Net (matematik) - Net (mathematics)

Gelen matematik , daha özel olarak genel topoloji ve ilgili alanlar, bir ağ ya da Moore-Smith sekansı bir kavramı bir genellemedir dizisi . Özünde bir dizi, alanı doğal sayılar olan bir fonksiyondur . Değer kümesi bu işlevin genellikle bazı olduğu topolojik uzay .

Bir dizi kavramını genelleştirme motivasyonu, topoloji bağlamında dizilerin topolojik uzaylar arasındaki fonksiyonlar hakkındaki tüm bilgileri tam olarak kodlamamasıdır. Özellikle, aşağıdaki iki koşul, genel olarak, X ve Y topolojik uzayları arasındaki bir f haritası için eşdeğer değildir :

1. Harita f olan topolojik anlamda sürekli ;
2. Herhangi bir nokta verilen x de , X , ve herhangi bir sırada X yakınsayan için X , bileşim f bu dizi yakınsak olan f ( x ) (ardışık anlamda sürekli) .

Koşul 1'in koşul 2'yi ima etmesi zorunlu olarak doğru olsa da, topolojik uzayların her ikisi de ilk sayılabilir değilse, tersi çıkarım mutlaka doğru değildir . Özellikle, iki koşul metrik uzaylar için eşdeğerdir .

İlk olarak 1922'de EH Moore ve Herman L. Smith tarafından tanıtılan bir ağ kavramı, bir dizi kavramını genelleştirmektir, böylece yukarıdaki koşullar (koşul 2'de "dizi", "ağ" ile değiştirilir) gerçekte olur. topolojik uzayların tüm haritaları için eşdeğerdir. Özellikle, sayılabilir doğrusal sıralı bir kümede tanımlanmak yerine , bir ağ, rastgele yönlendirilmiş bir kümede tanımlanır . Bu, yukarıdaki 1 ve 2 koşullarının, bir nokta etrafında mutlaka sayılabilir veya doğrusal olarak sıralanmış bir komşuluk tabanına sahip olmayan topolojik uzaylar bağlamında tutulmasına eşdeğer olduğu iddiasına benzer teoremlere izin verir . Bu nedenle, diziler topolojik uzaylar arasındaki fonksiyonlar hakkında yeterli bilgiyi kodlamazken, ağlar yapar, çünkü topolojik uzaylardaki açık kümelerin koleksiyonları davranıştaki yönlendirilmiş kümelere çok benzer . "Net" terimi John L. Kelley tarafından icat edildi .

Ağlar, yalnızca metrik uzaylar bağlamında yeterince genel olabilecek belirli kavramları genelleştirmek için topolojide kullanılan birçok araçtan biridir . İlgili bir kavram olan filtre , 1937'de Henri Cartan tarafından geliştirilmiştir .

Tanımlar

Herhangi bir fonksiyonu olan alan a, yönlendirilmiş grubu denen net bu işlev bir set değerleri alırsa o zaman da şu şekilde de ifade edilebilir net . Bir ağın etki alanının öğelerine onun indeksleri denir . Açıkça, bir net in , bazı yönlendirilmiş kümelerin olduğu formun bir işlevidir . Bir yönlendirilmiş grubu boş olmayan bir dizi birlikte ile ön sipariş , tipik olarak, otomatik ile belirtilir varsayılır da (olduğunu özelliği ile, (aksi belirtilmediği sürece) yukarı doğru ) yönlendirilmiş herhangi ki bu araçlar vardır, bazı şekilde ve Başka bir deyişle, bu özellik, herhangi iki öğe ( ) verildiğinde , her zaman her ikisinin de "üstünde" olan bir öğe olduğu anlamına gelir (yani, her birinden daha büyük veya her birine eşit); bu şekilde, yönlendirilmiş kümeler "yön" kavramını matematiksel olarak kesin bir şekilde genelleştirir. Doğal sayılar da bilindik bir tamsayı karşılaştırması ile ön sipariş oluşturmak archetypical yönlendirilmiş bir dizi örneği. Gerçekten de, olan alan doğal sayılar olan bir net a, dizi tanımına göre, bir dizi için sadece bir fonksiyonudur içine Bu ağlar dizilerinin genellemeler olduğu bu yolla. Önemli olsa doğal sayılar aksine yönlendirilmiş setleri vardır değil olması gereken toplam siparişler hatta kısmi siparişler . Ayrıca, yönlendirilmiş kümelerin en büyük öğelere ve/veya maksimum öğelere sahip olmasına izin verilir , bu nedenle ağları kullanırken orijinal (kesin olmayan) ön sipariş yerine uyarılmış katı ön siparişi kullanırken dikkatli olunması önerilir ; yönlendirilmiş kümesi ise özellikle bir büyük elemanı vardır o zaman gelmez değil herhangi biri böyle (aksine, orada her zaman bazı var böyle ). ${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$${\ Displaystyle f:A\to X}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili A}$${\ Displaystyle \,\leq \,}$${\görüntüleme stili a,b\A'da,}$${\ Displaystyle c\in A}$${\ Displaystyle a\leq c}$${\displaystyle b\leq c.}$${\görüntüleme stili A}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\ Displaystyle \,\leq \,}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}}$${\görüntüleme stili X.}$${\görüntüleme stili \,<\,}$${\görüntüleme stili \,\leq }$${\görüntüleme stili (A,\leq )}$${\ Displaystyle a\in A}$${\ Displaystyle b\ A'da}$${\görüntüleme stili bir<b}$${\ Displaystyle b\ A'da}$${\displaystyle a\leq b}$

Ağlar sıklıkla dizilerde kullanılana benzer (ve esinlenen) gösterimler kullanılarak gösterilir. Bir net yılında ile gösterilir edilebilir aksi düşünmek için bir neden olmadığı sürece, otomatik olarak ayarlanan farz olması gereken yerde yönlendirilir ve ilişkili Ön sipariş ile gösterilir olduğunu ancak ağlar için gösterim örneği, açılı parantez için, kullanan bazı yazarlar değişir parantez yerine. Bu ağın , etki alanındaki bir öğedeki değeri , tipik olarak işlevlerle kullanılan olağan parantez gösterimi yerine gösterilen bir işlev olduğu gerçeğini ifade eden bir ağ in de yazılabilir (bu alt simge gösterimi dizilerden alınmıştır) . Cebirsel topoloji alanında olduğu gibi, doldurulmuş disk veya "madde işareti", ağa yönelik argümanların (yani ağın etki alanının öğelerinin ) yerleştirildiği konumu belirtir ; ağın bir fonksiyon olduğunu vurgulamaya yardımcı olur ve ayrıca daha sonra bahsederken yazılması gereken indeks ve diğer sembollerin sayısını azaltır. ${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle \sol(x_{a}\sağ)_{a\in A},}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili \,\leq .}$${\displaystyle \sol\langle x_{a}\sağ\rangle _{a\in A}}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\sağ)_{a\in A},}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle x_{\bullet }:A\to X}$${\görüntüleme stili bir}$${\displaystyle x_{a}}$${\displaystyle x_{\bullet }(a)}$${\ Displaystyle a\in A}$

Ağlar öncelikle , (genel olarak) dizilerin karakterize edemediği birçok önemli topolojik özelliği karakterize etmek için kullanıldıkları Analiz ve Topoloji alanlarında kullanılır (dizilerin bu eksikliği, sıralı uzayların ve Fréchet-Urysohn uzaylarının incelenmesini motive etti ) . Ağlar, topolojide de sıklıkla kullanılan filtrelerle yakından ilişkilidir . Her ağ bir filtreyle ilişkilendirilebilir ve her filtre bir ağla ilişkilendirilebilir, burada bu ilişkili nesnelerin özellikleri birbirine sıkı sıkıya bağlıdır ( daha fazla ayrıntı için topolojideki Filtreler hakkındaki makaleye bakın). Ağlar dizileri doğrudan genelleştirir ve genellikle dizilere çok benzer şekilde kullanılabilirler. Sonuç olarak, ağları kullanmak için öğrenme eğrisi, tipik olarak filtrelere göre çok daha az diktir, bu nedenle birçok matematikçi, özellikle analistler , onları filtrelere tercih eder. Bununla birlikte, filtreler ve özellikle ultra filtreler, ağlara göre, Analiz ve Topoloji alanlarının dışındaki filtrelerden çok daha az sıklıkla ağlarla karşılaşılmasına neden olan bazı önemli teknik avantajlara sahiptir.

Bir alt ağ , yalnızca bir ağın , bir tanım için bağlantılı sayfayı görmenin yönlendirilmiş bir alt kümesiyle sınırlandırılması değildir . ${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili A;}$

ağ örnekleri

Her boş olmayan tam sıralı küme yönlendirilir. Bu nedenle, böyle bir kümedeki her fonksiyon bir ağdır. Özellikle, olağan sıralı doğal sayılar böyle bir küme oluşturur ve bir dizi, doğal sayılar üzerinde bir fonksiyondur, dolayısıyla her dizi bir nettir.

Bir diğer önemli örnek ise aşağıdaki gibidir. Bir noktaya verilen bir topolojik uzayda, izin tüm anlamında olabildikleri grubu mahallelerde içeren Daha sonra yön geri dahil edilmesi ile verilen bir yönlendirilmiş grubu, bu nedenle bu , ancak ve ancak içerdiği For bırakıldığında yukarı bir noktası olarak O net olduğu . Ağdaki noktalara göre artışlar, sezgisel olarak konuşursak, azalan komşuluklarda yatmakla sınırlandırıldığından , bir anlamda yönelmesi gerektiği fikrine yönlendiriliriz . Bu sınırlayıcı kavramı kesin hale getirebiliriz. ${\görüntüleme stili x}$${\displaystyle N_{x}}$${\görüntüleme stili x.}$${\displaystyle N_{x}}$${\ Displaystyle S\geq T}$ ${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili T.}$${\displaystyle S\in N_{x},}$${\displaystyle x_{S}}$${\görüntüleme stili S.}$${\displaystyle \sol(x_{S}\sağ)}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili \,\geq ,}$${\displaystyle x_{S}}$${\görüntüleme stili x,}$${\displaystyle x_{S}}$${\görüntüleme stili x}$

ağların sınırları

Eğer yönlendirilmiş kümesinden bir ağıdır içine ve eğer bir alt kümesi daha sonra olduğu söylenir eninde sonunda (ya da artıksal içinde bir mevcutsa) her için böyle ile noktası A noktasından bir adlandırılır${\displaystyle x_{\bullet }=\sol(x_{a}\sağ)_{a\in A}}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili X,}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili X,}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili S}$${\ Displaystyle a\in A}$${\ Displaystyle b\ A'da}$${\görüntüleme stili b\geq a,}$${\displaystyle x_{b}\S.}$${\görüntüleme stili x\in X}$ sınır noktası veyasınırı , net birin(ve sadece) ${\displaystyle x_{\bullet }}$${\görüntüleme stili X}$

Her açık mahalle arasında net de sonunda ise${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili x,}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\görüntüleme stili U,}$

bu durumda, bu ağın daha sonra da ${\görüntüleme stili x}$vebir limit olaraksahip olmak${\görüntüleme stili x}$için yakınsar . Ağbir noktayayakınsarsa,bu durum aşağıdakilerden herhangi biri yazılarak ifade edilebilir: ${\displaystyle x_{\bullet }}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili x\in X}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&x_{\bullet }&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\ ;{\text{ içinde }}X\\\lim _{}\;&x_{\bullet }&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\\lim _{a\in A}\;&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\metin{ in }}X\\\lim _{}{}_{a}\;&x_{a}&&\to \; &&x&\;\;{\text{ }}X\\\end{alignedat}}}$

burada topolojik uzay bağlamdan açıksa "in " kelimeleri atlanabilir. ${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$

Eğer in ve eğer bu limit in benzersiz ise (benzersizlik , eğer öyle ise , o zaman zorunlu olarak anlamına gelir ) o zaman bu durum yazı ile belirtilebilir. ${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle y\in X}$${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\y'ye,}$${\görüntüleme stili x=y}$

${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }=x}$       veya veya       ${\displaystyle \lim _{}x_{a}=x}$              ${\displaystyle \lim _{a\in A}x_{a}=x}$

Bir işaret ok yerine kullanılır eşittir bir de Haussdorf alan bir Haussdorf uzayda yakınsak bir filenin sınırı hep tektir bu yüzden, her net en fazla bir sınırında bulunuyor. Bazı yazarlar yerine notasyonu "kullanmak anlamında" ile dışarı da sınır benzersiz olmasını gerektiren; ancak, bu gösterim bu şekilde tanımlanırsa, eşittir işaretinin artık geçişli bir ilişkiyi göstermesi garanti edilmez ve dolayısıyla artık eşitliği ifade etmez . Spesifik olarak, benzersizlik şartı olmadan, eğer farklıysa ve her biri de o zaman içinde bir limitse ve yazılabilirse (eşittir işareti kullanılarak ) doğru olmamasına rağmen${\görüntüleme stili \için .}$${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }=x}$${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$ ${\görüntüleme stili =}$${\görüntüleme stili x,y\X'de}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }=x}$${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }=y}$${\görüntüleme stili =}$${\görüntüleme stili x=y.}$

Sezgisel olarak, bu ağın yakınsaması, değerlerin yeterince büyük olması için istediğimiz kadar yakın gelip kalması anlamına gelir . Bir noktanın komşuluk sistemi üzerinde yukarıda verilen örnek ağ gerçekten bu tanıma göre yakınsar . ${\displaystyle x_{a}}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili bir.}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili x}$

Bir Verilen altyapıya güvenle üzerinde topoloji için (burada her nota o tabanı bir topoloji için bir alttemel da) ve bir noktası verilen bir ağ içinde için yakınsak ve her mahallede en sonunda yalnızca eğer bir bu karakterizasyonu kadar uzanır mahalle alt te- mellerde (ve böylece Ayrıca mahalle bazlar verilen noktanın) seti ise sahip olduğunu alt uzay topoloji tarafından üzerine uyarılan sonra içinde ancak ve ancak içinde Böylelikle olsun veya olmasın, net sorusu verilen noktada birleşir bağlıdır edilir sadece bu konuda topolojik alt uzay oluşan ve görüntü arasında (yani noktası) net${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili x}$${\ Displaystyle U\in {\matematiksel {B}}}$${\görüntüleme stili x.}$${\görüntüleme stili x.}$${\displaystyle S:=\{x\}\cup \sol\{x_{a}:a\inA\sağ\}}$${\görüntüleme stili X,}$${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$${\görüntüleme stili S.}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili x}$${\displaystyle x_{\bullet }.}$

Kartezyen bir üründeki limitler

Ürün alanındaki bir ağın, ancak ve ancak her projeksiyonun bir limiti varsa bir limiti vardır.

Sembolik olarak, Kartezyen çarpımının

${\displaystyle X:=\prod _{i\in I}X_{i}}$

boşlukların çoğu ürün topolojisine sahiptir ve her indeks için kanonik izdüşüm şu şekilde gösterilir: ${\displaystyle \sol(X_{i}\sağ)_{i\in I}}$${\görüntüleme stili ben\ben,}$${\displaystyle X_{i}}$

${\displaystyle \pi _{i}:X=\prod _{j\in I}X_{j}\to X_{i}}$      ve tarafından tanımlanan      ${\displaystyle \left(x_{j}\sağ)_{j\in I}\mapsto x_{i}.}$

Izin net olmak yönettiği ve her endeks için let ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{a}\sağ)_{a\in A}}$${\displaystyle X=\prod _{i\in I}X_{i}}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili ben\ben,}$

${\displaystyle \pi _{i}\sol(f_{\bullet }\sağ)~:=~\sol(\pi _{i}\sol(f_{a}\sağ)\sağ)_{a\ içinde}}$

"takmayı sonucunu göstermek içine net sonucu olan," O açısından bu tanımın düşünmek bazen yararlı işlevi bileşimi : ağ ağ bileşimine eşit olan çıkıntı ile , yani,${\displaystyle f_{\bullet }}$${\displaystyle \pi _{i}}$${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right):A\to X_{i}.}$${\displaystyle \pi _{i}\sol(f_{\bullet }\sağ)}$${\displaystyle f_{\bullet }:A\to X}$${\displaystyle \pi _{i}:X\to X_{i}}$${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right):=\pi _{i}\,\circ \,f_{\bullet }.}$

o zaman verilirse${\displaystyle L=\sol(L_{i}\sağ)_{i\I}\X içinde,}$

${\displaystyle f_{\bullet }\to L}$içinde ancak ve ancak her için in${\displaystyle X=\prod _{i}X_{i}}$   ${\displaystyle \;ben\ben,}$ ${\displaystyle \;\pi _{i}\sol(f_{\bullet }\sağ):=\sol(\pi _{i}\sol(f_{a}\sağ)\sağ)_{a\ A}\;\to \;\pi _{i}(L)=L_{i}\;} içinde$${\displaystyle \;X_{i}.}$

Tychonoff teoremi ve seçim aksiyomu ile ilişkisi

Hayır ise verilen ama her içindir bazı vardır öyle de sonra tarafından tanımlanan tanımlama grubu sınırı olacak yılında Ancak, seçim aksiyomu bu tanımlama grubu olduğu sonucuna amacıyla varsayılabilir ihtiyacı olabilir var; seçim aksiyomu, örneğin, her birinin bir Hausdorff uzayı olduğu durumlarda , sonlu olduğunda veya her biri ağın benzersiz sınırı olduğunda (çünkü o zaman aralarında seçim yapılabilecek hiçbir şey olmadığında) gibi bazı durumlarda gerekli değildir . Eğer sonsuz ve boş değil, seçim sonra aksiyomu (genel olarak) hala projeksiyonları sonucuna ihtiyaç olacağını vardır surjective haritalar . ${\displaystyle L\in X}$${\görüntüleme stili ben\ben,}$${\displaystyle L_{i}\in X_{i}}$${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)\to L_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle L:=\sol(L_{i}\sağ)_{i\in I}}$${\displaystyle f_{\bullet }}$${\görüntüleme stili X.}$${\görüntüleme stili L}$${\görüntüleme stili I}$${\displaystyle L_{i}\in X_{i}}$${\displaystyle \pi _{i}\sol(f_{\bullet }\sağ)}$${\displaystyle X_{i}}$${\görüntüleme stili I}$${\displaystyle X=\prod _{j\in I}X_{j}}$${\displaystyle \pi _{i}:X\to X_{i}}$

Seçim aksiyomu, herhangi bir kompakt topolojik uzay koleksiyonunun ürününün kompakt olduğunu belirten Tychonoff teoremine eşdeğerdir . Ancak her kompakt uzay aynı zamanda Hausdorff ise, bunun yerine ultrafiltre lemmasına eşdeğer olan ve seçim aksiyomundan kesinlikle daha zayıf olan "Tychonoff'un kompakt Hausdorff uzayları için teoremi" kullanılabilir . Nets bir boşluk varsa ve her ağ sahip olması gerekir yakınsak bir kompakt gerçeği ile birlikte ile yukarıda verilen net yakınlaşma karakterizasyonu kullanarak Tychonoff teoremi her iki versiyonunun kısa deliller vermek için kullanılabilir alt ağ .

Bir ağın ultranetleri ve küme noktaları

Izin net olmak yönlendirilmiş kümesi temelinde ve bırakıldığında yukarı bir alt kümesi sonra olduğu söylenir${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili X,}$${\görüntüleme stili f}$sık sık (veyacofinally in )eğer her biri içinöyle bir şeyvarsave${\görüntüleme stili S}$${\ Displaystyle a\in A}$${\ Displaystyle b\ A'da}$${\displaystyle b\geq a}$${\görüntüleme stili f(b)\S.}$

Bir noktanın bir olduğu söylenir${\görüntüleme stili x\in X}$yığılma noktası veya küme noktası her mahalle için bir net if (ve ancak) arasındabirnet sık olduğu${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili x,}$${\ Displaystyle U.}$

Bir ağ kümesinde denir evrensel veya Ultranet her alt kümesi için eğer içinde sonunda ise veya içinde sonunda ise Ultranets yakından ilişkilidir ultrafiltreler . ${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili S\alt küme X,}$ ${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili f}$${\displaystyle X\setminus S.}$

Ağ limitlerine örnekler

• Bir dizinin sınırı ve bir fonksiyonu limiti için aşağıya bakınız.
• Riemann integralinin tanımında Riemann toplamlarının ağ limitleri . Bu örnekte, yönlendirilmiş küme , kısmen dahil edilerek sıralanmış, entegrasyon aralığının bölümlerinin kümesidir .

Örnekler

Bir topolojik uzayda dizi

Bir topolojik uzaydaki bir dizi , üzerinde tanımlı bir ağ olarak kabul edilebilir .${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots }$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle \mathbb {N} .}$

Net sonunda, her tamsayı için noktanın içinde olduğu bir var olup olmadığının bir alt kümesindedir .${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$${\görüntüleme stili n\geq N,}$${\ Displaystyle a_{n}}$${\görüntüleme stili S.}$

Yani ve sadece her mahalle için eğer bir net sonunda ise${\displaystyle \lim {}_{n}a_{n}\to L}$${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili L,}$${\görüntüleme stili V.}$

Net bir alt kümesi olarak sıkça başvurulan bir sadece her için ve eğer varsa bir tamsayı vardır , öyle ki bu, ve sekansın sonsuz sayıda elemanlar olarak sadece eğer Böylece bir noktaya net bir yığılma noktası ve sadece her eğer mahalle arasında dizisinin sonsuz sayıda öğeleri içerir. ${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$${\görüntüleme stili n\geq N}$${\displaystyle a_{n}\S,}$${\görüntüleme stili S.}$${\displaystyle y\in X}$${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili y}$

Metrik uzaydan topolojik uzaya fonksiyon

Bir metrik uzaydan bir topolojik uzaya ve bir noktaya bir fonksiyon düşünün Kümeyi uzaklığa göre tersine yönlendiririz , yani bağıntı "en az ile aynı mesafeye sahiptir ", böylece "yeterince büyük" olur. ilişki "yeterince yakın" anlamına gelir . İşlev , üzerinde tanımlanmış bir ağdır .${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili X,}$${\displaystyle c\in M.}$${\displaystyle M\setminus \{c\}}$${\görüntüleme stili c,}$${\görüntüleme stili c}$${\görüntüleme stili c}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle M\setminus \{c\}.}$

Net sonunda bir alt kümesindedir , öyle bir şey varsa, öyle ki, her biri için nokta içindedir .${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle y\in M\setminus \{x\}}$${\displaystyle x\in M\setminus \{c\}}$${\görüntüleme stili d(x,c)\leq d(y,c)}$${\görüntüleme stili f(x)}$${\görüntüleme stili S.}$

Yani ve sadece her mahalle için eğer bir de sonunda ise${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)\to L}$${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili L,}$ ${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili V.}$

Net bir alt kümesinde sık olduğu ve sadece her için eğer ve eğer bazı vardır ile böyle içindedir${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle y\in M\setminus \{c\}}$${\displaystyle x\in M\setminus \{c\}}$${\görüntüleme stili d(x,c)\leq d(y,c)}$${\görüntüleme stili f(x)}$${\görüntüleme stili S.}$

Bir nokta net bir küme noktasıdır ve sadece her mahalle için eğer bir net sık olduğu${\displaystyle y\in X}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili y,}$${\görüntüleme stili V.}$

İyi sıralı bir kümeden topolojik uzaya fonksiyon

Bir düşünün iyi sıralı kümesi sınırı noktası ve bir işlevi gelen bir topolojik uzaya Bu fonksiyon net açık${\görüntüleme stili [0,c]}$${\görüntüleme stili t}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili [0,t)}$${\görüntüleme stili X.}$${\görüntüleme stili [0,t).}$

Bu bir alt kümesinde sonunda ise bir bir mevcutsa her için böyle bir nokta olduğunu${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili r\in [0,t)}$${\displaystyle s\in [r,t)}$${\görüntüleme stili f(ler)}$${\görüntüleme stili V.}$

Yani ve sadece her mahalle için eğer bir de sonunda ise${\displaystyle \lim _{x\to t}f(x)\to L}$${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili L,}$ ${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili V.}$

Net bir alt kümesinde sık olduğu ve sadece her için eğer ve eğer bazı vardır öyle${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili r\in [0,t)}$${\displaystyle s\in [r,t)}$${\displaystyle f(s)\in V.}$

Bir nokta net bir küme noktasıdır ve sadece her mahalle için eğer bir net sık olduğu${\displaystyle y\in X}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili y,}$${\görüntüleme stili V.}$

İlk örnek bunun özel bir durumudur. ${\görüntüleme stili c=\omega .}$

Ayrıca bkz. sıra dizinli dizi .

Özellikler

Hemen hemen tüm topoloji kavramları, ağlar ve limitler dilinde yeniden ifade edilebilir. Bu, bir ağın limiti kavramı bir dizinin limitine çok benzer olduğu için sezgiye rehberlik etmek için faydalı olabilir . Aşağıdaki teoremler ve lemmalar bu benzerliği pekiştirmeye yardımcı olur:

Topolojik özelliklerin karakterizasyonu

Topolojilerin Karakterizasyonu

Bir alt açıksa ve hiçbir net yalnızca bir noktada birleşir It ağları karakterize sağlar açık alt kümelerini bu karakterizasyonu olduğunu topolojileri . ${\görüntüleme stili S\alt küme X}$${\displaystyle X\setminus S}$${\görüntüleme stili S.}$

Topolojiler ayrıca kapalı alt kümelerle de karakterize edilebilir. Bir alt kapalı olarak ve her ağın her sınır noktası sadece eğer mutlaka ait Açıkça, bir alt kümesi , sadece zaman olmadığını ve kapatılır ve elemanlarla bir net olan sınırı olan (husus, bu tür ve zorunlu olarak, daha sonra)${\görüntüleme stili S\alt küme X}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili S.}$${\görüntüleme stili S\alt küme X}$${\görüntüleme stili x\in X}$${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{a}\sağ)_{a\in A}}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili x}$${\displaystyle s_{a}\S{\text{ tümü için}}a\A}$${\displaystyle \lim {}_{}s_{\bullet }\to x{\text{ }}X} içinde$${\görüntüleme stili x\S.}$

Eğer Daha genel olarak herhangi bir alt kümesidir sonra bir noktaya içindedir kapanması arasında orada net var ancak ve ancak içinde limitli ve öyle ki her dizin için${\görüntüleme stili S\alt küme X}$${\görüntüleme stili x\in X}$${\görüntüleme stili S}$${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{a}\sağ)_{a\in A}}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili x\in X}$${\displaystyle s_{a}\S}$${\görüntüleme stili bir\A'da.}$

süreklilik

Topolojik uzaylar arasındaki bir fonksiyon , ancak ve ancak her ağ için bu noktada süreklidir .${\ Displaystyle f:X\'den Y'ye}$${\görüntüleme stili x}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\sağ)_{a\in A},}$

Bu teorem, "net" yerine "sıra" konduğunda genel olarak doğru değildir; eğer sadece doğal sayılar dışındaki yönlendirilmiş setleri için izin vermek için gerekli olan bir değil birinci sayılabilir uzay (ya da olmasın sıralı uzay ). ${\görüntüleme stili X}$

Kanıt

Tek yön Izin noktada sürekli olabilir ve izin olduğu net şekilde olması Daha sonra her açık mahalle için bir kendi öngörüntü under bir mahalle (sürekliliği ile de ). Bu nedenle , iç bölgesinin ile gösterilir açık bir mahalle ve dolayısıyla sonuçta olduğu nedenle en sonunda olduğu bu nedenle de sonunda ve bunların bir alt kümesi Böylece bu yönde kanıtlanmıştır. ${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili x,}$${\displaystyle x_{\bullet }=\sol(x_{a}\sağ)_{a\in A}}$${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x.}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili f(x),}$${\görüntüleme stili f,}$ ${\displaystyle V:=f^{-1}(U),}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili V,}$${\displaystyle \operatöradı {int} V,}$${\görüntüleme stili x,}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle \operatöradı {int} V.}$${\displaystyle \sol(f\sol(x_{a}\sağ)\sağ)_{a\inA}}$${\displaystyle f(\operatöradı {int} V)}$${\görüntüleme stili f(V)}$${\ Displaystyle U.}$${\displaystyle \lim _{}\sol(f\sol(x_{a}\sağ)\sağ)_{a\in A}\to f(x),}$ diğer yön: Izin bir nokta böyle olması için her net şekilde Şimdi varsayalım de sürekli değildir bir orada Ardından mahalle arasında kimin öngörüntü altında bir mahalle değil çünkü mutlaka açık mahallelerin Şimdi seti ile kapsama ön sipariş bir olduğunu yönlendirilmiş seti ( bu tür her iki mahallenin kesişimi de bir açık mahalle olduğu için). ${\görüntüleme stili x}$${\displaystyle x_{\bullet }=\sol(x_{a}\sağ)_{a\in A}}$${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x,}$ ${\displaystyle \lim _{}\sol(f\sol(x_{a}\sağ)\sağ)_{a\in A}\to f(x).}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili x.}$ ${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili f(x)}$${\görüntüleme stili f,}$ ${\görüntüleme stili V,}$${\görüntüleme stili x.}$${\görüntüleme stili f(x)\U'da,}$${\displaystyle x\in V.}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili x}$ İndisi olan her açık komşuluk için bu komşulukta olmayan bir nokta olacak şekilde bir ağ oluşturuyoruz ; her zaman böyle bir nokta olduğu gerçeğinden yola çıkarak hiçbir açık komşuluk dahil edilmez (çünkü varsayıma göre, ' nin bir mahallesi değildir ). içinde olmadığını takip eder${\displaystyle x_{\bullet }=\sol(x_{a}\sağ)_{a\in A}}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili bir,}$ ${\displaystyle x_{a}}$${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili x}$${\displaystyle f\sol(x_{a}\sağ)}$${\ Displaystyle U.}$ Artık her açık mahalle için bir bu mahallede endeksi biz göstermek yönlendirilmiş kümesinin bir üyesi olan her İçin dizin oluşturduğunu yönlendirilmiş setin üyesi içinde yer alır ; bu nedenle ve bizim varsayımımızla Ama , açık bir komşuluktur ve bu nedenle sonuçta içindedir ve dolayısıyla da her için olmamakla çelişki içindedir. Bu bir çelişkidir, dolayısıyla sürekli olmalıdır . ${\görüntüleme stili W}$${\görüntüleme stili x,}$${\görüntüleme stili bir_{0}.}$${\displaystyle b\geq a_{0},}$${\görüntüleme stili b}$${\görüntüleme stili W}$${\displaystyle x_{b}\W.}$${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x.}$${\displaystyle \lim _{}\sol(f\sol(x_{a}\sağ)\sağ)_{a\in A}\to f(x).}$${\displaystyle \operatöradı {int} U}$${\görüntüleme stili f(x)}$${\displaystyle f\sol(x_{a}\sağ)}$${\displaystyle \operatöradı {int} U}$${\görüntüleme stili U,}$${\displaystyle f\sol(x_{a}\sağ)}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili bir.}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili x.}$

kompaktlık

Bir uzay , ancak ve ancak içindeki her ağın içinde bir limiti olan bir alt ağa sahipse

kompakttır . Bu, Bolzano-Weierstrass teoreminin ve Heine-Borel teoreminin bir genellemesi olarak görülebilir . ${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle x_{\bullet }=\sol(x_{a}\sağ)_{a\in A}}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X.}$

Kanıt

İlk olarak, bunun kompakt olduğunu varsayalım . Aşağıdaki gözleme ihtiyacımız olacak (bkz. Sonlu kesişim özelliği ). Izin herhangi bir boş olmayan bir set olması ve kapalı alt kümelerinin bir koleksiyon olacak şekilde her sonlu için Ardından da. Aksi takdirde, kompaktlığının aksine, sonlu bir alt örtü olmadan açık bir örtü olurdu .${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili I}$${\displaystyle \{C_{i}\}_{i\in I}}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle \bigcap _{i\in J}C_{i}\neq \varnothing }$${\görüntüleme stili J\alt küme I.}$${\displaystyle \bigcap _{i\in I}C_{i}\neq \varnothing }$${\displaystyle \{C_{i}^{c}\}_{i\in I}}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X.}$ Her tanım için tarafından yönlendirilen bir net olsun${\displaystyle x_{\bullet }=\sol(x_{a}\sağ)_{a\in A}}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili A.}$${\ Displaystyle a\in A}$ $${\displaystyle E_{a}\triangleq \sol\{x_{b}:b\geq a\sağ\}.}$$ Koleksiyon , her sonlu alt koleksiyonun boş olmayan kesişimine sahip olma özelliğine sahiptir. Böylece, yukarıdaki açıklama ile, biz var ${\displaystyle \{\operatöradı {cl} \sol(E_{a}\sağ):a\in A\}}$ $${\displaystyle \bigcap _{a\in A}\operatöradı {cl} (E_{a})\neq \varnothing }$$ ve bu tam olarak küme noktalarının kümesidir . Yukarıdaki özelliğe göre, yakınsak alt ağların sınırları kümesine eşittir Böylece yakınsak bir alt ağa sahiptir. ${\displaystyle x_{\bullet }.}$${\displaystyle x_{\bullet }.}$${\displaystyle x_{\bullet }}$ Tersine, her ağın yakınsak bir alt ağa sahip olduğunu varsayalım . Çelişki olsun diye, sonlu bir alt örtüsü olmayan açık bir örtü olsun . Düşünün gözlemleyin dahil altında yönlendirilmiş kümesidir ve her biri için bir vardır öyle herkes için net düşünün her çünkü bu net bir yakınsak alt ağ olamaz vardır böyle bir mahalle ; Ancak elimizdeki her şeye rağmen bu bir çelişkidir ve ispatı tamamlar. ${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle \sol\{U_{i}:i\ben\sağ\}}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle D\triangleq \{J\subset I:|J|<\infty \}.}$${\görüntüleme stili D}$${\ Displaystyle C\ D'de,}$${\displaystyle x_{C}\X}$${\displaystyle x_{C}\U_{a}} değil$${\görüntüleme stili bir\C'de.}$${\displaystyle \sol(x_{C}\sağ)_{C\in D}.}$${\görüntüleme stili x\in X}$${\ Displaystyle c\in I}$${\ Displaystyle U_{c}}$${\görüntüleme stili x}$${\displaystyle B\supseteq \{c\},}$${\displaystyle x_{B}\U_{c} değil.}$

Küme ve sınır noktaları

Bir ağın küme noktaları kümesi, yakınsak alt ağlarının sınır kümesine eşittir .

Kanıt

Bir topolojik uzayda bir ağ olsun (her zamanki gibi otomatik olarak yönlendirilmiş bir küme olduğu varsayılır) ve ayrıca If , bir alt ağın limiti, o zaman bir küme noktası olsun.${\displaystyle x_{\bullet }=\sol(x_{a}\sağ)_{a\in A}}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili y\X.}$${\görüntüleme stili y}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\görüntüleme stili y}$${\displaystyle x_{\bullet }.}$ Tersine, farz bir küme noktasıdır Let çiftlerinin kümesi olması açık bir mahalle içinde ve şekildedir haritası haritalama için daha sonra cofinal olduğunu. Ayrıca, veren ürün siparişini (arasında yakın çevre dahil edilmesi ile sıralanır) oa yönlendirilmiş seti ve net hale tarafından tanımlanan yakınsamaktadır${\görüntüleme stili y}$${\displaystyle x_{\bullet }.}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili (U,a)}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili y}$${\görüntüleme stili X}$${\ Displaystyle a\in A}$${\displaystyle x_{a}\U.}$${\ Displaystyle h:B\'den A'ya}$${\görüntüleme stili (U,a)}$${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili y}$${\displaystyle y_{\bullet }=\sol(y_{b}\sağ)_{b\B}}$${\displaystyle y_{b}=x_{h(b)}}$${\görüntüleme stili y.}$

Bir ağın, ancak ve ancak tüm alt ağlarının sınırları varsa, bir sınırı vardır. Bu durumda, ağın her limiti aynı zamanda her alt ağın limitidir.

Diğer özellikler

Genel olarak, bir uzaydaki bir ağın birden fazla limiti olabilir, ancak eğer bir

Hausdorff uzayı ise , bir ağın limiti, eğer varsa, benzersizdir. Tersine, eğer Hausdorff değilse, o zaman iki ayrı limitli bir ağ vardır . Böylece limitin tekliği uzaydaki Hausdorff koşuluna eşdeğerdir ve aslında bu tanım olarak alınabilir. Bu sonuç, yönlendirilmişlik koşuluna bağlıdır; genel bir ön sipariş veya kısmi sipariş tarafından indekslenen bir küme , bir Hausdorff uzayında bile farklı sınır noktalarına sahip olabilir. ${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$

Eğer ve bir ultranet açıksa, o zaman bir ultranet açık${\ Displaystyle f:X\'den Y'ye}$${\displaystyle x_{\bullet }=\sol(x_{a}\sağ)_{a\in A}}$${\görüntüleme stili X,}$${\displaystyle \sol(f\sol(x_{a}\sağ)\sağ)_{a\inA}}$${\görüntüleme stili Y.}$

Cauchy ağları

Bir Cauchy ağı, Cauchy dizisi kavramını düzgün uzaylarda tanımlanan ağlara genelleştirir .

Bir ağ bir${\displaystyle x_{\bullet }=\sol(x_{a}\sağ)_{a\in A}}$Cauchy ağı, eğer herçevre için, herkesiçin bir üye olacak şekildemevcutsa,Daha genel olarak, bir

Cauchy uzayında, ağtarafından üretilenfiltrebirCauchy filtresiise, bir ağCauchy'dir. ${\görüntüleme stili V}$${\ Displaystyle c\in A}$${\görüntüleme stili a,b\geq c,}$ ${\displaystyle \sol(x_{a},x_{b}\sağ)}$${\görüntüleme stili V.}$${\displaystyle x_{\bullet }}$

Bir topolojik vektör uzayı (TVS) denir tam bir noktada her Cauchy net yakınsak eğer. Bir normlu uzay topolojik vektör alan özel bir türüdür, (eşdeğer bir tam TVS olan Banach alanı ) sadece ve sadece bir noktada (adlandırılan bir özellik her Cauchy dizisi yakınsak ise sıralı tamlık ). Normlu uzayların tamlığını tanımlamak için Cauchy ağlarına ihtiyaç duyulmamasına rağmen, daha genel (muhtemelen normal olmayan ) topolojik vektör uzaylarının

tamlığını tanımlamak için gereklidir .

Filtrelerle ilişkisi

Ayrıca bakınız: Topolojideki filtreler § Filtreler ve ağlar

Bir filtre , genel topolojik uzaylarda yakınsama için genel bir tanımlamaya izin veren topolojideki başka bir fikirdir. İki fikir, aynı yakınsama kavramını vermeleri anlamında eşdeğerdir. Daha spesifik olarak, her filtre tabanı için bağlantılı bir ağ oluşturulabilir ve filtre tabanının yakınsaması, bağlantılı ağın yakınsamasını ifade eder - ve bunun tersi (her ağ için bir filtre tabanı vardır ve ağın yakınsaması, yakınsamayı ifade eder). filtre tabanı). Örneğin, herhangi bir ağ içinde indükler kuyruklarının bir filtre tabanı filtre bu filtre tabanı tarafından üretilen net olarak adlandırılır

olasılık filtre . Bu denklik, bir kavramla ispatlanabilen herhangi bir teoremin diğeriyle ispatlanmasını sağlar. Örneğin, bir fonksiyonun bir topolojik uzaydan diğerine sürekliliği, kod alanındaki karşılık gelen ağın yakınsamasını ima eden etki alanındaki bir ağın yakınsaması veya filtre tabanlarıyla aynı ifade ile karakterize edilebilir. ${\displaystyle \sol(x_{a}\sağ)_{a\in A}}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle \{\{x_{a}:a\in A,a_{0}\leq a\}:a_{0}\in A\}}$${\görüntüleme stili X}$

Robert G. Bartle , eşdeğerliklerine rağmen her iki kavramın da bulunmasının faydalı olduğunu savunuyor. Ağların, dizilere benzetmede doğal kanıtlar ve tanımlar yapmak için diziler gibi yeterli olduğunu, özellikle de analizde yaygın olan gibi sıralı öğeleri kullananların , filtrelerin ise cebirsel topolojide en yararlı olduğunu savunuyor . Her durumda, genel topolojideki çeşitli teoremleri kanıtlamak için ikisinin birlikte nasıl kullanılabileceğini gösterir .

Üstünü sınırla

Bir gerçek sayılar ağının

üst sınırı ve alt sınırı, dizilerdekine benzer şekilde tanımlanabilir. Bazı yazarlar, tam kafesler gibi gerçek çizgiden daha genel yapılarla bile çalışır.

net koymak için ${\displaystyle \sol(x_{a}\sağ)_{a\in A},}$

${\displaystyle \limsup x_{a}=\lim _{a\in A}\sup _{b\succeq a}x_{b}=\inf _{a\in A}\sup _{b\succeq a }x_{b}.}$

Gerçek sayılar ağının limit üstü, dizilerin durumuna benzer birçok özelliğe sahiptir. Örneğin,

${\displaystyle \limsup(x_{a}+y_{a})\leq \limsup x_{a}+\limsup y_{a},}$

ağlardan biri yakınsak olduğunda eşitliğin geçerli olduğu yer.

Ayrıca bakınız

• Topolojik uzaylar kategorisinin karakterizasyonu
• Topolojideki filtreler
• Ön sipariş
• sıralı uzay

alıntılar

Referanslar

• Sundström, Manya Raman (2010). "Kompaktlığın pedagojik tarihi". arXiv : 1006.4131v1 [ matematik.HO ].
• Aliprantis, Charalambos D .; Sınır, Kim C. (2006). Sonsuz boyutlu analiz: Bir otostopçunun rehberi (3. baskı). Berlin: Springer. s. xxii, 703. ISBN 978-3-540-32696-0. MR  2378491 .
• Bira, Gerald (1993). Kapalı ve kapalı konveks kümeler üzerinde topolojiler . Matematik ve Uygulamaları 268. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. s. xii, 340. ISBN 0-7923-2531-1. MR  1.269.778 .
• Howes, Norman R. (23 Haziran 1995). Modern Analiz ve Topoloji . Matematikte Lisansüstü Metinler . New York: Springer-Verlag Bilim ve İş Medyası. ISBN'si 978-0-387-97986-1. OCLC  31969970 . OL  1272666M .
• Kelley, John L. (1975). Genel Topoloji . Matematikte Lisansüstü Metinler . 27 . New York: Springer Bilim ve İş Medyası. ISBN'si 978-0-387-90125-1. OCLC  338047 .
• Kelley, John L. (1991). Genel Topoloji . Springer. ISBN'si 3-540-90125-6.
• Megginson, Robert E. (1998). Banach Uzay Teorisine Giriş . Matematikte Lisansüstü Metinler . 193 . New York: Springer. ISBN'si 0-387-98431-3.
• Schechter, Eric (1997). Analiz El Kitabı ve Temelleri . San Diego: Akademik Basın. ISBN'si 9780080532998. Erişim tarihi: 22 Haziran 2013 .
• Schechter, Eric (1996). Analiz El Kitabı ve Temelleri . San Diego, CA: Akademik Basın. ISBN'si 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365 .
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Genel Topoloji (İlk baskı). Mineola, NY : Dover Yayınları . ISBN'si 978-0-486-43479-7. OCLC  115240 .