Dışbükey fonksiyon - Convex function

Bir aralıkta dışbükey fonksiyon.
Bir fonksiyon (siyah) dışbükeydir, ancak ve ancak grafiğinin üzerindeki bölge (yeşil) dışbükey bir küme ise .
İki değişkenli dışbükey fonksiyonun grafiği x 2 + xy + y 2 .

Gelen matematik , bir gerçek değerli bir fonksiyondur adlandırılır dışbükey ise çizgi parçası üzerindeki herhangi iki nokta arasındaki fonksiyon grafiği iki nokta arasındaki grafiğinin altındaki uzanmamaktadır. Eşdeğer olarak, bir fonksiyonun epigrafı (fonksiyonun grafiği üzerindeki veya üzerindeki noktalar kümesi) bir dışbükey küme ise, bir fonksiyon dışbükeydir . Tek bir değişkenin iki kez türevlenebilir bir fonksiyonu dışbükeydir, ancak ve ancak ikinci türevi tüm etki alanında negatif değilse . Tek bir değişkenin dışbükey işlevlerinin iyi bilinen örnekleri, ikinci dereceden işlevi ve üstel işlevi içerir . Basit bir ifadeyle, dışbükey bir işlev, bir fincan şeklindeki bir işlevi ifade eder ve bir içbükey işlev , bir kapak şeklindedir .

Dışbükey fonksiyonlar matematiğin birçok alanında önemli bir rol oynar. Bir dizi uygun özellik ile ayırt edildikleri optimizasyon problemlerinin incelenmesinde özellikle önemlidirler . Örneğin, açık bir kümedeki kesinlikle dışbükey bir fonksiyonun birden fazla minimumu yoktur. Sonsuz boyutlu uzaylarda bile, uygun ek hipotezler altında, dışbükey fonksiyonlar bu tür özellikleri karşılamaya devam eder ve sonuç olarak, varyasyon hesabında en iyi anlaşılan fonksiyonellerdir . Olarak olasılık teorisi , dışbükey fonksiyonu uygulanmış beklenen değer a rastgele değişkenin her değişken rasgele konveks fonksiyonu beklenen değer yukarıda sınırlanmaktadır. Jensen eşitsizliği olarak bilinen bu sonuç, aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliği ve Hölder eşitsizliği gibi eşitsizlikleri çıkarmak için kullanılabilir .

Tanım

Bir dışbükey işlevi ve Jensen Eşitsizliğinin görselleştirilmesi

Izin bir olmak dışbükey alt kümesini gerçek bir vektör alanı ve izin bir fonksiyonu olacaktır.

O zaman , ancak ve ancak aşağıdaki eşdeğer koşullardan herhangi biri geçerliyse dışbükey olarak adlandırılır :

  1. Hepsi ve hepsi için :
    Sağ taraftaki arasındaki düz çizgi temsil ve grafikte bir fonksiyonu olarak artan bir mesafede için ya da azaltılması ile ilgili için bu hat süpürür. Benzer şekilde, sol taraftaki fonksiyonun argümanı , So'nun grafiğinin - ekseni arasındaki ve içindeki veya içindeki düz çizgiyi temsil eder , bu koşul, eğri üzerindeki herhangi bir nokta çifti arasındaki düz çizginin yukarıda veya tam olmasını gerektirir. grafiği karşılar.
  2. Hepsi ve hepsi için :
    Bu ikinci koşulun yukarıdaki birinci koşula göre farkı, bu koşulun , eğrisi üzerindeki bir çift noktadan geçen düz çizgi arasındaki kesişme noktalarını (örneğin, ve ) içermemesidir (düz çizgi, sağ bu durumun tarafı) ve eğri hale gelir olarak birinci durum kesişme noktaları içeren veya en ya da ya da , kesişme noktası kullanılarak dışbükey bir duruma dikkat edilmesi gerekmez Aslında
    çünkü ve her zaman doğrudur (bu nedenle bir koşulun parçası olmak yararlı değildir).

Gerçek satırda değer verilen dışbükey işlevleri karakterize eden ikinci ifade , aynı zamanda, böyle bir işlevin bir değer olarak almasına izin verilen (ancak zorunlu olmadığı) genişletilmiş gerçek sayı satırında değerlenen dışbükey işlevleri tanımlamak için kullanılan ifadedir . İlk ifade, veya bir değer olarak alınmasına izin verdiği için kullanılmaz , bu durumda, eğer veya sırasıyla, tanımsız olur (çünkü çarpmalar ve tanımsızdır). Toplam da tanımsızdır, bu nedenle dışbükey genişletilmiş gerçek değerli bir işlevin tipik olarak yalnızca birini ve bir değer olarak almasına izin verilir .

İkinci bildiride de tanımını almak için değiştirilebilir sıkı Dışbükeylik ikincisi değiştirerek elde edilir, sıkı eşitsizlik , harita Açıkça denir dışbükey kesinlikle ve eğer sadece tüm gerçek için eğer ve tüm şekildedir :

Kesinlikle dışbükey bir fonksiyon, eğri üzerindeki herhangi bir nokta çifti arasındaki düz çizginin, düz çizgi ile eğri arasındaki kesişme noktaları dışında , eğrinin üzerinde olduğu bir fonksiyondur .

( -1 ile çarpıldığında) dışbükey ise (yani kesinlikle dışbükey) fonksiyonun içbükey (yani kesinlikle içbükey ) olduğu söylenir .

alternatif adlandırma

Terimi, dışbükey genellikle şu şekilde ifade edilir dışbükey aşağı ya da yukarı doğru içbükey ve terim içbükey genellikle adlandırılır içbükey aşağı ya da yukarı doğru konveks . "Dışbükey" terimi, "yukarı" veya "aşağı" bir anahtar kelime olmadan kullanılırsa, bu, kesinlikle fincan şeklindeki bir grafiği ifade eder . Örnek olarak, Jensen'in eşitsizliği, bir dışbükey veya dışbükey-(yukarı) işlevi içeren bir eşitsizliği ifade eder.

Özellikler

Dışbükey fonksiyonların birçok özelliği, tek değişkenli fonksiyonlar için olduğu gibi çok değişkenli fonksiyonlar için aynı basit formülasyona sahiptir. Bazıları tek bir değişkenin işlevleri için listelenmediğinden, çok değişkenli durumlar için aşağıdaki özelliklere bakın.

Tek değişkenli fonksiyonlar

  • Bir aralıkta tanımlanmış bir gerçek değişkenin fonksiyonu olduğunu varsayalım ve
    (Not ; fonksiyonu yukarıda çizim mor çizginin eğimi
    R, bir simetrik olarak bu aygıtın R alışverişi değişmez ve ). Konveks ve ancak eğer bir monoton bir azalmayan olarak her sabit (veya tersi). Dışbükeyliğin bu karakterizasyonu, aşağıdaki sonuçları kanıtlamak için oldukça yararlıdır.
  • Dışbükey fonksiyonu bazı tanımlanan bir gerçek değişkenli açık aralık C olan sürekli ilgili kabul ediyor sol ve sağ türevleri ve bunlar monoton bir azalmayan . Sonuç olarak, bir türevlenebilir hiç ama en fazla sayılabilir birçok dizi hangi noktalarda, ancak hala yoğun olabilir türevlenebilir değildir. Eğer kapatılır, ardından uç noktalarında sürekli olması için başarısız olabilir (bir örnek gösterilmiştir , örnekler bölümünde ).
  • Bir değişken bir türevlenebilir fonksiyonu ve sadece eğer bir aralık dışbükey olan bir türevi olan monoton bir azalmayan bu aralıkta. Bir fonksiyon türevlenebilir ve dışbükey ise sürekli türevlenebilirdir .
  • Bir değişkenin türevlenebilir bir fonksiyonu, ancak ve ancak grafiği tüm teğetlerinin üzerindeyse, bir aralıkta dışbükeydir :
    aralıktaki tüm x ve y için.
  • Bir değişkenin iki kez türevlenebilir bir fonksiyonu, ancak ve ancak ikinci türevi orada negatif değilse, bir aralıkta dışbükeydir ; bu, dışbükeylik için pratik bir test sağlar. Görsel olarak, iki kez türevlenebilir bir dışbükey fonksiyon, diğer yönde herhangi bir bükülme olmadan ( bükülme noktaları ) "yukarı kıvrılır" . İkinci türevi tüm noktalarda pozitifse, fonksiyon kesinlikle dışbükeydir, ancak tersi geçerli değildir. Örneğin, ikinci türev olan , sıfır olan ama kesinlikle dışbükeydir.
    • Açısından bu özellik ve yukarıda özelliği "... türevi monoton olarak bir azalmayan ..." çünkü eğer eşit olmayan negatif olmayan bir aralık üzerinde daha sonra monoton olarak bir azalmayan ile onun tersi doğru değildir iken, örneğin, üzerinde monoton olarak azalmazken türevi bazı noktalarda tanımlanmamıştır .
  • Eğer bir gerçek değişkenin bir dışbükey fonksiyonudur ve ardından ise supraadditif üzerinde olumlu Reals , yani pozitif reel sayılar için ve .
Kanıt

Yana dışbükey yukarıda dışbükey fonksiyon tanımları birini kullanarak ve izin vererek, bir o izler tüm gerçek

Bundan şu sonuç çıkar
  • Bir işlev, tümü için bir aralıkta orta nokta dışbükeydir
    Bu durum dışbükeylikten sadece biraz daha zayıftır. Örneğin , orta nokta-dışbükey olan gerçek değerli bir Lebesgue ölçülebilir işlevi dışbükeydir: bu bir Sierpinski teoremidir . Özellikle, orta nokta dışbükey olan sürekli bir fonksiyon dışbükey olacaktır.

Birkaç değişkenli fonksiyonlar

  • Bir fonksiyon değerli genişletilmiş reel sayılar dışbükey ancak ve ancak onun takdirde ise kitabe
    dışbükey bir kümedir.
  • Bir dışbükey etki alanında tanımlanan türevlenebilir bir işlev , yalnızca ve yalnızca etki alanındaki herkes için geçerliyse dışbükeydir .
  • Bunu, ancak ve ancak çok değişkenli bir kez türevlenebilir fonksiyonu dışbükey sette dışbükey Hessian matris ikinci kısmi türev olan pozitif yarı kesin dışbükey setinin iç kısmında.
  • Bir dışbükey için işlev tonlarca setleri ve birlikte dışbükey kümeleridir. Bu özelliği sağlayan bir fonksiyona yarı- dışbükey fonksiyon denir ve bir dışbükey fonksiyon olamayabilir.
  • Sonuç olarak, bir dışbükey işlevin global küçültücüleri kümesi bir dışbükey kümedir : - dışbükey.
  • Bir dışbükey işlevin herhangi bir yerel minimumu , aynı zamanda bir küresel minimumdur . Bir kesinlikle dışbükey fonksiyon en fazla bir global minimum olacaktır.
  • Jensen eşitsizliği her dışbükey fonksiyon için geçerlidir . Eğer etki değerleri alan bir rastgele değişken sonra D gösterir matematiksel beklenti . Aslında, dışbükey fonksiyonlar tam olarak Jensen'in eşitsizliği hipotezini karşılayanlardır .
  • İki pozitif değişkenli birinci mertebeden homojen bir fonksiyon ve (yani, tüm pozitif real için tatmin edici bir fonksiyon ), bir değişkende dışbükey olan diğer değişkende dışbükey olmalıdır.

Dışbükeyliği koruyan işlemler

  • ancak ve ancak dışbükey ise içbükeydir .
  • Negatif olmayan ağırlıklı toplamlar:
    • eğer ve hepsi dışbükey ise, o zaman öyledir . Özellikle, iki dışbükey fonksiyonun toplamı dışbükeydir.
    • bu özellik sonsuz toplamlara, integrallere ve (var olmaları şartıyla) beklenen değerlere de uzanır.
  • Elementwise maksimum: dışbükey fonksiyonların bir koleksiyonu olsun . Sonra dışbükeydir. Etki alanı , ifadenin sonlu olduğu noktaların toplamıdır. Önemli özel durumlar:
    • Eğer dışbükey fonksiyonlar ise, o zaman
    • Danskin teoremi : Eğer içinde dışbükey olduğu daha sonra dışbükey olduğu bile C bir dışbükey küme değildir.
  • Kompozisyon:
    • f ve g dışbükey fonksiyonlarsa ve g tek değişkenli bir alanda azalan değilse , o zaman dışbükeydir. Örnek olarak, eğer dışbükey ise, öyledir . çünkü dışbükey ve monoton artandır.
    • Eğer f isimli içbükey ve g isimli konveks ve bir tek değişkenli bir etki alanında olmayan artan, o zaman bir dışbükey.
    • Dışbükeylik , afin haritalar altında değişmez: yani, eğer f etki alanı ile dışbükey ise , o zaman öyledir , burada etki alanı ile .
  • En aza indirilmesi: Eğer , konveks olarak daha sonra , konveks olarak X , kaydıyla dışbükey grubu olduğu ve
  • Eğer dışbükeydir, daha sonra kendi bakış açısı alanı ile dışbükeydir.

Güçlü dışbükey fonksiyonlar

Güçlü dışbükeylik kavramı, katı dışbükeylik kavramını genişletir ve parametreleştirir. Güçlü bir dışbükey işlev de kesinlikle dışbükeydir, ancak bunun tersi de geçerli değildir.

Aşağıdaki eşitsizlik kendi etki alanındaki tüm x , y noktaları için geçerliyse, türevlenebilir bir işleve m > 0 parametresiyle güçlü dışbükey denir :

veya daha genel olarak,
herhangi bir norm nerede . Bazı yazarlar, bu eşitsizliği sağlayan fonksiyonlara eliptik fonksiyonlar gibi atıfta bulunur .

Eşdeğer bir koşul aşağıdaki gibidir:

Bir fonksiyonun kuvvetli dışbükey olması için türevlenebilir olması gerekli değildir. Bir kuvvetle dışbükey fonksiyon için m parametresi ile üçüncü bir tanım, tanım alanındaki tüm x , y için ve

Bu tanımın katı dışbükeylik tanımına m → 0 olarak yaklaştığına ve m = 0 olduğunda dışbükey bir işlevin tanımıyla aynı olduğuna dikkat edin. Buna rağmen, kesinlikle dışbükey olan ancak herhangi bir m > 0 için güçlü dışbükey olmayan işlevler mevcuttur ( aşağıdaki örneğe bakın).

İşlev durumunda ikinci türevi sürekli, o zaman güçlü bir parametre konveks olan

m , ancak ve ancak tüm x etki alanı içinde, bir kimlik ve bir Hessian matris ve eşitsizlik aracı olan yarı tanımlı pozitif . Bu minimum gerektiren eşdeğerdir özdeğer arasında da en azından m tüm x . Alan sadece gerçek doğruysa, o zaman sadece ikinci türev olur, böylece koşul olur . Eğer m = 0 ise, bu, Hessian'ın pozitif yarı tanımlı olduğu anlamına gelir (veya etki alanı gerçek doğruysa, şu anlama gelir ), bu da fonksiyonun dışbükey olduğunu ve belki de kesinlikle dışbükey olduğunu, ancak güçlü bir şekilde dışbükey olmadığını gösterir.

Yine de fonksiyonun sürekli olarak iki kez türevlenebilir olduğunu varsayarsak, alt sınırının onun kuvvetle dışbükey olduğunu ima ettiği gösterilebilir.

Taylor Teoremini kullanarak var
öyle ki
Sonra
özdeğerlerle ilgili varsayımla ve dolayısıyla yukarıdaki ikinci güçlü dışbükeylik denklemini elde ederiz.

Bir fonksiyon

m parametresi ile kuvvetle dışbükeydir, ancak ve ancak fonksiyon
dışbükeydir.

Dışbükey, kesinlikle dışbükey ve güçlü dışbükey arasındaki ayrım, ilk bakışta ince görünebilir. Eğer sürekli olarak iki kez türevlenebilirse ve tanım kümesi gerçek doğruysa , bunu aşağıdaki gibi karakterize edebiliriz:

  • dışbükey ancak ve ancak tüm
x içinse .
  • tüm
  • x için kesinlikle dışbükeydir (not: bu yeterlidir, ancak gerekli değildir).
  • güçlü dışbükey ancak ve ancak tüm
  • x içinse .

    Örneğin, Let katı dışbükey olabilir ve nokta bir dizi olduğunu varsayalım şekilde . Yine de , işlev şiddetle dışbükey değildir çünkü keyfi olarak küçük olacaktır.

    Herkes için tatmin edici bir kompakt etki alanı üzerinde sürekli olarak iki kez türevlenebilir bir fonksiyon kuvvetle dışbükeydir. Bu ifadenin kanıtı, kompakt bir kümede sürekli bir fonksiyonun maksimum ve minimum olduğunu belirten

    aşırı değer teoreminden gelir .

    Güçlü dışbükey işlevler, daha küçük bir sınıf olduklarından, dışbükey veya kesinlikle dışbükey işlevlerden genel olarak daha kolaydır. Kesinlikle dışbükey işlevler gibi, güçlü dışbükey işlevlerin kompakt kümelerde benzersiz minimumları vardır.

    Düzgün dışbükey fonksiyonlar

    Bir homojen olarak dışbükey fonksiyonu modüle sahip bir fonksiyonudur ki tüm

    x , y etki ve t ∈ [0, 1] , tatmin
    nerede negatif olmayan ve sadece 0'da kaybolan bir fonksiyon. Bu, kuvvetli dışbükey fonksiyon kavramının bir genellemesidir; alarak güçlü dışbükeylik tanımını geri alırız.

    Örnekler

    Tek değişkenli fonksiyonlar

    • fonksiyonu vardır , bu nedenle
    f bir dışbükey fonksiyondur. Aynı zamanda güçlü dışbükeylik sabiti 2 ile güçlü dışbükeydir (ve dolayısıyla kesinlikle dışbükeydir).
  • fonksiyonu vardır , bu nedenle
  • f bir dışbükey fonksiyondur. İkinci türev tüm noktalarda tam olarak pozitif olmasa da kesinlikle dışbükeydir. Güçlü dışbükey değildir.
  • Mutlak değer fonksiyonu (yansıtılan konvekstir
  • üçgen eşitsizliği ) bu noktada bir türevi olmayan halde,  X  O kesinlikle dışbükey değil = 0.
  • Fonksiyon için dışbükeydir.
  • Üstel fonksiyon dışbükeydir. Ayrıca kesinlikle dışbükeydir, çünkü ikinci türev keyfi olarak sıfıra yakın olabileceğinden güçlü dışbükey değildir. Daha genel olarak, fonksiyon bir
  • logaritmik dışbükey ise ön konveks fonksiyonudur. Bunun yerine bazen "süper konveks" terimi kullanılır.
  • for tarafından tanımlanan [0,1] etki alanına sahip fonksiyon dışbükeydir; açık aralıkta (0, 1) süreklidir, ancak 0 ve 1'de sürekli değildir.
  • x 3 fonksiyonunun ikinci türevi 6 x ; dolayısıyla x ≥ 0 olan kümede dışbükey ve
  • x  ≤ 0 olan kümede  içbükeydir .
  • Monotonik olarak artan ancak dışbükey olmayan fonksiyon örnekleri arasında ve .
  • Dışbükey olan ancak monotonik olarak artmayan fonksiyon örnekleri arasında ve .
  • x > 0 ise 0'dan büyük olan fonksiyon , aralıkta dışbükeydir . Aralıkta içbükeydir .
  • Fonksiyonu ile , aralık dışbükey olan aralıkta ve dışbükey , ancak aralığına dışbükey değil , çünkü en tekillik, 
  • X  = 0.

    n değişkenli fonksiyonlar

    • Softmax işlevi olarak da adlandırılan LogSumExp işlevi, dışbükey bir işlevdir.
    • İşlev etki alanına
    pozitif tanımlı bir matrisler dışbükeydir.
  • Her gerçek değerli doğrusal dönüşüm dışbükeydir, ancak kesinlikle dışbükey değildir, çünkü f doğrusal ise, o zaman . Bu ifade, "dışbükey" ifadesini "içbükey" ile değiştirirsek de geçerlidir.
  • Her gerçek değerli afin fonksiyon , yani formun her fonksiyonu aynı anda hem dışbükey hem de içbükeydir.
  • Her norm , üçgen eşitsizliği ve pozitif homojenlik tarafından dışbükey bir fonksiyondur .
  • Spektral yarıçap a negatif olmayan matris diagonal elemanlarının bir dışbükey fonksiyonudur.
  • Ayrıca bakınız

    Notlar

    Referanslar

    • Bertsekas, Dimitri (2003). Dışbükey Analiz ve Optimizasyon . Athena Bilimsel.
    • Borwein, Jonathan ve Lewis, Adrian. (2000). Dışbükey Analiz ve Doğrusal Olmayan Optimizasyon. Springer.
    • Donoghue, William F. (1969). Dağılımlar ve Fourier Dönüşümleri . Akademik Basın.
    • Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste ve Lemaréchal, Claude . (2004). Dışbükey analizin temelleri. Berlin: Springer.
    • Krasnosel'skii MA , Rutickii Ya.B. (1961). Dışbükey Fonksiyonlar ve Orlicz Uzayları . Groningen: P.Noordhoff Ltd.
    • Lauritzen, Niels (2013). Lisans Dışbükeyliği . Dünya Bilimsel Yayıncılık.
    • Luenberger, David (1984). Doğrusal ve Doğrusal Olmayan Programlama . Addison-Wesley.
    • Luenberger, David (1969). Vektör Uzay Yöntemleri ile Optimizasyon . Wiley & Sons.
    • Rockafellar, RT (1970). Dışbükey analiz . Princeton: Princeton Üniversitesi Yayınları.
    • Thomson, Brian (1994). Gerçek Fonksiyonların Simetrik Özellikleri . CRC Basın.
    • Zălinescu, C. (2002). Genel vektör uzaylarında dışbükey analiz . River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co., Inc. s. xx+367. ISBN'si 981-238-067-1. MR  1921556 .

    Dış bağlantılar