Boole halkası - Boolean ring

Gelen matematik , bir Boole halka R, a, bir halka için de x 2 = X tüm x in R olduğu, ancak oluşan bir halka İdempotent elemanları . Bir örnek, modulo 2 tamsayılarının halkasıdır .

Her Boolean halkası, bir Boole cebrine yol açar ; halka çarpımı , birleşme veya ∧ ile karşılaşmaya karşılık gelir ve halka eklemesi, özel ayrılma veya simetrik farka ( bir yarı halka oluşturacak olan ayrılma ∨ değil ) eklenir . Boole halkaları, Boole cebirinin kurucusu George Boole'un adını almıştır .

gösterimler

Boole halkaları ve cebirler için en az dört farklı ve uyumsuz gösterim sistemi vardır:

  • İçinde değişmeli cebir standart gösterim kullanmaktır x  +  y = ( x  ∧ ¬  y ) ∨ (¬  x  ∧  y halka toplamı) x ve y , ve kullanım xy = X  ∧  y kendi ürün için.
  • İçinde mantık , ortak bir gösterim kullanımı için x  ∧  y (halka ürün ile aynı) karşılamak için ve kullanım x  ∨  y için birleştirme ile (sadece yukarıda verilen) halka gösterimde açısından verilen x  +  y  +  xy .
  • Gelen küme kuramı ve mantık bunu kullanmak da yaygındır x  ·  y karşılamak için, ve x  +  y için katılmak x  ∨  y . +'nın bu kullanımı halka teorisindeki kullanımdan farklıdır.
  • + belirsizliğinden kaçınmak amacıyla , ürün için xy ve halka toplamı için x  ⊕ y kullanmak nadir bir kuraldır  .

Tarihsel olarak, "Boole halkası" terimi, "muhtemelen kimliği olmayan bir Boole halkası" anlamında kullanılmıştır ve "Boole cebri", kimliği olan bir Boole halkası anlamında kullanılmıştır. Halkayı , iki elementin alanı üzerinde bir cebir olarak düşünmek için özdeşliğin varlığı gereklidir : aksi takdirde, Boolean halkasına iki elementin alanının (ünital) bir halka homomorfizması olamaz. (Bu, ölçü teorisinde "halka" ve "cebir" terimlerinin eski kullanımıyla aynıdır .)

Örnekler

Boolean halkasına bir örnek , halkadaki toplamanın simetrik fark olduğu ve çarpmanın kesişim olduğu herhangi bir X kümesinin güç kümesidir . Başka bir örnek olarak, yine simetrik fark ve kesişim ile X'in tüm sonlu veya kosonlu alt kümelerinin kümesini işlem olarak ele alabiliriz. Daha genel olarak, bu işlemlerde herhangi bir küme alanı bir Boolean halkasıdır. By Stone'un temsil teoremi her Boole halkası bir izomorftur setleri alanında (bu operasyonlarla bir halka olarak muamele).

Boole cebirleriyle ilişkisi

Boolean bağlaç, ayrılma ve tümleyen işlemleri için Venn diyagramları

Bir Boole cebrindeki birleştirme işlemi ∨ genellikle toplamalı olarak yazıldığından, bu bağlamda halka eklemesini, genellikle özel veya .

Boolean halka verilen R için, x ve y de R biz tanımlayabilir

x ∧ y = xy ,
x ∨ y = x ⊕ y ⊕ xy ,
¬ x = 1 ⊕ x .

Bu işlemler daha sonra bir Boole cebrindeki karşılamalar, birleştirmeler ve tamamlayıcılar için tüm aksiyomları karşılar . Böylece her Boole halkası bir Boole cebri olur. Benzer şekilde, her Boole cebri bir Boole halkası haline gelir ve böylece:

xy = x ∧ y ,
x ⊕ y = ( x ∨ y ) ∧ ¬( x ∧ y ).

Bir Boolean halkası bu şekilde bir Boole cebrine çevrilirse ve daha sonra Boole cebri bir halkaya çevrilirse, sonuç orijinal halkadır. Benzer sonuç, bir Boole cebri ile başlamayı sağlar.

İki Boole halkası arasındaki bir harita, ancak ve ancak karşılık gelen Boolean cebirlerinin bir homomorfizmiyse halka homomorfizmidir . Bundan başka, bir Boolean halkanın bir alt kümesi, a, halka yere (ana halka yere, maksimal halka doğru) ve eğer bir yalnızca sıralı ideal Boole cebri (ana sırası yere, maksimal sıralı ideal). Bölüm halkası bir Boolean halkasının uygun Boolean cebri modülo karşılık gelen düzen ideal faktörü cebire bir halka yere karşılık gelir modulo.

Boole halkalarının özellikleri

Her Boole halkası R tatmin x ⊕ x herkes için = 0 x in R , bildiğimiz çünkü

x ⊕ x = ( x ⊕ x ) 2 = x 2 ⊕ x 2 ⊕ x 2 ⊕ x 2 = x ⊕ x ⊕ x ⊕ x

ve ( R ,⊕) bir değişmeli grup olduğundan, x ⊕ x = 0 veren bu denklemin her iki tarafından x ⊕ x'i çıkarabiliriz. Benzer bir kanıt, her Boole halkasının değişmeli olduğunu gösterir :

x ⊕ y = ( x ⊕ y ) 2 = x 2 ⊕ xy ⊕ yx ⊕ y 2 = x ⊕ xy ⊕ yx ⊕ y

ve bu, xy ⊕ yx = 0'ı verir, bu da xy = yx anlamına gelir (yukarıdaki ilk özelliği kullanarak).

x ⊕ x = 0 özelliği , herhangi bir Boolean halkasının, F 2 alanı üzerinde tam olarak tek bir şekilde iki elemanlı bir ilişkisel cebir olduğunu gösterir . Özellikle, herhangi bir sonlu Boole bir halka olarak bulunur cardinality bir iki gücüne . F 2 üzerindeki her birim birleştirici cebir bir Boolean halkası değildir: örneğin polinom halkasını F 2 [ X ] düşünün .

Herhangi bir Boole halkasının R modülo herhangi bir ideal I'in bölüm halkası R / I yine bir Boole halkasıdır. Benzer şekilde, bir Boole halkasının herhangi bir alt halkası bir Boole halkasıdır.

Bir küme tarafından bir Boole halkası R'nin herhangi bir yerelleştirmesi , bir Boole halkasıdır, çünkü yerelleştirmedeki her öğe önemsizdir.

Bir Boole halkası R'nin maksimal bölümler halkası (Utumi ve Lambek anlamında ) bir Boole halkasıdır, çünkü her kısmi endomorfizm idempotenttir.

Her ana doğru P bir Boole halkası R olan maksimal : bölüm halka R / P bir bir tamlık bu izomorf yüzden ve aynı zamanda bir Boolean halka alanı F 2 nin maksimal gösterir, P . Maksimal idealler her zaman asal olduğundan, Boole halkalarında asal idealler ve maksimal idealler çakışır.

Boolean halkaları, von Neumann düzenli halkalarıdır .

Boolean halkaları kesinlikle düzdür: bu, üzerlerindeki her modülün düz olduğu anlamına gelir .

Boolean halkanın her sonlu üretilmiş ideal temel (aslında, ( x , y ) = ( x  +  y  +  xy )).

birleşme

Birleşme Boole halkalar bulunmaktadır Karar verilebilen , algoritmalar Boole halkalar üzerinde keyfi denklemleri çözmek için var olduğunu,. Sonlu olarak oluşturulmuş serbest Boolean halkalarında hem birleştirme hem de eşleştirme , NP-tamamlanmıştır ve her ikisi de , sonlu olarak sunulan Boolean halkalarında NP-zordur . (Aslında, bir Boole halkasında herhangi bir f ( X ) = g ( X ) birleştirme problemi f ( X ) + g ( X ) = 0 eşleştirme problemi olarak yeniden yazılabileceğinden , problemler eşdeğerdir.)

Boolean halkalarında birleştirme, yorumlanmamış tüm fonksiyon sembolleri sıfır ve sonlu ise üniterdir (yani, Boolean halkalarının imzasında yer almayan fonksiyon sembollerinin tümü sabitse, o zaman en genel bir birleştirici vardır , aksi takdirde minimum tam birleştiriciler kümesi vardır). sonlu).

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

daha fazla okuma

Dış bağlantılar