikler

Cayley grafik ve Q 8 . Kırmızı oklar sağdaki çarpmayı i ile ve yeşil oklar sağdaki çarpmayı j ile temsil eder .

Set tüm kuaterniyonların bir olan vektör uzayı üzerinde gerçek sayılar ile boyutun  kuaterniyonların 4. Çarpma ilişkisel ve vektör ek üzerinde dağıtır, ancak skaler altkümesi hariç, bu değişmeli değildir. Bu nedenle, kuaterniyonlar , gerçek sayılar üzerinde değişmeli olmayan, birleştirici bir cebirdir. Karmaşık sayıların kopyalarını içermesine rağmen , karmaşık sayılar üzerinde bir ilişkisel cebir değildir.

Kuaterniyonları bölmek mümkün olduğundan, bir bölme cebiri oluştururlar. Bu, çarpmanın değişmezliği dışında bir alana benzer bir yapıdır . Gerçek sayılar üzerinde sonlu boyutlu birleştirici bölmeli cebirler çok nadirdir. Frobemino teoremi : orada tam olarak üçe olduğunu bildiren , ve . Norm, kuaterniyonları normlu bir cebire dönüştürür ve gerçek sayılar üzerindeki normlu bölme cebirleri de çok nadirdir: Hurwitz teoremi sadece dört tane olduğunu söyler: , , , ve (oktonyonlar). Kuaterniyonlar aynı zamanda bir bileşim cebirinin ve bir birimsel Banach cebirinin bir örneğidir .

Q 8'in üç boyutlu grafiği . Kırmızı, yeşil ve mavi oklar sırasıyla i , j ve k ile çarpmayı temsil eder . Negatif sayılarla çarpma, netlik için atlanmıştır.

Herhangi iki temel vektörün çarpımı artı veya eksi başka bir temel vektör olduğundan, {±1, ± i , ± j , ± k } kümesi çarpma altında bir grup oluşturur . Bu değişmeyen gruba kuaterniyon grubu denir ve Q 8 ile gösterilir . Gerçek grup, halka içinde Q 8 bir halka üzerinde, aynı zamanda, bir sekiz-boyutlu bir vektör alanıdır Bu her bir elemanı için bir baz vektörü quaternions göre izomorfik bölüm halkası arasında göre ideali elemanları tarafından üretilen (1 + -1 ) , ben + (− ben ) , j + (− j ) ve k + (− k ) . Burada farklılıkların her birindeki ilk terim 1, i , j ve k temel öğelerinden biridir ve ikinci terim -1, − i , − j ve k temel öğelerinden biridir , toplamsal terslerden değil arasında 1, i , j ve k .

Kuaterniyonlar ve uzay geometrisi

Bir kuaternyonun vektör kısmı bir koordinat vektörü olarak yorumlanabilir, bu nedenle kuaterniyonların cebirsel işlemleri , vektör nokta ve çapraz çarpımlar gibi işlemlerin geometrisini yansıtır ve bu da kuaterniyonlar cinsinden tanımlanabilir ve bu da uygulamayı mümkün kılar. uzaysal vektörlerin ortaya çıktığı her yerde kuaterniyon teknikleri. Kuaterniyonların yararlı bir uygulaması, bilgisayar grafiklerindeki ana karelerin yönelimlerini enterpolasyon yapmak olmuştur.

Bu bölümün geri kalanı için, i , j , ve k üç hayali temel vektörleri hem ifade edecek ve bir temel değiştirilmesi i ile - i , j ile - j ve k ile - k onun için bir vektör gönderir katkı ters , yani bir vektörün toplamsal tersi, bir kuaterniyon olarak eşleniği ile aynıdır. Bu nedenle konjugasyona bazen uzaysal ters denir .

İki vektörün quaternions için p = b 1 i + c 1 j + d 1 k ve q = b 2 i + c 2 j + d 2 k kendi nokta ürün olarak vektörlere benzer şekilde, IS

Ayrıca bileşensiz bir şekilde şu şekilde ifade edilebilir:

Bu, pq , qp , p q ve q p ürünlerinin skaler kısımlarına eşittir . Vektör bölümlerinin farklı olduğuna dikkat edin.

Çapraz ürün arasında p ve q, doğrultusuna göre sıralı olarak belirlenir i , j , ve k bir

(İşareti belirlemek için oryantasyonun gerekli olduğunu hatırlayın.) Bu, pq çarpımının vektör kısmına ( dördey olarak) ve q p vektör kısmına eşittir . formülü de var

İçin komütatör , [ p , q, ] = -q - QP iki vektör kuaterniyonların bir elde eder bölgesinin

Genel olarak, p ve q kuaterniyonlar olsun ve yazalım

burada p s ve q s skaler kısımlardır ve p v ve q v p ve q'nun vektör kısımlarıdır . O zaman formülümüz var

Bu, kuaterniyon çarpımının değişmezliğinin vektör kuaterniyonlarının çarpımından geldiğini gösterir. Aynı zamanda, iki kuaternyonun, ancak ve ancak vektör kısımlarının eşdoğrusal olması durumunda yer değiştirdiğini gösterir. Hamilton, bu ürünün verilen iki köşeden ve aynı zamanda Eliptik geometride bir noktalar cebiri olan ilişkili yay uzunluklarından küresel bir üçgenin üçüncü tepe noktasını hesapladığını gösterdi .

Birim kuaterniyonlar, dönmelerle tanımlanabilir ve Hamilton tarafından versors olarak adlandırılmıştır . Kuaterniyonları kullanarak üç boyutlu döndürmeleri modelleme hakkında daha fazla bilgi için Kuaterniyonlar ve uzamsal döndürme konusuna da bakın .

Kuaterniyonların görselleştirilmesi için Hanson'a (2005) bakınız .

matris temsilleri

Karmaşık sayılar nasıl matrislerle gösterilebiliyorsa , kuaterniyonlar da öyle olabilir. Kuaterniyonları , dördey toplama ve çarpma, matris toplama ve matris çarpımına karşılık gelecek şekilde matrisler olarak temsil etmenin en az iki yolu vardır . Biri 2 × 2 karmaşık matrisleri kullanmak, diğeri ise 4 × 4 gerçek matrisleri kullanmaktır. Her durumda, verilen temsil, doğrusal olarak ilişkili bir temsiller ailesinden biridir. Terminolojisinde soyut cebir , bunlar injektif homomorfizmleri gelen için matris halkalar M (2, ℂ) ve M (4, ℝ) , sırasıyla.

2 × 2 karmaşık matrisler kullanılarak, kuaterniyon a + bi + cj + dk şu şekilde temsil edilebilir:

Karmaşık sayıların "i"sinin kuaterniyonların "i"sinden farklı olduğuna dikkat edin.

Bu temsil aşağıdaki özelliklere sahiptir:

  • b , c ve d' den herhangi ikisini sıfıra sınırlamak , karmaşık sayıların bir temsilini üretir. Örneğin, c = d = 0 ayarı , karmaşık sayıların bir diyagonal karmaşık matris gösterimini üretir ve b = d = 0 ayarı, gerçek bir matris gösterimi üretir.
  • Bir kuaternyonun normu (karmaşık sayılarda olduğu gibi, eşleniği ile ürünün karekökü), karşılık gelen matrisin determinantının kareköküdür .
  • Bir kuaternyonun eşleniği , matrisin eşleniğinin devrikine karşılık gelir .
  • Kısıtlama ile bu temsil , birim kuaterniyonların alt grubu ile onların görüntüleri SU(2) arasında bir izomorfizm verir . Topolojik olarak, birim kuaterniyonlar 3 küredir, bu nedenle SU(2)'nin altındaki uzay da 3 küredir. SU(2) grubu , kuantum mekaniğinde spini tanımlamak için önemlidir ; Pauli matrislerine bakın .
  • Kuaterniyon birimleri ile Pauli matrisleri arasında güçlü bir ilişki vardır. a , b , c ve d alarak sekiz kuaterniyon birim matrisini elde edin , bunlardan üçünü sıfıra ve dördüncüyü 1 veya -1'e ayarlayın. Herhangi iki Pauli matrisinin çarpılması, her zaman bir dördey birim matrisi verir, -1 hariç hepsi. i 2 = j 2 = k 2 = ijk = -1 yoluyla -1 elde edilir ; örneğin son eşitlik

4 × 4 gerçek matris kullanılarak, aynı kuaterniyon şu şekilde yazılabilir:

Ancak, kuaterniyonların M(4,ℝ)' deki temsili tek değildir. Örneğin, aynı kuaterniyon şu şekilde de gösterilebilir:

Matrislerden birinin skaler kısmı temsil ettiği ve diğer üçünün de çarpık simetrik olduğu bu formun 48 farklı matris temsili vardır. Daha doğrusu, dörtlü matrislere 1, i , j ve k gönderen bir fonksiyon bir homomorfizma olacak şekilde, bu simetri kısıtlamalarına sahip 48 set dörtlü matris vardır , yani , toplamlara kuaterniyonların toplamlarını ve ürünlerini gönderir. ve matrislerin ürünleri. Bu gösterimde, bir kuaternyonun eşleniği matrisin devrik durumuna karşılık gelir . Bir quaternion normunun dördüncü gücü belirleyici mukabil matris. Yukarıdaki 2 × 2 karmaşık gösterimde olduğu gibi, katsayılar uygun şekilde sınırlandırılarak karmaşık sayılar yeniden üretilebilir; örneğin, c = d = 0 olarak ayarlayarak iki 2 × 2 bloklu blok diyagonal matrisleri olarak .

Kuaterniyonların her 4x4 matris gösterimi, birim kuaterniyonların çarpım tablosuna karşılık gelir. Örneğin, yukarıda verilen son matris gösterimi çarpım tablosuna karşılık gelir.

× a NS - b - c
a a NS -b -c
-d -d a C -b
B B - c a - gün
C C B NS a

hangi izomorfik - aracılığıyla -

× 1 k - ben - j
1 1 k - ben - j
- k - k 1 J - ben
ben ben - j 1 - k
J J ben k 1

Bu tür herhangi bir çarpım tablosunu ilk satır ve sütunda özdeşliğe sahip olacak şekilde ve satır başlıklarının işaretlerinin sütun başlıklarınınkiyle zıt olacak şekilde sınırlandırmak, o zaman ikinci sütun için 3 olası seçenek vardır (işareti yoksayarak), 2 olası üçüncü sütun için seçenekler (işareti yok sayma) ve dördüncü sütun için 1 olası seçenek (işareti yok sayma); bu 6 olasılık yapar. Ardından, ikinci sütun pozitif veya negatif olarak seçilebilir, üçüncü sütun pozitif veya negatif olarak seçilebilir ve dördüncü sütun pozitif veya negatif olarak seçilebilir ve işaret için 8 olasılık verilebilir. Yazmak pozisyonlar için ve 48 sonra değiştirilmesi işaretlerine verim olasılıklarını çarpımı 1 ile bir , i ile , b , j ile c ve k ile d ve satır ve sütun başlıkları çıkarılması için bir matris ile temsil veren bir + b i + c j + d k .

Lagrange'ın dört kare teoremi

Kuaterniyonlar, Lagrange'ın sayı teorisindeki dört kare teoreminin ispatlarından birinde de kullanılır . Lagrange'ın dört kare teoremi, başlı başına zarif bir teorem olmanın yanı sıra, kombinatoryal tasarım teorisi gibi sayı teorisi dışındaki matematik alanlarında da faydalı uygulamalara sahiptir . Kuaterniyon tabanlı kanıt, Öklid algoritmasının bir analogu olan tüm kuaterniyonların halkasının bir alt halkası olan Hurwitz kuaterniyonlarını kullanır .

Karmaşık sayı çiftleri olarak kuaterniyonlar

Kuaterniyonlar karmaşık sayı çiftleri olarak gösterilebilir. Bu açıdan kuaterniyonlar, Cayley-Dickson yapısının karmaşık sayılara uygulanmasının sonucudur . Bu, karmaşık sayıların gerçek sayı çiftleri olarak oluşturulmasının bir genellemesidir.

Let karmaşık sayılar üzerinde iki boyutlu vektör uzayı olsun. 1 ve j öğelerinden oluşan bir temel seçin . Bir vektör olarak baz elemanları açısından yazılabilir 1 ve j olarak

j 2 = −1 ve i j = − j i tanımlarsak , o zaman dağılım yasasını kullanarak iki vektörü çarpabiliriz. Kullanma k ürünü için kısaltılmış notasyonu olarak i j zamanki quaternions çoğalması için aynı kurallara potansiyel. Bu nedenle, yukarıdaki karmaşık sayı vektörü, a + bi + c j + d k kuaterniyonuna karşılık gelir . Sıralı ikili ve kuaterniyonların elemanlarını dörtlü olarak yazarsak, karşılık gelen

Karekök

-1'in kare kökleri

Karmaşık sayılarda, karesi -1 olan i ve − i olmak üzere sadece iki sayı vardır . İçinde eksi birin sonsuz sayıda karekökü vardır: -1'in karekökü için kuaterniyon çözümü birim küredir . Bunu görmek için, q = a + b i + c j + d k'nin bir kuaterniyon olmasına izin verin ve şunu varsayalım: karesi -1'dir. Açısından bir , b , c ve d bu araçlar

Ya son üç denklem karşılamak için bir = 0 ya da b , c , ve d , çünkü ikinci imkansız hepsi 0 olan bir gerçek sayıdır ve birinci denklem anlamına ki bir 2 = -1 . Bu nedenle, a = 0 ve b 2 + c 2 + d 2 = 1 . Başka bir deyişle: Bir kuaterniyon, ancak ve ancak norm 1'e sahip bir vektör kuaterniyon ise -1'e kareler. Tanım olarak, bu tür tüm vektörlerin kümesi birim küreyi oluşturur.

Yalnızca negatif reel kuaterniyonların sonsuz sayıda karekökleri vardır. Diğerlerinin hepsinde sadece iki tane (veya 0 durumunda bir tane) bulunur.

Karmaşık uçakların bir birleşimi olarak

-1'in her bir karekök çifti, kuaterniyonların içindeki karmaşık sayıların ayrı bir kopyasını oluşturur. Eğer q 2 = -1 , daha sonra kopya fonksiyonu ile belirlenir

Bu, bir birebir halka homomorfizması gelen için bir alan tanımlayan izomorfizm gelen onun üzerine görüntü . q ve - q'ya karşılık gelen yerleştirmelerin görüntüleri aynıdır.

Her gerçek olmayan kuaterniyon , kuaterniyonların eşbiçimli olan bir alt cebirini üretir ve bu nedenle , skaler kısmı ile vektör kısmının toplamı olarak q yazmanın düzlemsel bir alt uzayıdır :

Vektör kısmını, normunun ve versorunun ürünü olarak daha da ayrıştırın :

(Bunun ile aynı olmadığına dikkat edin .) q , ' nin vektör kısmının versor'u, karesi –1 olan bir sağ versordur. Basit bir doğrulama şunu gösterir:

Bir birebirdir tanımlayan homomorfizması arasında normlu cebirlerin gelen quaternions içine. Bu homomorfizma altında q , karmaşık sayının görüntüsüdür .

Gibi olan birlik tüm bu homomorfizması görüntülerin bu konuda kesişen karmaşık uçaklarının birlik olarak kuaterniyonları görüntülenmesini sağlar gerçek hat . Bu karmaşık düzlemlerin her biri , eksi bir karekök küresinin tam olarak bir çift zıt noktası içerir.

değişmeli alt halkalar

Kuaterniyonların karmaşık alt düzlemleri içinde birbirleriyle ilişkisi , değişmeli alt halkalar cinsinden de tanımlanabilir ve ifade edilebilir . Spesifik olarak, iki kuaterniyon p ve q yer değiştirdiğinden (yani, pq = qp ) yalnızca 'nin aynı karmaşık alt düzleminde bulunuyorlarsa , karmaşık düzlemlerin birleşimi olarak profili , kuaterniyon halkasının tüm değişmeli alt halkalarını bulmaya çalıştığında ortaya çıkar .

Keyfi kuaterniyonların kare kökleri

Herhangi bir kuaterniyon (burada skaler-vektör gösteriminde temsil edilir) denklemi çözen en az bir kareköküne sahiptir . Bu denklemdeki skaler ve vektör kısımlarına ayrı ayrı bakıldığında, çözüldüğünde çözümleri veren iki denklem elde edilir.

nerede norm olduğu ve norm olduğu . Herhangi bir skaler kuaterniyon için , bu denklem keyfi bir birim vektör olarak yorumlanırsa doğru karekökleri sağlar .

Bu nedenle, sıfır olmayan, skaler olmayan kuaterniyonlar veya pozitif skaler kuaterniyonlar tam olarak iki köke sahipken, 0 tam olarak bir köke (0) sahiptir ve negatif skaler kuaterniyonlar sonsuz sayıda köke sahiptir, bunlar vektör kuaterniyonlarıdır , yani, burada skaler kısım sıfırdır ve vektör kısım yarıçaplı 2 küre üzerinde bulunur .

Bir dördey değişkeninin işlevleri

Julia kümeleri ve Mandelbrot kümeleri Kuaterniyonlara genişletilebilir, ancak görsel olarak 3 boyutlu olarak oluşturulmak için kesitleri kullanmaları gerekir. Bu Julia seti, xy düzleminde kesitlidir .

Bir fonksiyonları gibi karmaşık değişkenli , Dördey değişkenli fonksiyonlar kullanışlı fiziksel modeller önermek. Örneğin, Maxwell tarafından tanımlanan orijinal elektrik ve manyetik alanlar bir kuaterniyon değişkeninin fonksiyonlarıydı. Diğer fonksiyonların örnekleri arasında Mandelbrot kümesinin ve Julia kümelerinin 4 boyutlu uzaya genişletilmesi sayılabilir .

Üstel, logaritma ve güç fonksiyonları

Bir dördey verildiğinde,

üstel olarak hesaplanır

ve logaritma

Bir kuaternyonun kutupsal ayrışmasının yazılabileceği sonucu çıkar.

açı nerede

ve birim vektör şu şekilde tanımlanır:

Herhangi bir birim dördey polar formda şu şekilde ifade edilebilir:

.

Güç , keyfi bir yükseltilmiş bir quaternion arasında (gerçek) üs X ile verilmektedir:

jeodezik norm

Jeodezik mesafe d gr ( s , q ), birimin quaternions arasında p ve q şu şekilde tanımlanır:

tarafından çapın yarısı açısının mutlak değer tekabül p ve q bir birlikte büyük bir yay ve G 3 küre. Bu açı , logaritma olmadan dördey nokta çarpımından da şu şekilde hesaplanabilir :

Üç boyutlu ve dört boyutlu döndürme grupları

Kelime " konjügasyon , yukarıda belirtilen ifade yanı sıra", aynı zamanda, bir elemanın alınması anlamına gelebilir a için Ra, -1 r sıfır olmayan bir Dördey olup. Belirli bir öğeye eşlenik olan tüm öğeler (eşlenik kelimesinin bu anlamında), vektör bölümünün aynı reel bölümüne ve aynı normuna sahiptir. (Dolayısıyla diğer anlamdaki eşlenik bu anlamdaki eşleniklerden biridir.)

Böylece, sıfır olmayan kuaterniyonların çarpımsal grubu, reel kısmı sıfıra eşit olan kuaterniyonlardan oluşan kopya üzerinde konjugasyon ile etki eder . Gerçek kısmı cos( φ ) olan bir birim dördey (mutlak değer 1 olan bir dördey) ile konjugasyon, 2 φ açısı ile bir dönmedir , dönme ekseni vektör kısmının yönüdür. Kuaterniyonların avantajları şunlardır:

Tüm ünite kuaterniyonların (grubu versors ) bir 3-küre meydana S 3 ve bir grup (a Lie grubu ) çarpma altında, kaplama çift grubu , SO (3, ℝ) gerçek dik 3 x 3  matrisler arasında belirleyici  yana 1 , iki ünite kuaterniyonlar, yukarıdaki yazışmalar altındaki her rotasyona karşılık gelir. Plaka numarasına bakın .

Versors alt grubunun görüntüsü bir nokta grubudur ve tersine, bir nokta grubunun ön görüntüsü bir versors alt grubudur. Sonlu bir nokta grubunun ön görüntüsü, ikili öneki ile aynı adla çağrılır . Örneğin, bir öngörüntü icosahedral grubunda ise ikili icosahedral grup .

Verors grubu, determinant  1'in karmaşık üniter 2×2 matrislerinin grubu olan SU(2) 'ye göre izomorfiktir .

A , a + b i + c j + d k biçimindeki kuaterniyonlar kümesi olsun , burada a, b, c ve d ya tüm tam sayılar ya da tüm yarı tam sayılardır . A kümesi bir halka (aslında bir etki alanı ) ve bir kafestir ve Hurwitz kuaterniyonlarının halkası olarak adlandırılır. Bu halkada 24 birim kuaterniyon vardır ve bunlar Schläfli sembolü {3,4,3} olan normal bir 24 hücrenin köşeleridir . Düzenli tetrahedronun dönme simetri grubunun çift kapağına karşılık gelirler . Benzer şekilde, Schläfli sembolü {3,3,5 } olan düzgün bir 600 hücrenin köşeleri , düzgün ikosahedronun dönme simetri grubunun çift kapağına karşılık gelen birim icosians olarak alınabilir . Düzenli oktahedronun dönme simetri grubunun çift örtüsü , disfenoidal 288 hücrenin köşelerini temsil eden kuaterniyonlara karşılık gelir .

kuaterniyon cebirleri

Kuaterniyonlar, kuaterniyon cebirleri olarak adlandırılan diğer cebirlere genelleştirilebilir . Al F herhangi biri için alan 2'den karakteristik farklı olan ve bir ve b elemanları için F ; dört boyutlu üniter birleştirici cebir üzerinde tanımlanabilir F esasına 1, i , j , ve ij , burada i 2 = Bir , J 2 = b ve ij = - ji (böylece (Ij) 2 = - ab ).

Kuaterniyon cebirleri, a ve b seçimine bağlı olarak, F üzerinde 2 × 2 matris cebirine eşbiçimlidir  veya F üzerinde bölme cebirleri oluşturur .

Hatta bir parçası olarak Kuaternionlar Cl 3,0 (ℝ)

Geometrik hesaplamalar için kuaterniyonların faydası da bir parçası olarak quaternions belirleyerek diğer boyutlara genelleştirilebilir Clifford cebir arasında bu temel taban elemanlardan oluşturulan bir birleştirici Çoklu vektör cebir σ 1 , σ 2 , σ 3 ürün kuralları kullanılarak

Bu temel temel elemanlar 3B uzayda vektörleri temsil etmek için alınırsa, o zaman bir r vektörünün w birim vektörüne dik bir düzlemdeki yansımasının yazılabileceği ortaya çıkar:

İki yansıma, iki yansıma düzlemi arasındaki açının iki katı kadar bir açıyla dönüş yapar, yani

σ 1 ve σ 2 içeren düzlemde 180°'lik bir dönüşe karşılık gelir . Bu, karşılık gelen kuaterniyon formülüne çok benzer,

Aslında, özdeşleştirme yaparsak, ikisi aynıdır.

ve bunun Hamilton ilişkilerini koruduğunu doğrulamak kolaydır.

Bu resimde, "vektör kuaterniyonlar" (yani, saf hayali kuaterniyonlar) olarak adlandırılanlar , vektörlere değil, bivektörlere - 1B yönlerden ziyade  belirli 2B düzlemlerle ilişkili büyüklük ve yönelimlere sahip niceliklere-  karşılık gelir . Karmaşık sayılarla olan ilişki de daha açık hale gelir: 2B'de, iki vektör yönü σ 1 ve σ 2 ile , yalnızca bir çift vektör temel öğesi σ 1 σ 2 vardır , yani yalnızca bir hayali. Ancak 3B'de, üç vektör yönü ile, üç çift vektör temel öğesi σ 1 σ 2 , σ 2 σ 3 , σ 3 σ 1 , yani üç hayali vardır.

Bu mantık daha da uzar. Clifford cebirinde altı çift vektör temel eleman vardır, çünkü dört farklı temel vektör yönü ile altı farklı çift ve dolayısıyla altı farklı lineer bağımsız düzlem tanımlanabilir. Rotor adı verilen bu kuaterniyon genellemelerini kullanan bu tür uzaylarda rotasyonlar, homojen koordinatları içeren uygulamalar için çok faydalı olabilir . Ama baz bivectors sayısı baz vektörlerin sayısına eşit ve her bivector bir şekilde tespit edilebilir tek 3D'de olduğu pseudovector .

Bu daha geniş ortamda kuaterniyonları yerleştirmenin birkaç avantajı vardır:

  • Rotorlar geometrik cebirin doğal bir parçasıdır ve çift yansımanın kodlaması olarak kolayca anlaşılır.
  • Geometrik cebirde, bir rotor ve üzerinde hareket ettiği nesneler aynı uzayda yaşar. Bu, doğrusal cebiri kuaterniyonlarla arttırırken geleneksel olarak gerekli olan temsilleri değiştirme ve yeni veri yapılarını ve yöntemlerini kodlama ihtiyacını ortadan kaldırır.
  • Rotorlar, cebirin herhangi bir elemanına evrensel olarak uygulanabilir, sadece vektörler ve diğer kuaterniyonlar değil, aynı zamanda çizgiler, düzlemler, daireler, küreler, ışınlar vb.
  • Gelen konformal modeli Öklid geometrisinin, rotorlar evrensel bir eleman üzerinde etkili olan, cebir tek bir eleman içinde döndürme, çeviri ve ölçekleme çevirmeyi sağlar. Bu özellikle, rotorların keyfi bir eksen etrafındaki dönüşleri temsil edebileceği, kuaterniyonların ise orijinden geçen bir eksenle sınırlı olduğu anlamına gelir.
  • Rotor kodlu dönüşümler, enterpolasyonu özellikle basit hale getirir.
  • Rotorlar için, doğal olarak üzerinde taşır sözde Öklid boşluklar , örneğin, Minkowsky alanı arasında özel göreliliğe . Bu tür alanlarda rotorlar, Lorentz artışlarını verimli bir şekilde temsil etmek ve gama matrislerini içeren formülleri yorumlamak için kullanılabilir .

Clifford cebirlerinin geometrik kullanımları hakkında daha fazla ayrıntı için, bkz. Geometrik cebir .

Brauer grubu

Kuaterniyonlar , gerçek sayılar üzerindeki her CSA'nın gerçek sayılara veya kuaterniyonlara Brauer eşdeğeri olması anlamında, gerçek sayılar üzerindeki tek (önemsiz olmayan) merkezi basit cebirdir (CSA) . Açıkça, gerçek sayıların Brauer grubu , gerçek sayılar ve kuaterniyonlarla temsil edilen iki sınıftan oluşur; burada Brauer grubu, bir CSA'nın diğeri üzerinde bir matris halkası olduğu denklik ilişkisine kadar tüm CSA'ların kümesidir . Tarafından Artin-Wedderburn teoremi (özellikle, Wedderburn parçası), CSAlar bir bölümü cebir üzerinde bütün matris cebirleridir ve böylece quaternions gerçek sayılar üzerinde sadece önemsiz olmayan bölümü cebir.

CSA'lar - merkezi tam olarak alan olan basit cebirler olan (alanlarda olduğu gibi önemsiz 2 taraflı idealleri olmayan) bir alan üzerindeki halkalar - uzatma alanlarının değişmeyen bir analogudur ve genel halka uzantılarından daha kısıtlayıcıdır. . Kuaterniyonların gerçek sayılar üzerinde (eşdeğerliğe kadar) önemsiz olmayan tek CSA olması gerçeği, karmaşık sayıların gerçek sayıların önemsiz olmayan tek alan uzantısı olduğu gerçeğiyle karşılaştırılabilir.

alıntılar

Bunu, x, y, z, vb.'ye başvurmak gerekli olduğunda veya göründüğünde, kuaterniyonlarda veya daha doğrusu şimdiye kadar açıldığı durumda bir yetersizlik veya kusur olarak görüyorum .

—  William Rowan Hamilton

Zamanın sadece bir boyutu olduğu ve uzayın üç boyutu olduğu söylenir. ... Matematiksel kuaterniyon bu iki öğeden de pay alır; teknik dilde bunun "zaman artı uzay" veya "uzay artı zaman" olduğu söylenebilir: ve bu anlamda dört boyuta sahiptir veya en azından dört boyuta bir gönderme içerir. Ve Zamanın Biri, Uzayın Üçü, Semboller Zincirindeki Kudret nasıl kuşanmış olabilir .

—  William Rowan Hamilton

Kuaterniyonlar Hamilton'dan gerçekten iyi işi bittikten sonra geldi; ve her ne kadar çok zekice olsalar da, Katip Maxwell de dahil olmak üzere onlara herhangi bir şekilde dokunmuş olanlar için mutlak bir kötülük olmuştur .

Daha sonra, ihtiyacım olan vektör analizi söz konusu olduğunda, dördenin sadece gerekli olmadığını, aynı zamanda önemsiz büyüklükte pozitif bir kötülük olduğunu gördüm; ve bundan kaçınılmasıyla vektör analizinin kurulması oldukça basitleştirildi ve çalışması da basitleştirildi ve sıradan Kartezyen çalışma ile uygun bir şekilde uyumlu hale getirilebildi.

—  Oliver Heaviside (1893)

Bu on [ek] bölümden ne matrisler, ne kuaterniyonlar ve sıradan vektörler çıkarıldı. Çünkü, modern Tensör Hesabı'nın tartışılmaz gücüne rağmen, bu eski matematik dilleri, bence, sınırlı özel görelilik alanında göze çarpan avantajlar sunmaya devam ediyor. Ayrıca, bilimde olduğu kadar günlük hayatta da, birden fazla dile hakimiyet de değerlidir, çünkü görüşlerimizi genişletir, eleştiriye elverişlidir ve ifade edilen konunun hipostazına [zayıf temele] karşı korur. kelimelerle veya matematiksel sembollerle.

—  Ludwik Silberstein (1924)

... dördeyler, matematiksel fikirlerin yaşam mücadelesinde oldukça başarısız bir tür olarak, on dokuzuncu yüzyıl çürümesi havası yayıyor gibi görünüyor. Matematikçiler, kuşkusuz, kuaterniyonların dikkate değer cebirsel özellikleri için hala kalplerinde sıcak bir yer tutuyorlar, ancak ne yazık ki, bu tür coşku, daha katı kafalı fizik bilimci için çok az şey ifade ediyor.

—  Simon L. Altmann (1986)

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

daha fazla okuma

Kitaplar ve yayınlar

Bağlantılar ve monograflar

Dış bağlantılar