Tamsayılar halkası - Ring of integers

Gelen matematik , tamsayılar halkasının bir bölgesinin cebirsel numarası alanı olan halka tüm cebirsel tamsayılar içerdiği . Cebirsel tamsayı, tamsayı katsayılarına sahip bir monik polinomun köküdür : . Bu halka genellikle veya ile gösterilir . Herhangi bir yana tamsayıdır aittir ve tamamlayıcı bir elemanıdır , halka her zaman a, alt halka arasında . ${\görüntüleme stili K}$${\görüntüleme stili K}$${\displaystyle x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{0}}$${\displaystyle O_{K}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {O}}_{K}}$${\görüntüleme stili K}$${\görüntüleme stili K}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle O_{K}}$

Tamsayılar halkası, mümkün olan en basit tamsayı halkasıdır. Yani nerede olduğu saha içinde rasyonel sayılar . Ve gerçekten de, cebirsel sayılar teorisinde , elemanları bu nedenle genellikle "rasyonel tamsayılar" olarak adlandırılır. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} =O_{\mathbb {Q}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Bir sonraki en basit örnek, gerçek ve sanal kısımları tamsayı olan karmaşık sayılardan oluşan Gauss tamsayılarının halkasıdır. Bu sayı alanında tamsayılar halkası arasında Gauss rationals olan gerçek ve sanal kısımları rasyonel sayılardır karmaşık sayılar oluşan. Rasyonel tamsayılar gibi , bir Öklid alanıdır . ${\displaystyle \mathbb {Z} \sol[i\sağ]}$${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$${\displaystyle \mathbb {Z} \sol[i\sağ]}$

Bir cebirsel sayı alanının tamsayı halkası, alandaki benzersiz maksimal sıradır . Her zaman bir Dedekind alanıdır .

Özellikleri

O _K tamsayılarının halkası, sonlu olarak oluşturulmuş bir Z - modülüdür . Gerçekten de, eğer bu bir serbest Z Modül ve böylece sahip yekpare bir temel a,, baz b ₁ , ..., b _{, n} ∈ O _K arasında S -vector alanı  K gibi her bir elemanı,  X in O _K olabilir benzersiz olarak temsil edilir

${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i},}$

ile bir _I ∈ Z . Seviye  N arasında O _K serbest olarak Z Modül eşittir derece arasında  K fazla Q .

Örnekler

hesaplama aracı

Bir cebirsel alan K / Q'daki tamsayılar halkasının integral yakınlığını hesaplamak için yararlı bir araç , diskriminantı kullanmaktır. Eğer K derecesi olan n fazla Q ve bir temel oluşturmak K fazla Q , bir dizi . Ardından, ^pg tarafından yayılan Z modülünün bir alt modülüdür ^{. 33} . Aslında, eğer d karesiz ise, bu ^pg için integral bir temel oluşturur ^{. 35} . ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle d=\Delta _{K/\mathbb {Q} }(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {O}}_{K}}$${\displaystyle \alpha _{1}/d,\ldots,\alpha _{n}/d}$ ${\görüntüleme stili {\matematiksel {O}}_{K}}$

Siklotomik uzantılar

Eğer p a, asal , ζ a, p inci birlik kök ve K = Q, ( Ç ) karşılık gelen bir devirli alan , daha sonra tamamlayıcı baz O _K = Z [ ζ ] tarafından verilmiştir (1,  Ç ,  ζ ² , ... ,  ζ ^{p -2} ) .

ikinci dereceden uzantılar

Eğer a, kare içermeyen tam sayı ve karşılık gelen bir ikinci dereceden alanı , daha sonra bir halkadır kuadratik tamsayı ve tamamlayıcı baz ile verilir (1, (1 + √ d ) / 2) ise d ≡ 1 ( mod 4) tarafından (1,  √ d ) ise d ≡ 2, 3 (mod 4) . Bu işlem bulunabilir az polinomu keyfi bir elemanın burada . ${\görüntüleme stili d}$${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {O}}_{K}}$${\displaystyle a+b{\sqrt {d}}\in \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$${\displaystyle a,b\in \mathbf {Z} }$

çarpımsal yapı

Bir tamsayılar halkasında, her elemanın indirgenemez elemanlara çarpanlara ayırması vardır , ancak halkanın benzersiz çarpanlara ayırma özelliğine sahip olması gerekmez : örneğin, Z [ √ −5 ] tamsayıları halkasında , eleman 6'nın temelde iki farklı çarpanlara ayırması vardır. indirgenemezlere:

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})\ .}$

Bir tamsayı halkası her zaman bir Dedekind alanıdır ve bu nedenle ideallerin asal ideallere benzersiz çarpanlarına ayırması vardır .

Birimler bir tamsayı halkanın O _K a, sonlu üretilen değişmeli grubu ile Dirichlet birimi teoremi . Torsiyon alt grup oluşur birlik kökleri arasında K . Bir dizi burulma içermeyen jeneratöre bir dizi temel birim denir .

genelleme

Bir tanımlar bir tamsayılar halkası olmayan Arşimet yerel alan F tüm öğeleri kümesi olarak F , mutlak bir değere sahip ≤ 1 ; bu, güçlü üçgen eşitsizliği nedeniyle bir halkadır. Eğer F bir cebirsel numarası alanının tamamlanmasıdır, tamsayılar onun halka tamsayılar en sonuncu halkası tamamlanmasıdır. Bir cebirsel sayı alanının tamsayılar halkası, her arşimed olmayan tamamlamada tamsayı olan öğeler olarak karakterize edilebilir.

Örneğin, s -adic tamsayı Z _s tamsayılar halkası s -adic numaraları S _p  .

Ayrıca bakınız

• Minimal polinom (alan teorisi)
• İntegral kapatma – integral kapamaları hesaplamak için bir teknik verir

Notlar

alıntılar

Referanslar