Gücü ayarla - Power set

{ x , y , z } kuvvet kümesinin elemanları dahil edilme durumuna göre sıralanmıştır .

Gelen matematik , güç grubu (ya da Powerset a) grubu S , tüm kümesi alt- bölgesinin , S içeren boş grubu ve S kendisi. Gelen belitsel grubu teorisi (örneğin, geliştirilmiş olarak ZFC aksiyomlardan), herhangi bir kümesinin güç takımının varlığı, bir öne tarafından güç grubu aksiyomu . Arasında Powerset S çeşitli şekillerde ifade edilir , P ( S ) , 𝒫 ( S ) , P ( S ) , , ℘ ( S ) ( "kullanılarak Weierstrass'ın p "), ya da 2 , S . S'den belirli bir iki elemanlı kümeye (örneğin, {0, 1}) kadar tüm fonksiyonların kümesi anlamına gelen 2 S gösterimi kullanılır, çünkü S'nin güç kümesi küme ile, kümeye eşdeğer veya ona tekil olarak tanımlanabildiğinden kullanılır. S'den verilen iki eleman kümesine kadar tüm fonksiyonların .

Herhangi alt kümesi P ( S ) bir denir setlerinin aile üzerinde S .

Örnek

Eğer S dizi { x , y , z } , o zaman tüm alt kümeleri S olan

  • {} ( veya , boş küme veya boş küme olarak da gösterilir )
  • { x }
  • { y }
  • { z }
  • { x , y }
  • { x , z }
  • { y , z }
  • { x , y , z }

ve dolayısıyla güç grubu S olduğu , {{{} X }, { y }, { Z }, { x , y }, { x , z }, { y , z }, { x , y , z }} .

Özellikleri

Eğer S ile sonlu bir dizi kardinalitesi | S | = N (yani, set tüm öğelerin sayısı S olduğu n ) 'nin tüm alt kümelerinin daha sonra sayı S olduğu | P ( S )| = 2 n . Bu gerçek ve P ( S ) güç setini ifade eden 2 S gösteriminin nedeni aşağıda gösterilmiştir.

Bir gösterge işlevi ya da bir alt kümesi bir karakteristik fonksiyonu A bir dizi S cardinality ile | S | = N bir fonksiyonudur S olarak ifade iki eleman seti {0, 1}, için bir A : S → {0, 1} ve bir elemanı belirtir S ait olduğu A ya da; Eğer X in S ait A , daha sonra bir bir ( x ) = 1, ve, aksi halde 0. Her bir alt takım bir bölgesinin S yolu ile veya gösterge işlevine benzer olan I A ve {0, 1} S tüm fonksiyonlar seti olarak S {0, 1} ile tüm altkümelerinin her gösterge işlevleri oluşur S . Diğer bir deyişle, {0, 1} S , P ( S ) güç kümesine eşdeğerdir veya tekildir . Her öğe yana S herhangi bir fonksiyon altında 0 veya 1'e tekabül {0, 1} S , tüm fonksiyon sayısı {0, 1} S 2'dir , n . 2 numaralı şekilde tanımlanabilir yana {0,1} (bakınız örneğin, Von Neumann Sıra ), P ( S ) olarak da ifade edilir 2 S . Açıkçası | 2 S | = 2 | S | tutar. Genellikle konuşan X Y gelen tüm fonksiyonların kümesi Y için X | ve X , Y | = | X | | Y | .

Cantor'un köşegen argümanı , bir kümenin (sonsuz olsun veya olmasın) kuvvet kümesinin her zaman kümenin kendisinden kesinlikle daha yüksek kardinaliteye sahip olduğunu gösterir (veya gayri resmi olarak, kuvvet kümesinin orijinal kümeden daha büyük olması gerekir). Özellikle, Cantor teoremi bir güç seti gösterileri olduğunu sayılabilir sonsuz kümesi ise sayılamayacak sonsuz. Kümesinin kuvvet kümesi doğal sayılar bir de konabilir bire-bir yazışma grubu ile gerçek sayılar (bkz sürekliliğinin kardinalitesi ).

Bir S kümesinin güç kümesi, birleşim , kesişim ve tümleyen işlemleriyle birlikte, Boole cebrinin prototip örneği olarak görülebilir . Aslında, herhangi bir sonlu Boole cebrinin, sonlu bir kümenin kuvvet kümesinin Boole cebrine eşbiçimli olduğu gösterilebilir. İçin sonsuz Boole cebirleri bu artık doğrudur, fakat bir şekilde her sonsuz Boole cebri temsil edilebilir alt cebiri bir gücün (bkz Boolean matematiği set Stone'un temsil teoremi ).

Bir dizi güç grubu S , bir oluşturan değişmeli grubu bu işlemleri olarak kabul edilir simetrik farkı ve (kimlik elemanı olarak boş grubu ve her bir dizi, kendi ters olmak üzere) değişmeli Monoid kesişme işlemi ile değerlendirildiğinde . Dolayısıyla , bu işlemlerin her ikisi ile birlikte düşünülen kuvvet kümesinin bir Boole halkası oluşturduğu , dağılım yasaları kanıtlanarak gösterilebilir .

Alt kümeleri işlevler olarak temsil etme

Gelen grubu teori , X, Y, her kümesini temsil notasyon fonksiyonları arasından Y için X . "2" olarak tanımlanabilir olarak {0,1} (bakınız örneğin Von Neumann sıra sayıları ,) 2 S (yani {0,1} S ) tüm dizi fonksiyonları arasından S için {0,1} . Olarak yukarıda gösterilen , 2 S ve güç grubu S , P ( S ) , aynı resim-teorik olarak kabul edilir.

Bu eşdeğerlik örneğin uygulanabilir yukarıdaki ettiği, S = { x , y , z } almak için izomorfizm 0 ila numaralarının ikilik ile 2 N - 1 ile n, kümedeki elemanların sayısı olmak S veya | S | = n . İlk olarak, { ( x , 1), ( y , 2), ( z , 3) } kümesi tanımlanır, burada sıralı her bir çiftteki sayı, S'nin eşleştirilmiş öğesinin bir ikili basamak dizisindeki konumunu temsil eder. olarak { x , y } 011 = (2) ; X ve S bu sekansın sağdan ilk bulunur ve Y sağdan ikinci olan ve sırayla 1 elemanını S sekansında buna konumuna karşılık gelen bir alt grubunda mevcut S için 0 iken dizi, olmadığı anlamına gelir.

S'nin tüm güç kümesi için şunu elde ederiz:

alt küme
İkili basamak dizisi
ikili
yorumlama
ondalık
eşdeğer
{ } 0, 0, 0 000 (2) 0 (10)
{ x } 0, 0, 1 001 (2) 1 (10)
{ y } 0, 1, 0 010 (2) 2 (10)
{ x , y } 0, 1, 1 011 (2) 3 (10)
{ z } 100 100 (2) 4 (10)
{ x , z } 1, 0, 1 101 (2) 5 (10)
{ y , z } 1, 1, 0 110 (2) 6 (10)
{ x , y , z } 1, 1, 1 111 (2) 7 (10)

Böyle bir bijective haritalama dan P ( S ) alt kümelerini tüm bu gösterimi böylece tamsayılar için, keyfi S benzersiz değil, ancak sayılan setin sıralama düzeni onun önem düzeyi değişmez. (Örneğin, { ( y , 1), ( z , 2), ( x , 3) } , P ( S )' den tam sayılara birebir karşılıkların sayısını değiştirmeden başka bir bijektif oluşturmak için kullanılabilir .)

Bununla birlikte, bu tür sonlu ikili gösterim ancak S'nin numaralanabilmesi durumunda mümkündür . (Bu örnekte, X , Y ve Z ikili sayı dizilerinin konumunda sırasıyla 2, 1 ile numaralandırılmış ve 3 edilmiştir.) Dahi numaralandırma mümkündür S sonsuz önem düzeyi sahiptir (yani, elemanların sayısı S sonsuzdur), örneğin tamsayılar veya rasyoneller kümesi gibi, ancak örneğin S gerçek sayılar kümesiyse mümkün değildir, bu durumda tüm irrasyonel sayıları numaralandıramayız.

Binom teoremi ile ilişkisi

Binom teoremi yakından güç seti ile ilgilidir. Bir kümeden bir k -eleman kombinasyonu, bir k -eleman alt kümesinin başka bir adıdır , bu nedenle C( n , k ) ( binom katsayısı olarak da adlandırılır ) olarak belirtilen kombinasyonların sayısı, bir kümede k elemanlı alt kümelerin sayısıdır. n eleman; başka bir deyişle , n elemanlı bir kümenin kuvvet kümesinin elemanları olan k elemanlı kümelerin sayısıdır .

Örneğin, üç elemanlı bir kümenin kuvvet kümesi şunları içerir:

  • C(3, 0) = 0 elemanlı 1 altküme (boş altküme),
  • C(3, 1) = 1 elemanlı 3 alt küme (singleton alt kümeleri),
  • C(3, 2) = 2 elemanlı 3 alt küme (singleton alt kümelerinin tümleyenleri),
  • C(3, 3) = 3 elemanlı 1 altküme (orijinal kümenin kendisi).

Bu ilişkiyi kullanarak aşağıdaki formülü kullanarak hesaplayabiliriz :

Bu nedenle, aşağıdakileri varsayarak aşağıdaki özdeşlik çıkarılabilir :

özyinelemeli tanım

Eğer bir olan sonlu kümesi sonra, bir özyinelemeli tanımı içinde aşağıdaki gibi hasılatı:

  • Eğer öyleyse .
  • Aksi takdirde, izin verin ve ; sonra .

Kelimelerle:

  • Boş kümenin kuvvet kümesi , tek elemanı boş küme olan bir tekildir .
  • Boş olmayan bir küme için , kümenin herhangi bir elemanı ve onun göreli tümleyeni olsun ; Sonra kümesi güç bir olan birlik bir güç setinin ve bir güç kümesi olan her eleman ile genişletilir elemanı.

Sınırlı kardinalitenin alt kümeleri

Alt kümeleri grubu S ve cardinality daha az veya eşit k bazen ile gösterilir P κ ( S ) ya da [ G ] κ ve kesinlikle daha az cardinality ile alt-grubu κ bazen belirtilir P ( S ) ya da [ S ] <k . Benzer şekilde, boş olmayan alt-grubu S ile gösterilir olabilir P ≥ 1 ( S ) ya da P + ( G ) .

Güç nesnesi

Bir küme, önemsiz işlemlere sahip olmayan veya denklemleri tanımlayan bir cebir olarak kabul edilebilir. Bu açıdan güç setinin fikri X alt kümelerinin kümesi olarak X bir ait alt cebirlerine doğal genelleştirerek cebirsel yapısı veya cebir.

Bir kümenin güç kümesi, dahil ederek sıralandığında, her zaman tam bir atom Boole cebridir ve her tam atom Boole cebri, bir kümenin tüm alt kümelerinin kafesi olarak ortaya çıkar . Rastgele cebirlere genelleme, yine dahil edilerek sıralanan bir cebirin alt cebirleri kümesinin her zaman bir cebirsel kafes olduğu ve her cebirsel kafesin, bazı cebirlerin alt cebirlerinin kafesi olarak ortaya çıktığıdır. Dolayısıyla bu bağlamda, alt cebirler alt kümelere benzer şekilde davranır.

Ancak, genel olarak alt cebirlere taşınmayan alt kümelerin iki önemli özelliği vardır. Birincisi, bir kümenin alt kümeleri bir küme (ve bir kafes) oluştursa da, bazı sınıflarda bir cebirin alt cebirlerini o sınıfta bir cebir olarak düzenlemek mümkün olmayabilir, ancak her zaman bir cebir olarak organize edilebilirler. kafes. İkinci olarak, bir kümenin alt kümeleri, o kümeden {0,1} = 2 kümesine kadar olan fonksiyonlarla bijeksiyondayken, bir cebir sınıfının bu şekilde 2 rolünü oynayabilecek bir cebir içerdiğinin garantisi yoktur. .

Bazı cebir sınıfları bu özelliklerin her ikisinden de yararlanır. İlk özellik daha yaygındır, her ikisine de sahip olma durumu nispeten nadirdir. Her ikisine de sahip olan bir sınıf, multigraphs sınıfıdır . İki çoklu grafik G ve H verildiğinde , bir homomorfizma h : GH iki fonksiyondan oluşur, biri tepe noktaları tepelere eşleme ve diğeri kenarları kenarlara eşleme. Grubu , H G den homomorfizması G için H , o halde köşeler ve kenarlar, sırasıyla, o grubu görünen tepe ve kenar fonksiyonları grafik olarak organize edilebilir. Ayrıca, bir çoklu grafiğin G'nin alt grafikleri , iki köşe (dolayısıyla dört kenar, yani iki kendi kendine döngü ve bir döngü oluşturan iki kenar daha) üzerinde tam yönlendirilmiş grafik olarak tanımlanabilen G'den çoklu grafik Ω'a kadar olan grafik homomorfizmaları ile uyumludur. bir beşinci kenar, yani köşelerden birinde ikinci bir kendi kendine döngü. Bu nedenle, bir subgraphs organize G ufak matbaa olarak Ω G adı verilen güç nesne arasında G .

Bir cebir olarak çoklu grafiğin özelliği, işlemlerinin tekli olmasıdır. Bir çoklu grafiğin bir V köşeleri ve E kenarları oluşturan iki tür öğesi vardır ve her bir kenarın kaynak (başlangıç) ve hedef (bitiş) köşelerini veren iki tekli işlem s , t : EV vardır . Tüm işlemleri tekli olan bir cebire presheaf denir . Her ön kasnak sınıfı, 2'nin alt kümeler için oynadığı alt cebirler için rol oynayan bir ön demet Ω içerir . Bu tür bir sınıf temel daha genel kavramına ait özel bir durumdur topos'da bir şekilde kategori olan kapalı (ve ayrıca kapalı kartezyen ) ve bir nesne vardır Ω olarak adlandırılan, subobject sınıflandırıcı . Burada kullanılan "enerji nesne" bazen ile eşanlamlı olarak kullanılır, ancak üstel bir amacı , Y , X , topos'da teori , Y olması gerekmektedir Ω .

Fonksiyonlar ve niceleyiciler

In kategori teorisi ve teorisi temel topo , evrensel niceleyici olarak anlaşılabilir sağ eşlenik a funktor güç setleri arasındaki ters görüntü kümeleri arasındaki bir fonksiyonun funktor; Aynı şekilde, varoluşsal niceleyici olduğu sol eşlenik .

Ayrıca bakınız

Referanslar

bibliyografya

Dış bağlantılar