İç ürün alanı - Inner product space

${\displaystyle \langle \mathbf {0} ,x\rangle =0}$

Ve her bir vektör için,

${\displaystyle \operatör adı {Re} z}$

${\görüntüleme stili z.}$

Birinci değişkendeki eşlenik simetri ve doğrusallık , ikinci bağımsız değişkende

${\görüntüleme stili x,y,z}$

${\görüntüleme stili s,}$

${\displaystyle \langle x,sy\rangle ={\overline {s}}\langle x,y\rangle \qquad {\text{ ve }}\qquad \langle x,y+z\rangle =\langle x, y\rangle +\langle x,z\rangle .}$

( 2. argümanda Antilinearity )

Bu, her iç çarpımın aynı zamanda seskuilineer bir form olduğunu ve iç çarpımların her bir argümanda toplamsal olduğunu, yani tüm vektörler için olduğunu gösterir.${\görüntüleme stili x,y,z:}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&{\text{1. bağımsız değişkende toplamlık: }}&&\quad \langle x+y,z\rangle &&=\langle x,z\rangle +\langle y ,z\rangle \\&{\text{2. bağımsız değişkendeki toplamlık: }}&&\quad \langle x,y+z\rangle &&=\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle \end {alignedat}}}$

Her argümandaki toplama, bilinen kare açılımının aşağıdaki önemli genellemesini ima eder:

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x+y,x+y\rangle &=\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\ langle y,y\rangle \\&=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle x,y\rangle \\&=\|x \|^{2}+\|y\|^{2}+2\operatöradı {Re} \langle y,x\rangle \\\end{alignedat}}}$$

${\displaystyle \|x\|^{2}:=\langle x,x\rangle .}$

Eşlenik simetri durumunda simetri simetriye indirgenir ve böylece seskidoğrusallık çift doğrusallığa indirgenir . Bu nedenle, gerçek bir vektör uzayı üzerindeki bir iç çarpım, pozitif-belirli simetrik çift doğrusal bir formdur . Yani, o zaman ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}}$${\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle }$${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle }$

( simetri )

ve binom açılımı şu hale gelir:

$${\displaystyle \langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle .}$$

Alternatif tanımlar, gösterimler ve açıklamalar

İç çarpımın ortak bir özel durumu, skaler çarpım veya nokta çarpım , ortalanmış bir nokta ile yazılır.${\görüntüleme stili a\cdot b.}$

Bazı yazarlar, özellikle fizik ve matris cebirinde , birinci argümandan ziyade ikinci argümanda iç çarpımı ve seskilineer formu lineerlikle tanımlamayı tercih ederler. O zaman ilk argüman, ikincisi yerine konjuge lineer olur. Bu disiplinler olarak, iç çarpım mal olur olarak (

${\görüntüleme stili \langle x,y\rangle }$

${\displaystyle \langle y\ |\ x\rangle }$

${\displaystyle y^{\hançer }x}$

${\ Displaystyle AB,}$

${\görüntüleme stili A}$

${\görüntüleme stili B}$

${\görüntüleme stili V,}$

${\görüntüleme stili V^{*},}$

${\görüntüleme stili \langle x,y\rangle }$

${\görüntüleme stili x}$

${\görüntüleme stili y.}$

${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$

${\displaystyle \langle \,\cdot \ |\ \cdot \,\rangle }$

O taban alanını kısıtlamak için neden gerekli olduğunu çeşitli teknik nedenleri vardır ve tanımı. Kısaca, baz alan bir içermelidir

${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

Bazı durumlarda, negatif olmayan yarı tanımlı seskilineer formların dikkate alınması gerekir . Bu , yalnızca negatif olmaması gerektiği anlamına gelir . Bu vakaların tedavisi aşağıda gösterilmiştir. ${\görüntüleme stili \langle x,x\rangle }$

Bazı örnekler

Gerçek ve karmaşık sayılar

İç çarpım boşlukların en basit örnekleri arasında, ve

${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathbb {C} .}$

${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \langle x,y\rangle :=xy\quad {\text{ for }}x,y\in \mathbb {R} .}$$

Karmaşık sayılar üzerinde bir vektör alanı olan kompleks iç ürün sahip karmaşık bir iç çarpım alanı olur ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \langle x,y\rangle :=x{\overline {y}}\quad {\text{ for }}x,y\in \mathbb {C} .}$$

${\görüntüleme stili (x,y)\mapsto xy}$

${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Öklid vektör uzayı

Daha genel olarak, gerçek ile uzay${\görüntüleme stili n}$ ile

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \left\langle {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}y_{1}\\\vdots \\ y_{n}\end{bmatrix}}\right\rangle =x^{\textsf {T}}y=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1 }y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n},}$

burada bir

${\displaystyle x^{\operatöradı {T} }}$

${\görüntüleme stili x.}$

Karmaşık koordinat uzayı

Üzerindeki bir iç çarpımın genel formu ,

${\görüntüleme stili M}$

${\ Displaystyle y^{\hançer }}$

${\görüntüleme stili y.}$

Hilbert uzayı

Hilbert uzayları ile ilgili makale, iç çarpım uzaylarının birkaç örneğine sahiptir; burada, iç çarpım tarafından indüklenen metrik, tam bir metrik uzay verir . Eksik bir metriğe neden olan bir iç çarpım uzayına bir örnek, sürekli karmaşık değerli fonksiyonların uzayıdır ve aralıktaki iç çarpımdır . ${\görüntüleme stili C([a,b])}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili g}$${\görüntüleme stili [a,b].}$

$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(t){\overline {g(t)}}\,\mathrm {d} t.}$$

${\displaystyle \{f_{k}\}_{k},}$

$${\displaystyle f_{k}(t)={\begin{cases}0&t\in [-1,0]\\1&t\in \sol[{\tfrac {1}{k}},1\sağ]\ \kt&t\in \left(0,{\tfrac {1}{k}}\sağ)\end{durumlar}}}$$

Bu dizi,

Rastgele değişkenler

Gerçek İçin rastgele değişkenler ve

${\displaystyle \langle X,X\rangle =0}$

${\displaystyle \Pr(X=0)=1}$

${\görüntüleme stili X=0}$

${\görüntüleme stili\Pr }$

Gerçek matrisler

Aynı boyuttaki gerçek kare matrisler için, konjugasyon olarak devrik ${\displaystyle \langle A,B\rangle :=\operatöradı {tr} \left(AB^{\textsf {T}}\sağ)}$

$${\displaystyle \left(\langle A,B\rangle =\sol\langle B^{\textsf {T}},A^{\textsf {T}}\right\rangle \right)}$$

Formlarla vektör uzayları

Bir iç çarpım uzayında veya daha genel olarak dejenere olmayan bir forma sahip bir vektör uzayında (dolayısıyla bir izomorfizm ), vektörler kovektörlere (koordinatlarda, devrik yoluyla) gönderilebilir, böylece iki vektörün iç çarpımı ve dış çarpımı alınabilir. —sadece bir vektör ve bir kovektörden değil. ${\displaystyle V\to V^{*}}$

Temel sonuçlar, terminoloji ve tanımlar

Norm

Her iç çarpım uzayı , kendi adı verilen bir normu indükler .tarafından tanımlanan

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Bu bölümün geri kalanı için karmaşık bir vektör uzayı olduğunu varsayın .

${\görüntüleme stili V}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,\ y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|xy \|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}\sağ)\\&=\operatöradı {Re} \langle x,y\ aralık +i\operatöradı {Re} \langle x,iy\rangle .\\\end{alignedat}}}$

for all tarafından tanımlanan harita , ikinci argümanından ziyade

${\displaystyle \langle x\orta y\rangle =\langle y,x\rangle }$

${\görüntüleme stili x,y\V}$

${\displaystyle \langle x\orta y\rangle }$

${\görüntüleme stili \langle x,y\rangle }$

${\displaystyle \operatöradı {Re} \langle x,y\rangle }$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x\mid y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|xy \|^{2}-i\|x+iy\|^{2}+i\|x-iy\|^{2}\sağ)\\&=\operatöradı {Re} \langle x,y\ rangle -i\operatorname {Re} \langle x,iy\rangle .\\\end{alignedat}}}$

Son eşitlik, reel kısmı cinsinden bir lineer fonksiyonel ifade eden formüle benzer .

Gerçek ve karmaşık iç ürünler

Let anlamında olabildikleri gerçek sayılar yerine karmaşık sayılar üzerinde bir vektör alanı olarak değerlendirmiştir.

${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$

${\görüntüleme stili V}$

${\görüntüleme stili \langle x,y\rangle }$

${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }=\operatöradı {Re} \langle x,y\rangle ~:~V_{\mathbb {R} }\times V_{\mathbb {R } }\to \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle V_{\mathbb {R} }.}$

Örneğin, iç ürünle alanının üzerinde bir vektör alanıdır sonra üzerinde bir vektör alanıdır ve bir

${\displaystyle V=\mathbb {C} }$

${\displaystyle \langle x,y\rangle =x{\overline {y}},}$

${\görüntüleme stili V}$

${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

${\displaystyle V_{\mathbb {R} }=\mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R}}}$

${\displaystyle x\cdot y,}$

${\displaystyle x=a+ib\in V=\mathbb {C} }$

${\displaystyle (a,b)\in V_{\mathbb {R} }=\mathbb {R} ^{2}}$

${\görüntüleme stili y}$

${\görüntüleme stili \langle x,y\rangle }$

${\görüntüleme stili \alan x,y\rangle =xy}$

${\displaystyle \langle x,y\rangle =x{\overline {y}}}$

${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R}}}$

${\displaystyle x\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle x\değil \mathbb {R} }$

${\displaystyle \langle x,x\rangle =xx=x^{2}\not \in [0,\infty )}$

${\displaystyle x\mapsto {\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$

Sonraki örnekler, gerçek ve karmaşık iç ürünlerin birçok özelliği ve ortak sonucu olmasına rağmen, bunların tamamen birbirinin yerine geçemeyeceğini göstermektedir. Örneğin, if o zaman ancak sonraki örnek bunun tersinin genel olarak doğru

${\görüntüleme stili \langle x,y\rangle =0}$

${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }=0,}$

${\displaystyle x\in V,}$

${\görüntüleme stili ix}$

${\görüntüleme stili x}$

${\görüntüleme stili V}$

${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$

${\görüntüleme stili x}$

${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

${\displaystyle V_{\mathbb {R}},}$

${\görüntüleme stili V}$

${\görüntüleme stili ix}$

${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$

${\displaystyle \langle x,ix\rangle =-i\|x\|^{2},}$

${\displaystyle \langle x,ix\rangle _{\mathbb {R} }=0.}$

Yukarıda bahsedilen iç çarpım varsa , o zaman ile tanımlanan harita , düzlemde dönmeyi ifade eden sıfır olmayan bir doğrusal haritadır (her ikisi ve için doğrusal ) . Bu harita , bu iç çarpımın gerçek yerine karmaşık olduğu tüm vektörler için uygundur , o zaman bu, bu doğrusal haritanın özdeş olduğu sonucuna varmak için yeterli olurdu (yani, bu ), ki rotasyon kesinlikle değildir. Buna karşılık, olmayan tüm sıfır için harita tatmin${\displaystyle V=\mathbb {C} }$${\ Displaystyle A:V\to V}$${\displaystyle Balta=ix}$${\görüntüleme stili V}$${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$${\ Displaystyle 90^{\circ }}$${\displaystyle \langle x,Ax\rangle _{\mathbb {R} }=0}$${\displaystyle x\in V_{\mathbb {R}},}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili 0}$${\ Displaystyle A=0}$${\displaystyle x\in V,}$${\görüntüleme stili A}$${\displaystyle \langle x,Ax\rangle =-i\|x\|^{2}\neq 0.}$

ortonormal diziler

Izin boyuta sonlu boyutlu iç çarpım uzayı , her hatırlayın

${\görüntüleme stili V}$

${\görüntüleme stili n.}$

${\görüntüleme stili V}$

${\görüntüleme stili n}$

${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$

${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle =0}$

${\görüntüleme stili i\neq j}$

${\displaystyle \langle e_{i},e_{i}\rangle =\|e_{a}\|^{2}=1}$

${\görüntüleme stili ben.}$

Bu ortonormal temel tanımı, aşağıdaki şekilde sonsuz boyutlu iç çarpım uzayları durumuna genellenir. Izin herhangi iç çarpım uzayı olsun. Daha sonra bir koleksiyon ${\görüntüleme stili V}$

$${\displaystyle E=\sol\{e_{\alpha }\sağ\}_{\alpha \in A}}$$

${\görüntüleme stili V}$

${\görüntüleme stili V}$

${\görüntüleme stili E}$

${\görüntüleme stili V}$

${\görüntüleme stili E}$

${\görüntüleme stili V}$

$${\displaystyle \sol\langle e_{\alpha },e_{\beta }\sağ\rangle =0}$$

${\görüntüleme stili a\neq b}$

${\displaystyle \langle e_{a},e_{a}\rangle =\|e_{a}\|^{2}=1}$

${\görüntüleme stili a,b\A'da.}$

Gram-Schmidt sürecinin sonsuz boyutlu bir analogu kullanılarak biri şunu gösterebilir:

Teorem. Ayrılabilir herhangi bir iç çarpım uzayı bir ortonormal tabana sahiptir.

Hausdorff maksimal ilkesini ve tam bir iç çarpım uzayında lineer altuzaylar üzerine dik izdüşümünün iyi tanımlanmış olduğu gerçeğini kullanarak , biri şunu da gösterebilir:

Teorem. Herhangi bir tam iç çarpım uzayı bir ortonormal tabana sahiptir.

Önceki iki teorem, tüm iç çarpım uzaylarının bir ortonormal temeli olup olmadığı sorusunu gündeme getirir. Cevap, ortaya çıkıyor, olumsuz. Bu önemsiz olmayan bir sonuçtur ve aşağıda kanıtlanmıştır. Aşağıdaki kanıt Halmos'un A Hilbert Space Problem Book kitabından alınmıştır (referanslara bakınız).

Kanıt

Bir iç çarpım uzayının boyutunun, içerdiği maksimal bir ortonormal sistemin kardinalitesi olduğunu hatırlayın ( Zorn'un lemmasına göre en az bir tane içerir ve herhangi ikisi aynı kardinaliteye sahiptir). Bir ortonormal taban kesinlikle bir maksimal ortonormal sistemdir, ancak genel olarak tersinin geçerli olması gerekmez. Eğer bir iç çarpım uzay yoğun bir alt uzay olan herhangi bir ortonormal baz daha sonra bir ortonormal baz otomatik bir Dolayısıyla, bir iç çarpım alan oluşturmak için yeterli bir yoğun bölme odası ile büyüklüğü, daha kesin olarak daha küçük olan${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili V,}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili V.}$${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili V.}$ Bir Hilbert boyut uzayı olsun (örneğin, ). Izin bir ortonormal taban yüzden uzatın a Hamel bazında için nerede o bılindığınden Hamel boyut ait olan sürekliliğinin kardinalitesi, o olmalı${\görüntüleme stili K}$${\displaystyle \aleph _{0}.}$${\displaystyle K=\ell ^{2}(\mathbb {N} )}$${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili K,}$${\displaystyle |E|=\aleph _{0}.}$${\görüntüleme stili E}$ ${\ Displaystyle E\cup F}$${\görüntüleme stili K,}$${\displaystyle E\cap F=\varnothing .}$${\görüntüleme stili K}$${\görüntüleme stili c,}$${\görüntüleme stili |F|=c.}$ Bir Hilbert boyut uzayı olsun (örneğin, ). Izin için bir ortonormal taban ve let bir bijection ol. Daha sonra lineer transformasyonu vardır öyle ki için ve için . ${\görüntüleme stili L}$${\görüntüleme stili c}$${\displaystyle L=\ell ^{2}(\mathbb {R} )}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili L}$${\displaystyle \varphi :F\to B}$${\ Displaystyle T:K\'den L'ye}$${\displaystyle Tf=\varphi (f)}$${\görüntüleme stili f\F'de,}$${\ Displaystyle Te=0}$${\görüntüleme stili e\E'de}$ Let ve let'in grafiği Let'in kapanışı olsun in ; Biz gösterecektir herhangi yana sahip olduğumuz bu izler${\displaystyle V=K\oplus L}$${\displaystyle G=\{(k,Tk):k\in K\}}$${\görüntüleme stili T.}$${\displaystyle {\overline {G}}}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili V}$${\displaystyle {\overline {G}}=V.}$${\görüntüleme stili e\E'de}$${\görüntüleme stili (e,0)\G'de}$${\displaystyle K\oplus 0\subseteq {\overline {G}}.}$ Sonra, eğer öyleyse bazıları için ; çünkü hem, biz de var O şöyle böylece ve yoğun olduğu${\görüntüleme stili b\B'de,}$${\görüntüleme stili b=Tf}$${\displaystyle f\in F\subseteq K,}$${\displaystyle (f,b)\in G\subseteq {\overline {G}}}$${\displaystyle (f,0)\in {\overline {G}}}$${\displaystyle (0,b)\in {\overline {G}}.}$${\displaystyle 0\oplus L\subseteq {\overline {G}},}$${\displaystyle {\üzerine çizgi {G}}=V,}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili V.}$ Son olarak, bir maksimal ortonormal kümesidir ; Eğer ${\displaystyle \{(e,0):e\in E\}}$${\görüntüleme stili G}$ $${\displaystyle 0=\langle (e,0),(k,Tk)\rangle =\langle e,k\rangle +\langle 0,Tk\rangle =\langle e,k\rangle }$$ tüm sonra çok sıfır vektör arasında Dolayısıyla boyut olan boyutu açıktır oysa olan bu kanıt tamamlar. ${\görüntüleme stili e\E'de}$${\görüntüleme stili k=0,}$${\görüntüleme stili (k,Tk)=(0,0)}$${\görüntüleme stili G.}$${\görüntüleme stili G}$${\displaystyle |E|=\aleph _{0},}$${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili c.}$

Parseval'in kimliği hemen aşağıdaki

Teorem. Izin ayrılabilir iç çarpım uzay ve olmayacak ortonormal bir Ardından harita ${\görüntüleme stili V}$${\displaystyle \sol\{e_{k}\sağ\}_{k}}$${\görüntüleme stili V.}$

$${\displaystyle x\mapsto {\bigl \{}\langle e_{k},x\rangle {\bigr \}}_{k\in \mathbb {N}}}$$

${\displaystyle V\mapsto \ell ^{2}}$

Bu teorem, keyfi bir ortonormal temelin

${\ Displaystyle \ ^{2}}$

Teorem. Izin iç çarpım uzay Bundan sonra, sekans sürekli fonksiyonların (bütün tamsayılar grubu endeksli) ${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili C[-\pi ,\pi ].}$

$${\displaystyle e_{k}(t)={\frac {e^{ikt}}{\sqrt {2\pi }}}}$$

${\ Displaystyle C[-\pi ,\pi ]}$

${\ Displaystyle L^{2}}$

$${\displaystyle f\mapsto {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left\{\int _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-ikt}\ ,\mathrm {d} t\doğru\}_{k\in \mathbb {Z} }}$$

Dizinin ortogonalliği, eğer öyleyse ${\displaystyle \{e_{k}\}_{k}}$${\görüntüleme stili k\neq j,}$

$${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }e^{-i(jk)t}\,\mathrm {d} t=0.}$$

Dizinin normalliği tasarım gereğidir, yani katsayılar, norm 1'e çıkacak şekilde seçilmiştir. Son olarak, dizinin iç çarpım normunda yoğun bir cebirsel açıklığa sahip olduğu gerçeği, dizinin şöyle olduğu gerçeğinden kaynaklanmaktadır. yoğun bir cebirsel açıklığa sahiptir, bu sefer tekdüze norm ile sürekli periyodik fonksiyonların uzayında . Bu,

${\görüntüleme stili [-\pi ,\pi ]}$

İç çarpım uzaylarındaki operatörler

İç çarpım uzayları arasında birkaç tür doğrusal harita vardır ve bunlar aşağıdakilerle ilgilidir: ${\displaystyle A:V\to W}$${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili W}$

• Sürekli lineer haritalar :yukarıda tanımlandığı metrik göre doğrusal ve sürekli veya eş anlamlı olarakdoğrusaldır ve negatif olmayan reals grubukapalı birim topun üzerine aralıklarısınırlanmaktadır.${\displaystyle A:V\to W}$${\görüntüleme stili A}$${\displaystyle \{\|Balta\|:\|x\|\leq 1\},}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili V,}$
• Simetrik doğrusal operatörler : doğrusaldır ve herkes içindir${\displaystyle A:V\to W}$${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle }$${\displaystyle x,y\V.}$
• İzometriler : doğrusaldır ve tümü için veya eşdeğeri olarak, doğrusaldır ve tümü için Tüm izometriler