Seminorm - Seminorm

Gelen matematik , özellikle de fonksiyonel analiz , bir seminorm a, vektör uzayı normu vermeye gerek pozitif tanımlı . Seminormlar dışbükey kümelerle yakından bağlantılıdır : her seminorm, bazı soğurucu disklerin Minkowski fonksiyonelidir ve tersine, böyle bir kümenin Minkowski fonksiyoneli bir seminormdur.

Bir topolojik vektör uzayı , ancak ve ancak topolojisi bir seminorm ailesi tarafından indükleniyorsa yerel olarak dışbükeydir.

Tanım

Izin ya üzerinde bir vektör uzayı reel sayılar veya kompleks sayılar bir gerçek değerli bir fonksiyondur bir denir seminorm eğer biri aşağıdaki iki koşul: ${\görüntüleme stili X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

1. Alt Toplama / Üçgen eşitsizliği : hepsi için${\görüntüleme stili p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$${\görüntüleme stili x,y\X.}$
2. Mutlak homojenlik : tüm ve tüm skalerler için${\görüntüleme stili p(sx)=|s|p(x)}$${\görüntüleme stili x\in X}$${\görüntüleme stili s.}$

Bu iki koşul bunu ima eder ve her seminorm ayrıca aşağıdaki özelliğe sahiptir: ${\görüntüleme stili p(0)=0}$${\görüntüleme stili p}$

3. Olumsuzluk : herkes için${\görüntüleme stili p(x)\geq 0}$${\displaystyle x\in X.}$

Bazı yazarlar olumsuz olmamayı "seminorm" (ve bazen "norm" tanımının bir parçası olarak dahil ederler), ancak bu gerekli değildir.

Tanım olarak, bir norm , aynı zamanda noktaları ayıran bir seminormdur, yani aşağıdaki ek özelliğe sahiptir: ${\görüntüleme stili X}$

4. pozitif tanımlı / Noktadan ayıran : herkes içineğero zaman${\displaystyle x\in X,}$${\görüntüleme stili p(x)=0}$${\görüntüleme stili x=0.}$

Bir seminormlu alan bir çift bir vektör alanı oluşan ve bir seminorm üzerinde seminorm Eğer ayrıca seminormlu uzay diyoruz sonra bir norm bir normlu uzay . ${\görüntüleme stili (X,p)}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili X.}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili (X,p)}$

Mutlak homojenlik, pozitif homojenliği ifade ettiğinden , her seminorm, alt doğrusal fonksiyon adı verilen bir fonksiyon türüdür . Bir harita , alt-toplamalı (yani yukarıdaki 1. koşul) ve pozitif homojen (yani yukarıdaki 5. koşul) ise bir alt doğrusal fonksiyon olarak adlandırılır . Bir seminormun aksine, bir alt doğrusal fonksiyon mutlaka negatif değildir . Hahn-Banach teoremi bağlamında altdoğrusal fonksiyonlarla sıklıkla karşılaşılır . ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

Pseudometri ve uyarılmış topoloji

On bir seminorm , translasyonla değişmez psödometrik aracılığıyla bir topolojiyi indükler ; Bu topoloji Hausdorff'tur, ancak ve ancak bir metrikse ve ancak ve ancak bir normsa oluşur . ${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili X}$ ${\displaystyle d_{p}:X\times X\to \mathbb {R} }$${\görüntüleme stili d_{p}(x,y)=p(xy).}$${\görüntüleme stili d_{p}}$${\görüntüleme stili p}$

Aynı şekilde, her bir vektör alan seminorm ile indükler bir vektör alan bölüm alt uzayı olan tüm vektörlerin meydana birlikte O ile tanımlanan bir norm taşıyan elde edilen topoloji, geri çekilmiş için tam neden olduğu topolojisi,${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili p}$ ${\görüntüleme stili X/W,}$${\görüntüleme stili W}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili x\in X}$${\görüntüleme stili p(x)=0.}$${\görüntüleme stili X/W}$${\görüntüleme stili p(x+W)=p(v).}$${\görüntüleme stili X,}$${\görüntüleme stili s.}$

Herhangi bir seminorm kaynaklı topoloji aşağıdaki gibi yerel olarak dışbükey yapar . Eğer bir seminorm olduğunu ve ayarlama Arama yarıçapı açık topu kökeni hakkında ; Benzer şekilde yarıçaplı kapalı top olan tüm açık grubu (resp. kapalı) kökenli formları bir mahalle temel -toplar konveks dengeli açık setleri (sırasıyla. kapalı) olarak -topology ile${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle r\in \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}}$${\görüntüleme stili r}$${\görüntüleme stili r}$${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq r\}.}$${\görüntüleme stili p}$ ${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili X.}$

Daha güçlü, daha zayıf ve eşdeğer seminormlar

Daha güçlü ve daha zayıf seminorm kavramları, daha güçlü ve daha zayıf norm kavramlarına benzer . Eğer ve üzerinde yarınorm vardır o zaman demek olduğunu daha güçlü daha o olduğunu daha zayıf daha eşdeğer aşağıdaki durumlardan herhangi tutarsa: ${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili q}$${\görüntüleme stili X,}$${\görüntüleme stili q}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili q}$

1. tarafından indüklenen topoloji, tarafından indüklenen topolojiden daha incedir.${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili q}$${\görüntüleme stili s.}$
2. Eğer bir dizisidir sonra içinde ima bölgesindeki${\displaystyle x_{\bullet }=\sol(x_{i}\sağ)_{i=1}^{\infty }}$${\görüntüleme stili X,}$${\displaystyle q\left(x_{\bullet }\sağ):=\left(q\left(x_{i}\sağ)\sağ)_{i=1}^{\infty }\to 0}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle p\sol(x_{\bullet }\sağ)\to 0}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$
3. Eğer bir olduğunu net içinde o içinde ima içinde${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\sağ)_{i\in I}}$${\görüntüleme stili X,}$${\displaystyle q\left(x_{\bullet }\sağ):=\left(q\left(x_{i}\sağ)\sağ)_{i\in I}\to}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle p\sol(x_{\bullet }\sağ)\to 0}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$
4. ${\görüntüleme stili p}$ sınırlıdır ${\displaystyle \{x\in X:q(x)<1\}.}$
5. Eğer o zaman herkes için${\displaystyle \inf {}\{q(x):p(x)=1,x\in X\}=0}$${\görüntüleme stili p(x)=0}$${\displaystyle x\in X.}$
6. Gerçek Orada var öyle üzerinde${\ Displaystyle K>0}$${\displaystyle p\leq Kq}$${\görüntüleme stili X.}$

Seminormlar ve her ikisi de birbirinden daha zayıf (veya her ikisi de daha güçlü) ise eşdeğer olarak adlandırılır . Bu, aşağıdaki koşullardan herhangi birini karşılamaları durumunda gerçekleşir: ${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili q}$

1. tarafından indüklenen topoloji, tarafından indüklenen topoloji ile aynıdır.${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili q}$${\görüntüleme stili s.}$
2. ${\görüntüleme stili q}$daha güçlüdür ve ondan daha güçlüdür${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili q.}$
3. Eğer bir dizi ise o zaman ancak ve ancak${\displaystyle x_{\bullet }=\sol(x_{i}\sağ)_{i=1}^{\infty }}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle q\left(x_{\bullet }\sağ):=\left(q\left(x_{i}\sağ)\sağ)_{i=1}^{\infty }\to 0}$${\displaystyle p\sol(x_{\bullet }\sağ)\to 0.}$
4. Pozitif reel sayılar vardır ve öyle ki${\görüntüleme stili r>0}$${\görüntüleme stili R>0}$${\displaystyle rq\leq p\leq Rq.}$

süreklilik

Seminormların sürekliliği

Eğer bir seminorm bir topolojik vektör uzay üzerinde daha sonra şu eşdeğerdir: ${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili X,}$

1. ${\görüntüleme stili p}$ süreklidir.
2. ${\görüntüleme stili p}$ 0'da süreklidir;
3. ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$içinde açıktır ;${\görüntüleme stili X}$
4. ${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq 1\}}$0'ın kapalı mahallesi ;${\görüntüleme stili X}$
5. ${\görüntüleme stili p}$üzerinde düzgün süreklidir ;${\görüntüleme stili X}$
6. Sürekli seminorm söz konusudur üzerinde böyle${\görüntüleme stili q}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle p\leq q.}$

Özellikle, eğer yarı-normlu bir uzay ise , o zaman bir yarı-norm on , ancak ve ancak pozitif bir skaler katının hakim olması durumunda süreklidir .${\görüntüleme stili (X,p)}$${\görüntüleme stili q}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili q}$${\görüntüleme stili s.}$

Eğer gerçek bir TVS ise , on lineer bir fonksiyoneldir ve sürekli bir seminorm (veya daha genel olarak, bir alt lineer fonksiyon) ise, o zaman on , sürekli olduğu anlamına gelir . ${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili X,}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili X,}$${\displaystyle f\leq p}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili f}$

Doğrusal haritaların sürekliliği

Eğer seminormlu alanlar arasında bir haritasıdır sonra izin ${\displaystyle F:(X,p)\to (Y,q)}$

Eğer daha sonra seminormlu boşluklar arasında doğrusal bir haritasıdır şu eşdeğerdir: ${\displaystyle F:(X,p)\to (Y,q)}$

1. ${\görüntüleme stili F}$ süreklidir;
2. ${\displaystyle \|F\|_{p,q}<\infty}$;
3. Öyle bir gerçek var ki ; ${\ Displaystyle K\geq 0}$${\displaystyle p\leq Kq}$
   • Bu durumda, ${\displaystyle \|F\|_{p,q}\leq K.}$

Eğer sürekli ise , o zaman herkes için${\görüntüleme stili F}$${\displaystyle q(F(x))\leq \|F\|_{p,q}p(x)}$${\displaystyle x\in X.}$

Yarı normlu uzaylar arasındaki tüm sürekli doğrusal haritaların uzayı, seminorm altında yarı normlu bir uzaydır. Bu seminorm, eğer bir normsa bir normdur. ${\displaystyle F:(X,p)\to (Y,q)}$${\displaystyle \|F\|_{p,q}.}$${\görüntüleme stili q}$

topolojik özellikler

• Eğer bir TVS ve sürekli bir seminorm olup daha sonra kapatılması olarak eşittir${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili X,}$${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq r\}.}$
• Topolojisi bir sürekli seminorm ailesi tarafından tanımlanan yerel dışbükey bir uzayda kapanması eşittir${\görüntüleme stili \{0\}}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {P}}}$${\displaystyle \bigcap _{p\in {\mathcal {P}}}p^{-1}(0).}$
• Bir alt bir seminormlu alanda olduğu sınırlandırılmış ancak ve ancak sınırlıdır.${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili (X,p)}$${\görüntüleme stili p(S)}$
• Eğer yarı normlu bir uzay ise, o zaman indükleyen yerel dışbükey topoloji, herkes için verilen bir kanonik psödometrik ile psödometrikleştirilebilir bir TVS yapar .${\görüntüleme stili (X,p)}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili d(x,y):=p(xy)}$${\görüntüleme stili x,y\X.}$
• Sonsuz sayıda yarı-normlanabilir uzayın çarpımı, ancak ve ancak bu uzayların sonlu sayıdaki dışında tümü önemsizse (yani, 0-boyutluysa) yine yarı-normlanabilirdir.

normlanabilirlik

Topolojik vektör uzaylarının normlanabilirliği, Kolmogorov'un normlanabilirlik kriteri ile karakterize edilir .

Eğer bir Haussdorf olduğu yerel dışbükey TVS sonra aşağıdaki eşdeğerdir: ${\görüntüleme stili X}$

1. ${\görüntüleme stili X}$ normaldir.
2. ${\görüntüleme stili X}$ orijinin sınırlı bir komşuluğu vardır.
3. Güçlü ikili arasında normlanabilir olduğunu.${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$${\görüntüleme stili X}$
4. Güçlü ikili arasında olan metriklenebilir .${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$${\görüntüleme stili X}$

Ayrıca, ancak ve ancak normlanabilir ise sonlu boyutludur (burada, zayıf- * topolojisi ile donatılmış anlamına gelir ). ${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime }}$

Sonsuz sayıda yarı-normlanabilir uzayın çarpımı, ancak ve ancak bu uzayların sonlu sayıdaki dışında tümü önemsizse (yani 0-boyutluysa) yine yarı-normlanabilirdir.

Minkowski fonksiyonelleri ve seminormları

Bir vektör uzayı üzerindeki seminormlar, Minkowski fonksiyonelleri aracılığıyla bunların konveks , dengeli ve soğurucu alt kümelerine yakından bağlıdır . Verilen bu tür bir alt ait fonksiyonel Minkowski'yle bir seminorm olduğunu. Tersine, kümeler üzerinde bir seminorm verilir ve dışbükey, dengeli ve soğurucudur ve dahası, bu iki kümenin (aynı zamanda "aralarında bulunan" herhangi bir kümenin) Minkowski fonksiyoneli şudur:${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili D}$${\görüntüleme stili X,}$${\görüntüleme stili D}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili X,}$${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq 1\}}$${\görüntüleme stili s.}$

Örnekler

• Üzerinde sabit haritaya atıfta bulunan önemsiz seminorm , üzerinde ayrık topolojiye neden olur .${\görüntüleme stili X,}$${\görüntüleme stili 0}$${\görüntüleme stili X,}$${\görüntüleme stili X.}$
• Eğer herhangi biri doğrusal bir şekilde bir vektör alanı daha sonra mutlak değeri ile tanımlanan bir seminorm olup. ${\görüntüleme stili f}$ ${\görüntüleme stili |f|,}$${\displaystyle x\mapsto |f(x)|,}$
• Her gerçek değerli alt doğrusal fonksiyon , tarafından tanımlanan bir seminorm indükler .${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle p(x):=\max\{f(x),f(-x)\}.}$
• Herhangi bir sonlu seminorm toplamı bir seminormdur.
• Eğer ve yarı normlar açıksa, o zaman öyledir ${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili q}$${\görüntüleme stili X}$
  $${\displaystyle (p\vee q)(x)=\max\{p(x),q(x)\}\quad {\text{ ve }}\quad (p\wedge q)(x):= \inf\{p(y)+q(z):x=y+z{\text{ ile }}y,z\in X\}}$$

  
  nerede ve${\displaystyle p\kama q\leq p}$${\görüntüleme stili p\kama q\leq q.}$
• Ayrıca, seminormların uzayı , yukarıdaki işlemlere göre bir dağıtım kafesidir . ${\görüntüleme stili X}$

cebirsel özellikler

Gerçek veya karmaşık sayıların nerede olduğu üzerinde bir vektör uzayı olsun . ${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {F} }$

Sublineer fonksiyonlar oldukları için seminormların özellikleri

Her seminorm bir alt-doğrusal fonksiyon olduğundan, seminormlar aşağıdaki özelliklerin tümüne sahiptir:

Eğer gerçek değerli bir alt doğrusal fonksiyon ise : ${\displaystyle p:X\to [0,\infty )}$${\görüntüleme stili X}$

• Seminormlar ters üçgen eşitsizliğini sağlar :${\displaystyle |p(x)-p(y)|\leq p(xy){\text{ tümü için }}x,y\in X.}$
• herhangi biri için ve${\görüntüleme stili x\in X}$${\görüntüleme stili r>0,}$ ${\displaystyle x+\{y\in X:p(y)<r\}=\{y\in X:p(xy)<r\}.}$
• Her seminorm bir sublinear fonksiyonu olduğu için, her seminorm ilgili a, dışbükey fonksiyonu . Ayrıca, tüm için bir bir emici diski içinde${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili r>0,}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}}$ ${\görüntüleme stili X.}$
• Her alt doğrusal fonksiyon bir dışbükey fonksiyoneldir .
• ${\görüntüleme stili p(0)=0.}$
• ${\displaystyle 0\leq \max\{p(x),p(-x)\}}$ve herkes için${\görüntüleme stili p(x)-p(y)\leq p(xy)}$${\görüntüleme stili x,y\X.}$
• Eğer gerçek vektör alanı üzerinde sublinear fonksiyonudur bir doğrusal fonksiyonel vardır ilgili şekilde${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle f\leq s.}$
• Eğer gerçek bir vektör alanıdır, bir lineer fonksiyoneldir ve bir sublinear fonksiyonudur sonra üzerinde ancak ve ancak${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili X,}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili X,}$${\displaystyle f\leq p}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1=\varnothing \}.}$

Seminormların diğer özellikleri

Eğer bir seminorm ise : ${\displaystyle p:X\to [0,\infty )}$${\görüntüleme stili X}$

• ${\görüntüleme stili p}$ancak ve ancak önemsiz olmayan bir vektör alt uzayı içermiyorsa bir normdur .${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$
• ${\görüntüleme stili p^{-1}(0)}$ vektörünün bir alt uzayıdır ${\görüntüleme stili X.}$
• Herhangi ${\görüntüleme stili r>0,}$
  $${\displaystyle r\{x\in X:p(x)<1\}=\{x\in X:p(x)<r\}=\left\{x\in X:{\frac {1 }{r}}p(x)<1\sağ\}.}$$

  
• Eğer tatmin edici bir dizi daha sonra bir emici olarak ve burada belirtmektedir Minkowsky fonksiyonel ilişkili (yani ölçü ). ${\görüntüleme stili D}$${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}\subseteq D\subseteq \{x\in X:p(x)\leq 1\}}$${\görüntüleme stili D}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili p=p_{D}}$${\ Displaystyle p_{D}}$${\görüntüleme stili D}$${\görüntüleme stili D}$
  • Özellikle, eğer yukarıdaki gibidir ve o zaman üzerinde herhangi bir seminorm ise, ancak ve ancak${\görüntüleme stili D}$${\görüntüleme stili q}$${\görüntüleme stili X,}$${\görüntüleme stili q=p}$${\displaystyle \{x\in X:q(x)<1\}\subseteq D\subseteq \{x\in X:q(x)\leq \}.}$

• Eğer normlu bir uzay ise ve sonra herkes için${\görüntüleme stili (X,\|\,\cdot \,\|)}$${\görüntüleme stili x,y\X'de}$${\displaystyle \|xy\|=\|xz\|+\|zy\|}$${\displaystyle z\in [x,y].}$
• Her norm bir dışbükey fonksiyondur ve sonuç olarak, norm tabanlı bir objektif fonksiyonun global maksimumunu bulmak bazen izlenebilir olabilir.

Seminormlar için Hahn-Banach teoremi

Seminormlar, Hahn-Banach teoreminin özellikle temiz bir formülasyonunu sunar :

Eğer bir seminormlu alan bir vektör alt uzay olan ve eğer ilgili işlevsel doğrusal bir sürekli sonra , bir devamlı doğrusal fonksiyonel uzatılabilir ile aynı norm olarak var${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili (X,p)}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili M,}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili F}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili f.}$

Benzer bir uzatma özelliği, seminormlar için de geçerlidir:

Seminormları içeren eşitsizlikler

Eğer seminormlar açıksa : ${\displaystyle p,q:X\to [0,\infty )}$${\görüntüleme stili X}$

• ${\displaystyle p\leq q}$eğer ve sadece ima ederse${\displaystyle q(x)\leq 1}$${\görüntüleme stili p(x)\leq 1.}$
• Eğer ve şekildedir ima sonra herkes için${\görüntüleme stili a>0}$${\ Displaystyle b>0}$${\görüntüleme stili p(x)<a}$${\görüntüleme stili q(x)\leq b,}$${\görüntüleme stili aq(x)\leq bp(x)}$${\displaystyle x\in X.}$
• Varsayalım ve pozitif gerçek sayılardır ve her if için o zaman için seminormlardır.${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili b}$${\displaystyle q,p_{1},\ldots ,p_{n}}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle \max\{p_{1}(x),\ldots ,p_{n}(x)\}<a}$${\görüntüleme stili q(x)<b.}$${\displaystyle aq\leq b\left(p_{1}+\cdots +p_{n}\sağ).}$
• Eğer reals üzerinde bir vektör alan ve fonksiyonel lineer olmayan bir sıfır olduğu sonra , ancak ve ancak${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili X,}$${\displaystyle f\leq p}$${\displaystyle \varnothing =f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1\}.}$

Eğer bir seminorm açıksa ve on lineer bir fonksiyonel ise : ${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili X}$

• ${\displaystyle |f|\leq p}$üzerinde yalnızca ve eğer üzerine (kanıt dipnot bakınız).${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle \operatöradı {Re} f\leq p}$${\görüntüleme stili X}$
• ${\displaystyle f\leq p}$üzerinde ancak ve ancak${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1=\varnothing \}.}$
• Eğer ve şekildedir ima sonra herkes için${\görüntüleme stili a>0}$${\ Displaystyle b>0}$${\görüntüleme stili p(x)<a}$${\görüntüleme stili f(x)\neq b,}$${\displaystyle a|f(x)|\leq bp(x)}$${\displaystyle x\in X.}$

Diğer norm benzeri kavramlarla ilişki

Bir topolojik vektör uzayı, ancak ve ancak orijinin dışbükey sınırlı bir komşuluğuna sahipse yarı normlanabilirdir. Bu nedenle, yerel dışbükey bir TVS, ancak ve ancak boş olmayan sınırlı bir açık kümeye sahipse yarı normlanabilirdir.

Let , negatif olmayan bir fonksiyonu. Aşağıdakiler eşdeğerdir: ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

1. ${\görüntüleme stili p}$ bir seminormdur.
2. ${\görüntüleme stili p}$bir dışbükey -seminormdur .${\görüntüleme stili F}$
3. ${\görüntüleme stili p}$dışbükey dengeli bir G- seminormudur .

Yukarıdaki koşullardan herhangi biri geçerliyse, aşağıdakiler eşdeğerdir:

1. ${\görüntüleme stili p}$ bir normdur;
2. ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$ önemsiz bir vektör alt uzayı içermez.
3. Bir söz konusudur norm üzerinde hangi, saygı ile sınırlandırılmıştır.${\görüntüleme stili X,}$${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$

Eğer bir sublinear fonksiyonu gerçek vektör alanı olduğunu o zaman şu eşdeğerdir: ${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili X}$

1. ${\görüntüleme stili p}$a, işlevsel doğrusal ;
2. ${\displaystyle p(x)+p(-x)\leq 0{\text{ her }}x\in X} için$;
3. ${\displaystyle p(x)+p(-x)=0{\text{ her }}x\in X} için$;

genellemeler

Kavramı norm içinde kompozisyon cebirlerin yok değil bir norm olağan özelliklerini paylaşır.

Bir kompozisyon cebiri , bir alan üzerinde bir cebir, bir involüsyon ve "norm" olarak adlandırılan ikinci dereceden bir formdan oluşur. Bazı durumlarda , bir olan izotropik karesel bir şekilde , böylece en az bir yer alır boş vektör , bu makalede açıklanan alışılmış norm için gereken nokta ayrılması aykırı. ${\görüntüleme stili (A,*,N)}$ ${\görüntüleme stili A,}$ ${\görüntüleme stili \,*,}$ ${\görüntüleme stili N,}$${\görüntüleme stili N}$${\görüntüleme stili A}$

Bir ultraseminorm veya Arşimet dışı bir seminorm , aynı zamanda tatmin edici bir seminormdur .${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle p(x+y)\leq \max\{p(x),p(y)\}{\text{ tümü için }}x,y\in X.}$

Zayıflama alt eklenebilirliği

yarı-seminormlar

Bir harita bir denir yarı seminorm o (kesinlikle) homojen ve bazı mevcutsa öyle ki en küçük değeri olan bu denir tutan çarpanı arasında${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle b\leq 1}$${\displaystyle p(x+y)\leq bp(p(x)+p(y)){\text{ tümü için }}x,y\in X.}$${\görüntüleme stili b}$${\görüntüleme stili s.}$

Noktaları ayıran yarı-yarı norma , üzerinde yarı-norm denir .${\görüntüleme stili X.}$

Homojenliği zayıflatmak - -seminormlar${\görüntüleme stili k}$

Bir haritaya -seminorm denir, eğer alt-toplamalıysa ve böyle bir ve herkes için ve skalerler varsa${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\görüntüleme stili k}$${\görüntüleme stili k}$${\displaystyle 0<k\leq 1}$${\görüntüleme stili x\in X}$${\görüntüleme stili s,}$

${\displaystyle p(sx)=|s|^{k}p(x)}$

Bir puan ayıran -seminorm bir denir -norm üzerinde${\görüntüleme stili k}$${\görüntüleme stili k}$${\görüntüleme stili X.}$

Yarı-seminormlar ve -seminormlar arasında aşağıdaki ilişkiye sahibiz: ${\görüntüleme stili k}$

Varsayalım ki bir vektör alanı üzerinde bir yarı-seminorm olan çarpan ile ise o zaman vardır -seminorm üzerine denk${\görüntüleme stili q}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili b.}$${\displaystyle 0<{\sqrt {k}}<\log _{2}b}$${\görüntüleme stili k}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili q.}$

Ayrıca bakınız

• Asimetrik norm  – Norm kavramının genelleştirilmesi
• Banach uzayı  – Tam normlu vektör uzayı
• Hahn-Banach teoremi
• Gowers normu
• Yerel olarak dışbükey topolojik vektör uzayı  – Dışbükey açık kümeler tarafından tanımlanan bir topolojiye sahip bir vektör uzayı
• Mahalanobis mesafesi
• Matris normu  – Matrislerin vektör uzayında norm
• Ölçülebilir topolojik vektör uzayı  – Topolojisi bir metrik ile tanımlanabilen bir topolojik vektör uzayı
• Minkowski fonksiyonel
• Norm (matematik)  – Vektör uzayında uzunluk
• Normlu vektör uzayı  – Üzerinde bir mesafenin tanımlandığı vektör uzayı
• Norm ve metrik ilişkisi
• alt doğrusal fonksiyon
• Topolojik vektör uzayı  – Yakınlık kavramına sahip vektör uzayı

Notlar

Kanıtlar

Referanslar

• Adasch, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Topolojik Vektör Uzayları: Dışbükeylik Koşulları Olmadan Teori . Matematik Ders Notları. 639 . Berlin New York: Springer-Verlag . ISBN'si 978-3-540-08662-8. OCLC  297140003 .
• Berberyan, Sterling K. (1974). Fonksiyonel Analiz ve Operatör Teorisi Dersleri . Matematikte Lisansüstü Metinler. 15 . New York: Springer. ISBN'si 978-0-387-90081-0. OCLC  878109401 .
• Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Sur, vectoriels topologiques'den kaçınır [ Topolojik Vektör Uzayları: Chapters 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de matematik . 2 . Eggleston, HG tarafından tercüme edilmiştir; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN'si 978-3-540-42338-6. OCLC  17499190 .
• Conway, John (1990). Fonksiyonel analizde bir ders . Matematikte Lisansüstü Metinler . 96 (2. baskı). New York: Springer-Verlag . ISBN'si 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908 .
• Edwards, Robert E. (1995). Fonksiyonel Analiz: Teori ve Uygulamalar . New York: Dover Yayınları. ISBN'si 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138 .
• Grothendieck, Alexander (1973). Topolojik Vektör Uzayları . Çeviren: Chaljub, Orlando. New York: Gordon ve Breach Science Publishers. ISBN'si 978-0-677-30020-7. OCLC  886098 .
• Jarchow, Hans (1981). Yerel dışbükey uzaylar . Stuttgart: BG Teubner. ISBN'si 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342 .
• Khaleelulla, SM (1982). Topolojik Vektör Uzaylarında Karşı Örnekler . Matematik Ders Notları . 936 . Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag . ISBN'si 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370 .
• Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topolojik Vektör Uzayları I . Grundlehren der matematikçi Wissenschaften. 159 . Garling, DJH New York tarafından çevrildi: Springer Science & Business Media. ISBN'si 978-3-642-64988-2. MR  0248498 . OCLC  840293704 .
• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topolojik Vektör Uzayları . Saf ve uygulamalı matematik (İkinci baskı). Boca Raton, FL: CRC Basın. ISBN'si 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Prugovecki, Eduard (1981). Hilbert uzayında kuantum mekaniği (2. baskı). Akademik Basın. P. 20. ISBN'si 0-12-566060-X.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topolojik Vektör Uzayları . GTM . 8 (İkinci baskı). New York, NY: Springer New York Baskı Springer. ISBN'si 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Schechter, Eric (1996). Analiz El Kitabı ve Temelleri . San Diego, CA: Akademik Basın. ISBN'si 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365 .
• Swartz, Charles (1992). Fonksiyonel Analize giriş . New York: M. Dekker. ISBN'si 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067 .
• Treves, François (2006) [1967]. Topolojik Vektör Uzayları, Dağılımlar ve Çekirdekler . Mineola, NY: Dover Yayınları. ISBN'si 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• Wilansky, Albert (2013). Topolojik Vektör Uzaylarında Modern Yöntemler . Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .

Dış bağlantılar

• alt doğrusal fonksiyonlar
• Alt lineer ve süper lineer fonksiyoneller için sandviç teoremi