Dirac delta işlevi - Dirac delta function

Üzerinde bir ok bulunan bir çizgi ile Dirac delta fonksiyonunun şematik gösterimi. Okun yüksekliği genellikle, fonksiyonun altındaki alanı verecek olan herhangi bir çarpımsal sabitin değerini belirtmek içindir. Diğer kural, ok ucunun yanındaki alanı yazmaktır.
Dirac deltası , sıfır merkezli normal dağılımlar dizisinin ( dağılımlar anlamında ) limiti olarak işlev görür.

Gelen matematik , Dirac delta fonksiyonu ( δ fonksiyonu olarak da bilinir), birim darbe sembol, bir genel fonksiyon ya da dağıtım üzerinde gerçek sayılar değeri sıfır dışında her yerde sıfır, olan ve, yekpare bütün gerçek hattı üzerinden eşittir birine. Aynı zamanda, bir şekilde yorumlanabilir doğrusal fonksiyonel sıfır değerine her işlevi haritalar veya bu şekilde zayıf sınır a dizisi arasında kabartma fonksiyonları orijinde uzun bir başak ile, gerçek hattının en fazla sıfır,. Bump işlevleri bu nedenle bazen "yaklaşık" veya "olmakta olan" delta işlevleri olarak adlandırılır.

Delta işlevi, fizikçi Paul Dirac tarafından durum vektörlerinin normalleştirilmesi için bir araç olarak tanıtıldı . Ayrıca olasılık teorisi ve sinyal işlemede de kullanımları vardır . Gerçek bir matematiksel fonksiyon olmadığı için , Laurent Schwartz dağılımlar teorisini geliştirene kadar bazı matematikçiler buna saçmalık olarak itiraz ettiler .

Kronecker'in ö genellikle ayrı bir etki alanında tanımlandığı gibidir ve 0 değeri 1 alır fonksiyonu, Dirac delta fonksiyonunun ayrık analoğudur.

Motivasyon ve genel bakış

Grafik delta fonksiyonunun, genellikle bütün aşağıdaki olarak düşünülür x -Axis ve pozitif y -Axis. Dirac deltası, uzun, dar bir başak fonksiyonunu (bir dürtü ) ve nokta yükü , nokta kütlesi veya elektron noktası gibi diğer benzer soyutlamaları modellemek için kullanılır . Örneğin, vurulan bir bilardo topunun dinamiklerini hesaplamak için , çarpma kuvveti bir delta fonksiyonu ile tahmin edilebilir . Bunu yaparken, sadece denklemleri basitleştirmekle kalmaz, aynı zamanda atom altı seviyelerdeki tüm elastik enerji transferinin ayrıntılı bir modeli olmadan sadece çarpışmanın toplam itici gücünü dikkate alarak topun hareketini hesaplayabilir (örneğin) .

Daha açık olmak gerekirse, bir bilardo topunun hareketsiz olduğunu varsayalım. Zamanda bir ile biner, başka topun çarptığı ivme P içinde, . Momentum değişimi aslında anlık değildir, moleküler ve atom altı seviyedeki elastik süreçler aracılık eder, ancak pratik amaçlar için enerji transferinin etkin bir şekilde anlık olduğunu düşünmek uygundur. Kuvvet nedenle . (Birimleri vardır .)

Bu durumu daha kesin bir şekilde modellemek için, bunun yerine kuvvetin küçük bir zaman aralığında düzgün bir şekilde dağıldığını varsayalım . Yani,

Daha sonra herhangi bir t anındaki momentum integrasyon ile bulunur:

Şimdi, momentum anlık transferi modeli durum olarak limitini alarak gerektirir , veren

Burada fonksiyonlar , momentumun anlık transferi fikrine faydalı yaklaşımlar olarak düşünülür.

Delta işlevi, bu yaklaşımların idealleştirilmiş bir limitini oluşturmamıza izin verir. Ne yazık ki, fonksiyonların gerçek limiti ( noktasal yakınsama anlamında ) her yerde sıfırdır, ancak sonsuz olduğu tek bir noktadır. Delta fonksiyonunu doğru bir şekilde anlamak için, bunun yerine özelliğin

herkes için geçerli olan, limitte kalmaya devam etmelidir. Böylece denklemde limitin her zaman integralin dışına alındığı anlaşılır .

Uygulamalı matematikte, burada yaptığımız gibi, delta işlevi genellikle , her bir elemanının orijinde uzun bir sivri ucu olan bir işlev dizisinin bir tür sınırı ( zayıf bir sınır ) olarak manipüle edilir : örneğin, bir dizi Gauss dağılımları , sıfıra eğilimli varyansla orijin merkezlidir .

Adına rağmen delta işlevi gerçek bir işlev değildir, en azından gerçek sayılarda etki alanı ve aralığı olan olağan bir işlev değildir . Örneğin, f ( x ) = δ ( x ) ve g ( x ) = 0 nesneleri , x = 0 dışında her yerde eşittir, ancak integralleri farklıdır. Göre Lebesgue entegrasyon teorisi ise, f ve g fonksiyonları olacak şekilde f = gr hemen hemen her yerde , daha sonra f integrallenebilirdir ancak ve ancak gr integrallenebilirdir ve integralleri f ve g aynıdır. Dirac delta fonksiyonunu kendi başına matematiksel bir nesne olarak ele almaya yönelik titiz bir yaklaşım , ölçü teorisini veya dağılımlar teorisini gerektirir .

Tarih

Joseph Fourier , Théorie analytique de la chaleur adlı incelemesinde şimdi Fourier integral teoremi olarak adlandırılan şeyi şu şekilde sundu :

bu, δ fonksiyonunun şu şekilde tanıtılmasıyla eşdeğerdir :

Daha sonra Augustin Cauchy teoremi üstelleri kullanarak ifade etti:

Cauchy, bazı durumlarda bu sonuçtaki entegrasyon sırasının önemli olduğuna dikkat çekti ( Fubini teoreminin aksine ).

Dağılımlar teorisi kullanılarak gerekçelendirildiği gibi , Cauchy denklemi Fourier'in orijinal formülasyonuna benzeyecek şekilde yeniden düzenlenebilir ve δ- fonksiyonu şu şekilde ortaya çıkar:

burada δ -fonksiyonu şu şekilde ifade edilir

Üstel formun titiz bir yorumu ve uygulanması için gerekli f fonksiyonu üzerindeki çeşitli sınırlamalar birkaç yüzyıla yayıldı. Klasik bir yorumla ilgili sorunlar şu şekilde açıklanmaktadır:

Klasik Fourier dönüşümünün en büyük dezavantajı, etkin bir şekilde hesaplanabilen oldukça dar bir fonksiyon sınıfıdır (orijinaller). Yani, Fourier integralinin varlığını sağlamak için bu fonksiyonların yeterince hızlı bir şekilde sıfıra (sonsuz komşuluğunda) azalması gerekir . Örneğin, polinomlar gibi basit fonksiyonların Fourier dönüşümü klasik anlamda mevcut değildir. Klasik Fourier dönüşümünün dağılımlara genişletilmesi, dönüştürülebilecek fonksiyonların sınıfını önemli ölçüde genişletti ve bu birçok engeli ortadan kaldırdı.

Ek gelişmeler ile başlayan" Fourier integral genelleme dahil Plancherel pathbreaking L 2 ile devam eden, -Teori (1910) Wiener ve Bochner en eserleri (yaklaşık 1930) ve içine birleşmesi ile doruğa L. Schwartz'ın teorisinin dağılımları (1945) ... " ve Dirac delta fonksiyonunun resmi gelişimine yol açar.

Bir sonsuz sonsuz uzun birim darbe delta fonksiyonunun (sonsuz küçük versiyonu için, formül Cauchy dağılımı ) açık bir 1827 metinde görüntülenen Augustin Louis Cauch . Siméon Denis Poisson , konuyu daha sonra Gustav Kirchhoff'un yaptığı gibi dalga yayılımı çalışmasıyla bağlantılı olarak değerlendirdi . Kirchhoff ve Hermann von Helmholtz ayrıca birim impulsu Gaussianların bir limiti olarak tanıttılar ve bu da Lord Kelvin'in nokta ısı kaynağı kavramına karşılık geldi . 19. yüzyılın sonunda, Oliver Heaviside birim dürtüyü manipüle etmek için resmi Fourier serilerini kullandı . Dirac delta işlevi, Paul Dirac tarafından 1930'da yayınlanan The Principles of Quantum Mechanics adlı etkili kitabında "uygun bir gösterim" olarak tanıtıldı . Ayrık Kronecker deltasının sürekli bir analogu olarak kullandığı için buna "delta işlevi" adını verdi .

Tanımlar

Dirac deltası, sonsuz olduğu başlangıç ​​noktası dışında her yerde sıfır olan gerçek doğru üzerinde gevşek bir fonksiyon olarak düşünülebilir.

ve aynı zamanda kimliği tatmin etmek için kısıtlı olan

Bu sadece bir buluşsal karakterizasyondur. Dirac deltası, gerçek sayılar üzerinde tanımlanan hiçbir fonksiyon bu özelliklere sahip olmadığı için geleneksel anlamda bir fonksiyon değildir. Dirac delta işlevi, bir dağılım veya bir ölçü olarak kesin olarak tanımlanabilir .

ölçü olarak

Titizlikle Dirac delta fonksiyonunun kavramını yakalamak için bir yolu tanımlamak için bir ölçü olarak adlandırılan, Dirac ölçer bir alt kabul, A , gerçek hattı R , bağımsız değişken olarak, ve geri dönüş δ ( A ) = 1 ise 0 ∈ bir ve δ ( A ) = 0 aksi halde. Delta fonksiyonu, 0'da idealleştirilmiş bir nokta kütle modelleme olarak kavramsallaştırılırsa, o zaman δ ( A ) , A kümesinde bulunan kütleyi temsil eder . Bir sonra karşı integralini tanımlayabilir ö bu kütlesel dağılım karşı bir fonksiyonu integrali olarak. Resmi olarak, Lebesgue integrali gerekli analitik cihazı sağlar. Ölçüsü ile ilgili Lebesgue δ tatmin

tüm sürekli kompakt olarak desteklenen işlevler için f . δ ölçüsü Lebesgue ölçüsüne göre kesinlikle sürekli değildir - aslında tekil bir ölçüdür . Sonuç olarak, delta ölçüsünün Radon-Nikodym türevi yoktur (Lebesgue ölçüsüne göre) - özelliğin doğru bir fonksiyonu yoktur.

tutar. Sonuç olarak, ikinci gösterim, bir standart ( Riemann veya Lebesgue ) integrali değil , gösterimin uygun bir şekilde kötüye kullanılmasıdır .

R üzerinde bir olasılık ölçüsü olarak delta ölçüsü, birim adım fonksiyonu olan kümülatif dağılım fonksiyonu ile karakterize edilir .

Bu, H ( x ) ' nin δ ölçüsüne göre kümülatif gösterge fonksiyonu 1'in (−∞, x ] integrali olduğu anlamına gelir ;

ikincisi bu aralığın ölçüsüdür; daha resmi olarak, δ ((−∞, x ]) Böylece özellikle delta fonksiyonunun sürekli bir fonksiyona karşı integrasyonu düzgün bir şekilde Riemann–Stieltjes integrali olarak anlaşılabilir :

Tüm yüksek anlar arasında ö sıfırdır. Özellikle, karakteristik fonksiyon ve moment üreten fonksiyon bire eşittir.

dağıtım olarak

Dağılım teorisinde, genelleştirilmiş bir işlev kendi başına bir işlev olarak değil, yalnızca diğer işlevleri onlara karşı "entegre edildiğinde" nasıl etkilediğiyle ilgili olarak kabul edilir. Bu felsefeye uygun olarak delta fonksiyonunu doğru bir şekilde tanımlamak için yeterince "iyi" bir test fonksiyonuna  karşı delta fonksiyonunun "integralinin" ne olduğunu söylemek yeterlidir φ . Test işlevleri, çarpma işlevleri olarak da bilinir . Delta fonksiyonu zaten bir ölçü olarak anlaşılırsa, o ölçüye karşı bir test fonksiyonunun Lebesgue integrali gerekli integrali sağlar.

Tipik bir test fonksiyonları uzayı, gerektiği kadar çok türevi olan kompakt destekli R üzerindeki tüm düzgün fonksiyonlardan oluşur . Bir dağılım olarak, Dirac deltası, test fonksiyonları uzayında doğrusal bir fonksiyoneldir ve şu şekilde tanımlanır:

 

 

 

 

( 1 )

her test fonksiyonu için .

İçin δ düzgün bir dağılım olması için, Test fonksiyonlarının alanı üzerinde uygun bir topoloji sürekli olmalıdır. Genel olarak, bir dağılımı tanımlamak üzere test fonksiyonları uzayı üzerindeki bir lineer fonksiyonel S için, her N pozitif tamsayı için bir M N tamsayısının ve her test fonksiyonu φ için bir C N sabitinin olması gerekli ve yeterlidir , bir eşitsizlik var

İle δ dağılımı, bir (böyle bir eşitsizlik sahip Cı- N = 1) ile M N = 0 tüm N . Böylece δ sıfır dereceli bir dağılımdır. Ayrıca, kompakt destekli bir dağıtımdır ( destek {0}'dir).

Delta dağılımı birkaç eşdeğer yolla da tanımlanabilir. Örneğin , Heaviside adım fonksiyonunun dağılımsal türevidir . Bu, her test fonksiyonu φ için birinin sahip olduğu anlamına gelir.

Sezgisel olarak, eğer parçalarla entegrasyona izin veriliyorsa, o zaman ikinci integral,

ve gerçekten de, Stieltjes integrali için parçalara göre bir entegrasyon şekline izin verilir ve bu durumda,

Ölçü teorisi bağlamında, Dirac ölçüsü, entegrasyon yoluyla dağıtıma yol açar. Bunun aksine, denklem ( 1 ) bir tanımlayan Daniell yekpare bütün kompakt desteklenen sürekli fonksiyonların alanı cp ile olan Riesz teoremi , Lebesgue integrali olarak temsil edilebilir cp bazıları ile ilgili Radon ölçüsü .

Genel olarak, " Dirac delta fonksiyonu " terimi kullanıldığında, ölçülerden ziyade dağılımlar anlamındadır, Dirac ölçüsü , ölçü teorisinde karşılık gelen kavram için birkaç terim arasındadır. Bazı kaynaklar Dirac delta dağılımı terimini de kullanabilir .

genellemeler

Delta işlevi, n -boyutlu Öklid uzayı R n'de şu şekilde bir ölçü olarak tanımlanabilir:

kompakt olarak desteklenen her sürekli fonksiyon için f . Ölçü olarak, n boyutlu delta işlevi, her bir değişkendeki 1 boyutlu delta işlevlerinin ayrı ayrı çarpım ölçüsüdür . Böylece, biçimsel olarak x = ( x 1 , x 2 , ..., x n ) ile bir

 

 

 

 

( 2 )

Delta işlevi, tek boyutlu durumda tam olarak yukarıdaki gibi dağılımlar anlamında da tanımlanabilir. Bununla birlikte, mühendislik bağlamlarında yaygın olarak kullanılmasına rağmen, ( 2 ) dağılımların ürünü yalnızca oldukça dar koşullar altında tanımlanabileceğinden dikkatli bir şekilde manipüle edilmelidir.

Dirac ölçüsü kavramı herhangi bir kümede anlamlıdır. Bu nedenle, eğer X, bir dizi, x 0X bir işaretlenmiş noktayı ve Σ herhangi bir sigma cebri ait alt kümelerin X , daha sonra setleri tanımlanan ölçü bir ∈ Σ tarafından

x 0'da yoğunlaşan delta ölçüsü veya birim kütledir .

Delta fonksiyonunun bir başka genel genellemesi , türevlenebilir yapı nedeniyle dağıtım olarak özelliklerinin çoğunun da kullanılabileceği türevlenebilir bir manifolddur . x 0M noktasında ortalanmış bir manifold M üzerindeki delta fonksiyonu aşağıdaki dağılım olarak tanımlanır:

 

 

 

 

( 3 )

tüm kompakt olarak desteklenen düzgün gerçek değerli fonksiyonlar için φ on M . Bu yapı genel bir özel durum içinde olmasıdır M bir bir açık grubu Öklid alan içinde R, n .

Bir üzerinde yerel kompakt Hausdorff alan X , Dirac delta bir noktada konsantre x olan radon ölçü Daniell integrali (ilişkili 3 sıkılaştırılmış destekli sürekli fonksiyonlar ile ilgili) cp . Bu genellik düzeyinde, kalkülüs artık mümkün değildir, ancak soyut analizden çeşitli teknikler mevcuttur. Örneğin, haritalama sürekli gömme olan X üzerinde sonlu Radon tedbirlerin uzaya X onun donatılmış, belirsiz topoloji . Ayrıca, dışbükey imgesinin X bu katıştırma altında yoğun üzerindeki olasılık önlemlerinin uzayda X .

Özellikler

Ölçekleme ve simetri

Delta işlevi, sıfır olmayan bir skaler α için aşağıdaki ölçekleme özelliğini karşılar:

ve bu yüzden

 

 

 

 

( 4 )

Kanıt:

Özellikle delta işlevi, şu anlamda eşit bir dağılımdır:

hangi derece -1 homojendir .

cebirsel özellikler

Dağılım ürünü arasında ö ile x sıfıra eşittir:

Tersine, eğer xf ( x ) = xg ( x ) ise , burada f ve g dağılımlardır, o zaman

bazı sabit c için .

Tercüme

Zaman gecikmeli Dirac deltasının integrali

Bu bazen eleme özelliği veya örnekleme özelliği olarak adlandırılır . Delta fonksiyonunun t = T'deki değeri "elediği" söylenir .

Etkisi, aşağıdaki evriştirerek bir işlev f ( t zaman gecikmeli Dirac delta) zaman geciktirme için f ( t aynı miktarda):

Bu, f'nin temperli bir dağılım olması koşuluyla geçerlidir ( aşağıdaki Fourier dönüşümü tartışmasına bakın ). Özel bir durum olarak, örneğin, kimliğe sahibiz (dağıtım anlamında anlaşılır)

Fonksiyonlu kompozisyon

Daha genel olarak, ö dağılımı olabilir oluşan yumuşak bir fonksiyonu olan g ( x değişkenleri, formül bilinen bir değişiklik olduğunu, tutan bir şekilde)

g'nin g ' hiçbir yerde sıfır olan sürekli türevlenebilir bir fonksiyon olması şartıyla . Yani, bu özdeşliğin tüm kompakt olarak desteklenen test fonksiyonları f için geçerli olması için dağılıma anlam atamanın benzersiz bir yolu vardır . Bu nedenle, g ′ = 0 noktasını hariç tutmak için etki alanı bölünmelidir . Bu dağılım karşılayan δ ( g ( x )) = 0 ise gr hiçbir sıfırdır ve aksi takdirde gr bir gerçek sahip kök de x , 0 , daha sonra

Nedenle, doğal tanımlayan bileşim Í ( g ( x sürekli türevlenebilir fonksiyonlar için)) g ile

burada toplam , basit olduğu varsayılan g ( x ) ' in tüm köklerine (yani, tüm farklı köklerine) uzanır . Böylece, örneğin

İntegral formda, genelleştirilmiş ölçekleme özelliği şu şekilde yazılabilir:

Properties N boyutları

n boyutlu bir uzaydaki delta dağılımı, bunun yerine aşağıdaki ölçekleme özelliğini karşılar,

öyle ki δ , derece − n'nin homojen bir dağılımıdır .

Herhangi bir yansıma veya döndürme ρ altında , delta işlevi değişmezdir,

Bir değişkenli durumda olduğu gibi, bileşimini tanımlamak mümkündür ö bir ile iki Lipschitz fonksiyonu g : R, NR n benzersiz böylece bir kimlik bu

kompakt olarak desteklenen tüm işlevler için f .

Kullanma coarea formül gelen geometrik ölçü teorisi , bir de delta fonksiyonunun bileşimi tanımlayabilir altında kalma farklı boyutlara sahip olan başka biri, bir Öklid boşluktan; sonuç bir tür akımdır . Bir sürekli türevlenebilir fonksiyon özel durumda g : R nR, öyle ki gradyan arasında g hiçbir sıfır, aşağıdaki kimlik tutan

sağdaki integralin g -1 (0) üzerinde olduğu durumda , Minkowski içerik ölçüsüne göre g ( x ) = 0 ile tanımlanan ( n − 1) boyutlu yüzey . Bu, basit bir katman integrali olarak bilinir .

Daha genel olarak, eğer S , R n 'nin düzgün bir hiper yüzeyi ise , o zaman herhangi bir kompakt olarak desteklenen düzgün fonksiyonu g üzerinde S ile bütünleştiren dağılımı S ile ilişkilendirebiliriz :

burada σ, S ile ilişkili hiper yüzey ölçüsüdür . Bu genelleme ile ilişkili potansiyel teori arasında basit bir tabaka potansiyelleri hakkında S . Eğer D a, alan içinde R , n düz sınır ile S , daha sonra δ S eşittir , normal türevinin bir gösterge işlevi arasında D , dağıtım anlamda

burada n dışa doğru normaldir. Kanıt için, örneğin yüzey delta işleviyle ilgili makaleye bakın .

Fourier dönüşümü

Delta işlevi, temperli bir dağılımdır ve bu nedenle iyi tanımlanmış bir Fourier dönüşümüne sahiptir . Resmi olarak, biri bulur

Doğru söylemek gerekirse, bir dağılımın Fourier dönüşümü , Schwartz fonksiyonları ile temperlenmiş dağılımların dualite eşleşmesi altında Fourier dönüşümünün kendi kendine bitişikliği empoze edilerek tanımlanır . Böylece , tatmin edici benzersiz temperli dağıtım olarak tanımlanır.

tüm Schwartz işlevleri için . Ve gerçekten de bundan şu sonuç çıkıyor:

Bu özdeşliğin bir sonucu olarak , delta fonksiyonunun diğer herhangi bir temperlenmiş dağılım S ile evrişimi basitçe S'dir :

Yani yani δ bir olan kimlik unsuru temperli dağıtımlarında konvolüsyon için ve aslında, kıvrımla altında sıkılaştırılmış destekli dağılımların uzay bir olan ilişkisel cebir kimlik delta fonksiyonu ile. Temperlenmiş dağılıma sahip evrişim doğrusal zamanla değişmeyen bir sistem olduğundan ve doğrusal zamanla değişmeyen sistemin uygulanması darbe yanıtını ölçtüğünden, bu özellik sinyal işlemede temeldir . Darbe yanıtı, δ için uygun bir yaklaşım seçilerek istenen herhangi bir doğruluk derecesinde hesaplanabilir ve bir kez bilindiğinde, sistemi tamamen karakterize eder. Bkz. LTI sistem teorisi § Darbe yanıtı ve evrişim .

Temperlenmiş dağılım f ( ξ ) = 1'in ters Fourier dönüşümü delta fonksiyonudur. Resmi olarak, bu ifade edilir

ve daha titiz bir şekilde, o zamandan beri takip eder

tüm Schwartz fonksiyonları için f .

Bu terimlerle, delta işlevi, Fourier çekirdeğinin R üzerindeki dikgenlik özelliğinin anlamlı bir ifadesini sağlar . Resmi olarak, bir

Bu, elbette, temperli dağılımın Fourier dönüşümünün olduğu iddiasının kısaltılmış halidir.

NS

bu da yine Fourier dönüşümünün kendi kendine eşliğini empoze ederek takip eder.

Tarafından analitik devam Fourier dönüşümü, Laplace dönüşümü olduğu bulunmuştur delta fonksiyonunun

dağıtım türevleri

Dirac delta dağılımının dağılım türevi dağılımı δ sıkılaştırılmış destekli düz bir test fonksiyonları üzerinde tanımlı ' cp ile

Buradaki ilk eşitlik, parçalara göre bir tür entegrasyondur, çünkü δ gerçek bir fonksiyon olsaydı, o zaman

K alınmış türevi ö test fonksiyonları verilen dağıtım benzer şekilde tanımlanmaktadır

Özellikle, δ sonsuz türevlenebilir bir dağılımdır.

Delta fonksiyonunun birinci türevi, fark bölümlerinin dağılım sınırıdır:

Daha doğrusu, bir

burada τ h , fonksiyonlarda τ h φ ( x ) = φ ( x + h ) tarafından ve S dağılımında şu şekilde tanımlanan çevirme operatörüdür .

Elektromanyetizma teorisinde delta fonksiyonunun ilk türevi , orijinde bulunan bir nokta manyetik dipolünü temsil eder . Buna göre, bir dipol veya ikili fonksiyon olarak adlandırılır .

Delta fonksiyonunun türevi, aşağıdakiler de dahil olmak üzere bir dizi temel özelliği karşılar:

Bu özelliklerin ikincisi, dağılımsal türev tanımı, Liebnitz teoremi ve iç çarpımın doğrusallığı uygulanarak kolayca gösterilebilir:

Bundan başka, evrişim ö küçük olarak desteklenen yumuşak bir fonksiyonu olan ' f olduğu

bu, bir evrişimin dağılımsal türevinin özelliklerinden kaynaklanmaktadır.

Daha yüksek boyutlar

Daha genel olarak, bir de açık grubu U içinde n- boyutlu Öklid alan R , n , Dirac delta dağılımı, bir noktasında merkezlenmiş aU ile tanımlanır

tüm cpS ( U ) , tüm alanı kompakt işlevleri desteklenen pürüzsüz yapıda U . Eğer α (= α 1 , ..., α n ) herhangi biri çoklu dizin ve ∂ α O anlamına gelir bağlantılı karma kısmi türev operatörü daha sonra α ∂ türevi inci α ö bir bölgesinin ö bir tarafından verilir

Kendisine, α türevi inci ö bir değeri, herhangi bir test fonksiyonu dağılımı cp olan a türevi inci cp de bir (uygun pozitif ya da negatif bir işaret ile birlikte).

Delta fonksiyonunun ilk kısmi türevleri , koordinat düzlemleri boyunca çift ​​katmanlar olarak düşünülür . Daha genel olarak, bir yüzey üzerinde desteklenen basit bir katmanın normal türevi , o yüzey üzerinde desteklenen bir çift katmandır ve laminer bir manyetik monopolü temsil eder. Delta fonksiyonunun daha yüksek türevleri fizikte çok kutuplu olarak bilinir .

Daha yüksek türevler, nokta destekli dağılımların tam yapısı için yapı taşları olarak doğal olarak matematiğe girer. Eğer S olduğu hakkında herhangi bir dağıtım U grubu üzerinde desteklenen { a } tek bir noktadan oluşan, o zaman bir tamsayıdır vardır m ve katsayılar c a şekildedir

Delta fonksiyonunun temsilleri

Delta işlevi, bir dizi işlevin sınırı olarak görülebilir.

burada η ε ( x ) bazen yeni oluşan delta işlevi olarak adlandırılır. Bu sınır zayıf bir anlamda kastedilmektedir: ya

 

 

 

 

( 5 )

f kompakt desteğe sahip tüm sürekli işlevler için veya bu sınırın kompakt desteğe sahip tüm düzgün işlevler f için geçerli olduğu. Bu iki hafif farklı zayıf yakınsama modu arasındaki fark genellikle incedir: ilki, ölçülerin belirsiz topolojisindeki yakınsamadır ve ikincisi, dağılımlar anlamında yakınsamadır .

Kimliğe Yaklaşımlar

Tipik olarak yeni oluşan bir delta fonksiyonu η ε aşağıdaki şekilde oluşturulabilir. η , toplam integral 1'in R üzerinde mutlak integrallenebilir bir fonksiyon olsun ve tanımlayın

Gelen n boyutları, tek bir kullanım yerine ölçekleme

Sonra bunu değişkenler gösterileri basit bir değişiklik η £ da 1. Bir (yani gösterebilir ayrılmaz sahiptir 5 ) Tüm sürekli sıkılaştırılmış destekli fonksiyonlar için de geçerlidir f ve böylece η £ yakınsak zayıf üzere δ önlemlerin anlamında.

R | s , bu şekilde imal edilen bir şekilde bilinmektedir kimliğine yaklaşım . Boşluk, bu terminoloji L 1 ( R, kesinlikle integre edilebilir fonksiyonları) çalışması altında kapalı olan konvolüsyon fonksiyonlarının: f * gL 1 ( R ) her ön ve g olan L 1 ( R ). Bununla birlikte, herhangi bir kimlik yoktur L 1 ( R, kıvrım ürünü için): hiçbir öğe s , öyle ki ön * h = f tüm f . Bununla birlikte, η ε dizisi şu anlamda böyle bir özdeşliğe yaklaşır:

Bu sınır, ortalama yakınsama ( L 1'deki yakınsama) anlamında geçerlidir . η ε üzerindeki diğer koşullar, örneğin kompakt olarak desteklenen bir fonksiyonla ilişkili bir yumuşatıcı olması gibi, hemen hemen her yerde noktasal yakınsama sağlamak için gereklidir .

Başlangıç durumunda η = η 1 olduğu kendini düzgün ve kompakt sekansı bir denir, desteklenen mollifier . Standart yumuşatıcı, örneğin uygun şekilde normalleştirilmiş bir çarpma işlevi olarak η seçilerek elde edilir.

Gibi bazı durumlarda , sayısal analizi , bir parçalı lineer kimliğine yaklaşım tercih edilir. Bu alarak elde edilebilir η 1 bir olmaya şapka işlevi . Bu η 1 seçimi ile ,

pürüzsüz ve yumuşatıcı olmamasına rağmen hepsi sürekli ve kompakt olarak desteklenir.

olasılıksal düşünceler

Bağlamında olasılık kuramı , başlangıçtaki ek durum empoze doğaldır η 1 , böyle bir fonksiyonu daha sonra bir temsil eder kimliğine bir yaklaşım olarak, pozitif olmalıdır olasılık dağılımını . Çıktı, girdi değerlerinin dışbükey bir birleşimi olduğundan ve dolayısıyla girdi fonksiyonunun maksimum ve minimum değerleri arasında yer aldığından, bir olasılık dağılımına sahip evrişim, aşma veya yetersiz kalma ile sonuçlanmadığından bazen uygundur . Alarak η 1 hiç bir olasılık dağılımı olabilir, ve izin η ε ( x ) = η 1 ( x / ε ) / ε kimliğine bir yaklaşım sebebiyet verecek yukarıdaki gibi. Genel olarak bu, ek olarak, η 0 ortalamaya sahipse ve küçük daha yüksek momentlere sahipse, bir delta fonksiyonuna daha hızlı yakınsar . Örneğin, η 1 , dikdörtgen fonksiyon olarak da bilinen [−1/2, 1/2] üzerindeki düzgün dağılım ise , o zaman:

Başka bir örnek Wigner yarım daire dağılımı ile

Bu süreklidir ve kompakt olarak desteklenir, ancak pürüzsüz olmadığı için bir yumuşatıcı değildir.

yarıgruplar

Yeni oluşan delta fonksiyonları genellikle evrişim yarıgrupları olarak ortaya çıkar . Bu evrişim daha ileri kısıtlama tutarındadır r | s ile r | ö uygun olmalıdır

hepsi için ε , δ > 0 . Yeni oluşan bir delta işlevi oluşturan L 1'deki evrişim yarı grupları her zaman yukarıdaki anlamda özdeşliğe bir yaklaşımdır, ancak yarı grup koşulu oldukça güçlü bir kısıtlamadır.

Pratikte, delta fonksiyonuna yaklaşan yarı gruplar , fiziksel olarak motive edilmiş eliptik veya parabolik kısmi diferansiyel denklemlere temel çözümler veya Green fonksiyonları olarak ortaya çıkar . Uygulamalı matematik bağlamında , yarı gruplar doğrusal zamanla değişmeyen bir sistemin çıktısı olarak ortaya çıkar . Soyut olarak, eğer A , x'in fonksiyonlarına göre hareket eden bir lineer operatör ise , o zaman başlangıç ​​değer problemini çözerek bir konvolüsyon yarı grubu ortaya çıkar.

sınırın her zamanki gibi zayıf anlamda anlaşıldığı. η ε ( x ) = η ( ε , x ) ayarı , ilişkili yeni oluşan delta fonksiyonunu verir.

Böyle bir temel çözümden kaynaklanan fiziksel olarak önemli evrişim yarı gruplarının bazı örnekleri aşağıdakileri içerir.

ısı çekirdeği

Isı çekirdek ile tanımlanan,

t = 0 anında telin orijininde bir ısı enerjisi birimi depolanıyorsa, t > 0 anında sonsuz bir teldeki sıcaklığı temsil eder. Bu yarı grup, tek boyutlu ısı denklemine göre gelişir :

Olarak olasılık teorisi , r | ε ( X ) a, normal dağılım arasında varyans £ değerinin ortalama 0. temsil olasılık yoğunluk zamanda T = ε standart aşağıdaki kökenli başlayan bir parçacığın konumunun Brown hareketi . Bu bağlamda, yarı grup koşulu, Brownian hareketinin Markov özelliğinin bir ifadesidir .

Daha yüksek boyutlu Öklid uzayında R n , ısı çekirdeği

ve aynı fiziksel yoruma sahiptir, gerekli değişiklikler yapılmıştır . Ayrıca , dağılım anlamında η εδ'nin ε → 0 olarak olması anlamında yeni oluşan bir delta fonksiyonunu temsil eder .

Poisson çekirdeği

Poisson çekirdeği

üst yarı düzlemde Laplace denkleminin temel çözümüdür . Kenar boyunca potansiyeli delta fonksiyonunda sabit tutulan yarı sonsuz bir plakadaki elektrostatik potansiyeli temsil eder . Poisson çekirdeği ayrıca Cauchy dağılımı ve Epanechnikov ve Gauss çekirdek fonksiyonları ile yakından ilişkilidir . Bu yarı grup denkleme göre gelişir

operatörün kesin olarak Fourier çarpanı olarak tanımlandığı yer

salınımlı integraller

Dalga yayılımı ve dalga mekaniği gibi fizik alanlarında , ilgili denklemler hiperboliktir ve dolayısıyla daha tekil çözümlere sahip olabilir. Sonuç olarak, ilişkili Cauchy problemlerinin temel çözümleri olarak ortaya çıkan yeni oluşan delta fonksiyonları genellikle salınımlı integrallerdir . İhtiva eden bir çözeltiye gelen bir örnek, Euler-Tricomi denkleminin bir transonik gaz dinamiği , yeniden olçeklendirilmiş bir havadar işlevi

Fourier dönüşümünü kullanmasına rağmen, bunun bir anlamda bir yarı grup oluşturduğunu görmek kolaydır - kesinlikle entegre edilemez ve bu nedenle yukarıdaki güçlü anlamda bir yarı grup tanımlayamaz. Salınımsal integraller olarak oluşturulan birçok yeni oluşan delta işlevi , ölçümler anlamında değil, yalnızca dağılımlar anlamında yakınsar (bir örnek aşağıdaki Dirichlet çekirdeğidir ).

Bir başka örnek için Cauchy sorun dalga denklemi içinde R 1 + 1 :

Çözüm u , başlangıçtaki bir bozulma ile sonsuz elastik bir sicimin dengesinden yer değiştirmesini temsil eder.

Bu tür kimliğe yönelik diğer yaklaşımlar, sinc işlevini içerir (elektronik ve telekomünikasyonda yaygın olarak kullanılır)

ve Bessel fonksiyonu

Düzlem dalga ayrışması

Doğrusal kısmi diferansiyel denklem çalışmasına bir yaklaşım

burada L , R n üzerinde bir diferansiyel operatördür , önce denklemin bir çözümü olan temel bir çözüm aramaktır.

Tüm L özellikle basittir, bu sorun, genellikle Fourier (önceden örnek gösterilmiş Poisson çekirdeği ve ısı çekirdek durumunda olduğu gibi), doğrudan dönüşümü kullanılarak çözülebilir. Daha karmaşık operatörler için, bazen ilk önce formun bir denklemini düşünmek daha kolaydır.

burada h a, düzlem dalgası işlevi bir biçime sahip olduğu anlamına gelir,

bazı vektör ξ için. Bu tür bir denklem (katsayıları halinde çözülebilir L olan analitik fonksiyonlar ile) Cauchy- Kovalevskaya teoremi ya da (katsayıları halinde L sabittir) kareleme ile. Dolayısıyla, delta fonksiyonu düzlem dalgalara ayrıştırılabilirse, prensipte lineer kısmi diferansiyel denklemler çözülebilir.

Delta fonksiyonunun düzlem dalgalara böyle bir ayrıştırılması, ilk olarak Johann Radon tarafından tanıtılan ve daha sonra bu biçimde Fritz John ( 1955 ) tarafından geliştirilen genel bir tekniğin parçasıydı . k'yi seçin, böylece n + k çift ​​bir tam sayı olur ve gerçek bir s sayısı için ,

Daha sonra δ bir gücün tatbik edilmesi suretiyle elde edilir Laplace birimi ile ilgili olarak integraline küre ölçü arasında dco g ( x · ξ ) için Karsılık içinde birim küre S , n -1 :

Buradaki Laplacian zayıf bir türev olarak yorumlanır, böylece bu denklem, herhangi bir test fonksiyonu  φ için ,

Sonuç, Newton potansiyeli formülünden (Poisson denkleminin temel çözümü) çıkar. Bu, esasen Radon dönüşümü için ters çevirme formülünün bir biçimidir, çünkü φ ( x ) değerini hiperdüzlemler üzerindeki integrallerinden geri alır. Örneğin, n tek ve k = 1 ise, sağ taraftaki integral

burada ( ξ , s ) Radon dönüşümü olan cp :

Gelfand & Shilov'dan (1966–1968 , I, §3.10) düzlem dalga ayrışmasının alternatif bir eşdeğer ifadesi şudur:

n çift için ve

için n garip.

Fourier çekirdekleri

Çalışmasında Fourier serilerinin , büyük bir soru ile ilişkili Fourier serilerini anlamda neyi ister ve belirleyici oluşur periyodik fonksiyon işlevine yakınsak. N, bir işlev Fourier serisi inci kısmi toplam f süresi 2 tt (aralığına kıvrım ile tanımlanır [-π, π] ) ile Dirichlet çekirdek :

Böylece,

nerede

Temel Fourier serilerinin temel bir sonucu, Dirichlet çekirdeğinin delta fonksiyonunun N → ∞ olarak katlarına eğilimli olduğunu belirtir . Bu, dağıtım anlamında yorumlanır,

kompakt olarak desteklenen her düzgün işlev için f . Böylece, resmi olarak bir

[−π,π] aralığında  .

Buna rağmen, sonuç, kompakt olarak desteklenen tüm sürekli fonksiyonlar için geçerli değildir : yani, D N , ölçüler anlamında zayıf bir şekilde yakınsamaz. Fourier serilerinin yakınsama eksikliği, yakınsama üretmek için çeşitli toplanabilirlik yöntemlerinin getirilmesine yol açmıştır . Cesàro toplama yöntemi Fejér çekirdeğine yol açar

Fejér çekirdekleri daha güçlü bir anlamda ki delta fonksiyonu eğilimindedir

kompakt olarak desteklenen her sürekli fonksiyon için f . Bunun anlamı, herhangi bir sürekli fonksiyonun Fourier serisinin, her noktadaki fonksiyonun değerine Cesàro ile toplanabilir olmasıdır.

Hilbert uzay teorisi

Dirac delta dağılımı olan yoğun tanımlandığı sınırsız işlevsel doğrusal üzerinde Hilbert uzayı L 2 bir kare İntegrallenebilir fonksiyonlar . Gerçekten de, düzgün kompakt desteklenen işlevler şunlardır yoğun olarak L 2 ve bu tür fonksiyonların delta dağılım işlemi iyi tanımlanmış olduğu. Birçok uygulamada, L 2'nin alt uzaylarını belirlemek ve delta fonksiyonunun bir sınırlı lineer fonksiyonel tanımladığı daha güçlü bir topoloji vermek mümkündür .

Sobolev uzayları

Sobolev gömme teoremi için sobolev boşluklar gerçek hattı üzerinde R ima bir kare integre işlevinin, f şekildedir

otomatik olarak süreklidir ve özellikle tatmin edicidir

Böylece δ , Sobolev uzayı H 1 üzerinde sınırlı bir lineer fonksiyoneldir . Eşdeğer bir δ bir elemanıdır , sürekli çift boşluk H -1 arasında , H 1 . Daha genel olarak, n boyutta, s > n  / 2 olması koşuluyla  δH s ( R n ) vardır .

Holomorfik fonksiyonların uzayları

Olarak karmaşık analiz , delta fonksiyonu yoluyla girer Cauchy integral formül ise ileri sürerken, D bir alan olan kompleks düzlemde düz sınır ile, daha sonra

tüm Holomorfik fonksiyonların f içinde D kapatılmasına ilişkin süreklidir D . Sonuç olarak, delta fonksiyonu δ z , bu holomorfik fonksiyonlar sınıfında Cauchy integrali ile temsil edilir:

Ayrıca, izin H 2 (∂ D ) olmak Hardy alan kapağın oluşan L 2 (∂ D ) tüm Holomorfik fonksiyonların D sınırına kadar sürekli D . Daha sonra H 2 (∂ D ) içindeki işlevler benzersiz bir şekilde D içindeki holomorfik işlevlere uzanır ve Cauchy integral formülü geçerliliğini korur. Özellikle zD için delta işlevi δ z , H 2 (∂ D ) üzerinde sürekli bir doğrusal işlevseldir . Bu, düz alanlar D için Szegő çekirdeğinin Cauchy integralinin rolünü oynadığı birkaç karmaşık değişkendeki durumun özel bir durumudur .

Kimlik Çözümleri

Ayrılabilir bir Hilbert uzayında { φ n } fonksiyonlarının tam bir ortonormal temel kümesi verildiğinde , örneğin, bir kompakt kendine eşlenik operatörün normalleştirilmiş özvektörleri , herhangi bir f vektörü şu şekilde ifade edilebilir:

n } katsayıları şu şekilde bulunur:

hangi gösterimle temsil edilebilir:

Dirac'ın bra-ket gösteriminin bir şekli . Bu gösterimi benimseyen f'nin açılımı ikili biçimi alır :

Letting Ben belirtmek kimlik operatörü Hilbert uzayında, ifade

kimliğin çözümü olarak adlandırılır . Hilbert uzayı, bir D alanı üzerindeki kare integrallenebilir fonksiyonların L 2 ( D ) uzayı olduğunda , nicelik:

bir integral operatördür ve f ifadesi yeniden yazılabilir

Sağ taraf , L 2 anlamında f'ye yakınsar . f sürekli bir fonksiyon olsa bile noktasal anlamda tutması gerekmez . Bununla birlikte, gösterimi kötüye kullanmak yaygındır ve yazar

delta fonksiyonunun temsili ile sonuçlanan:

Uygun bir Hilbert uzayıyla (Φ, L 2 ( D ), Φ*) burada Φ ⊂ L 2 ( D ) tüm kompakt olarak desteklenen düzgün fonksiyonları içerir, bu toplama, temelin özelliklerine bağlı olarak Φ*'da yakınsak olabilir φ n . Pratik ilginin çoğu durumunda, ortonormal taban bir integral veya diferansiyel operatörden gelir, bu durumda seri dağılım anlamında yakınsar .

Sonsuz küçük delta fonksiyonları

Cauchy Dirac tipi delta fonksiyonu sonsuz uzun bir birim dürtü yazmak ve daraltmak için son derece küçük bir a kullanılan ö a tatmin edici bir sonsuz 1827 Cauch eşya bir dizi tanımlanmış Cours d'analiz bir sekans aksama açısından (1827) sıfıra. Yani böyle bir boş dizi, Cauchy ve Lazare Carnot'un terminolojisinde sonsuz küçük olur .

Standart olmayan analiz , birinin sonsuz küçükleri titizlikle ele almasına izin verir. Yamashita'nın (2007) makalesi , hiper gerçekler tarafından sağlanan sonsuz küçük zenginleştirilmiş bir süreklilik bağlamında modern Dirac delta fonksiyonları hakkında bir kaynakça içermektedir . İşte Dirac delta her gerçek işlevi için söz konusu özelliği olan, gerçek bir işlev tarafından verilebilir F biri olan Fourier ve Cauchy de öngördüğü gibi.

Dirac tarak

Bir Dirac tarağı, T aralıklarında aralıklı sonsuz bir Dirac delta fonksiyonları dizisidir.

Dirac tarak veya Shah dağılımı olarak bilinen Dirac delta ölçümlerinin sözde tek tip "darbe dizisi" , genellikle dijital sinyal işlemede (DSP) ve ayrık zamanlı sinyal analizinde kullanılan bir örnekleme işlevi oluşturur . Dirac tarağı, limiti dağılım anlamında anlaşılan sonsuz toplam olarak verilir ,

bu, tam sayıların her birinde nokta kütlelerinin bir dizisidir.

Genel bir normalleştirme sabitine kadar, Dirac tarak kendi Fourier dönüşümüne eşittir. Eğer, bu önemli herhangi biridir Schwartz işlevi , daha sonra dönemlere ait kıvrım verilir

Özellikle,

tam olarak Poisson toplama formülüdür . Daha genel olarak, bu formül , hızlı alçalmanın tavlanmış bir dağılımıysa veya eşdeğer olarak, tavlanmış dağılımların uzayı içinde yavaş büyüyen, sıradan bir fonksiyon ise , doğru olmaya devam eder .

Sokhotski-Plemelj teoremi

Sokhotski-Plemelj teoremi kuantum mekaniği olarak önemli, 1 / dağıtım pv delta fonksiyonu ile ilgilidir X , Cauchy temel değer fonksiyon 1 / X ile tanımlanan

Sokhotsky'nin formülü şunu belirtir:

Burada sınır, dağıtım anlamında, kompakt olarak desteklenen tüm düzgün fonksiyonlar için f ,

Kronecker deltası ile ilişkisi

Kronecker'in ö δ ij tarafından tanımlanan miktar

tüm tamsayılar için i , j . Bu fonksiyon daha sonra eleme özelliğinin aşağıdaki analogunu karşılar: eğer herhangi bir çift ​​sonsuz dizi ise , o zaman

Benzer şekilde, R üzerinde herhangi bir reel veya karmaşık değerli sürekli fonksiyon f için , Dirac deltası eleme özelliğini sağlar.

Bu, Kronecker delta fonksiyonunu Dirac delta fonksiyonunun ayrı bir analogu olarak gösterir.

Uygulamalar

Olasılık teorisi

Gelen Olasılık teorisi ve istatistik Dirac delta fonksiyonu genellikle temsil etmek için kullanılır ayrık dağılımı , ya da kısmen ayrı ayrı, kısmi sürekli dağılımı bir kullanarak, olasılık yoğunluk fonksiyonu (normal olarak sürekli dağılımlar temsil etmek için kullanılır). Örneğin, x = { x 1 , ..., x n } noktalarından oluşan ve karşılık gelen olasılıklar p 1 , ..., p n olan ayrık bir dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu f ( x ) şu şekilde yazılabilir:

Başka bir örnek olarak, zamanın 6/ 10'unun standart bir normal dağılım döndürdüğü ve zamanın 4/10'unun tam olarak 3.5 değerini döndürdüğü bir dağılımı düşünün (yani, kısmen sürekli, kısmen ayrık bir karışım dağılımı ). Bu dağılımın yoğunluk fonksiyonu şu şekilde yazılabilir:

Delta fonksiyonu ayrıca sürekli türevlenebilir fonksiyon tarafından dönüştürülen bir rastgele değişkenin elde edilen olasılık yoğunluk fonksiyonunu temsil etmek için kullanılır. Eğer Y = gr ( X ), kesintisiz türevlenebilir fonksiyonu, daha sonra yoğunluğu Y şekilde yazılabilir

Delta işlevi ayrıca bir difüzyon sürecinin yerel zamanını temsil etmek için tamamen farklı bir şekilde kullanılır ( Brown hareketi gibi ). Bir stokastik B ( t ) işleminin yerel saati şu şekilde verilir:

ve sürecin, süreç aralığında x noktasında harcadığı süreyi temsil eder . Daha doğrusu, bir boyutta bu integral yazılabilir

burada 1 [ x - ε , x + ε ] , [ x - ε , x + ε ] aralığının gösterge fonksiyonudur .

Kuantum mekaniği

Delta işlevi kuantum mekaniğinde uygundur . Dalga fonksiyonunun bir parçacığın belirli bir alan içerisine bölge içindeki bir parçacık bulma olasılığı amplitüdü veren. Dalga fonksiyonları Hilbert alan elemanları olduğu varsayılır L 2 bir kare integrallenebilme özellikleri ve belirli bir zaman aralığı içinde bir parçacık bulma toplam olasılık dalga fonksiyonunun büyüklük yekpare bir aralık üzerinden karesi alınmış. Bir { } dalga fonksiyonu kümesi , şu şekilde normalleştirilirlerse ortonormaldir.

Kronecker deltası nerede . Herhangi bir dalga fonksiyonu , karmaşık katsayılarla { }' nin lineer bir kombinasyonu olarak ifade edilebiliyorsa, kare-integrallenebilir fonksiyonlar uzayında bir ortonormal dalga fonksiyonu seti tamamlanmıştır :

ile . Dalga fonksiyonlarının tam ortonormal sistemleri gibi doğal olarak görünen Özfonksiyonların arasında Hamiltoniyen'in (a bağlı sistem kuantum mekaniği olarak) önlemler bu öz olarak adlandırılır enerji seviyeleri. Bu durumda özdeğerler kümesi Hamiltoniyen spektrumu olarak bilinir . Gelen sütyen ket gösterim olarak , yukarıda , bu eşitlik kimlik çözünürlüğü ifade eder:

Burada özdeğerlerin ayrık olduğu varsayılır, ancak bir gözlenebilirin özdeğerleri kümesi ayrık olmaktan çok sürekli olabilir. Bir örnek gözlemlenebilir konumdur , ( x ) = x ψ( x ) . Konumun spektrumu (bir boyutta) gerçek çizginin tamamıdır ve sürekli spektrum olarak adlandırılır . Ancak, Hamiltonyen'den farklı olarak, konum operatörü uygun özfonksiyonlardan yoksundur. Bu eksikliğin üstesinden gelmenin geleneksel yolu, dağılımlara da izin vererek mevcut fonksiyonların sınıfını genişletmektir: yani, kuantum mekaniğinin Hilbert uzayını uygun bir hileli Hilbert uzayıyla değiştirmek . Bu bağlamda, konum operatörü, gerçek çizginin y noktalarıyla etiketlenmiş ,

Konumun özfonksiyonları Dirac notasyonu ile gösterilir ve konum özdurumları olarak bilinir.

Benzer değerlendirmeler, momentum operatörünün özdurumları için de geçerlidir , ya da Hilbert uzayındaki diğer herhangi bir kendi kendine ekli sınırsız operatör P için, P'nin spektrumunun sürekli olması ve dejenere özdeğerlerin olmaması şartıyla geçerlidir . Bu durumda, bir dizi Ω reel sayı (spektrum) ve Ω elementleri tarafından indekslenen bir φ y dağılım koleksiyonu vardır , öyle ki,

Yani, φ y , P'nin özvektörleridir . Özvektörler normalize edilirse,

dağıtım anlamında, herhangi bir test fonksiyonu için ψ,

nerede

Yani, ayrık durumda olduğu gibi, kimliğin bir çözümü vardır.

operatör değerli integralin yine zayıf anlamda anlaşıldığı yer. Spektrumu ise P sürekli ya da kesikli bölümden oluşur, daha sonra bir kimlik çözünürlüğü farklı spektrumu üzerindeki toplamını kapsar ve sürekli spektrum üzerinde tamamlayıcı.

Delta fonksiyonu ayrıca, tek ve çift potansiyel kuyusu için delta potansiyel modelleri gibi kuantum mekaniğinde daha birçok özel uygulamaya sahiptir .

yapısal mekanik

Delta işlevi, yapılara etki eden geçici yükleri veya nokta yükleri tanımlamak için yapısal mekanikte kullanılabilir . t = 0 anında ani bir kuvvet darbesi I tarafından uyarılan basit bir kütle-yay sisteminin yönetici denklemi yazılabilir.

burada m, bir kütle olup sapmasını Karsılık ve k yay sabitini .

Başka bir örnek olarak, bir ince statik sapmasını temel denklemler ışını göre olan Euler-Bernoulli teori ,

burada EI olan bükülme sertliği kirişin, ağırlık sapması , x koordinatı ve hacimsel q ( X yük dağılımı). Bir ışın, bir nokta kuvveti tarafından yüklendiğinde ise F de X = X 0 , yük dağıtım yazılır

Delta fonksiyonunun entegrasyonu Heaviside adım fonksiyonu ile sonuçlandığından, çok noktalı yüklere maruz kalan ince bir kirişin statik sapmasının bir dizi parçalı polinom tarafından tanımlandığı sonucu çıkar .

Ayrıca, bir kirişe etki eden nokta momenti delta fonksiyonları ile tanımlanabilir. Birbirinden d uzaklığında iki zıt F nokta kuvvetini düşünün . Daha sonra kirişe etki eden bir M = Fd momenti üretirler . Şimdi, M sabit tutulurken d mesafesinin limit sıfıra yaklaşmasına izin verin . x = 0'da saat yönünde hareket eden bir moment varsayılarak yük dağılımı yazılır.

Nokta momentleri böylece delta fonksiyonunun türevi ile temsil edilebilir . Kiriş denkleminin integrali yine parçalı polinom sapmasıyla sonuçlanır .

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

Dış bağlantılar