Arşimet özelliği - Archimedean property

Arşimet mülkünün çizimi.

Gelen soyut cebir ve analiz , Arşimet özelliği Eski Yunan matematikçi adını, Arşimed arasında Syracuse , bazıları tarafından düzenlenen bir özelliktir cebirsel yapılar böyle sipariş veya normlu olarak, gruplar ve alanlar . Tipik olarak yorumlanan özellik, iki pozitif sayı x ve y verildiğinde , nx > y olacak şekilde bir n tamsayısının olduğunu belirtir . Aynı zamanda, doğal sayılar kümesinin yukarıda sınırlı olmadığı anlamına gelir . Kabaca söylemek gerekirse, sonsuz büyük veya sonsuz küçük öğelere sahip olmama özelliğidir . Öyleydi Otto Stolz o Arşimed Axiom V olarak görünür, çünkü Arşimet adını belitini verdi Küresi ve Silindir üzerinde .

Kavram , Antik Yunanistan'ın büyüklükler teorisinden doğmuştur ; hala gibi modern matematik önemli bir rol oynar David Hilbert 'in geometri aksiyomlarına ve teorileri sıralı gruplar , sipariş edilen alanlar ve yerel alanlar .

Hiçbirinin diğerine göre sonsuz küçük olmadığı anlamında, sıfır olmayan herhangi iki öğenin karşılaştırılabilir olduğu bir cebirsel yapıya Arşimet denir . Biri diğerine göre sonsuz küçük olan bir çift sıfır olmayan elemana sahip bir yapıya Arşimet olmayan denir . Örneğin , Arşimet olan lineer sıralı bir grup Arşimet grubudur .

Bu, biraz farklı formülasyonlarla çeşitli bağlamlarda kesin hale getirilebilir. Örneğin, sıralı alanlar bağlamında, bu özelliği formüle eden Arşimet aksiyomu vardır , burada gerçek sayıların alanı Arşimettir, ancak gerçek katsayılardaki rasyonel fonksiyonlarınki değildir.

Arşimet mülkünün adının tarihi ve kökeni

Kavram tarafından seçildi Otto Stolz sonra (1880'lerde) eski Yunan geometer ve fizikçi Arşimed arasında Syracuse .

Arşimet özelliği, Öklid'in Elementlerinin V. Kitabında Tanım 4 olarak görünür :

Büyüklüklerin, çarpıldığında birbirini aşabilecek bir oranı olduğu söylenir.

Arşimet onu Knidoslu Eudoxus'a atfettiği için, "Eudoxus Teoremi" veya Eudoxus aksiyomu olarak da bilinir .

Arşimet , buluşsal argümanlarda sonsuz küçükleri kullandı , ancak bunların tamamlanmış matematiksel kanıtlar olduğunu reddetti .

Doğrusal sıralı gruplar için tanım

Let $X$ ve $Y$ olmak olumlu unsurları a doğrusal sıralı grup G . O zaman $x$ , $y'ye$ göre sonsuzdur (veya eşdeğer olarak, $y$ , $x'e$ göre sonsuzdur ), eğer her $n$ doğal sayısı için , çoklu $nx$ $y'den$ küçükse , yani aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:

\underbrace {x+\cdots +x} _{n{\text{ terimler}}}<y.\,

Bu tanım, mutlak değerler alınarak grubun tamamına genişletilebilir.

Grup $G$ ise Arşimet bir çifti ise $(x, y)$ bu şekilde $X$ ile ilgili olarak son derece küçük olan $y$ .

Ek olarak, $K$ , bir birimi (1) olan bir cebirsel yapıysa - örneğin bir halka - benzer bir tanım $K için de$ geçerlidir . Eğer $X$ ile ilgili olarak son derece küçük 1'e, daha sonra $x$ bir bir sonsuz eleman . Benzer şekilde, $Y$ , 1 ile ilgili olarak, sonsuz, sonra $y$ bir bir sonsuz eleman . Cebirsel yapı $K$ , sonsuz elemanı ve sonsuz küçük elemanı yoksa Arşimet'tir.

sıralı alanlar

Sıralı alanların bazı ek özellikleri vardır:

Rasyonel sayılar herhangi bir sıralı alana gömülüdür . Yani, herhangi bir sıralı alan karakteristik sıfıra sahiptir.
Eğer $x$ sonsuz, daha sonra $1 / X$ sonsuzdur ve tersi de geçerlidir. Bu nedenle, bir alanın Arşimet olduğunu doğrulamak için yalnızca sonsuz küçük öğe olmadığını veya sonsuz öğe olmadığını kontrol etmek yeterlidir.
Eğer $X$ sonsuz ve r, rasyonel sayıdır, o zaman $Rx$ da küçüktür. Sonuç olarak, genel bir $c$ öğesi verildiğinde , $c /2$ , $c$ ve $2 c$ sayılarının tümü ya sonsuz küçüktür ya da hepsi sonsuz küçük değildir.

Bu ortamda, Arşimet aksiyomu olarak adlandırılan aşağıdaki ifade geçerli olduğunda, sıralı bir $K$ alanı Arşimet'tir :

"Olsun

X

herhangi bir eleman

K

. Daha sonra bir doğal sayı vardır

, n

, öyle ki

, n > x

."

Alternatif olarak aşağıdaki karakterizasyon kullanılabilir:

\forall \,\varepsilon \in K{\big (}\varepsilon >0\implies \vardır \ n\N:1/n<\varepsilon {\big )}.

Normlu alanlar için tanım

"Arşimet" niteleyicisi aynı zamanda birinci derece değerli alanlar ve birinci derece değerli alanlar üzerindeki normlu uzaylar teorisinde aşağıdaki gibi formüle edilir. Let $F$ yani, bir mutlak değer fonksiyon, sahip bir alan, alan elemanı 0 ve ortakları pozitif reel sayı ile gerçek sayı 0 ilişkilendiren bir fonksiyonu olarak her bir sıfır olmayan ile $x$ $\in$ $F$ ve tatmin ve . Daha sonra, $E$ olduğu söylenir Arşimet herhangi Sıfırdan $x$ $\in$ $F$ bir vardır doğal sayı $n,$ bu şekilde ${\görüntüleme stili |x|}$ $|xy|=|x||y|$ $|x+y|\leq |x|+|y|$

|\underbrace {x+\cdots +x} _{n{\text{ terimler}}}|>1.

Benzer şekilde, her biri sıfır olmayan bir $x$ vektörüne eşit $n$ terimin toplamı, yeterince büyük $n$ için birden büyük norma sahipse , normlu bir uzay Arşimet uzayıdır . Mutlak değeri veya normlu alanı ile bir alan olarak ifade edilen güçlü bir durum ya Arşimet veya tatmin olduğu ultrametrik üçgen eşitsizliği ,

|x+y|\leq \max(|x|,|y|),

sırasıyla. Ultrametrik üçgen eşitsizliğini sağlayan bir alan veya normlu uzay Arşimet dışı olarak adlandırılır .

Arşimet olmayan normlu lineer uzay kavramı AF Monna tarafından tanıtıldı.

Örnekler ve örnek olmayanlar

Gerçek sayıların Arşimet özelliği

Rasyonel sayıların alanına, $x$ $\neq 0$ olduğunda önemsiz işlev , daha olağan ve $p$ -adik mutlak değer işlevleri de dahil olmak üzere bir dizi mutlak değer işlevinden biri atanabilir . By Ostrowski teoremi , rasyonel sayılar her önemsiz olmayan mutlak değeri normalden mutlak değer ya da bazı ya eşdeğerdir $p$ -adic mutlak değer. Rasyonel alan, önemsiz olmayan mutlak değerlere göre tam değildir; önemsiz mutlak değer ile ilgili olarak, rasyonel alan ayrı bir topolojik uzaydır, bu yüzden tamdır. (Sıradan) olağan mutlak değere göre tamamlama, gerçek sayıların alanıdır. Bu yapı ile gerçek sayıların alanı, hem sıralı bir alan hem de normlu bir alan olarak Arşimet'tir. Öte yandan, önemsiz olmayan diğer mutlak değerlere göre tamamlamalar, $p$ -adik sayıların alanlarını verir , burada $p$ bir asal tam sayıdır (aşağıya bakınız); çünkü $p$ -adic mutlak değerleri tatmin ultrametrik özelliği, daha sonra $p$ -adic sayı cisimleri (bunlar sıralı alanlara yapılamaz) normlu alanları olmayan Arşimet bulunmaktadır. ${\görüntüleme stili |x|=1,}$ ${\textstyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$

In gerçek sayılar aksiyomatik teori , sıfırdan farklı sonsuz küçük reel sayılar olmayan varlığı ima edilir azından üst bağlanmış mülkiyet şöyle. Tüm pozitif sonsuz küçüklerden oluşan kümeyi $Z ile$ gösteriniz . Bu küme yukarıda 1 ile sınırlandırılmıştır. Şimdi bir çelişki için $Z'nin$ boş olmadığını varsayalım . O zaman yine pozitif olan en küçük bir üst sınırı $c$ vardır, yani $c /2 < c < 2 c$ . Yana $C$ bir bir üst sınırı arasında $Z$ ve $2 C$ daha kesin büyük $c$ , $2 C$ pozitif sonsuz değildir. Yani, $1/$ $n$ $< 2$ $c$ olan bir $n$ doğal sayısı vardır . Öte yandan, $C$ $/ 2$ pozitif sonsuz üst olmalıdır bağlı en tanımında makuldür, son derece küçük bir $X$ arasındaki $c$ $/ 2$ ve $C$ , ve eğer $1 /$ $k$ $<$ $C$ $/ 2 \leq$ $x$ sonra $x$ değil sonsuz . Ancak $1/(4$ $n$ $) <$ $c$ $/2$ , yani $c$ $/2$ sonsuz küçük değildir ve bu bir çelişkidir. Bu, sonuçta $Z'nin$ boş olduğu anlamına gelir : pozitif, sonsuz küçük gerçek sayılar yoktur.

Gerçek sayıların Arşimet özelliği , en küçük üst sınır özelliği bu bağlamda başarısız olsa bile , yapıcı analizde de geçerlidir .

Arşimet olmayan sıralı alan

Arşimet olmayan sıralı bir alan örneği için, gerçek katsayılı rasyonel fonksiyonların alanını alın . (Rasyonel bir fonksiyon, bir polinomun başka bir polinomla bölünmesi olarak ifade edilebilen herhangi bir fonksiyondur ; bundan sonra bunun paydanın baş katsayısı pozitif olacak şekilde yapıldığını varsayacağız .) Bunu sıralı yapmak için alanında toplama ve çarpma işlemlerine uygun bir sıralama atanmalıdır. Şimdi $f > g$ ancak ve ancak f − g > 0 ise, bu nedenle yalnızca hangi rasyonel fonksiyonların pozitif olarak kabul edildiğini söylemeliyiz. Payın önde gelen katsayısı pozitifse, işlevi pozitif olarak adlandırın. (Bu sıralamanın iyi tanımlanmış ve toplama ve çarpma ile uyumlu olup olmadığı kontrol edilmelidir.) Bu tanıma göre, 1/ x rasyonel fonksiyonu pozitiftir ancak rasyonel fonksiyon 1'den küçüktür. Aslında, $n$ herhangi bir doğal sayı ise, o zaman n. (1/ x ) = n / x pozitiftir ancak $n$ ne kadar büyük olursa olsun yine de 1'den küçüktür . Bu nedenle, 1/ x bu alanda bir sonsuz küçüktür.

Bu örnek diğer katsayılara genelleme yapar. Rasyonel fonksiyonları gerçek katsayılar yerine rasyonel katsayılarla almak, Arşimet dışı sıralı sayılabilir bir alan üretir. Katsayıları farklı bir değişkende, örneğin $y'de$ rasyonel fonksiyonlar olarak almak, farklı bir düzen tipine sahip bir örnek üretir .

Arşimet olmayan değerli alanlar

p-adic metriği ile donatılmış rasyonel sayıların alanı ve tamamlamalar olan p-adic sayı alanları, mutlak değerli alanlar olarak Arşimet özelliğine sahip değildir. Tüm Arşimet değerli alanlar, olağan mutlak değerin gücüne sahip karmaşık sayıların bir alt alanına izometrik olarak izomorfiktir.

Arşimet sıralı alanın eşdeğer tanımları

Doğrusal olarak sıralanmış her $K$ alanı, sıralı bir alt alan olarak rasyonelleri (eşbiçimli bir kopyasını) içerir, yani $K'nin$ çarpımsal birimi 1 tarafından oluşturulan alt alan , bu da sırayla doğal sayıları sıralı bir alt grup olarak içeren, sıralı bir alt grup olarak tamsayıları içerir. monoid . Rasyonellerin yerleştirilmesi daha sonra $K'deki$ rasyoneller, tam sayılar ve doğal sayılar hakkında konuşmanın bir yolunu verir . Aşağıdakiler, Arşimet alanlarının bu alt yapılar açısından eşdeğer karakterizasyonlarıdır.

Doğal sayılardır cofinal içinde $K$ . Yani, $K'nin$ her elemanı bir doğal sayıdan küçüktür. (Sonsuz eleman varken durum böyle değildir.) Dolayısıyla bir Arşimet alanı, doğal sayıları sınırsız büyüyen bir alan.
Sıfır olan infimum içinde $K$ kümesi {1/2, 1/3, 1/4, ...} arasında. ( $K$ , pozitif bir sonsuz küçük içeriyorsa, sıfırın en büyük alt sınır olmayacağı küme için bir alt sınır olacaktır.)
Pozitif ve negatif rasyoneller arasındaki $K'nin$ elemanları kümesi açık değildir. Bunun nedeni, kümenin tüm sonsuz küçüklerden oluşmasıdır; bu, sıfırdan farklı sonsuz küçükler olmadığında yalnızca {0} kümesidir, aksi takdirde açıktır, sıfırdan farklı en küçük veya en büyük sonsuz küçük yoktur. Her iki durumda da sonsuz küçükler kümesinin kapalı olduğuna dikkat edin. İkinci durumda, (i) her sonsuz küçük, her pozitif rasyonelden küçüktür, (ii) ne en büyük sonsuz küçük ne de en az pozitif rasyonel yoktur ve (iii) arada başka hiçbir şey yoktur. Sonuç olarak, Arşimet dışı sıralı herhangi bir alan hem eksik hem de bağlantısızdır.
Herhangi biri için $, x$ in $K$ daha büyük tamsayılardır grubu $x$ en az bir element vardır. (Eğer $x$ negatif bir sonsuz nicelik olsaydı, her tam sayı ondan daha büyük olurdu.)
$K'nin$ her boş olmayan açık aralığı bir rasyonel içerir. ( $x$ pozitif bir sonsuz küçükse, açık aralık $(x, 2 x)$ sonsuz sayıda sonsuz küçük içerir ancak tek bir rasyonel içermez.)
Rationals olan yoğun yılında $K$ sup ve inf hem bakımından. (Yani, $K'nin$ her elemanı bir takım rasyonellerin toplamıdır ve diğer bazı rasyonellerin inf'sidir.) Böylece bir Arşimet alanı, rasyonellerin herhangi bir yoğun sıralı uzantısıdır, herhangi bir düzenli alan anlamında, yoğun olarak rasyonel unsurlarını barındırır.

Ayrıca bakınız

0.999... – 1 sayısının alternatif ondalık açılımı
Arşimet sıralı vektör uzayı
Gerçek sayıların inşası – Gerçek sayıların aksiyomatik tanımları

Notlar

Referanslar

Schechter, Eric (1997). Analiz El Kitabı ve Temelleri . Akademik Basın. ISBN'si 0-12-622760-8. Arşivlenmiş orijinal 2015-03-07 tarihinde . 2009-01-30 alındı .

Languages

In other projects