Setlerin alanı - Field of sets

In matematik , bir setlerinin alan bir olan matematiksel yapının bir çift oluşan bir oluşan seti ve bir ailenin bir alt kümelerinin arasında bir adlandırılan üzerine cebir o içeren boş bir set bir unsuru olarak ve alma operasyonları kapsamında kapalıdır tamamlar içinde sonlu sendikalar , ve sonlu kesişimler . ${\görüntüleme stili (X,{\matematiksel {F}})}$ ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X,}$

Kümelerin alanları , halka teorisindeki alanlarla veya fizikteki alanlarla karıştırılmamalıdır . Benzer şekilde "cebir üstü " terimi Boole cebri anlamında kullanılır ve halka teorisindeki alanlar veya halkalar üzerindeki cebirlerle karıştırılmamalıdır . ${\görüntüleme stili X}$

Küme alanları, Boole cebirlerinin temsil teorisinde önemli bir rol oynar . Her Boole cebri, bir küme alanı olarak temsil edilebilir.

Tanımlar

Setlerinin bir alan bir çift bir oluşan seti ve bir aile ait alt kümeleri arasında bir adlandırılan üzerine cebir o aşağıdaki özelliklere sahiptir: ${\görüntüleme stili (X,{\matematiksel {F}})}$ ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}}$${\görüntüleme stili X,}$${\görüntüleme stili X,}$

1. Altında Kapalı tamamlama içinde${\görüntüleme stili X}$ :

   ${\displaystyle X\setminus F\in {\mathcal {F}}}$      hepsi için ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}.}$

2. İçerir boş grubu (ya da içerir )${\görüntüleme stili X}$ bir unsur olarak:${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}.}$
   • (1)'in geçerli olduğunu varsayarsak, bu koşul (2) şuna eşdeğerdir: ${\displaystyle X\in {\mathcal {F}}.}$
3. Aşağıdaki eşdeğer koşullardan herhangi biri/tümü geçerlidir:
   1. İkili birlikler altında kapalı :

      ${\displaystyle F\cup G\in {\mathcal {F}}}$      hepsi için ${\displaystyle F,G\in {\mathcal {F}}.}$

   2. İkili kavşaklar altında kapalı :

      ${\displaystyle F\cap G\in {\mathcal {F}}}$      hepsi için ${\displaystyle F,G\in {\mathcal {F}}.}$

   3. Sonlu birleşimler altında kapalı :

      ${\displaystyle F_{1}\cup \cdots \cup F_{n}\in {\mathcal {F}}}$     tüm tamsayılar ve hepsi için${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}.}$

   4. Sonlu kesişimler altında kapalı :

      ${\displaystyle F_{1}\cap \cdots \cap F_{n}\in {\mathcal {F}}}$     tüm tamsayılar ve hepsi için${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}.}$

Başka bir deyişle, (aynı kimlik elemanı ile ) Boole cebrinin kuvvet kümesinin bir alt cebirini oluşturur . Birçok yazar kendisini kümelerin alanı olarak adlandırır . Unsurları olarak adlandırılır nokta elemanları ise denir kompleksleri ve olduğu söylenen kabul setleri arasında${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle X\in {\matematiksel {F}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}}$${\görüntüleme stili X.}$

Aşağıdaki ek koşul (4) karşılanırsa , kümeler alanına σ− kümeler alanı denir ve cebire σ-cebiri denir : ${\görüntüleme stili (X,{\matematiksel {F}})}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}}$

4. Aşağıdaki eşdeğer koşullardan herhangi biri/her ikisi geçerlidir:
   1. Sayılabilir birlikler altında kapalı :

      ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty}F_{i}:=F_{1}\cup F_{2}\cup \cdots \in {\mathcal {F}}}$      hepsi için ${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \in {\mathcal {F}}.}$

   2. Sayılabilir kavşaklar altında kapalı :

      ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty}F_{i}:=F_{1}\cap F_{2}\cap \cdots \in {\mathcal {F}}}$      hepsi için ${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \in {\mathcal {F}}.}$

Boole cebirlerinin temsil teorisinde küme alanları

Taş temsili

Rastgele küme için , güç kümesi (veya biraz bilgiç olarak, bu kümenin ve güç kümesinin çifti ) bir kümeler alanıdır. Eğer sonlu (yani, -eleman), daha sonra sonlu (yani, -eleman). Görünüşe göre kümelerin her sonlu alanı ( sonlu ile anlamına gelir, ancak sonsuz olabilir), formun sonlu ile bir temsilini kabul eder ; ters görüntü arasında ve aracılığıyla bire bir yazışma kuran bir işlev anlamına gelir : nerede ve (yani, ). Dikkate değer bir sonuç: eğer sonlu ise komplekslerin sayısı her zaman şu şekildedir:${\görüntüleme stili Y,}$ ${\ Displaystyle 2^{Y}}$${\görüntüleme stili (Y,2^{Y})}$${\görüntüleme stili Y}$${\görüntüleme stili n}$${\ Displaystyle 2^{Y}}$${\ Displaystyle 2^{n}}$${\görüntüleme stili (X,{\matematiksel {F}})}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili (Y,2^{Y})}$${\görüntüleme stili Y}$${\ Displaystyle f:X\'den Y'ye}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}}$${\ Displaystyle 2^{Y}}$${\displaystyle S=f^{-1}[B]=\{x\in X\mid f(x)\in B\}}$${\displaystyle S\in {\matematiksel {F}}}$${\ Displaystyle B\in 2^{Y}}$${\görüntüleme stili B\alt küme Y}$${\ Displaystyle 2^{n}.}$

Bu amaçla, bir seçer tüm dizi için atomuna setleri verilen alanın, ve tanımlanmaktadır ile her bir nokta için ve kompleks bir atom olduğu; ikincisi, farklı olanın boş olmayan bir alt kümesinin karmaşık olamayacağı anlamına gelir . ${\görüntüleme stili Y}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili f(x)=A}$${\ Displaystyle x\ A'da}$${\görüntüleme stili x\in X}$${\ Displaystyle A\in {\Mathcal {F}}}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili A}$

Başka bir deyişle: atomlar ; karşılık gelen bölüm kümesidir ; ve karşılık gelen kanonik tahmindir. ${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili Y}$${\görüntüleme stili f}$

Benzer şekilde, her sonlu Boole cebri bir güç kümesi olarak temsil edilebilir - atom kümesinin güç kümesi ; Boole cebrinin her elemanı, altındaki atom kümesine karşılık gelir (birleşimi elemandır). Bu güç kümesi gösterimi , herhangi bir tam atomik Boole cebri için daha genel olarak oluşturulabilir .

Tam ve atomik olmayan Boole cebirleri durumunda, tam güç kümeleri yerine küme alanlarını göz önünde bulundurarak, yine de güç kümesi temsilini genelleştirebiliriz. Bunu yapmak için önce, sonlu bir Boole cebrinin atomlarının, ultrafiltrelerine tekabül ettiğini ve bir atomun, ancak ve ancak o element, atoma karşılık gelen ultrafiltrede yer alıyorsa, sonlu bir Boole cebrinin bir elemanının altında olduğunu gözlemleriz . Bu bizi, onun ultrafiltreleri setini alarak ve Boole cebrinin her bir elementi ile o elementi içeren ultrafiltreler setini ilişkilendirerek kompleksler oluşturarak bir Boole cebirinin bir temsilini oluşturmaya yönlendirir. Bu yapı gerçekten de Boole cebrinin bir kümeler alanı olarak bir temsilini üretir ve Taş temsili olarak bilinir . Boole cebirleri için Stone'un temsil teoreminin temelidir ve Dedekind kesimlerine benzer şekilde ideallere veya filtrelere dayalı sıra teorisinde tamamlama prosedürünün bir örneğidir .

Alternatif olarak, iki elemanlı Boole cebiri üzerindeki homomorfizmalar kümesi düşünülebilir ve Boole cebirinin her bir elemanını, onu üst elemana eşleyen bu tür homomorfizmler kümesi ile ilişkilendirerek kompleksler oluşturabilir. (Bir Boole cebrinin ultrafiltreleri tam olarak bu homomorfizmalar altındaki en üstteki elemanların ön görüntüleri olduğu için yaklaşım eşdeğerdir.) Bu yaklaşımla, Stone temsilinin aynı zamanda sonlu Boolean cebirlerinin temsilinin bir genellemesi olarak da görülebileceği görülür. doğruluk tabloları .

Ayırıcı ve kompakt küme alanları: Taş ikiliğine doğru

• Bir küme alanına, ancak ve ancak her bir farklı nokta çifti için birini içeren ve diğerini içermeyen bir kompleks varsa, ayırıcı (veya farklılaştırılmış ) denir .
• Kümeler alanı kompakt olarak adlandırılır, ancak ve ancak filtrede bulunan tüm komplekslerin kesişimi üzerindeki her uygun filtre için boş değilse .${\görüntüleme stili X\ }$

Bu tanımlar , bir kümeler alanının kompleksleri tarafından üretilen topolojiyi dikkate alarak ortaya çıkar . (Bu, verilen noktalar kümesindeki dikkate değer topolojilerden yalnızca biridir; genellikle, oldukça farklı özelliklere sahip, özellikle sıfır boyutlu olmayan başka, belki daha dikkate değer bir topoloji verilir). Bir küme alanı verildiğinde , kompleksler bir topoloji için bir temel oluşturur. Karmaşıkların keyfi birleşimlerini alarak topolojinin nerede olduğunu karşılık gelen topolojik uzay ile gösteririz . Sonra ${\displaystyle \mathbf {X} =(X,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle T(\mathbf {X} )}$${\görüntüleme stili (X,{\matematiksel {T}})}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {T}}}$

• ${\displaystyle T(\mathbf {X} )}$her zaman sıfır boyutlu bir uzaydır .
• ${\displaystyle T(\mathbf {X} )}$Bir olan Hausdorff uzay ancak ve ancak separative olduğunu.${\görüntüleme stili \mathbf {X} }$
• ${\displaystyle T(\mathbf {X} )}$kompakt açık kümeleri olan kompakt bir uzaydır , ancak ve ancak kompakt ise.${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}}$${\görüntüleme stili \mathbf {X} }$
• ${\displaystyle T(\mathbf {X} )}$Bir olan Boole alanı ile clopen setleri ancak ve ancak (o varlık olarak tarif edilir ki bu durumda separative ve kompakt hem betimleyici )${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}}$${\görüntüleme stili \mathbf {X} }$

Boole cebrinin Stone temsili her zaman ayırıcı ve kompakttır; karşılık gelen Boole uzayı, Boole cebrinin Stone uzayı olarak bilinir . Taş uzayın klopen kümeleri o halde tam olarak Taş temsilinin kompleksleridir. Stone dualitesi olarak bilinen matematik alanı, Boole cebrinin Stone temsilinin, Boole cebirleri ve Boole uzayları arasında bir dualitenin var olduğu karşılık gelen Stone uzayından tamamen kurtarılabileceği gerçeğine dayanmaktadır .

Ek yapıya sahip küme alanları

Sigma cebirleri ve ölçü uzayları

Kümesi üzerinde bir cebir sayılabilir altında kapalı ise sendikaların (altında da dolayısıyla sayılabilen kavşaklar ), bir denir sigma cebir ve setleri tekabül alan bir denir ölçülebilir uzay . Ölçülebilir bir uzayın komplekslerine ölçülebilir kümeler denir . Loomis - Sikorski teoremi (denebilir sayılabilir tam Boole cebirlerin arasında bir taş tipi ikilik sağlar arka Sigma cebirlerini ) ve ölçülebilir boşluk.

Bir ölçüm aralığı üçlü olup burada ölçülebilir alan ve a, ölçü üzerinde tanımlı. Eğer gerçekte bir olasılık ölçüsü ise, bir olasılık uzayından söz ederiz ve onun altında yatan ölçülebilir uzayı bir örnek uzay olarak adlandırırız . Bir örnek uzayın noktalarına örnekler denir ve potansiyel sonuçları temsil ederken, ölçülebilir kümeler (kompleksler) olaylar olarak adlandırılır ve olasılık atamak istediğimiz sonuçların özelliklerini temsil eder. (Birçoğu örnek uzay terimini , özellikle her alt kümenin bir olay olduğu durumda, bir olasılık uzayının altında yatan küme için kullanır .) Ölçü uzayları ve olasılık uzayları, sırasıyla ölçü kuramı ve olasılık kuramında temel bir rol oynar . ${\görüntüleme stili (X,{\matematiksel {F}},\mu )}$${\görüntüleme stili (X,{\matematiksel {F}})}$${\görüntüleme stili \mu }$${\görüntüleme stili \mu }$

Fizik uygulamalarında genellikle, iç çarpım uzayları veya halihazırda kendileriyle ilişkili bir topolojiye sahip topolojik gruplar gibi zengin matematiksel yapılardan türetilen ölçüm uzayları ve olasılık uzayları ile ilgileniriz - bu, rastgele kompleks birlikleri alarak oluşturulan topoloji ile karıştırılmamalıdır. .

Kümelerin topolojik alanları

Bir takım topolojik alan üçlü olduğu burada a, topolojik alan ve altında kapalı olan kümelerin bir alandır kapanış operatörü arasında veya eşdeğer altında iç operatör kapak ve her karmaşık iç yani aynı zamanda bir komplekstir. Başka bir deyişle, kuvvet kümesi iç cebirinin bir alt cebirini oluşturur .${\görüntüleme stili (X,{\matematik {T}},{\matematik {F}})}$${\görüntüleme stili (X,{\matematiksel {T}})}$${\görüntüleme stili (X,{\matematiksel {F}})}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {T}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}}$${\görüntüleme stili (X,{\matematiksel {T}}).}$

Kümelerin topolojik alanları, iç cebirlerin ve Heyting cebirlerinin temsil teorisinde temel bir rol oynar . Bu iki cebirsel yapı sınıfı, sırasıyla modal mantık S4 ( epistemik mantığın resmi bir matematiksel soyutlaması ) ve sezgisel mantık için cebirsel anlambilim sağlar . Bu cebirsel yapıları temsil eden kümelerin topolojik alanları, bu mantıklar için ilgili bir topolojik anlambilim sağlar.

Her iç cebir, kümelerin topolojik alanının komplekslerine karşılık gelen iç cebirin temel Boole cebiri ve topolojininkilere karşılık gelen iç cebirin iç ve kapatma operatörleri ile kümelerin topolojik bir alanı olarak temsil edilebilir. Her Heyting cebri , topolojide açık olan kümelerin topolojik alanının komplekslerinin kafesine karşılık gelen Heyting cebirinin temel kafesiyle birlikte kümelerin topolojik alanı ile temsil edilebilir. Ayrıca, bir Heyting cebrini temsil eden kümelerin topolojik alanı, açık komplekslerin bütün kompleksleri bir Boole cebri olarak üreteceği şekilde seçilebilir. Bunlar, ilgili gösterimleri gerçek yöntemleri arasındaki ilişkiyi (mutlaka doğru karşı muhtemelen doğru, lojik incelenmiştir) ve sağlamasının ve refutability kavramları (sezgisel mantık incelenmiştir) çalışmak için iyi tanımlanmış bir matematiksel cihaz sağlar ve bunun için de teorisine bağlı modal tamamlayıcı bir ara mantık .

Bir topolojik uzay verildiğinde , her klopen küme kendi iç ve kapanışı olduğundan , klop kümeleri önemsiz bir şekilde kümelerin topolojik bir alanını oluşturur. Boole cebrinin Stone temsili böyle bir topolojik küme alanı olarak kabul edilebilir, ancak genel olarak bir topolojik küme alanının topolojisi, rastgele birleşimler ve genel olarak bir topolojik alanın kompleksleri alınarak oluşturulan topolojiden farklı olabilir. setlerinin topolojide açık veya kapalı olmasına gerek yoktur.

Kümelerin cebirsel alanları ve Taş alanları

Kümelerin topolojik alanına cebirsel denir, ancak ve ancak bu topolojinin komplekslerden oluşan bir tabanı varsa.

Bir topolojik küme alanı hem kompakt hem de cebirsel ise, topolojisi kompakttır ve kompakt açık kümeleri tam olarak açık komplekslerdir. Ayrıca, açık kompleksler topoloji için bir temel oluşturur.

Ayırıcı, kompakt ve cebirsel kümelerin topolojik alanları Stone alanları olarak adlandırılır ve Boole cebirlerinin Stone temsilinin genelleştirilmesini sağlar. Bir iç cebir verildiğinde, onun altında yatan Boole cebrinin Stone temsilini oluşturabilir ve daha sonra bunu , iç cebirin açık elemanlarına (bir topoloji için bir taban oluşturan) karşılık gelen kompleksler tarafından üretilen topolojiyi alarak topolojik bir kümeler alanına genişletebiliriz. ). Bu kompleksler daha sonra tam olarak açık komplekslerdir ve yapı, iç cebiri temsil eden bir Taş alanı – Taş temsili – üretir . (Stone temsilinin topolojisi aynı zamanda Stone'un Boole cebirleri için sonucunu iç cebirlere genelleştiren matematikçilerden sonra McKinsey-Tarski Stone topolojisi olarak da bilinir ve iç cebirin altında yatan Boole cebrinin Stone topolojisi ile karıştırılmamalıdır. daha iyi bir topoloji olacaktır).

Ön sipariş alanları

Bir ön sipariş alan üçlü olduğu yerde bir olan Önceden Sipariş seti ve setleri alandır. ${\displaystyle (X,\leq ,{\mathcal {F}})}$${\görüntüleme stili (X,\leq )}$${\görüntüleme stili (X,{\matematiksel {F}})}$

Kümelerin topolojik alanları gibi, ön sipariş alanları da iç cebirlerin temsil teorisinde önemli bir rol oynar. Her iç cebir, ön sipariş tarafından indüklenen Alexandrov topolojisininkilere karşılık gelen iç ve kapatma operatörleri ile bir ön sipariş alanı olarak temsil edilebilir . Başka bir deyişle, herkes için : ${\displaystyle S\in {\matematiksel {F}}}$

ve

Benzer noktaları temsil nereye alanlar modal mantık doğal olarak ortaya çıkan ön sipariş setleri topolojik alanları için olası dünyalar içinde Kripke semantik modal mantık bir teorinin S4 , ön sipariş bu semantik bu mümkün dünyalarda erişilebilirlik ilişkiyi temsil eder ve kompleksler, teorideki bireysel cümlelerin içinde bulunduğu olası dünya kümelerini temsil eder ve teorinin Lindenbaum-Tarski cebirinin bir temsilini sağlar . Bunlar, modal cebirlerin temsillerini sağlayan ek bir erişilebilirlik ilişkisine sahip küme alanları olan genel modal çerçevelerin özel bir durumudur .

Cebirsel ve kurallı ön sipariş alanları

Bir ön sipariş alanı, ancak ve ancak ön siparişi aşağıdaki şekilde belirleyen bir dizi komplekse sahipse cebirsel (veya sıkı ) olarak adlandırılır : ancak ve ancak her kompleks için , 'yi ima ederse . S4 teorilerinden elde edilen ön-düzen alanları her zaman cebirseldir, ön-düzeyi belirleyen kompleksler, teorinin zorunlu olarak kapatılan cümlelerinin içinde bulunduğu olası dünyaların kümeleridir. ${\görüntüleme stili {\matematiksel {A}}}$${\görüntüleme stili x\leq y}$${\ Displaystyle S\in {\matematiksel {A}}}$${\görüntüleme stili x\S}$${\görüntüleme stili y\S}$

Ayırıcı bir kompakt cebirsel ön sipariş alanının kurallı olduğu söylenir . Verilen bir iç cebir, Stone temsilinin topolojisini karşılık gelen kanonik ön siparişle (uzmanlık ön siparişi) değiştirerek, kanonik bir ön sipariş alanı olarak iç cebirin bir temsilini elde ederiz. Ön siparişi karşılık gelen Alexandrov topolojisi ile değiştirerek, kümelerin topolojik alanı olarak iç cebirin alternatif bir temsilini elde ederiz. (Bu " Alexandrov temsilinin " topolojisi, Stone temsilinin topolojisinin sadece Alexandrov iki-çekirdeksel yansımasıdır .) Genel modal çerçeveler tarafından modal cebirlerin temsili herhangi bir normal modal cebir için mümkün iken, bu sadece iç durum durumundadır. genel modal çerçevenin bu şekilde kümelerin topolojik alanına karşılık geldiği cebirler ( S4 modal mantığına karşılık gelir ).

İlişkisel yapılarda karmaşık cebirler ve küme alanları

Ön sipariş alanlarına göre iç cebirlerin temsili , operatörlü keyfi (normal) Boole cebirleri için bir temsil teoremine genelleştirilebilir . Bunun için yapılarını dikkate nerede bir olan ilişkisel yapı içeren indisli ailesi ile bir dizi yani ilişkiler üzerinde tanımlanır ve setleri alandır. Karmaşık cebir (veya komplekslerin cebri setlerinin bir alan tarafından belirlenen) bir ilişkisel yapısına, operatörlerle Boole cebir ${\displaystyle (X,\sol(R_{i}\sağ)_{I},{\mathcal {F}})}$${\görüntüleme stili (X,\sol(R_{i}\sağ)_{I})}$${\görüntüleme stili (X,{\matematiksel {F}})}$${\displaystyle \mathbf {X} =(X,\sol(R_{i}\sağ)_{I},{\mathcal {F}})}$

herkes için if bir arite ilişkisi ise , o zaman arite operatörüdür ve herkes için${\görüntüleme stili ben\ben,}$${\görüntüleme stili R_{i}}$${\görüntüleme stili n+1,}$${\displaystyle f_{i}}$${\görüntüleme stili n}$${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}\in {\mathcal {F}}}$

Bu yapı, hem operatörlere hem de ilişkilere sahip keyfi cebirsel yapılar üzerindeki küme alanlarına genelleştirilebilir, çünkü operatörler ilişkilerin özel bir durumu olarak görülebilir. Eğer bütün güç kümesidir sonra bir denir tam kompleks cebir veya güç cebir . ${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili {\mathcal {C}}(\mathbf {X} )}$

Operatörlü her (normal) Boole cebiri , alana karşılık gelen karmaşık cebire eşbiçimli olması anlamında ilişkisel bir yapı üzerinde kümelerin bir alanı olarak temsil edilebilir .

(Tarihsel olarak karmaşık terimi ilk olarak cebirsel yapının bir grup olduğu durumda kullanılmıştır ve kökenleri , bir grubun alt kümesinin kompleks olarak adlandırıldığı 19. yüzyıl grup teorisine dayanmaktadır .)

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

• Goldblatt, R. , Algebraic Polymodal Logic: A Survey , Logic Journal of the IGPL, Cilt 8, Sayı 4, s. 393-450, Temmuz 2000
• Goldblatt, R., Karmaşık cebir çeşitleri , Annals of Pure and Applied Logic, 44, s. 173-242, 1989
• Johnstone, Peter T. (1982). Taş boşluklar (3. baskı). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN'si 0-521-33779-8.
• Naturman, CA, İç Cebirler ve Topoloji , Ph.D. tez, Cape Town Üniversitesi Matematik Bölümü, 1991
• Patrick Blackburn, Johan FAK van Benthem, Frank Wolter ed., Handbook of Modal Logic, Volume 3 of Studies in Logic and Practical Reasoning , Elsevier, 2006

Dış bağlantılar

• "Kümelerin cebiri" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
• Kümelerin cebiri, Matematik Ansiklopedisi.

Set aileleri${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}}$ bitti${\görüntüleme stili\Omega }$
Mutlaka doğru/ kapalı altında:	${\ Displaystyle A\cap B}$	${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots }$	FIP	Yönetmen tarafından${\ Displaystyle \,\supseteq }$	${\ Displaystyle A\cup B}$	${\displaystyle A_{1}\sqcup A_{2}\sqcup \cdots }$	${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \,\\&{\text{nerede }}A_{i}\nearrow \end{alignedat}} }$	${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots }$	${\ Displaystyle \ Omega \ setminus A}$	${\ Displaystyle A\setminus B}$	${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}$	${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {F}}}$
π -sistemi
𝜆 sistemi (Dynkin Sistemi)
Halka (Düzen teorisi)
Halka (Ölçüm teorisi)
δ-Yüzük
𝜎-Yüzük
Cebir (Alan)
𝜎-Cebir (𝜎-Alan)
çift ​​ideal
Filtre											${\displaystyle \varnothing \değil \in {\mathcal {F}}}$
Ön filtre (Filtre tabanı)											${\displaystyle \varnothing \değil \in {\mathcal {F}}}$
Filtre alt tabanı											${\displaystyle \varnothing \değil \in {\mathcal {F}}}$
topoloji
Mutlaka doğru/ kapalı altında:	sonlu kavşaklar	sayılabilir kavşaklar	Sonlu Kesişme Özelliği	aşağıya doğru yönlendirilmiş	sonlu birlikler	sayılabilir ayrık birlikler	sayılabilir artan birlikler	sayılabilir sendikalar	tamamlar içinde${\görüntüleme stili\Omega }$	göreceli tamamlayıcılar	içerir ${\görüntüleme stili\varhiçbir şey}$	içerir ${\görüntüleme stili\Omega }$
Tüm ailelerin boş olmadığı varsayılır. ${\displaystyle A,B,A_{1},A_{2},\ldots }$keyfi öğeleri, ikili ayrık kümelerin bir birleşimini belirtir ( ayrık birleşim olarak adlandırılır ). Ayrıca, bir semialgebra veya semiring bir olduğunu π -sistem her tamamlayıcısı nerede içinde sonlu kümeler ayrık birleşimin eşittir bir monoton sınıfında sayılabilir artan sendikalar ve sayılabilen azalan kavşaklar hem altında kapalı olan bir ailedir. ${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}.}$ ${\ Displaystyle \,\sqcup \,}$ ${\ Displaystyle \ Omega \ setminus A}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}.}$