Karakteristik (cebir) - Characteristic (algebra)

Gelen matematik , özelliği a halka R , genellikle belirtilen karakter ( R ), bir halkanın kullanmalıdır kez küçük sayı olarak tanımlanır çarpımsal kimliğini elde etmek için bir miktar içinde (1) katkı kimlik (0). Bu toplam hiçbir zaman toplamsal özdeşliğe ulaşmazsa, halkanın karakteristik sıfıra sahip olduğu söylenir.

Yani, kömür (olup R ) en küçük pozitif tam sayıdır , n , öyle ki:

${\displaystyle \underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ summands}}}=0}$

böyle bir sayı varsa n, yoksa 0.

Sıfır karakteristiğinin özel tanımı, karakteristik sıfırın ayrı olarak ele alınmasının gerekli olmadığı, § Diğer eşdeğer karakterizasyonlarda verilen eşdeğer tanımlar tarafından motive edilir .

Karakteristik ayrıca halkanın katkı grubunun üssü olarak da alınabilir , yani en küçük pozitif n öyle ki:

${\displaystyle \underbrace {a+\cdots +a} _{n{\text{ summands}}}=0}$

halkanın her elemanı için (yine, n varsa; aksi takdirde sıfır). Bazı yazarlar, bir halka için kendi ihtiyaçlarına (bakınız çarpımsal kimlik elemanı içermez çarpımsal kimlik: zorunlu genel isteğe bağlı ), ve bu tanım bu kuralı için uygundur; aksi halde, halkalardaki dağılım yasası nedeniyle iki tanım eşdeğerdir .

Diğer eşdeğer karakterizasyonlar

• Özelliğidir doğal sayı n olacak şekilde , n , Z bir çekirdek eşsiz halka homomorfizmasının gelen Z için R ;
• Özelliğidir doğal sayı n, öyle ki R ' , bir içeren alt halka izomorfik için etken halkası , Z / N Z olduğu, görüntü üzerinde homomorfizmasının arasında.
• Negatif olmayan tam sayılar {0, 1, 2, 3, ...} kısmen bölünebilirliğe göre sıralandığında, 1 en küçük ve 0 en büyüktür. O halde bir halkanın özelliği, n ⋅ 1 = 0 olan en küçük n değeridir . 0'dan (bu sıralamada) "küçük" bir şey yeterli olacaktır, daha sonra karakteristik Bu durum, bu gibi gerçekleri uygun kısmi sıralama 0'dır char ( A x B ) olan en sık birden arasında kömür A ve karakter B ve bir halka homomorfizması bu f  : A → Oda sürece mevcut karakter B böler Char A .
• Bir halka karakteristik R olduğu , n tam ifadesi ise ka = 0 için tüm bir ∈ R ima k bir katıdır n .

yüzük vakası

Eğer R ' ve S halkalardır ve vardır halka homomorfizmi R → S , daha sonra karakteristik S karakteristik bölen R . Bu bazen belirli halka homomorfizmalarının olasılığını dışlamak için kullanılabilir. Karakteristik 1'e sahip tek halka , yalnızca tek bir 0 = 1 elemanına sahip olan sıfır halkadır . Önemsiz bir R halkasının önemsiz olmayan sıfır bölenleri yoksa , özelliği ya 0 ya da asaldır . Bu özellikle, tüm alanlar , tüm integral etki alanları ve tüm bölme halkaları için geçerlidir . 0 karakteristiğine sahip herhangi bir halka sonsuzdur.

Halka Z / N , Z tamsayılar modulo N özelliği vardır n . Eğer R, a, alt halka ve S , o zaman R ' ve G , aynı özelliğe sahiptir. Örneğin, p asal ve q ( X ) bir olduğu indirgenemez polinom alanına katsayılı F _p , o zaman bölüm halkası F _p [ x ] / ( q, ( x )) karakteristik bir alandır p . Başka bir örnek: alanı C arasında karmaşık sayılar içeren Z karakteristik nedenle, C = 0.

A Z / n Z- cebiri, eşdeğer olarak, karakteristiği n'yi bölen bir halkadır . Bunun nedeni, her R halkası için bir Z → R halka homomorfizmi olması ve bu haritanın Z / n Z'yi, eğer ve sadece R'nin karakteristiği n'yi bölüyorsa çarpanlarına ayırmasıdır . Herhangi biri için, bu durumda, r halkada, daha sonra aşağıdakileri ekleyerek r kendisine n kere verir nr = 0 .

Değişmeli bir halka ise R ' sahip ana karakteristik p , o zaman var ( x + y ) ^p = X ^P + y ^s tüm elemanlar için x ve y de R - " birinci sınıf hayali " güç için de geçerlidir p . f ( x ) = x ^p haritası daha sonra bir halka homomorfizmi R → R tanımlar . Frobenius homomorfizmi denir . Eğer R bir integral alan ise, injektiftir .

Alanların durumu

Yukarıda bahsedildiği gibi, herhangi bir alanın özelliği ya 0 ya da bir asal sayıdır. Sıfır olmayan bir karakteristik alana, sonlu karakteristik veya pozitif karakteristik veya asal karakteristik alanı denir .

Herhangi bir F alanı benzersiz bir minimum alt alana sahiptir , buna aynı zamanda onun adı da verilir. asal alan . Bu alt alan, yarasyonel sayıalanıQya daasal mertebedenbir sonlu alanF _p ile eşbiçimlidir. Aynı karakteristiğe sahip iki asal alan izomorfiktir ve bu izomorfik benzersizdir. Başka bir deyişle, her karakteristikte esasen benzersiz bir asal alan vardır. Karmaşık sayılarınaltalanları olankarakteristik sıfırınen yaygın alanları. P-adic alanlarıyaygın sayı teorisi kullanılan karakteristik sıfır alanlardır. Karmaşık sayılardan çok farklı mutlak değerlere sahiptirler.

Herhangi bir sıralı alan için , Q rasyonel sayıların alanı veya R gerçek sayıların alanı gibi, karakteristik 0'dır. Bu nedenle, sayı alanları ve karmaşık sayılar alanı C sıfır özelliğindedir. Aslında, sıfır özelliğinin her alanı, bir Q [X]/P halkasının bölüm alanıdır; burada X, bir değişkenler kümesidir ve P, Q [X]' deki bir polinomlar kümesidir . Sonlu alan GF ( s ^{, n} ) özelliğine sahip olması p . Asal karakteristiklerin sonsuz alanları vardır. Örneğin, tüm alanı rasyonel fonksiyonları üzerinde , Z / s Z , cebirsel kapatma bölgesinin Z / p Z veya alan resmi Laurent serileri Z / s Z ((T)). Karakteristik üs karakteristik sıfır ise 1'e eşit olması dışında, benzer bir şekilde tanımlanır; aksi halde karakteristik ile aynı değere sahiptir.

Herhangi bir sonlu asal karakteristik p halkasının boyutu, p'nin bir kuvvetidir . Bu durumda Z / p Z içermesi gerektiğinden, o alan üzerinde bir vektör uzayı da olmalıdır ve lineer cebirden biliyoruz ki, sonlu alanlar üzerindeki sonlu vektör uzaylarının boyutları, alanın boyutunun bir kuvvetidir. Bu aynı zamanda herhangi bir sonlu vektör uzayının boyutunun asal bir güç olduğunu gösterir. (Bu, p ⁿ boyutunda olduğunu gösterdiğimiz sonlu bir alan üzerinde bir vektör uzayıdır , dolayısıyla boyutu ( p ⁿ ) ^m = p ^{nm dir} .)

Notlar

alıntılar

Referanslar