Analitik Geometri - Analytic geometry

Klasik matematikte, koordinat geometrisi veya Kartezyen geometri olarak da bilinen analitik geometri , bir koordinat sistemi kullanarak geometri çalışmasıdır . Bu, sentetik geometri ile çelişir .

Analitik geometri fizik ve mühendislikte ve ayrıca havacılık , roket , uzay bilimi ve uzay uçuşlarında kullanılır . Cebirsel , diferansiyel , ayrık ve hesaplamalı geometri dahil olmak üzere çoğu modern geometri alanının temelidir .

Genellikle Kartezyen koordinat sistemi , genellikle iki ve bazen üç boyutlu olarak , düzlemler , düz çizgiler ve daireler için denklemleri işlemek için uygulanır . Geometrik olarak, Öklid düzlemi ( iki boyut ) ve Öklid uzayı ( üç boyut ) incelenir . Okul kitaplarında öğretildiği gibi, analitik geometri daha basit bir şekilde açıklanabilir: geometrik şekilleri sayısal bir şekilde tanımlamak ve temsil etmek ve şekillerin sayısal tanımlarından ve temsillerinden sayısal bilgi çıkarmakla ilgilidir. Gerçek sayıların cebirinin, geometrinin doğrusal sürekliliği hakkında sonuçlar elde etmek için kullanılabileceği, Cantor-Dedekind aksiyomuna dayanır .

Tarih

Antik Yunan

Yunan matematikçi Menaechmus koordinatların kullanımı ile güçlü bir benzerlik vardı bir yöntemi kullanarak sorunları ve ispat teoremleri çözüldü ve bazen o analitik geometriyi tanıttı ettiğini muhafaza edilmiştir.

Pergeden Apolonyus bölgesi üzerinde, oturak Bölüm , bir boyutta bir analitik geometri olarak adlandırılabilen bir şekilde sorunları ele; diğerlerine oranla bir doğru üzerinde noktaları bulma sorunu ile. Koniklerdeki Apollonius, analitik geometriye o kadar benzeyen bir yöntem geliştirdi ki, çalışmalarının bazen 1800 yıl kadar Descartes'ın çalışmalarını öngördüğü düşünülüyor . Referans çizgileri, bir çap ve bir teğet uygulaması, teğet noktasından çap boyunca ölçülen mesafelerin apsisler olduğu ve teğete paralel olan ve aralarında kesişen segmentlerin olduğu modern bir koordinat çerçevesi kullanımımızdan esasen farklı değildir. eksen ve eğri koordinatlardır. Apsisler ile retorik eğri denklemlerine eşdeğer olan ilgili koordinatlar arasındaki ilişkileri daha da geliştirdi. Ancak, Apollonius analitik geometriyi geliştirmeye yakın olmasına rağmen, negatif büyüklükleri hesaba katmadığı ve her durumda koordinat sistemi a priori değil, a posteriori verilen bir eğri üzerine bindirildiği için bunu başaramadı . Yani denklemler eğriler tarafından belirlendi, ancak eğriler denklemler tarafından belirlenmedi. Koordinatlar, değişkenler ve denklemler, belirli bir geometrik duruma uygulanan yardımcı kavramlardı.

İran

11. yüzyıl İranlı matematikçisi Omar Khayyam , geometri ve cebir arasında güçlü bir ilişki gördü ve genel kübik denklemlerin geometrik çözümüyle sayısal ve geometrik cebir arasındaki boşluğu kapatmaya yardım ederken doğru yönde ilerliyordu , ancak belirleyici adım daha sonra geldi. Descartes ile. Omar Khayyam, cebirsel geometrinin temellerini belirlemekle tanınır ve analitik geometrinin ilkelerini ortaya koyan Cebir Problemlerinin Gösterimi (1070) adlı kitabı , sonunda Avrupa'ya aktarılan Fars matematiğinin bir parçasıdır. Cebirsel denklemlere kapsamlı geometrik yaklaşımı nedeniyle Hayyam, analitik geometrinin icadında Descartes'ın öncüsü olarak kabul edilebilir.

Batı Avrupa

Analitik geometri, René Descartes ve Pierre de Fermat tarafından bağımsız olarak icat edildi , ancak Descartes'a bazen tek kredi verildi. Analitik geometri için kullanılan alternatif terim olan kartezyen geometri , adını Descartes'tan almıştır.

Descartes , 1637'de yayınlanan ve beraberindeki üç denemeden (ekler) biri olan La Geometrie (Geometri) başlıklı bir denemede , yaygın olarak Birinin Aklını Doğru Yönlendirme Yöntemi ve Bilimlerde Gerçeği Aramak için Söylem ile birlikte yöntemlerle önemli ilerleme kaydetmiştir. Yöntem Üzerine Söylem olarak anılır . Ana dili Fransızca olan La Geometrie ve felsefi ilkeleri, Avrupa'da kalkülüs için bir temel oluşturdu . Başlangıçta çalışma, kısmen argümanlardaki ve karmaşık denklemlerdeki birçok boşluktan dolayı iyi karşılanmadı. Sadece tercüme sonra Latince ve yoluyla yorumların eklenmesi Van Schooten 1649 yılında (ve daha fazla çalışma sonrasında) Descartes'ın başyapıtı nedeniyle tanınırlar etmedi.

Pierre de Fermat, analitik geometrinin geliştirilmesine de öncülük etti. Hayatı boyunca yayınlanmamış olmakla birlikte, bir el yazması biçimi İlan locos planos et Solidos isagoge (Plane and Solid Loci Introduction) hemen önce Descartes'ın yayımı, 1637 yılında Paris'te dolaşan edildi Söylem . Açıkça yazılmış ve iyi karşılanmış olan Giriş , analitik geometri için de temel oluşturdu. Fermat ve Descartes'ın tedavileri arasındaki temel fark, bir bakış açısı meselesidir: Fermat her zaman cebirsel bir denklemle başladı ve sonra onu tatmin eden geometrik eğriyi tanımladı, oysa Descartes geometrik eğrilerle başladı ve denklemlerini eğrilerin çeşitli özelliklerinden biri olarak üretti. . Bu yaklaşımın bir sonucu olarak, Descartes daha karmaşık denklemlerle uğraşmak zorunda kaldı ve daha yüksek dereceli polinom denklemleriyle çalışmak için yöntemler geliştirmek zorunda kaldı. Uzay eğrileri ve yüzeylerin sistematik bir çalışmasında koordinat yöntemini ilk uygulayan Leonhard Euler'di.

koordinatlar

Kartezyen koordinat düzleminin çizimi. Dört nokta koordinatlarıyla işaretlenir ve etiketlenir: (2,3) yeşil, (−3,1) kırmızı, (−1.5,−2,5) mavi ve orijin (0,0) mor.

Analitik geometride, düzleme , her noktanın bir çift gerçek sayı koordinatına sahip olduğu bir koordinat sistemi verilir . Benzer şekilde, her noktanın üç koordinata sahip olduğu Öklid uzayına koordinatlar verilir. Koordinatların değeri, başlangıç ​​başlangıç ​​noktasının seçimine bağlıdır. Kullanılan çeşitli koordinat sistemleri vardır, ancak en yaygın olanları şunlardır:

Kartezyen koordinatlar (bir düzlemde veya uzayda)

Kullanılacak en yaygın koordinat sistemi , her noktanın yatay konumunu temsil eden bir x koordinatına ve dikey konumunu temsil eden bir y koordinatına sahip olduğu Kartezyen koordinat sistemidir . Bunlar tipik olarak sıralı bir çift ( xy ) olarak yazılır . Bu sistem aynı zamanda Öklid uzayındaki her noktanın sıralı bir üçlü koordinat ( xyz ) ile temsil edildiği üç boyutlu geometri için de kullanılabilir .

Kutupsal koordinatlar (düzlemde)

Olarak kutupsal koordinatlarda , düzlemin her noktası uzaklığı ile temsil edilir r kökenli ve gelen açı İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin ile θ pozitif normal olarak ölçülen saat yönü tersine x -Axis. Bu gösterimi kullanarak, noktalar tipik olarak sıralı bir çift ( r , θ ) olarak yazılır . Bu formüller kullanılarak iki boyutlu Kartezyen ve kutupsal koordinatlar arasında ileri ve geri dönüşüm yapılabilir: . Bu sistem, silindirik veya küresel koordinatlar kullanılarak üç boyutlu uzaya genelleştirilebilir .

Silindirik koordinatlar (uzayda)

Olarak silindirik koordinat , alan her noktası yüksekliği ile temsil edilir z , kendi yarıçapı r dan z -Axis ve açı İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin üzerindeki çıkıntı xy yatay eksene göre -plane yapar.

Küresel koordinatlar (uzayda)

Küresel koordinatlar olarak, alan, her bir nokta uzaklığı ile temsil edilir p'ye kökenli, açı θ üzerindeki çıkıntının xy yatay eksene göre -plane yapar, ve açı φ için bu göre yaptığı z -Axis . Açıların isimleri fizikte genellikle ters çevrilir.

Denklemler ve eğriler

Analitik geometride, koordinatları içeren herhangi bir denklem , düzlemin bir alt kümesini , yani denklem için çözüm kümesini veya lokus'u belirtir . Örneğin, y  =  x denklemi , düzlemdeki x koordinatı ve y koordinatı eşit olan tüm noktaların kümesine karşılık gelir . Bu noktalar bir doğru oluşturur ve y  =  x'in bu doğrunun denklemi olduğu söylenir. Genel olarak, x ve y içeren lineer denklemler çizgileri belirtir, ikinci dereceden denklemler konik bölümleri belirtir ve daha karmaşık denklemler daha karmaşık şekilleri tanımlar.

Genellikle tek bir denklem , düzlemdeki bir eğriye karşılık gelir . Bu her zaman böyle değildir: x  =  x önemsiz denklemi tüm düzlemi belirtir ve x 2  +  y 2  = 0 denklemi yalnızca tek noktayı (0, 0) belirtir. Üç boyutta, tek bir denklem genellikle bir yüzey verir ve bir eğri , iki yüzeyin kesişimi (aşağıya bakın) veya bir parametrik denklemler sistemi olarak belirtilmelidir . Denklemi x 2  +  y 2  =  r 2 bir daire için denklem r yarıçaplı kökenli (0, 0) merkezlenmiş olan.

Çizgiler ve uçaklar

Kartezyen düzlemdeki veya daha genel olarak afin koordinatlardaki çizgiler, lineer denklemlerle cebirsel olarak tanımlanabilir . İki boyutta, düşey olmayan doğruların denklemi genellikle eğim-kesme noktası biçiminde verilir :

nerede:

m , çizginin eğimi veya eğimidir .
b , doğrunun y-kesişimidir .
x , y = f ( x ) fonksiyonunun bağımsız değişkenidir .

İki boyutlu uzayda çizgilerin denklemleri için bir nokta-eğim formu kullanılarak tanımlanmasına benzer bir şekilde, üç boyutlu uzaydaki düzlemler, düzlemde bir nokta ve ona dik bir vektör kullanılarak doğal bir tanımlamaya sahiptir. normal vektör ) "eğimini" belirtmek için.

Spesifik olarak, bir noktanın konum vektörü olsun ve sıfırdan farklı bir vektör olsun. Bu nokta ve vektör tarafından belirlenen düzlem , ' den çizilen vektör ' ye dik olacak şekilde konum vektörü olan bu noktalardan oluşur . İki vektörün ancak ve ancak nokta çarpımları sıfır olduğunda dik olduğunu hatırlayarak, istenen düzlemin tüm noktaların kümesi olarak tanımlanabileceği sonucu çıkar.

(Buradaki nokta bir nokta çarpımı anlamına gelir , skaler çarpma değil.) Genişletildiğinde bu olur

bu, bir düzlem denkleminin nokta-normal şeklidir. Bu sadece doğrusal bir denklemdir :

Tersine, a , b , c ve d sabit ise ve a , b ve c'nin tümü sıfır değilse, denklemin grafiği kolayca gösterilir.

vektörü normal olan bir düzlemdir . Bir düzlem için bu tanıdık denklem, düzlem denkleminin genel biçimi olarak adlandırılır .

Üç boyutlu olarak, hatlar olabilir olup sık sık tarif edilmektedir, böylece, tek bir lineer bir denklem ile tanımlanabilir parametrik denklemler :

nerede:

x , y ve z'nin tümü , gerçek sayılar üzerinde değişen bağımsız değişken t'nin işlevleridir .
( x 0 , y 0 , z 0 ) doğru üzerindeki herhangi bir noktadır.
a , b ve c vektörü ( a , b , c ) doğruya paralel olacak şekilde doğrunun eğimi ile ilişkilidir .

konik bölümler

Gelen Kartezyen koordinat sistemi , grafik a kuadratik denklemi dejenere olabilir ancak, ve konik bölümleri bu şekilde ortaya çıkan - iki değişken bir konik bölüm her zaman. Denklem şu şekilde olacak

Altı sabitin tümünün ölçeklenmesi aynı sıfırların yerini verdiğinden, konikleri beş boyutlu yansıtmalı uzayda noktalar olarak düşünebiliriz.

Bu denklem tarafından açıklanan konik bölümler, diskriminant kullanılarak sınıflandırılabilir.

Konik dejenere değilse, o zaman:

  • eğer , denklem bir elipsi temsil ediyorsa ;
    • if ve , denklem bir elipsin özel bir durumu olan bir
    daireyi temsil eder ;
  • eğer , denklem bir parabolü temsil ediyorsa ;
  • eğer , denklem bir hiperbolü temsil ediyorsa ;
    • Eğer elimizde de varsa , denklem
    dikdörtgen bir hiperbolü temsil eder .
  • kuadrik yüzeyler

    Bir ikinci dereceden veya ikinci dereceden bir yüzey , a, 2 boyutlu yüzey olarak tanımlanan 3-boyutlu uzayda lokus arasında sıfır a kuadratik polinom . x 1 , x 2 , x 3 koordinatlarında , genel kuadrik cebirsel denklemle tanımlanır

    Kuadrik yüzeyler elipsoidleri ( küre dahil ), paraboloidleri , hiperboloidleri , silindirleri , konileri ve düzlemleri içerir .

    Mesafe ve açı

    Düzlemdeki uzaklık formülü Pisagor teoreminden gelir.

    Analitik geometride mesafe ve açı ölçüsü gibi geometrik kavramlar formüller kullanılarak tanımlanır . Bu tanımlar, temel Öklid geometrisi ile tutarlı olacak şekilde tasarlanmıştır . Örneğin , düzlemde Kartezyen koordinatlar kullanılarak , ( x 1y 1 ) ve ( x 2y 2 ) iki nokta arasındaki uzaklık aşağıdaki formülle tanımlanır.

    bu Pisagor teoreminin bir versiyonu olarak görülebilir . Benzer şekilde, bir doğrunun yatayla yaptığı açı formülle tanımlanabilir.

    burada m, bir eğim hattının.

    Üç boyutta mesafe, Pisagor teoreminin genelleştirilmesiyle verilir:

    ,

    iki vektör arasındaki açı ise nokta çarpım tarafından verilir . İki Öklid vektörü A ve B'nin nokta çarpımı şu şekilde tanımlanır:

    burada θ A ve B arasındaki açıdır .

    Dönüşümler

    a) y = f(x) = |x| b) y = f(x+3) c) y = f(x)-3 d) y = 1/2 f(x)

    Benzer özelliklere sahip yeni bir işleve dönüştürmek için bir üst işleve dönüşümler uygulanır.

    Grafiği standart dönüşümlerle aşağıdaki gibi değiştirilir:

    • Değiştirilmesi için sağa grafik hareket birimi.
    • Değiştirme için kadar grafik hareket birimi.
    • olarak değiştirmek , grafiği yatay olarak bir faktör kadar uzatır . ( genişlemiş olarak düşünün )
    • Grafiği dikey olarak uzatacak şekilde değiştirmek .
    • Değiştirme için değişen için bir açı ile döndükçe grafiği .

    Temel analitik geometride tipik olarak incelenmeyen başka standart dönüşümler de vardır, çünkü dönüşümler genellikle düşünülmeyen şekillerde nesnelerin şeklini değiştirir. Eğrilik, genellikle dikkate alınmayan bir dönüşüm örneğidir. Daha fazla bilgi için, afin dönüşümler hakkındaki Wikipedia makalesine bakın .

    Örneğin, ana işlevin bir yatay ve bir dikey asimptotu vardır ve birinci ve üçüncü çeyreği kaplar ve dönüştürülmüş biçimlerinin tümünün bir yatay ve dikey asimptotu vardır ve 1. ve 3. veya 2. ve 4. çeyreği kaplar. Genel olarak, eğer , o zaman 'ye dönüştürülebilir . Yeni dönüştürülen fonksiyonda, 1'den büyükse fonksiyonu dikey olarak uzatan veya 1'den küçükse fonksiyonu dikey olarak sıkıştıran, negatif değerler için fonksiyonu - eksenine yansıtan faktördür. Değeri yatay büyük ise 1 den fonksiyon grafik sıkıştırır ve yatay olarak ise 1 'den küçük fonksiyonu uzanır ve bu gibi de, fonksiyonunu yansıtır negatif olduğu -Axis. Ve değerler, çeviriler tanıtmak , dikey ve yatay. Pozitif ve değerler, fonksiyonun ekseninin pozitif ucuna çevrildiği ve negatif anlamın negatif ucuna çevrildiği anlamına gelir.

    Dönüşümler, denklem bir fonksiyonu temsil etsin veya etmesin herhangi bir geometrik denkleme uygulanabilir. Dönüşümler, bireysel işlemler veya kombinasyonlar olarak düşünülebilir.

    Bunun düzlemde bir ilişki olduğunu varsayalım . Örneğin,

    birim çemberi tanımlayan bağıntıdır.

    Geometrik nesnelerin kesişimlerini bulma

    İki geometrik nesne için P ve Q, ilişkiler ve kesişim ile temsil edilir, her iki ilişkide olan tüm noktaların toplamıdır .

    Örneğin, yarıçapı 1 ve merkez ile daire olabilir : ve yarıçapı 1 ve merkez ile daire olabilir . Bu iki dairenin kesişimi, her iki denklemi de doğru yapan noktaların toplamıdır. Nokta her iki denklemi de doğru kılıyor mu? Kullanılması için , denklem için olur veya gerçek olan, bu yüzden ilişki içindedir . Öte yandan, yine kullanılarak için için denklemi olur veya yanlış olduğu. içinde değil yani kavşakta değil.

    Eşzamanlı denklemleri çözerek ve kesişimi bulunabilir:

    Kavşakları bulmak için geleneksel yöntemler, ikame ve elemeyi içerir.

    İkame: İlk denklemi cinsinden çözün ve ardından ifadesini ikinci denklemde değiştirin:

    .

    Daha sonra bu değeri diğer denklemde yerine koyarız ve aşağıdakileri çözmeye devam ederiz :

    Daha sonra, bu değeri orijinal denklemlerden birine yerleştiririz ve şunu çözeriz :

    Yani kesişimimizin iki noktası var:

    Eliminasyon : Değişkenlerden birinin elimine edilmesi için bir denklemin katlarını diğer denkleme ekleyin (veya çıkarın). Mevcut örneğimiz için, ilk denklemi ikinciden çıkarırsak, elde ederiz . İlk denklemde çıkartılmaktadır bir ayrılan ikinci denklemde terimi. Değişken elimine edilmiştir. Daha sonra için kalan denklemi , ikame yönteminde olduğu gibi çözeriz :

    Daha sonra bu değeri orijinal denklemlerden birine yerleştiririz ve şunu çözeriz :

    Yani kesişimimizin iki noktası var:

    Konik bölümler için, kesişme noktasında en fazla 4 nokta olabilir.

    kesişimleri bulma

    Yaygın olarak incelenen bir kesişme türü, geometrik bir nesnenin ve koordinat eksenleriyle kesişimidir .

    Geometrik bir nesne ile - ekseninin kesişimi, nesnenin -kesme noktası olarak adlandırılır . Geometrik bir nesne ile - ekseninin kesişimi, nesnenin -kesme noktası olarak adlandırılır .

    Çizgi için parametre , çizginin ekseni kestiği noktayı belirtir . Bağlama bağlı olarak, ikisinden biri veya noktası -intercept olarak adlandırılır .

    Teğetler ve normaller

    Teğet çizgiler ve düzlemler

    İn geometrisi , teğet çizgi (veya basitçe teğet bir düzleme göre) eğrisi , belirli bir en alanına olan düz bir çizgi bu noktada eğrisi "sadece temas" o. Gayri resmi olarak, eğri üzerindeki bir çift sonsuz yakın noktadan geçen bir çizgidir . Daha açık bir şekilde, düz bir çizgi bir eğri bir teğet olduğu söylenir y = f ( x ) , bir noktada X = C eğrisi üzerinde hat noktası üzerinden geçerse ( c , f ( c )) eğri üzerinde vardır ve eğim f ' ( c ) burada f ' bir türevi arasında f . Benzer bir tanım , n -boyutlu Öklid uzayındaki uzay eğrileri ve eğriler için de geçerlidir .

    Teğet doğru ile eğrinin birleştiği , teğet noktası olarak adlandırılan noktadan geçerken, teğet doğru, eğri ile "aynı yönde ilerler " ve bu nedenle, o noktada eğriye en iyi düz çizgi yaklaşımıdır. puan.

    Benzer şekilde, belirli bir noktada bir yüzeye teğet düzlem , o noktada yüzeye "sadece dokunan" düzlemdir . Tanjant kavramı, diferansiyel geometrideki en temel kavramlardan biridir ve kapsamlı bir şekilde genelleştirilmiştir; bkz. Teğet uzayı .

    Normal çizgi ve vektör

    İn geometrisi , bir normal bir şekildedir bir çizgi ya da vektör olarak bir amacı, dikey bir nesneye. Örneğin, iki boyutlu durumda, belirli bir noktadaki bir eğrinin normal doğrusu , o noktada eğriye teğet olan doğruya dik olan doğrudur .

    Üç boyutlu bir durumda bir durumda bulunan yüzey normali , ya da sadece , normal bir için, yüzey , bir noktasında P a, vektör olan dik için teğet düzlemine o yüzeye P . Bir "normal" kelimesi de ki gibi bir sıfat olarak kullanıldığı hattı bir normal düzlem , bir normal bileşen kuvvet , normal vektör , vb kavramı normallik ile genelleştirildiğinde dikgenlik .

    Ayrıca bakınız

    Notlar

    Referanslar

    Kitabın

    Nesne

    Dış bağlantılar