Bir alan uzantısının derecesi - Degree of a field extension

Gelen matematik , daha spesifik alan teorisi , bir alan uzantısına derecesi "büyüklüğü" kaba bir ölçümüdür alan uzantısına . Kavram, cebir ve sayılar teorisi de dahil olmak üzere matematiğin pek çok alanında – aslında alanların belirgin bir şekilde göründüğü her alanda – önemli bir rol oynar .

Tanım ve gösterim

E / F'nin bir alan uzantısı olduğunu varsayalım . O halde E , F (skaler alanı) üzerinde bir vektör uzayı olarak düşünülebilir . Boyut bu vektör alanı olarak adlandırılır alan uzantısına derecesi ve [E: F] ile ifade edilir.

Derece sonlu veya sonsuz olabilir, alan buna göre sonlu bir uzantı veya sonsuz bir uzantı olarak adlandırılır . Bir E / F uzantısının , eğer sonlu bir uzantı ise, bazen sadece sonlu olduğu söylenir ; bu, alanların kendilerinin sonlu alanlar (sonlu sayıda öğeye sahip alanlar) olmasıyla karıştırılmamalıdır .

Derece , bir alanın aşkınlık derecesi ile karıştırılmamalıdır ; Örneğin, alan S ( x arasında) rasyonel fonksiyonlar üzerinde sonsuz derecesine sahip Q , fakat aşma derecesi sadece 1'e eşittir.

Dereceler için çokluk formülü

Bir kulede düzenlenmiş üç alan verildiğinde , diyelim ki K , L' nin bir alt alanıdır ve bu da M'nin bir alt alanıdır , üç uzantının L / K , M / L ve M / K dereceleri arasında basit bir ilişki vardır :

${\displaystyle [M:K]=[M:L]\cdot [L:K].}$

Başka bir deyişle, "alt"tan "üst" alana giden derece, "alttan" "orta"ya ve sonra "orta"dan "yukarıya" giden derecelerin sadece ürünüdür. Bu tamamen benzer bir Lagrange teoreminin içinde grup teorisi düzen ve bir grubun sırasını ilgilidir, endeks aslında - bir alt grubun Galois kuramı bu benzetme daha adil bir tesadüften öte olduğunu gösterir.

Formül hem sonlu hem de sonsuz dereceli uzantılar için geçerlidir. Sonsuz durumda, çarpım, kardinal sayıların çarpımı anlamında yorumlanır . Özellikle, eğer bu araçlarının M / K sonlu, daha sonra her iki M / L ve L / K sınırlı.

Eğer M / K sonlu ardından formül arasında oluşabilecek alanların türlü güçlü kısıtlamalar getirir M ve K basit aritmetik hususlar aracılığıyla. Örneğin, [ M : K ] derecesi bir p asal sayı ise , herhangi bir L ara alanı için iki şeyden biri gerçekleşebilir: ya [ M : L ] = p ve [ L : K ] = 1, ki burada durum L , K'ye eşittir veya [ M : L ]=1 ve [ L : K ]= p , bu durumda L , M'ye eşittir . Bu nedenle, ara alanlar yoktur ( M ve K'nin kendileri dışında ).

Sonlu durumda çarpım formülünün kanıtı

K , L ve M'nin yukarıdaki derece formülünde olduğu gibi bir alan kulesi oluşturduğunu ve hem d = [ L : K ] hem de e = [ M : L ] sonlu olduğunu varsayalım . Bu , L üzerinde K için bir temel { u ₁ , ..., u _d } ve M bölü L için bir temel { w ₁ , ..., w _e } seçebileceğimiz anlamına gelir . Biz elemanlarının gösterir u _m w _n için, m , 1 arasında değişen 2, ..., d ve n arasında yoluyla, 1, 2, ..., e , temel oluşturmak M / K ; tam orada beri de bunların, bu boyutu kanıtlıyor M / K edilir de istenilen sonucu olan.

İlk önce M / K'yi yaydıklarını kontrol ediyoruz . Eğer X herhangi bir elemanıdır , M , o zamandan beri w _n için bir temel oluşturmak M fazla L , biz elemanları bulmak için bir _n de L şekildedir

${\displaystyle x=\sum _{n=1}^{e}a_{n}w_{n}=a_{1}w_{1}+\cdots +a_{e}w_{e}.}$

Daha sonra, bu yana u _m için bir temel oluşturan L boyunca K biz elemanları bulmak için, b _{m , n,} içinde K örneğin her biri için bu n ,

${\displaystyle a_{n}=\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}=b_{1,n}u_{1}+\cdots +b_{d,n }u_{d}.}$

Kullanarak Sonra dağıtıcı yasa ve birleşim çarpımın M Elimizdeki

${\displaystyle x=\sum _{n=1}^{e}\left(\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}\sağ)w_{n}= \sum _{n=1}^{e}\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}(u_{m}w_{n}),}$

ki bu Şekil X doğrusal bir kombinasyonudur u _m w _n den katsayılı K ; başka bir deyişle, M bölü K'yi kapsarlar .

İkinci olarak, bunların K üzerinde lineer bağımsız olduklarını kontrol etmeliyiz . Yani varsayalım

${\displaystyle 0=\sum _{n=1}^{e}\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}(u_{m}w_{n})}$

bazı katsayılar için b _{m , n} in K . Dağılım ve çağrışımları tekrar kullanarak terimleri şu şekilde gruplayabiliriz:

${\displaystyle 0=\sum _{n=1}^{e}\left(\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}\sağ)w_{n}, }$

ve parantez içindeki terimlerin sıfır olması gerektiğini görüyoruz, çünkü bunlar L' nin elemanlarıdır ve w _n , L üzerinde lineer olarak bağımsızdır . Yani,

${\displaystyle 0=\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}}$

her biri için n . Sonra, çünkü b _{m , n,} katsayıları olan K ve U _m üzerinde lineer bağımsız olan K , bunu olmalıdır b _{m , n} tümü için = 0 m ve tüm n . Bu, u _m w _n öğelerinin K üzerinde lineer olarak bağımsız olduğunu gösterir . Bu, kanıtı tamamlar.

Sonsuz durumda formülün kanıtı

Bu durumda, bazlar ile başlar u _a ve a _P ve L / K ve M / L α bir indeksleme grubu alınır sırasıyla A bir indeksleme seti ve β B . Yukarıdakine tamamen benzer bir argüman kullanarak, u _α w _β ürünlerinin M / K için bir temel oluşturduğunu buluruz . Bunlar, tanımı gereği, A ve B'nin kardinalitelerinin çarpımına eşit olan kardinaliteye sahip olan Kartezyen A × B çarpımı tarafından indekslenir .

Örnekler

• Karmaşık sayılar üzerinde alan uzantısı gerçek sayılar derecesine sahip [ C : R, ] = 2, ve dolayısıyla önemsiz olmayan vardır alanları , aralarında.
• Cisim genişlemesi S ( √ 2 , √ 3 ), bitişik ile elde √ 2 ve √ 3 alanını Q bir rasyonel sayı , olduğu, derece 4 sahiptir: [ S ( √ 2 , √ 3 ): S ] = 4. Ara alan Q ( √ 2 ) , Q üzerinde 2. dereceye sahiptir ; çarpım formülünden [ Q ( √ 2 , √ 3 ): Q ( √ 2 )] = 4/2 = 2 olduğu sonucuna varırız .
• Sonlu alan (Galois alanı) GF (125) = GF (5 ³ ) 3 derecesi, alt alan üzerinde sahip GF (5). Eğer Daha genel olarak, p bir ana ve bir n , m, pozitif tam sayılardır , n bölünmesi m , sonra [ GF ( s ^m :) GF ( p ^{, n} =)] m / n .
• Cisim genişlemesi Cı ( T ) / C , C ( T ) alanıdır rasyonel fonksiyonların fazla C , sonsuz derece (gerçekten de bir sahiptir saf aşkın uzantısı). Bu, 1, T , T ² vb. öğelerin C üzerinde lineer olarak bağımsız olduğunu gözlemleyerek görülebilir .
• Cisim genişlemesi Cı ( T ² ), aynı zamanda üzerinde sonsuz derecesine sahip C . Görüntüleyip Ancak, C ( T ² bir alt alanı olarak) C ( T ), daha sonra aslında [ C ( T ): C ( T ² )], daha fazla genel olarak 2. = X ve Y'nin olan cebirsel eğrileri bir alan üzerinde K ve F  : X → Y , aralarında d derecesi olan bir surjektif morfizmdir , o zaman K ( X ) ve K ( Y ) fonksiyon alanlarının her ikisi de K üzerinde sonsuz derecededir , ancak derece [ K ( X ): K ( Y )] d'ye eşit olduğu ortaya çıktı .

genelleme

İki Verilen bölme yüzük E ve F ile F içerdiği E ve çarpma ve eklenmesi F işlemlerin sınırlama getirilmeksizin E , biz düşünebiliriz E üzerinde bir vektör alanı olarak F iki şekilde: skalerler solda hareket sahip, [ E : F ] _l boyutu vererek ve sağda hareket etmelerini sağlayarak [ E : F ] _r boyutu vererek . İki boyutun uyuşması gerekmez. Ancak her iki boyut da bölme halkalarının kuleleri için bir çarpma formülünü karşılar; yukarıdaki ispat değişmeden sola etkili skalerler için geçerlidir.

Referanslar

• sayfa 215, Jacobson, N. (1985). Temel Cebir I . WH Freeman ve Şirketi. ISBN'si 0-7167-1480-9. Çarpımsallık formülünün kanıtı.
• sayfa 465, Jacobson, N. (1989). Temel Cebir II . WH Freeman ve Şirketi. ISBN'si 0-7167-1933-9. Sonsuz boyutlu durumu kısaca tartışır.