Ücretsiz modül - Free module

Gelen matematik , bir serbest modülü a, modül bir sahiptir temel , a, - jeneratör oluşan lineer bağımsız elemanlar. Her vektör uzayı ise bedelsiz modül, ancak halka katsayılarının bir değil bölünme halkası (bir alan içinde değişmeli durumda), sonra özgür olmayan modüller de bulunmaktadır.

Herhangi bir S kümesi ve R halkası verildiğinde , S üzerindeki serbest modül veya S'nin elemanlarının formal R - doğrusal kombinasyonlarının modülü olarak adlandırılan, S tabanlı bir serbest R- modülü vardır .

Bir serbest değişmeli grup tam halka üzerinde bir serbest modülüdür Z ait tamsayılar .

Tanım

Bir halka ve bir - modül için küme , aşağıdakiler için bir temel oluşturur : ${\görüntüleme stili R}$${\görüntüleme stili R}$ ${\görüntüleme stili M}$${\ Displaystyle E\subseteq M}$${\görüntüleme stili M}$

• ${\görüntüleme stili E}$a, jeneratör için ; başka bir deyişle, öğesinin her öğesi, içindeki katsayılarla çarpılan öğelerin sonlu bir toplamıdır ; ve${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili R}$
• ${\görüntüleme stili E}$bir lineer bağımsız olduğu, her alt-grup için ayrı elemanları , ifade eder (burada sıfır elemanıdır ve sıfır elemanıdır ).${\displaystyle \{e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\}}$${\görüntüleme stili E}$${\displaystyle r_{1}e_{1}+r_{2}e_{2}+\cdots +r_{n}e_{n}=0_{M}}$${\displaystyle r_{1}=r_{2}=\cdots =r_{n}=0_{R}}$${\ Displaystyle 0_{M}}$${\görüntüleme stili M}$${\ Displaystyle 0_{R}}$${\görüntüleme stili R}$

Ücretsiz modül, temeli olan bir modüldür.

Tanımın ikinci yarısının doğrudan bir sonucu, ilk yarıdaki katsayıların M'nin her elemanı için benzersiz olmasıdır .

Eğer var değişmez baz sayısı , daha sonra tanımlama herhangi iki baz aynı önem düzeyi vardır. Örneğin, sıfır olmayan değişmeli halkalar değişmez taban numarasına sahiptir. Herhangi bir (ve dolayısıyla her) bazın kardinalitesine serbest modülün sırası denir . Bu kardinalitesi sonlu ise, serbest modül olduğu söylenir sonlu değerde serbest veya rütbe serbest n rütbe olduğu biliniyorsa n . ${\görüntüleme stili R}$${\görüntüleme stili M}$

Örnekler

Let R, bir halka meydana.

• R , kendi başına birinci dereceden serbest bir modüldür (sol veya sağ modül olarak); herhangi bir birim elemanı bir temeldir.
• Daha genel olarak, varsa R ' , sıfır olmayan bir yere, değişmeli ı arasında R bağımsız olması ve bir jeneratör esas olan bir nonzerodivisor tarafından oluşturulan bir ana doğru, ise.
• Eğer R, değişmeli, polinom halka belirsiz olarak X olası olarak 1 ile serbest bir modüldür, X , X, ² , ....${\görüntüleme stili R[X]}$
• Izin değişmeli bir halka üzerinde bir polinom halkası A , f bir mghorta polinom derecesi d vardır, ve görüntü t olarak B . Daha sonra B içeren A bir bölüm halkasının gibi bir serbest olan bir esas ile Modül .${\ Displaystyle A[t]}$${\ Displaystyle B=A[t]/(f)}$${\görüntüleme stili \xi }$${\displaystyle 1,\xi ,\dots ,\xi ^{d-1}}$
• Negatif olmayan bir tamsayı için n , , kartezyen bir ürün ve n- kopyaları R , bir sol olarak R Modül, serbesttir. Eğer R ' yer alır değişmez baz sayısı , daha sonra seviye olduğunu n .${\displaystyle R^{n}=R\times \cdots \times R}$
• Serbest modüllerin doğrudan toplamı serbestken, serbest modüllerin sonsuz kartezyen çarpımı genellikle serbest değildir (bkz. Baer-Specker grubu .)
• Kaplansky'nin teoremi , yerel bir halka üzerindeki bir projektif modülün ücretsiz olduğunu belirtir.

Resmi lineer kombinasyonlar

E kümesi ve R halkası verildiğinde, temeli E olan serbest bir R modülü vardır : yani, E tarafından indekslenen R kopyalarının doğrudan toplamı

${\displaystyle R^{(E)}=\bigoplus _{e\in E}R}$.

Açıkça, yalnızca sonlu sayıda sıfır olmayan bileşene sahip öğelerden oluşan Kartezyen çarpımının ( R , örneğin bir sol modül olarak görülüyor) alt modülüdür . Bir kutu gömmek E halinde R ^{( E ),} bir eleman belirleyerek bir alt kümesi olarak e o ile R ^{( E ),} kimin e inci kısmı 1, (bütünlüğü olan R ) ve tüm diğer bileşenler sıfırdır. O zaman R ^{( E ) '} nin her elemanı benzersiz olarak şu şekilde yazılabilir: ${\textstyle \prod _{E}R}$

${\displaystyle \sum _{e\in E}c_{e}e,}$

burada sadece sonlu sayıda sıfırdan farklıdır. E'nin elemanlarının resmi bir lineer kombinasyonu olarak adlandırılır . ${\displaystyle c_{e}}$

Benzer bir argüman, her serbest sol (veya sağ) R modülünün, sol (ilgili sağ) modül olarak R'nin kopyalarının doğrudan toplamına izomorf olduğunu gösterir .

Başka bir inşaat

Serbest modül R ^{( E )} aşağıdaki eşdeğer şekilde de oluşturulabilir.

Bir R halkası ve bir E kümesi verildiğinde , önce bir küme olarak

${\displaystyle R^{(E)}=\{f:E\to R\mid f(x)=0{\text{ sonlu sayıda hariç tümü için}}x\in E\}.}$

Ekleme şu şekilde tanımlanacak şekilde bir sol modülün yapısı ile donatıyoruz: için x in E ,

${\görüntüleme stili (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$

ve skaler çarpma: için r içinde R ve x de E ,

${\görüntüleme stili (rf)(x)=r(f(x))}$

Şimdi, E üzerinde R- değerli bir fonksiyon olarak , her f in benzersiz olarak şu şekilde yazılabilir: ${\görüntüleme stili R^{(E)}}$

${\displaystyle f=\sum _{e\in E}c_{e}\delta _{e}}$

burada bulunan R ve bunların sadece sonlu sayıda sıfırdan farklı ve olarak verilmiştir ${\displaystyle c_{e}}$${\displaystyle \delta _{e}}$

${\displaystyle \delta _{e}(x)={\başlangıç{durumlar}1_{R}\quad {\mbox{if }}x=e\\0_{R}\quad {\mbox{eğer }} x\neq e\end{durumlar}}}$

(bu, Kronecker deltasının bir çeşididir .) Yukarıdaki, alt kümesinin ' nin bir temeli olduğu anlamına gelir . Eşleme , E ile bu temel arasındaki bir çiftlemedir . Bu teklif sayesinde, E tabanlı ücretsiz bir modüldür . ${\displaystyle \{\delta _{e}\orta e\E\}}$${\görüntüleme stili R^{(E)}}$${\görüntüleme stili R^{(E)}}$${\displaystyle e\mapsto\delta _{e}}$${\görüntüleme stili R^{(E)}}$

evrensel özellik

Yukarıda tanımlanan dahil etme eşlemesi aşağıdaki anlamda evrenseldir . Bir E kümesinden bir sol R- modülü N'ye rastgele bir fonksiyon verildiğinde , benzersiz bir modül homomorfizmi vardır ; yani, formülle tanımlanır: ${\displaystyle\iota :E\to R^{(E)}}$${\ Displaystyle f:E\'den N'ye}$ ${\displaystyle {\overline {f}}:R^{(E)}\to N}$${\displaystyle f={\overline {f}}\circ \iota }$${\displaystyle {\overline {f}}}$

${\displaystyle {\overline {f}}\left(\sum _{e\in E}r_{e}e\right)=\sum _{e\in E}r_{e}f(e)}$

ve lineerlikle genişletilerek elde edildiği söylenir . Her birinin teklik aracı R -linear harita benzersiz olarak belirlenir kısıtlama için E . ${\displaystyle {\overline {f}}}$${\görüntüleme stili f}$${\ Displaystyle R^{(E)}\'den N'ye}$

Genel özellikleri normal olarak, bu tanımlar R ^{( D )} kadar bir kanonik izomorfizm . Ayrıca her E kümesi için oluşumu bir işlev belirler.${\displaystyle\iota :E\to R^{(E)}}$

${\displaystyle R^{(-)}:{\textbf {Set}}\to R-{\mathsf {Mod}},\,E\mapsto R^{(E)}}$,

dan setleri kategorisinde sol kategorisine R -modüller. Serbest fonksiyon olarak adlandırılır ve doğal bir ilişkiyi sağlar: her bir E kümesi ve bir sol modül N için ,

${\displaystyle \operatöradı {Hom} _{\textbf {Set}}(E,U(N))\simeq \operatöradı {Hom} _{R}(R^{(E)},N),\,f \mapsto {\overline {f}}}$

nerede olduğunu unutkan funktoru , anlamı bir olan sol eşlenik unutkan functor. ${\displaystyle U:R-{\mathsf {Mod}}\to {\textbf {Ayar}}}$${\görüntüleme stili R^{(-)}}$

genellemeler

Halkalar üzerindeki genel modüller için yanlış olan serbest modüllerle ilgili birçok ifade, serbest modüllerin belirli genellemeleri için hala geçerlidir. Projektif modüller , serbest modüllerin doğrudan toplamıdır, bu yüzden bir serbest modüle bir enjeksiyon seçebilir ve bunun temelini projektif modül için bir şey kanıtlamak için kullanabilir. Daha zayıf genellemeler bile , kendileriyle gerdirmenin tam dizileri ve burulma içermeyen modülleri koruma özelliğine sahip olan düz modüllerdir . Halkanın özel özellikleri varsa, bu hiyerarşi çökebilir, örneğin herhangi bir mükemmel yerel Dedekind halkası için, burulma içermeyen her modül aynı zamanda düz, projektif ve serbesttir. Değişmeli bir PID'nin sonlu olarak oluşturulmuş burulma içermeyen modülü ücretsizdir. Sonlu olarak oluşturulmuş bir Z- modülü, ancak ve ancak düz ise ücretsizdir.

Bkz yerel halka , mükemmel yüzüğü ve Dedekind halka .

Ayrıca bakınız

• ücretsiz nesne
• projektif nesne
• ücretsiz sunum
• ücretsiz çözünürlük
• Quillen-Suslin teoremi
• kararlı bir şekilde ücretsiz modül
• genel özgürlük

Notlar

Referanslar

Bu makale , Creative Commons Atıf/Benzer Paylaşım Lisansı altında lisanslanan PlanetMath üzerinde bir dizi üzerinde serbest vektör uzayından alınan materyali içermektedir .

• Adamson, Iain T. (1972). Temel Halkalar ve Modüller . Üniversite Matematik Metinleri. Oliver ve Boyd. s. 65-66. ISBN'si 0-05-002192-3. MR  0345993 .
• Keown, R. (1975). Grup Temsil Teorisine Giriş . Bilim ve mühendislikte matematik. 116 . Akademik Basın. ISBN'si 978-0-12-404250-6. MR  0387387 .
• Govorov, VE (2001) [1994], "Serbest modül" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press.