seçim Axiom - Axiom of choice


Vikipedi, özgür ansiklopedi

Her ile seçim aksiyomunun Çizim, S i ve x i , sırasıyla, bir kavanoz ve bir renkli mermer olarak temsil
(S i ) bir sonsuz aile dizine setleri reel sayılar R ; yani bir resim grubu S olduğu I , her reel sayı için ı yukarıda gösterilen küçük bir örnek ile,. Her bir takımda en az bir, ve muhtemelen çok sayıda sonsuz, elementler içerir. Seçme aksiyomu bize keyfi elemanları (karşılık gelen bir aile oluşturur her set tek bir öğeyi seçmek için olanak tanır x i ile, aynı zamanda gerçek sayılar dizine) x i S çekilir i . Genelde, koleksiyonları herhangi seti üzerinde endeksli olabilir ben sadece değil, Ar .

In matematik , seçim aksiyomu veya AC , bir olan aksiyomu ait küme teorisine ifadesine eşdeğer Kartezyen ürün boş olmayan kümeler topluluğu olmayan boş . Gayrı koymak, seçim aksiyomu her içeren en az bir nesne kutuları herhangi koleksiyonu, göz önüne alındığında, koleksiyon olsa bile, her kutudan tam olarak bir nesnenin bir seçim yapmak mümkün olduğunu söylüyor sonsuz . Resmen her için belirtmektedir endeksli aile içinde boş olmayan ayarlayan bir endeksli ailesinin bulunduğu elemanlarının öyle ki her için . Seçim aksiyomu tarafından 1904 yılında formüle edildi Ernst Zermelo onun kanıtı resmileştirmek amacıyla iyi sipariş teoremi .

Birçok durumda, bu tür bir seçme seçme aksiyomu yürütmesini olmadan yapılabilir; olur bazı ayırt edici özelliği, her sette tam bir element için tutmak için - set sayısı sonlu veya seçim kuralı varsa bu özellikle böyledir. İçin örnek doğal sayılar toplanan setleri olduğunu. Böyle setleri itibaren hep en küçük numarayı seçebilir, örneğin içinde {{4,5,6}, {10,12}, {1,400,617,8000}} en küçük unsurlardır {4, 10, 1}. Bu durumda, "en küçük numarayı seçin" Bir olan seçim fonksiyonu . Sonsuz sayıda kümeler doğal sayılar toplanmıştır bile, her zaman bir dizi üretmek için her kümede en küçük elemanı seçmek mümkün olacaktır. Yani seçim fonksiyonu seçilen elemanların kümesi sağlar. (Varsa Ancak, hiçbir seçim fonksiyonu gerçek sayılar tüm boş olmayan alt kümelerinin koleksiyonu ile tanınır olmayan constructible realse ). Bu durumda, seçme aksiyomu çağrılması gerekir.

Russell bir analoji icat: çift ayakkabı herhangi bir (hatta sonsuz) toplanması için, bir uygun bir seçim elde etmek için her bir çift sol ayakkabı üzerinden almak için; Bu doğrudan bir seçim fonksiyonunu tanımlamak mümkün kılar. Bir İçin sonsuz (hiçbir ayırt edici özelliklere sahip olduğu varsayılır) çorap çiftlerinin toplanması, seçme aksiyomu söz etmeksizin her çiftten bir çorap seçer bir işlevi yapmak için belirgin bir yolu yoktur.

Başlangıçta tartışmalı olsa da, seçim aksiyomu artık çoğu matematikçiler tarafından çekincesiz kullanılır ve bunun standart formunda yer almaktadır aksiyomatik küme kuramı , Zermelo-Fraenkel Seçim aksiyomu (teori ile set ZFC ). Bu kullanım için bir motivasyon gibi genel kabul görmüş matematiksel sonuçların, bir dizi olmasıdır Tychonoff teoremi , onların provalar için seçme aksiyomu gerektirir. Çağdaş seti teorisyenleri de gibi seçim belitinin ile uyumlu değildir aksiyomlarını incelemek belirli olmasıyla aksiyomuna . Seçim aksiyomu bazı çeşitleri önlenir yapıcı matematik seçme aksiyomu sarıldığı yapıcı matematik çeşitleri olmasına rağmen,.

Beyan

Bir seçim işlevi bir işlevdir f koleksiyonu üzerinde tanımlı, X böyle her set için bu boş olmayan setleri, A içinde X , f ( A ) bir elementtir bir . Bu konsept ile, aksiyomu ifade edilebilir:

Axiom  -  herhangi bir set için X boş olmayan kümeleri, bir seçim işlevi vardır f üzerinde tanımlı X .

aşağıdaki gibi Biçimsel olarak, bu ifade edilebilir:

Böylece, seçim belitinin yadsınması hiçbir seçim işlevi vardır nonempty setlerinin bir koleksiyon var olduğu belirtilmektedir.

Koleksiyonu üzerindeki her seçim fonksiyonu X boş olmayan kümeler bir unsurdur Kartezyen ürünün içinde setlerinin X . Bu bir Kartezyen ürünün en genel durum değil ailenin belirli bir kümesi kez bir faktör olarak daha oluşabilir setleri; Ancak biri aynı elemanını verilen bir dizi faktör olarak görünen her saati seçmek ve bu elemanlar tüm Kartezyen ürünün bir unsuru karşılık böyle bir ürünün unsurları odaklanmak ayrı ailede setleri. Seçme aksiyomu bu elemanların varlığını öne sürer; o nedenle eşdeğerdir:

Boş olmayan kümelerinin herhangi aile göz önüne alındığında, bunların Kartezyen ürün boş olmayan bir kümesidir.

İsimlendirme ZF, AC ve ZFC

Bu madde ve Seçme Axiom diğer görüşmelerde aşağıdaki kısaltmalar yaygındır:

  • AC - Seçme aksiyomu.
  • ZF - zermelo-freankel küme kuramı Seçme Axiom ihmal.
  • ZFC - Zermelo-Fraenkel, küme teorisi Seçme aksiyomu kapsayacak şekilde genişletilmiştir.

Varyantlar

Seçim aksiyomu başka birçok eşdeğer ifadeler vardır. Bunlar küme kuramının diğer temel aksiyomları varlığında, bunlar seçme aksiyomu ima ve onun tarafından ima edilmektedir, anlamda eşdeğerdir.

Bir varyasyon aralığı ile her seçim fonksiyonunu yerine, aslında, tarafından seçim fonksiyonlarının kullanımını önler.

Herhangi seti Verilen X arasında ikili ayrık boş olmayan setleri, en az bir set vardır C içinde setlerinin her biriyle ortak tam olarak bir öğe içeriyor X .

Bu, herhangi bir için garanti bir dizi bölünmesi X bir alt varlığı C arasında X bölmenin her bir kısmından tam olarak bir elemanı ihtiva etmektedir.

Başka eşdeğer aksiyomu sadece koleksiyonları dikkate X aslında diğer setleri powersets şunlardır:

Herhangi bir grubu A için, güç grubu (uzaklaştırıldı boş dizi A) bir seçim işlevi vardır.

Bu formülasyon kullanmak Yazarlar sıklıkla söz A seçim fonksiyonu , ancak bu seçim işlevinin biraz farklı bir kavram olduğunu hatırlatırız. Onun alanı içinde POWERSET olan A (boş seti çıkarılmış) ve böylece herhangi kümesi için mantıklı A bu yazıda başka yerde kullanılan tanımıyla, bir bir seçim işlevin tanım ise setlerinin koleksiyonu bu koleksiyon ve yani sadece setleri setleri için mantıklı. Seçim fonksiyonunun bu alternatif kavramı ile, seçim aksiyomu kompakt olarak ifade edilebilir

Her set bir seçim işlevi vardır.

bu eşdeğerdir

Herhangi bir grubu A için bir işlevi yoktur f olmayan herhangi bir boş alt kümesi, B için bu tür A , f ( B ) 'de yer alan B .

aksiyomu olumsuzlaması Böylece şu şekilde ifade edilebilir:

Bir dizi vardır bir bütün fonksiyonlar için böyle f (olmayan boş alt kümelerinin sette A ), bir var oda böyle f ( B ) 'de yatmıyor B .

sonlu kümeler için Kısıtlama

Seçim belitinin deyimi boş olmayan kümeler kolleksiyonu sonlu veya sonsuz olup olmadığını belirlemek ve böylece her ima etmez sonlu toplama boş olmayan kümeler bir seçim işlevi vardır. Bununla birlikte, bu özel durumda Zermelo-Fraenkel seçim belitinin (ZF) olmadan teori ayarlanmış bir teoremi olduğu; kolayca ile kanıtlanır tümevarım . Bir koleksiyonun da basit durumda bir seti, seçim fonksiyonu sadece bir elemana uyar, böylece Seçim belitinin bu örnek boş olmayan her set bir öğe olduğunu söyler; bu trivially tutar. Seçim aksiyomu keyfi koleksiyonlara bu özelliğin genelleme, sonlu koleksiyonları için zaten aşikar, iddia olarak görülebilir.

kullanım

Henüz resmi olarak belirtilmiş olmasaydı rağmen 19. yüzyıl sonlarına kadar, seçim aksiyomu genellikle dolaylı olarak kullanılmıştır. Örneğin, sonra kümesi olduğunu tespit ettikten X sadece boş olmayan kümeleri içeren bir matematikçi "let diyebilirdin F (ler) üyelerinden biri s herkes için s içinde X ". Genel olarak, kanıtlamak mümkün değildir F Seçim aksiyomu olmadan var, ancak bu kadar fark edilmeden gitmiş gibi görünüyor Zermelo .

Her durum seçme aksiyomu gerektirir. Sonlu kümeler için X , seçme aksiyomu küme kuramı diğer aksiyomlarından izler. Bu durumda, biz kutuları (sınırlı sayıda), her içeren en az bir öğe birden varsa, o zaman her kutudan tam olarak bir öğe seçim söylemeye eşdeğerdir. Açıkçası biz bunu yapabilirsiniz: Biz ilk kutu başlar, bir öğeyi seçin; Bir öğeyi seçmek, ikinci kutuya gidin; ve bunun gibi. Kutu sayısı sonlu, yani sonuçta bizim seçim prosedürü sona erer. Böylece seçtik ilk elemana ilk kutuyu alan bir fonksiyon, seçtik ikinci elemana ikinci kutu ve: Sonuç açık bir seçimdir fonksiyonudur. (Bütün sonlu kümeler için resmi bir kanıtı ilkesini kullanmak istiyorsunuz matematiksel tümevarım kanıtlamak için "Her doğal sayı için k , her aile k nonempty setleri bir seçim işlevi vardır.") Bu yöntem, ancak, her sayılabilir olduğunu göstermek için kullanılamaz tarafından iddia edildiği gibi boş olmayan kümeler ailesi, bir seçim işlevi vardır sayılabilen seçim aksiyomu . Yöntem, sonsuz dizisine uygulandığı takdirde ( X i  : i boş olmayan setleri ∈ω) "terimi, bir işlevi, her sonlu aşamasında elde edilir, ancak hiçbir orada tüm aile için bir seçim işlevi inşa edildiği bir aşamadır, ve sınırlayıcı" seçim işlevi seçim belitinin olmadan ZF de, genel olarak, imal edilebilir.

Örnekler

Koleksiyondaki bireysel nonempty setlerinin yapısı mümkün bile belli sonsuz koleksiyonları için seçme aksiyomu önlemek için yapabilir. Örneğin, toplama her bir üyesi olduğunu varsayalım X doğal sayıların boş olmayan bir alt kümesidir. Her tür alt kümesi böylece biz sadece o setin az elemana her set eşler söyleyebiliriz bizim seçim işlevini belirtecek bir en küçük elemanı vardır. Bu bize her setten bir elemanın kesin seçim sağlar ve gereksiz seçme aksiyomu uygulamak mümkün kılar.

Her setten elementlerin doğal bir seçim olduğunda zorluk görünür. Biz açık seçimler yapmak yapamıyorsanız, nasıl bizim dizi var olduğunu biliyoruz? Örneğin, varsayalım X tüm boş olmayan alt kümelerinin kümesidir gerçek sayılar . Sanki Öncelikle devam etmek deneyebilirsiniz X sonlu idi. Her setten bir öğeyi seçmek çalışırsanız, çünkü o zaman, X, sonsuzdur, bizim seçim prosedürü sona gelmeyecek ve dolayısıyla biz hepimiz için seçim fonksiyonunu üretmek mümkün asla X . Sonra her kümeden en az eleman belirterek deneyebilirsiniz. Ancak gerçek sayıların bazı alt kümeleri az öğelerine sahip değildir. Örneğin, açık aralığı (0,1) en az bir elemana sahip değildir: Eğer X (0,1) 'de, daha sonra so x / 2 ve x / 2, her zaman daha sıkı bir şekilde daha küçüktür x . Yani bu girişim de başarısız olur.

Buna ek olarak, örneğin birim çember dikkate S ve eylem S bir grup ile G bütün rasyonel dönüş oluşan. Yani, bu rasyonel katları olan açıların rotasyonlar olan  tt . İşte G ise sayılabilen olan S sayılamayan olduğunu. Bu nedenle S altında sayılamayacak bir çok yörüngelere kırılır  G . Seçme aksiyomu kullanarak, bir sayılamaz alt kümesi elde edilmesi, her yörüngeden tek bir noktadan almak olabilir X ve S , G tarafından tercüme tümünden ayrık olan özelliği ile  X . Bunların kümesi bölümler tüm ikili uyumlu olan ayrık kümeler, bir sayılabilir koleksiyon haline daireyi çevirir. Yana X, herhangi bir dönme değişmeyen sayılabilir katkı sonlu tedbir için ölçülebilir değildir S , her yörüngedeki bir noktasını seçmek için bir algoritma bulma, seçme aksiyomu gerektirir. Bkz olmayan ölçülebilir bir set daha fazla ayrıntı için.

Doğal sayılar alt kümelerinden en az elemanlarını seçebileceksiniz nedeni doğal sayılar ediliyor olması iyi sıralı : Doğal sayıların boş olmayan her alt kümesi doğal sıralamadan altında eşsiz az bir element vardır. Bir gerçek sayılar olağan sipariş çalışmıyor olsa da, O zaman seçim işlevi her setin az eleman seçebilirsiniz. İyi sipariş olan gerçek sayılar farklı bir sipariş bulmak mümkün olabilir" diyebilir bizim olağandışı sipariş altında." O zaman sorun kendi varlığı için seçme aksiyomu gerektirecek çıkıyor iyi sıralamalarını, inşa etmenin o olur; ve seçim aksiyomu tutan yalnızca eğer her ayarlamak iyi sipariş edilebilir.

Eleştiri ve kabul

Açıkça olmadan bir nesnenin varlığını kurabilir seçme aksiyomu gerektiren bir kanıtı tanımlayan küme kuramı dilinde nesne. Seçim aksiyomu bir olduğunu ima Örneğin, iyi sipariş reel sayılar, reals hiçbir iyi sipariş tanımlanabilen olduğu seçim belitinin ile küme kuramı modelleri vardır. Değil gerçek sayıların bir alt kümesi rağmen Benzer şekilde, ölçülebilir Lebesgue seçme aksiyomu kullanarak varolmaya ispatlanabilir, öyle tutarlı böyle bir set tanımlanabilir olduğunu.

Seçim aksiyomu bazı felsefi ilkeler çakışabilir bu gayri maddi (mevcut olduğu kanıtlanmıştır, ancak bunlar açıkça inşa edilemeyen nesneler), varlığını kanıtlar. Hiçbir olmadığından kanonik tüm setleri iyi sıralama, (genellikle olduğu gibi bir kanonik sonuç isteniyorsa bile, bir kanonik sonuç vermeyebilir iyi sipariş dayanan bir yapı kategorisi teorisi ). Bu seçim belitinin kullanımına karşı bir argüman olarak kullanılmaktadır.

Seçim aksiyomu başka görüşe göre de mantığa aykırı gibi görünebilir nesnelerin varlığını ima etmesidir. Bir örnek Banach-Tarski paradoksu Aslı gibidir hacmi ile her sonlu sayıda parçaya 3 boyutlu katı birim topu ayrıştırmak ve sadece rotasyonlar ve çevirileri kullanarak, iki katı toplar haline parçaları yeniden birleştirmek mümkün olduğunu söylüyor . Seçme aksiyomu kullanılarak inşa bu ayrışmasına yol adet vardır olmayan ölçülebilir kümeler .

Bu görünüşte rağmen paradoksal gerçekler, çoğu matematikçi matematikte yeni sonuçlar kanıtlayan için geçerli bir ilke olarak seçme aksiyomu kabul ediyoruz. ZFC (ZF artı AC) bir teoremi olduğunda tartışma o notun kabul edilir, ancak, yeterince ilginç mantıksal eşdeğer Seçim aksiyomu için (sadece ZF aksiyomları ile) ve matematikçiler belitini gerektiren sonuçlarını ararız kesinti bu tür gerçek olamayacak kadar seçme aksiyomu gerektirir tip daha az yaygın olmakla birlikte seçim, yanlış olduğu.

Seçim ne de inkar belitini ne kullanarak birçok teoremlerini ispat etmek mümkündür; bu gibi açıklamaların hiçbirinde gerçek olacak modelin bakılmaksızın söz konusu modelde Seçim belitinin doğru veya yanlış olması, ZF. ZF kısıtlama seçim belitinin ya da yadsınması kanıtlanamayan ya dayanıyor herhangi bir iddia oluşturur. Örneğin, Banach-Tarski paradoks yalnız ZF kanıtlanabilir ne de disprovable ne şudur: ZF içinde birim topun gerekli ayrışma inşa etmek mümkün değil ama aynı zamanda kanıtlanması imkansız böyle bir ayrışma yoktur. Benzer şekilde, aşağıda listelenen tüm ifadeler bunların kendi kanıt seçim ya da bazı zayıf sürümünü gerektirir ZF içinde kanıtlanamayan, ama her ZF içinde kanıtlanabilir artı seçim aksiyomu olduğundan, burada her ifade doğrudur ZF modelleri vardır. Böyle Banach-Tarski paradoksu olarak Tablolar "AC tutsaydı Banach-Tarski paradoksu içinde ayrışma var." Örneğin, koşullu ifadeleri olarak rephrased edilebilir Orijinal tablolar ZF ve seçim aksiyomundan kanıtlanabilir olduğunda Böyle koşullu ifadeler ZF de kanıtlanabilir bulunmaktadır.

yapıcı matematik

Yukarıda ele alındığı gibi, ZFC olarak, seçme aksiyomu "verebilmektedir yapısal olmayan deliller açık bir örneği inşa edilmiştir, ancak bir nesnenin varlığı kanıtlanmıştır edildiği". ZFC Ancak yine de klasik mantık biçimlendirilmiştir. Seçim aksiyomu da iyice olmayan klasik mantık kullanılır yapıcı matematik, bağlamında incelenmiştir. Seçim belitinin durumu yapıcı matematik farklı çeşitleri arasında değişir.

In Martin-Löf tipi teorisi ve daha yüksek mertebeden Heyting aritmetik , seçim belitinin uygun beyanı (yaklaşıma bağlı olarak) bir teoremi olarak bir aksiyom veya kanıtlanabilir olarak dahil olduğunu. Errett Bishop seçim aksiyomu söyleyerek yapıcı kabul edilebilir olduğunu iddia

Bir seçim varlığının çok anlamı ima çünkü bir seçim fonksiyonu, yapıcı matematik bulunmaktadır.

Gelen yapıcı set teorisi , ancak, Diaconescu teoremi seçim aksiyomu ima göstermektedir dışlanmış orta yasasını (görünmüyorsa, nerede Martin-Löf tipi teoride aksine). Böylece seçim aksiyomu yapıcı küme kuramı genellikle mevcut değildir. Bu farkın bir nedeni tipi teoride seçim aksiyomu sahip olmamasıdır Genişletilebilirlik yapıcı set teoride seçme aksiyomu yapar özelliklerini.

Yapıcı set teoride bazı sonuçlar kullanmak sayılabilir seçme aksiyomu veya bağımlı seçim belitinin yapıcı seti teoride dışlanmış orta yasasını ima etmez. Özellikle sayılabilir seçim aksiyomu yaygın yapıcı matematik kullanılmasına rağmen, kullanımı da sorgulanmıştır.

Bağımsızlık

1938 yılında, Kurt Gödel gösterdi olumsuzluk seçim belitinin bir oluşturarak ZF bir teoremi değildir iç modeli ( inşa edilebilir evrenin ZFC ZF kendisi tutarlı ise tutarlı olduğunu gösteren ve böylece ZFC tatmin) ve benzerleri. 1963 yılında Paul Cohen tekniği kullandığı zorlayarak ZF tutarlı olduğunu varsayarak, tercih kendisinin aksiyomu ZF¬C karşılayan bir çok daha karmaşık bir model oluşturarak ZF bir teoremi değil (ZF: göstermek için, bu amaç için geliştirilmiş, AC değilleyerek aksiyomu) ve bu nedenle ZF¬C tutarlı olduğunu gösteren olarak ilâve edilmiştir. Bu sonuçlar birlikte seçim aksiyomu olduğunu kurmak mantıksal olarak bağımsız ZF. Zaten tutarsız sisteme başka aksiyom ekleyerek durumu daha da kötüleştirebilir çünkü ZF tutarlıdır varsayım zararsızdır. Çünkü bağımsızlık, bir kanıtı tercih belitini (veya inkarını) kullanılıp kullanılmayacağını karar küme kuramının diğer varsayımlarına itiraz tarafından yapılamaz. Karar diğer gerekçelerle yapılması gerekir.

Seçme aksiyomu kullanarak lehine verilmiş bir argüman o bir aksi ispat edilememiştir bazı basitleştirerek önermeleri ispatlamak için izin verir çünkü bunu kullanmak daha uygun olmasıdır. Seçim kullanarak kanıtlanabilir olan birçok teoremleri zarif genel karakteri vardır: Her İdeal bir halka içinde bir bulunan maksimal ideali , her vektör uzayı bir sahiptir temelini ve her ürünün içinde dar alanlar kompakt. Seçim aksiyomu olmadan, bu teoremler büyük cardinality matematiksel nesneler için geçerli olmayabilir.

Bağımsızlık sonucu kanıtı da dilinde ifade edilebilir tüm beyanlar dahil matematiksel ifadeleri, geniş bir sınıf olduğunu göstermektedir Peano aritmetik onlar ZFC içinde kanıtlanabilir ve sadece eğer, ZF içinde kanıtlanabilir bulunmaktadır. Bu sınıftaki Tablolar deyimi içerdiğini p = NP , Riemann hipotezi ve diğer birçok faili matematiksel problemleri. Biri bu sınıftaki sorunları çözmek için çalıştığında, tek soru bir kanıtı varlığı ise ZF veya ZFC istihdam olup olmadığını hiç fark etmez. Bu ZF daha ZFC bir teoremin daha kısa kanıtı olduğunu, ancak mümkündür.

Seçim aksiyomu ZF bağımsızdır tek önemli açıklama değildir. Örneğin, genel bir süreklilik hipotezi (GCH) ZF bağımsız, fakat, aynı zamanda ZFC bağımsız ibaret değildir. Ancak, ZF artı GCH onlar ZF her iki bağımsız olmasına rağmen, GCH AC 'den kesinlikle daha güçlü iddia yapım AC ima eder.

Daha güçlü aksiyomlar

Constructibility beliti ve genelleştirilmiş süreklilik hipotezi her böylece seçme aksiyomu ima ve kesinlikle buna daha güçlüdür. Gibi sınıf teorilerine Von Neumann-Bernays-Gödel teorisi set ve mors-Kelley teorisini set adı verilen bir aksiyomu, orada küresel seçim aksiyomu aynı zamanda uygun sınıflara geçerlidir çünkü setleri için seçim belitinin daha güçlüdür. Küresel seçim aksiyomu izler büyüklükte sınırlamanın aksiyomuna .

Benzerleri

Aksiyomlarını varsayarak önemli ifadeleri vardır ZF ama ne ac ne de ¬AC, seçim belitinin eşdeğerdir. Bunların arasında en önemli olan Zorn'un lemması ve iyi sipariş teoremi . Aslında, Zermelo başlangıçta iyi sipariş teoremi onun kanıtı resmileştirmek amacıyla seçme aksiyomu tanıtıldı.

Kategori teorisi

Birkaç sonuç yok kategori teorisi kendi ispat için seçme aksiyomu çağırmak. Bu sonuçlar teknik temeller gücüne bağlı olarak seçim belitinin daha daha zayıf eşdeğer veya daha güçlü olabilir. Biri setleri açısından kategorilerini tanımlıyorsa nesneler ve Morfizmlerin setleri (genellikle denilen Örneğin, yani, küçük kategori ) veya kimin hom-nesneler setleri bile lokal olarak küçük kategorileri, o zaman hiç yoktur bütün setleri kategorisi bir kategori-teorik formülasyonu tüm setleri için geçerli olmasını ve bu yüzden zordur. Diğer taraftan, Kategori teorisi diğer temel tanımları önemli ölçüde daha güçlü olan ve tercih edilen bir özdeş kategori teorik ifadesi yukarıda belirtilen la sınıfı teorisi, standart formülasyon daha güçlü olabilir.

seçim gerektiren kategori teorisi tabloların örnekleri şunlardır:

  • Her küçük kategori bir sahiptir iskeleti .
  • İki küçük kategoriler zayıf eşdeğerdir, o olurlarsa eşdeğer .
  • Uygun çözüm kümesi koşulu karşılayan küçük tamamlama kategoriye Her kesintisiz funktor bir sahiptir sol eşlenik (Freyd eşlenik funktoru teoremi).

Zayıf formlar

Seçim aksiyomu eşdeğer değildir, ancak yakından ilişkilidir zayıf birkaç ifadeleri vardır. Bir örnek olarak, bir seçim aksiyomu (DC). Bir hâlâ zayıf örnektir sayılabilen seçim aksiyomu (AC ω bir seçim fonksiyonu boş olmayan kümelerinin herhangi sayılabilir seti için var olduğunu bildiren veya CC). Bu aksiyomlar ilköğretim birçok provalar için yeterli matematiksel analiz ve seçim tam aksiyomundan disprovable olan bu tür reals tüm setleri Lebesgue ölçülebilirlik gibi bazı ilkelere, tutarlıdır.

Diğer seçenek seçme aksiyomu şunlardır daha zayıf aksiyomlarının Boole asal ideal bir teoremi ve tipleşmesine belitini . Eski bir varlığına ZF eşdeğerdir ultrafıltre 1930'da Tarski ispat verilen her filtre ihtiva etmektedir.

bunun daha ac (ya da zayıf formlar) gerektiren sonuçlar ancak daha zayıf

Seçim aksiyomu en ilginç yönlerinden biri de gösterir matematik yerlerin büyük bir sayıdır. İşte onlar ZF kanıtlanabilir değildir ama ZFC (ZF artı AC) den kanıtlanabilir olması anlamında seçme aksiyomu gerektiren bazı beyanlardır. Eşdeğer, bu ifadeler ZF bazı modellerde ZFC tüm modeller için doğru ama yanlış.

AC Muhtemelen eşdeğer etkileri

Denkliği AC açıktır AC ima birkaç tarihsel açıdan önemli set-teorik ifadeleri vardır. Ac kendisi, ac inanmak için gerekçe olarak Zermelo tarafından atıf önce formüle edilmiş bölüm prensibi. 1906 yılında Russell eşdeğer olarak PP ilan etmesine karşın Bölümü olmadığını Prensip AC hala küme kuramı en eski açık bir problemdir ve diğer tabloların denkliği benzer sert eski açık sorunlardır ima eder. Her yılında bilinen seçim başarısız ZF modeli, bu ifadeler de başarısız, ancak seçim olmadan tutabilir eğer bilinmemektedir.

  • Küme teorisi
    • Bölme prensibi: A dan B ye bir örten varsa, A eşdeğer B'den bir enjeksiyon vardır, bir dizi S her bölüm P ya da daha az boyutta S eşittir.
    • Converse Schröder-Bernstein teoremi : İki set birbirine surjections varsa, bunlar equinumerous bulunmaktadır.
    • Zayıf bölüm prensibi: Bir S kümesinin bir bölümü bu zaten olmayan bir ölçülebilir seti varlığını ima S. ise WPP tutan daha sıkı büyük olamaz. önceki üç tabloların her biri bir öncekinin ima edilir, ancak bu etkileri herhangi ters olabilir eğer bilinmemektedir.
    • kardinal dizisini azalan bir sonsuz yoktur. denklik 1905 yılında Schoenflies tarafından varsayılmı¸tır.
  • Soyut cebir
    • Hahn gömme teoremi : her sıralı değişmeli G grubu katkı grubu ℝ alt grubu sipariş gömer Ê Ê Q'nın Arşimet denklik sınıfları grubu olan bir sözlük sırasını, sahip. Bu denklik 1907 yılında Hahn tarafından varsayılmı¸tır.

AC yadsınması güçlü formları

Şimdi, AC yadsınması daha güçlü formları düşünün. Örneğin, BP tarafından gerçek sayılar her kümesi vardır iddiayı kısaltmak eğer Baire özelliği , daha sonra BP boş olmayan kümeler belki de sadece tek bir sette herhangi bir seçim fonksiyonunun yokluğunu iddia ¬AC, daha güçlüdür. Negations AC zayıflamış formları ile uyumlu olabilir güçlendirdi unutmayın. Örneğin, ZF + DC + BP ZF ise, tutarlıdır.

Ayrıca reals her kümesidir ZF + DC ile tutarlıdır Lebesgue ölçülebilir ; Ancak nedeniyle bu tutarlılık sonucu, Robert M. Solovay , ZFC kendisinde olduğu kanıtlanmıştır ancak hafif bir gerektirir edilemez büyük ana varsayımı (bir varlığı erişilemez kardinal ). Çok daha güçlü belirlilik beliti veya AD, reals her seti Lebesgue, ölçülebilir Baire özelliğine sahiptir ve sahip olduğu ima mükemmel set özelliği (Bu sonuçların her üç AC kendisi reddedilmektedir). ZF + DC + REKLAM yeterince güçlü bir büyük ana aksiyomu (sonsuz sayıda varlığı tutarlı olması koşuluyla tutarlıdır Woodin cardinals ).

aksiyomatik küme kuramı Quine sistemi "Yeni Vakıflar" (NF), başlık onu tanıttı 1937 yazının ( “Matematiksel Mantık için yeni Vakıflar”) adını alır. NF aksiyomatik sistemde, seçim aksiyomu çürüttü edilebilir.

AC yadsınması ile tutarlı Tablolar

seçim aksiyomu yanlış olduğu Zermelo-Fraenkel küme kuramı modeli vardır. Biz ZF¬C tarafından "Zermelo-Fraenkel teori artı Seçim aksiyomu yadsınması set" kısaltmak zorundadır. ZF¬C belirli modelleri için bazı standart gerçeklerin olumsuzlamasıydı kanıtlamak mümkündür. ZF¬C herhangi bir model ayrıca ZF bir modeldir, bu nedenle aşağıdaki ifadelerden her biri için, bu ifade doğru olduğu ZF modeli vardır unutmayın. Aşağıdaki ifadelerden her biri için, bu doğrudur ZF¬C bazı modeli vardır:

  • Bazı modelde, orijinal resim öğeleri vardır kesin daha fazla denklik sınıfa bölünebilir bir dizi ve, etki alanı da aralıktan daha küçük olan bir katı işlevi yoktur. Aslında, bunların hepsi olduğu bilinen modeller.
  • Orada bir fonksiyonu olan ön bu şekilde gerçek sayılar gerçek sayılar için ön sürekli olmayan bir , ancak f olduğu sıralı, sürekli olarak bir herhangi bir dizi {için, diğer bir deyişle x n yakınsak} bir lim n f ( x , n ) = f (a) '.
  • Bazı modelde, bir sayılabilir sonsuz alt kümesi olmadan gerçek sayıların sonsuz kümesi vardır.
  • Bazı modelde, gerçek sayılar sayılabilir setleri sayılabilir birliği vardır.
  • Bazı modelde, hiçbir cebirsel kapanması ile bir alan vardır.
  • ZF¬C tüm modellerinde herhangi bir dayanağı olmayan bir vektör uzayı vardır.
  • Bazı modelde, içerisinde farklı kardinallikleri iki bazlı bir vektör boşluk vardır.
  • Bazı modelde ücretsiz olduğunu tam boolean cebir sayılabilir birçok jeneratörlerini.
  • Bazı modelde olduğu doğrusal olarak sipariş edilemez bir dizi .

Delillerinden için bkz JECH (2008) .

tip teoride seçim aksiyomu

In tip teorisi , ifadenin farklı bir tür seçim belitinin olarak bilinir. Bu şekilde, iki σ türleri ve t alınmak ve ilişki ile başlayan R tipi σ nesneleri ve tip t alınmak nesneler arasındaki. Seçme aksiyomu bildiren her biri için, eğer x bir vardır σ Çeşidi y tipi t alınmak gibi olduğu R ( x , y ), daha sonra bir işlevi yoktur f tipi t alınmak nesnelere tipi σ nesnelerinden öyle ki R ' ( X , f ( x )), tüm için de geçerlidir x türü σ arasında:

Grubu teorik olarak farklı olarak, tip teorik olarak seçme aksiyomu tipik olarak olarak belirtilmiştir belit düzeni ki burada, R, tüm formüllerde ya da belirli bir mantıksal formunun bütün formülleri üzerinde çeşitlilik gösterir.

tırnak işareti

Seçme aksiyomu, kuşkusuz doğrudur , iyi sipariş ilke açıkça yanlış ve kimin söyleyebilir Zorn'un lemma ?

Bu bir şaka değil: Üç ​​hepsi matematiksel olarak denk olmasına rağmen, birçok matematikçiler iyi sipariş ilke mantığa aykırı olduğu, tercih aksiyomu sezgisel olarak görüyorum ve Zorn'un lemma herhangi sezgisi çok karmaşık olması.

Seçme aksiyomu sonsuz çorap çiftlerinin sayısına değil gelen çift ayakkabı sonsuz sayıda bir dizi seçmek gereklidir.

Burada gözlem bir sol ayakkabıyı seçebilir, örneğin belirterek çift ayakkabı sonsuz sayıda seçmek için bir fonksiyon tanımlama olabilir. Seçim aksiyomu olmadan, tek sol ve sağ çorap (tahminen) ayırt edilemez çünkü böyle bir fonksiyon, çorap çiftleri için var olduğunu iddia edemez.

Tarski [AC "her sonsuz grubu arasında denklik yaptığı teoremi yayınlamak için güvenilir bir aynı önem düzeyi olan bir  x  A içinde," yukarı bakınız] Comptes Rendus ancak Frechet ve Lebesgue sunmak belirtti. Fréchet iki iyi bilinen [gerçek] önermeler arasında bir ima yeni sonuç olmadığını yazdı ve Lebesgue iki yanlış önermeler arasında bir ima hiçbir ilgi olduğunu yazdı.

Polonya asıllı Amerikalı matematikçi Jan Mycielski AMS Notices 2006 makalesinde bu anekdot ile ilgilidir.

aksiyomu matematikçiler diğer varsayımlarına tercih çünkü adını alır.

Bu alıntı ünlü gelir Nisan Bir makalenin bilgisayar canlandırmaların sütununun Scientific American , Nisan 1989.

notlar

Referanslar

: Tercüme Jean van Heijenoort , 2002 Gödel için Frege Gönderen: Matematiksel Mantık A Kaynak Kitabı, 1879-1931 . Yeni baskı. Harvard University Press . ISBN  0-674-32449-8
  • 1904. "her ayarlamak iyi sipariş edilebilir Kanıtı," 139-41.
  • 199-215 1908 "küme kuramı Ben temelleri soruşturmalar".

Dış bağlantılar