Temel ideal - Principal ideal

Gelen matematik , özellikle halka teori , bir ana doğru bir bir yere bir de halka tek bir eleman tarafından oluşturulur ve her bir öğesi ile çarpma ile terimi, aynı zamanda başka bir benzer bir anlama sahiptir sipariş teorisi bir ifade eder, (sırası) tek bir eleman tarafından üretilen bir poset için idealdir , yani tüm elemanların kümesinin içindeki değerden küçük veya eşittir . ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R.}$ ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle x \ P,}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle P.}$

Bu makalenin geri kalanı halka teorik kavramını ele almaktadır.

Tanımlar

• Bir sol temel ideal ait bir olan alt kümesi bir tarafından verilen bazı elemanı için ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle Ra = \ {ra: r \ in R \}}$${\ displaystyle a}$
• Bir sağ temel ideal ait bir alt kümesidir tarafından verilen bazı elemanı için ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle aR = \ {ar: r \ in R \}}$${\ displaystyle a}$
• bir , iki taraflı temel ideal bir alt kümesi olup verilen bir eleman için , yani form elemanlarının sonlu toplamlarının grubu ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle RaR = \ {r_ {1} as_ {1} + \ ldots + r_ {n} as_ {n}: r_ {1}, s_ {1}, \ ldots, r_ {n}, s_ {n} \ R \}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle ras.}$

İki taraflı temel ideal için bu tanım diğerlerinden daha karmaşık görünse de idealin ilave altında kapalı kalmasını sağlamak gerekir.

Eğer a, değişmeli halka kimlik, daha sonra yukarıdaki üç kavram tüm aynıdır. Bu durumda, üretilen ideali yazmak için yaygındır olarak ya ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ langle a \ rangle}$${\ displaystyle (a).}$

Asıl olmayan ideal örnekleri

Tüm idealler temel değildir. Örneğin, değişmeli halka dikkate tüm polinom iki değişken ile birlikte kompleks katsayıları. İdeal tarafından üretilen ve burada bütün polinomların oluşur olduğu sıfır için sabit terim , temel değildir. Bunu görmek için, bunun Then için bir oluşturucu olduğunu ve sıfırdan farklı bir sabit olmadığı sürece ikisinin de bölünebileceğini varsayalım . Ancak sıfır, içindeki tek sabittir, bu yüzden bir çelişkimiz var . ${\ displaystyle \ mathbb {C} [x, y]}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y,}$${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y,}$${\ displaystyle \ mathbb {C} [x, y]}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle.}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle p,}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle,}$

Halkada sayılar bile asıl olmayan bir ideal oluşturuyor. Bu ideal, karmaşık düzlemde düzenli bir altıgen kafes oluşturur. Düşünün ve Bu sayılar, bu idealin aynı normdaki (iki) öğeleridir, ancak halkadaki tek birim olduğu ve bunlar ortak olmadığı için. ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-3}}] = \ {a + b {\ sqrt {-3}}: a, b \ in \ mathbb {Z} \},}$${\ displaystyle a + b}$${\ displaystyle (a, b) = (2,0)}$${\ displaystyle (1,1).}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle -1,}$

İlgili tanımlar

Her yere asıl olan bir halka olarak adlandırılan ana ya da bir temel ideal halkası . Bir temel ideal alan (PID), her idealin temel olduğu bütünsel bir alandır . Herhangi bir PID, benzersiz bir çarpanlara ayırma alanıdır ; tamsayılardaki benzersiz çarpanlara ayırmanın normal kanıtı ( aritmetiğin temel teoremi olarak adlandırılır ) herhangi bir PID'de tutulur.

Asıl ideal örnekleri

Temel idealler biçimindedir Aslında, aşağıdaki gibi gösterilebilen temel bir ideal alandır. Varsayalım nerede ve örten homomorfizmleri dikkate yana yeterince büyük için, sonludur Elimizdeki Böylece ima hangi daima sonlu oluşturulur. İdeal , herhangi bir tamsayı tarafından oluşturulduğundan ve tam olarak üretici sayısının tümevarımı ile olduğundan , bu temeldir. ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ langle n \ rangle = n \ mathbb {Z}.}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle I = \ langle n_ {1}, n_ {2}, \ ldots \ rangle}$${\ displaystyle n_ {1} \ neq 0,}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / \ langle n_ {1} \ rangle \ rightarrow \ mathbb {Z} / \ langle n_ {1}, n_ {2} \ rangle \ rightarrow \ mathbb {Z} / \ langle n_ { 1}, n_ {2}, n_ {3} \ rangle \ rightarrow \ cdots.}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / \ langle n_ {1} \ rangle}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / \ langle n_ {1}, n_ {2}, \ ldots, n_ {k} \ rangle = \ mathbb {Z} / \ langle n_ {1}, n_ {2}, \ ldots, n_ {k + 1} \ rangle = \ cdots.}$${\ displaystyle I = \ langle n_ {1}, n_ {2}, \ ldots, n_ {k} \ rangle,}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle \ langle a, b \ rangle}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ langle \ mathop {\ mathrm {gcd}} (a, b) \ rangle,}$${\ displaystyle I}$

Bununla birlikte, tüm halkaların temel idealleri vardır, yani tam olarak bir element tarafından üretilen herhangi bir ideal. Örneğin, doğru bir temel idealdir ve bir temel ideal olarak, aslında, ve herhangi bir halka başlıca ideallerdir ${\ displaystyle \ langle x \ rangle}$${\ displaystyle \ mathbb {C} [x, y],}$${\ displaystyle \ langle {\ sqrt {-3}} \ rangle}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-3}}].}$${\ displaystyle \ {0 \} = \ langle 0 \ rangle}$${\ displaystyle R = \ langle 1 \ rangle}$${\ displaystyle R.}$

Özellikleri

Herhangi bir Öklid alanı bir PID'dir ; en büyük ortak bölenleri hesaplamak için kullanılan algoritma , herhangi bir idealin bir üretecini bulmak için kullanılabilir. Daha genel olarak, bir değişmeli halkadaki herhangi iki temel ideal, ideal çarpma anlamında en büyük ortak bölenlere sahiptir. Temel ideal alanlarda, bu, bir birimle çarpmaya kadar, halkanın elemanlarının en büyük ortak bölenlerini hesaplamamıza izin verir ; idealin herhangi bir üreteci olarak tanımlıyoruz ${\ displaystyle \ gcd (a, b)}$${\ displaystyle \ langle a, b \ rangle.}$

Bir İçin Dedekind etki de olmayan bir temel ideal verilen isteyebilir ait bazı uzantısı olup olmadığı hakkındaki ideal şekilde üretilen esastır (daha gevşek söyledi anapara olur in ). Bu soru , sayı teorisindeki (Dedekind alanlarının örnekleri olan) cebirsel tamsayı halkalarının incelenmesiyle bağlantılı olarak ortaya çıktı ve Teiji Takagi , Emil Artin , David Hilbert ve diğerleri tarafından sınıf alanı teorisinin geliştirilmesine yol açtı . ${\ displaystyle R,}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle R,}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle S}$

Sınıf alan teorisi temel İdeal teoremi her tamsayı yüzüğü devletler (yani tamsayılar halkası bazılarının numarası alanına ) daha büyük bir tamsayı halka içinde bulunan bu özelliğine sahiptir her ideal bir temel ideali haline bu teoremde atabileceğiiki tamsayılar halkası olduğu Hilbert sınıf alan arasında ; yani, maksimum unramified (olup, değişmeli uzatma Galois uzantısı olan Galois grubu olduğu Değişmeli ) fraksiyonu alanının ve bu benzersiz belirlenir ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S.}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R,}$${\ displaystyle R.}$

Krull'un temel ideal teoremi , eğer bir Noetherian halkasıysa ve bir prensip ise, o zaman uygun idealinin en fazla bir yüksekliğe sahip olduğunu belirtir . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle R,}$${\ displaystyle I}$

Ayrıca bakınız

• Temel idealler için artan zincir koşulu

Referanslar

• Gallian, Joseph A. (2017). Çağdaş Soyut Cebir (9. baskı). Cengage Learning. ISBN   978-1-305-65796-0 .