Sonlu kesişim özelliği - Finite intersection property

Olarak genel topoloji , bir dalı matematik , boş olmayan bir aile bir bir alt- a grubu olduğu söylenir sonlu kesişim özelliği ise (FIP) kesişme herhangi sonlu subcollection fazla olan boş olmayan . Herhangi bir sonlu alt toplama üzerindeki kesişim sonsuz ise, güçlü sonlu kesişim özelliğine (SFIP) sahiptir . ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili A}$ ${\görüntüleme stili A}$

Bir setlerinin merkezli sistem sonlu kesişim özellikli setlerinin topluluğudur.

Tanım

Izin kümesi olması ve izin altkümelerini boş olmayan bir aile olacağız endeksli keyfi bir dizi . Koleksiyon , iki veya daha fazla kümenin herhangi bir sonlu alt koleksiyonunun boş olmayan kesişimi varsa, yani her boş olmayan sonlu için boş olmayan bir küme ise, koleksiyon sonlu kesişim özelliğine ( FIP ) sahiptir. ${\görüntüleme stili X}$ ${\mathcal {A}}=\{A_{i}\}_{i\in I}$ ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili I}$ ${\görüntüleme stili {\matematiksel {A}}}$ $\bigcap _{i\in J}A_{i}$ ${\görüntüleme stili J\alt küme I.}$

Eğer setleri boş olmayan bir ailedir sonra aşağıdaki eşdeğerdir: ${\görüntüleme stili {\matematiksel {A}}}$

${\görüntüleme stili {\matematiksel {A}}}$ sonlu kesişim özelliğine sahiptir.
$Π$ -sistem tarafından oluşturulan bir unsur olarak boş bir set yoktur. ${\görüntüleme stili {\matematiksel {A}}}$
${\görüntüleme stili {\matematiksel {A}}}$ bir filtre alt tabanıdır .
${\görüntüleme stili {\matematiksel {A}}}$ bazı ön filtrenin bir alt kümesidir .
${\görüntüleme stili {\matematiksel {A}}}$ bazı uygun filtrenin bir alt kümesidir .

Varyasyonlar

Bir küme ailesi, her sonlu alt ailesinin sonsuz kesişimi varsa , güçlü sonlu kesişim özelliğine (SFIP) sahiptir. ${\görüntüleme stili {\matematiksel {A}}}$ ${\görüntüleme stili {\matematiksel {A}}}$

Tartışma

Boş küme, sonlu kesişim özelliğine sahip herhangi bir koleksiyona ait olamaz. Tüm koleksiyon üzerindeki kesişim boş değilse (özellikle koleksiyonun kendisi boşsa) koşul önemsiz olarak sağlanır ve ayrıca koleksiyon iç içe geçmişse önemsiz bir şekilde karşılanır, yani koleksiyon tamamen dahil etme ile sıralanır ( eşdeğer olarak, herhangi bir sonlu alt koleksiyon için, alt koleksiyonun belirli bir öğesi, alt koleksiyonun diğer tüm öğelerinde bulunur), örneğin iç içe aralıklar dizisi Ancak, bunlar tek olasılık değildir. Örneğin, eğer ve her pozitif tamsayı için unsurları setidir rakam ile bir ondalık genişleme sahip de ^inci ondalık yerinde (sadece almak, o zaman herhangi sonlu kesişim olmayan boş olanlar sonlu birçok yerde ve dinlenme olarak) ancak all for öğesinin kesişimi boştur, çünkü hiçbir öğesinin tüm basamakları sıfırdır. $\sol(0,{\tfrac {1}{n}}\sağ).$ ${\görüntüleme stili X=(0,1)}$ ${\görüntüleme stili ben,}$ $X_{i}$ ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili 0}$ ${\görüntüleme stili ben}$ ${\görüntüleme stili 0}$ ${\görüntüleme stili 1}$ $X_{i}$ $i\geq 1$ ${\görüntüleme stili (0,1)}$

Uygulamalar

Sonlu kesişim özelliği, alternatif bir kompaktlık tanımı formüle etmede yararlıdır :

Teorem : Bir uzay, ancak ve ancak sonlu kesişim özelliğine sahip her kapalı alt küme ailesinin boş olmayan kesişme sahip olması durumunda kompakttır.

Kompaktlığın Bu formülasyon bazı deliller kullanılan Tychonoff teoremi ve sayılamazlığı ait gerçek sayılar (bir sonraki bölüme bakınız).

Teorem - Let olmayan boş kompakt Hausdorff uzay ye uyan kimse noktalı seti olduğunu mülkiyet açık . Sonra ise sayılamayan . ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili X}$

Kanıt

Eğer boş ve açık değilse ve eğer bir nokta ise , kapanması ( ' may ya da olmayabilir ) içermeyen bir mahalle olduğunu göstereceğiz . Farklı olanı seçin (eğer öyleyse, böyle bir for olması gerekiyorsa , aksi takdirde açık bir nokta kümesi olur; eğer bu mümkünse, çünkü boş değildir). Sonra Hausdorff koşulu ile, ayrık mahalleleri tercih ve içinde ve sırasıyla. Sonra bir mahalle olacak içinde içeriyordu kimin kapatma içermediği olarak istenen. ${\ Displaystyle U\subseteq X}$ ${\görüntüleme stili x}$ ${\görüntüleme stili X,}$ ${\görüntüleme stili V\altküme U}$ ${\görüntüleme stili x}$ ${\görüntüleme stili x}$ ${\görüntüleme stili U}$ ${\ Displaystyle y\ U}$ ${\görüntüleme stili x}$ ${\ Displaystyle x\ U}$ ${\görüntüleme stili y}$ ${\görüntüleme stili U}$ $x\U\değil,$ ${\görüntüleme stili U}$ ${\görüntüleme stili W}$ ${\görüntüleme stili K}$ ${\görüntüleme stili x}$ ${\görüntüleme stili y}$ ${\ Displaystyle K\cap U}$ ${\görüntüleme stili y}$ ${\görüntüleme stili U}$ ${\görüntüleme stili x}$

Şimdi varsayalım bir olan bijection ve izin göstermektedirler görüntü ait Let ilk açık kümesi ve bir mahalle tercih kimin kapatma içermeyen bir mahalle seçin İkincisi olan kapatma içermeyen bir mahalle seçimi sayede bu işleme devam kimin kapatma içermiyor Sonra koleksiyon sonlu kesişim özelliğini karşılar ve bu nedenle onların kapanışlarının kesişimi, kompaktlığı tarafından boş değildir. Bu nedenle, bu kesişimde bir nokta vardır. Hiçbir çünkü bu kesişme ait olabilir kapatılmasına ait olmayan bu araçlarla eşit değil herkes için ve değil örten ; bir çelişki. Bu nedenle, sayılamaz. $f:\mathbb {N} \to X$ $\sol\{x_{i}:i\in \mathbb {N} \sağ\}$ ${\görüntüleme stili f.}$ ${\görüntüleme stili X}$ $U_{1}\subset X$ ${\görüntüleme stili x_{1}.}$ $U_{2}\subset U_{1}$ $x_{2}.$ $U_{n+1}\subset U_{n}$ $x_{n+1}.$ $\sol\{U_{i}:i\in \mathbb {N} \sağ\}$ ${\görüntüleme stili X.}$ ${\görüntüleme stili x}$ $x_{i}$ $x_{i}$ ${\görüntüleme stili U_{i}.}$ ${\görüntüleme stili x}$ $x_{i}$ ${\görüntüleme stili ben}$ ${\görüntüleme stili f}$ ${\görüntüleme stili X}$

Teoremin ifadesindeki tüm koşullar gereklidir:

1. Hausdorff koşulunu ortadan kaldıramayız; ayrık olmayan topolojiye sahip sayılabilir bir küme (en az iki noktalı) kompakttır, birden fazla noktası vardır ve hiçbir nokta kümesinin açık olmadığı, ancak sayılamayan olmadığı özelliğini karşılar.

2. Rasyonel sayılar kümesinin gösterdiği gibi kompaktlık koşulunu ortadan kaldıramayız .

3. Ayrık topolojiye sahip herhangi bir sonlu uzayın gösterdiği gibi, bir nokta kümelerinin açık olamayacağı koşulunu ortadan kaldıramayız .

Doğal sonucu - Her kapalı aralık ile sayılamayan olduğunu. Bu nedenle, sayılamaz. ${\görüntüleme stili [a,b]}$ ${\görüntüleme stili bir<b}$ $\mathbb {R}$

Sonuç - Her mükemmel , yerel olarak kompakt Hausdorff uzayı sayılamaz.

Kanıt

Izin kompakt mükemmel, Hausdorff uzayı, ardından teoremi hemen ima sayılamayan olduğunu. Eğer mükemmel bir, daha sonra kompakt değil yerel kompakt Hausdorff alandır tek nokta kompaktifikasyonu ait mükemmel, kompakt Hausdorff alandır. Bu nedenle, bir nokta sıkıştırması sayılamaz. Sayılamayan bir kümeden bir noktayı çıkarmak hala sayılamayan bir küme bıraktığından, aynı zamanda sayılamaz. ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili X}$

Örnekler

Bir kümedeki uygun bir filtre , sonlu kesişim özelliğine sahiptir. Bir $π$ -sistem sonlu kesişim özelliğine sahipse ve bir unsuru olarak boş kümesine sahip değildir yalnızca.

teoremler

Sonlu kesişim özelliğine sahip boş olmayan olsun . O zaman öyle bir ultrafiltre (in ) vardır ki ${\görüntüleme stili X}$ $F\subseteq 2^{X}.$ ${\görüntüleme stili F}$ ${\görüntüleme stili U}$ ${\ Displaystyle 2^{X}}$ ${\ Displaystyle F\subseteq U.}$

Ayrıntıları ve kanıtı Csirmaz & Hajnal'da (1994) görün . Bu sonuç, ultrafiltre lemması olarak bilinir .

Referanslar

Dış bağlantılar

"Sonlu kavşak özelliği" . GezegenMath .

Set aileleri ${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}}$ bitti ${\görüntüleme stili\Omega }$
Aşağıdakiler için mutlaka doğrudur ${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}\iki nokta üst üste }$ veya, aşağıdakiler altında kapalıdır: ${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}}$	${\ Displaystyle A\cap B}$	$A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots$	FIP	Yönetmen tarafından ${\ Displaystyle \,\supseteq }$	${\ Displaystyle A\cup B}$	$A_{1}\sqcup A_{2}\sqcup \cdots$	${\begin{alignedat}{4}&A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \,\\&{\text{nerede }}A_{i}\nearrow \end{alignedat}}$	$A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots$	${\ Displaystyle \ Omega \ setminus A}$	${\ Displaystyle A\setminus B}$	$\varnothing \in {\mathcal {F}}$	$\Omega \in {\mathcal {F}}$
$π$ -sistem
𝜆 sistemi (Dynkin Sistemi)			Hiçbir zaman
Halka (Düzen teorisi)
Halka (Ölçüm teorisi)			Hiçbir zaman
δ-Yüzük			Hiçbir zaman
𝜎-Yüzük			Hiçbir zaman
Cebir (Alan)			Hiçbir zaman
𝜎-Cebir (𝜎-Alan)			Hiçbir zaman
çift ideal
Filtre									Hiçbir zaman	Hiçbir zaman	$\varnothing \değil \in {\mathcal {F}}$
Ön filtre (Filtre tabanı)									Hiçbir zaman	Hiçbir zaman	$\varnothing \değil \in {\mathcal {F}}$
Filtre alt tabanı									Hiçbir zaman	Hiçbir zaman	$\varnothing \değil \in {\mathcal {F}}$
topoloji			Hiçbir zaman
Aşağıdakiler için mutlaka doğrudur ${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}\iki nokta üst üste }$ veya, aşağıdakiler altında kapalıdır: ${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}}$	sonlu kavşaklar	sayılabilir kavşaklar	Sonlu Kesişme Özelliği	aşağıya doğru yönlendirilmiş	sonlu birlikler	sayılabilir ayrık birlikler	sayılabilir artan birlikler	sayılabilir sendikalar	tamamlar içinde ${\görüntüleme stili\Omega }$	göreceli tamamlayıcılar	içerir ${\görüntüleme stili\varhiçbir şey}$	içerir ${\görüntüleme stili\Omega }$
Tüm ailelerin boş olmadığı varsayılır. $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ keyfi elemanları, ikili ayrık kümelerin bir birleşimini belirtir ( ayrık birleşim olarak adlandırılır ). Ayrıca, bir semiring bir olduğunu $π$ -sistem her tamamlayıcısı nerede içinde sonlu kümeler ayrık birleşimine eşit bir semialgebra bir o içeren semiring olan bir monoton sınıfı sayılabilen artan sendikalar ve sayılabilen azalan kavşaklar hem altında kapalı olan bir ailedir. ${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}.}$ ${\ Displaystyle \,\sqcup \,}$ ${\ Displaystyle B\setminus A}$ ${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}.}$ ${\görüntüleme stili\Omega .}$

Languages

In other projects