işlev - Functor

In matematik , özellikle kategori teorisi , bir funktor bir olan haritalama arasındaki kategoriler . Fonksiyonlar ilk olarak cebirsel nesnelerin ( temel grup gibi ) topolojik uzaylarla ilişkilendirildiği ve bu cebirsel nesneler arasındaki haritaların uzaylar arasındaki sürekli haritalarla ilişkilendirildiği cebirsel topolojide düşünülmüştür . Günümüzde, çeşitli kategorileri ilişkilendirmek için modern matematikte işlevler kullanılmaktadır. Bu nedenle, kategori teorisinin uygulandığı matematiğin tüm alanlarında işlevler önemlidir .

Kategori ve functor kelimeleri matematikçiler tarafından sırasıyla Aristoteles ve Rudolf Carnap filozoflarından ödünç alındı . İkinci el funktor bir de dil bağlamda; fonksiyon kelimesine bakın .

Tanım

Let C ve D olmak kategoriler . Bir funktor F adlı C için D bir eşleme olmasıdır

• Her bir nesne ilişkilendiren de C , bir nesneye olarak D ,${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili F(X)}$
• Her morfizmalar ilişkilendiren de C , bir morfizma için de D , aşağıdaki iki koşul sahip olacak şekilde: ${\displaystyle f\kolon X\to Y}$${\displaystyle F(f)\iki nokta üst üste F(X)\to F(Y)}$
  • ${\displaystyle F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!}$Her nesne için de
  C ,${\görüntüleme stili X}$
• ${\displaystyle F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)}$Tüm Morfizm için ve de C .${\görüntüleme stili f\iki nokta üst üste X\to Y\,\!}$${\ Displaystyle g\ iki nokta üst üste Y\'den Z'ye}$

Yani, functorlar kimlik morfizmlerini ve morfizmlerin kompozisyonunu korumalıdır .

Kovaryans ve kontravaryans

Matematikte functor olacak birçok yapı vardır, ancak "morfizmleri tersine çevirdikleri" ve "ters kompozisyon" oldukları için. Daha sonra, bir tanımlamak kontravaryant funktor F adlı C için D bir eşleme edilene

• Her nesne için ortakları olarak C bir nesne ile de D ,${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili F(X)}$
• Her morfizma için iştirakçi olarak C bir morfizma ile de D , aşağıdaki iki koşul sahip olacak şekilde: ${\displaystyle f\kolon X\to Y}$${\displaystyle F(f)\iki nokta üst üste F(Y)\to F(X)}$
  • ${\displaystyle F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!}$Her nesne için de
  C ,${\görüntüleme stili X}$
• ${\displaystyle F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)}$Tüm Morfizm için ve de C .${\displaystyle f\kolon X\to Y}$${\ Displaystyle g\ iki nokta üst üste Y\'den Z'ye}$

Kontravariant functorların kompozisyonun yönünü tersine çevirdiğine dikkat edin.

Sıradan işlevlere, onları karşı değişken olanlardan ayırt etmek için kovaryant işlevler de denir . Birinin aynı zamanda karşıt kategoride bir kovaryant functor olarak bir kontravariant functor tanımlayabileceğini unutmayın . Bazı yazarlar tüm ifadeleri kovaryant olarak yazmayı tercih eder. Yani, kontravariant bir functor olduğunu söylemek yerine, basitçe yazarlar (veya bazen ) ve buna functor derler. ${\ Displaystyle C^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle F\kolon C\to D}$${\displaystyle F\kolon C^{\mathrm {op} }\D'ye}$${\displaystyle F\colon C\to D^{\mathrm {op} }}$

Kontravaryant fanktorlar de zaman zaman denilen vardır cofunctors .

"Vektörler" -yani, anlamına gelir, bir kural yoktur vektör alanları , bölümlerin alan elemanları a teğet demeti -as "kontravaryant" ve "covectors" -ie için 1-formları , bölümlerin alan elemanları arasında bir kotanjant demeti — "kovaryant" olarak. Bu terminoloji kaynaklandığı fizik ve gerekçesi endeksleri pozisyonda ( "üst kat" ve "aşağı") ile ilgilidir ifadeler gibi için veya için dönüşüm sembolü koordine olduğu görülmektedir Bu formalizmde (matris temsil ) temel vektörler üzerinde "kovektör koordinatları" üzerinde olduğu gibi "aynı şekilde" hareket eder : - oysa "vektör koordinatları" üzerinde "ters yönde" hareket eder (ancak temel kovektörler ile "aynı şekilde": ) . Bu sahip covectors olduğundan, bu terminoloji Kategori teorisi kullanılan bir aykırı pullbacks genel olarak ve bu nedenle olan kontravaryant genel olarak vektörler, oysa bildirdiğinden bunlar edilebildiğinden ileri itilir . Ayrıca bkz . Vektörlerin kovaryansı ve kontravaryansı . ${\görüntüleme stili \Gama (TM)}$ ${\ Displaystyle TM}$${\görüntüleme stili \Gama (T^{*}M)}$ ${\görüntüleme stili T^{*}M}$${\displaystyle x'^{\,i}=\Lambda _{j}^{i}x^{j}}$${\displaystyle \mathbf {x} '={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} }$${\displaystyle \omega '_{i}=\Lambda _{i}^{j}\omega _{j}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}'={\boldsymbol {\omega }}{\boldsymbol {\Lambda }}^{T}.}$${\ Displaystyle \ Lambda _ {i}^{j}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}^{T}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\Lambda _{i}^{j}\mathbf {e} _{j}}$${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}=\Lambda _{j}^{i}\mathbf {e} ^{j}}$

Zıt işlev

Her funktor neden ters functor , ve vardır zıt kategorileri için ve . Tanım olarak, nesneleri ve morfizmleri ile aynı şekilde eşler . Yana örtüşmemektedir bir kategori olarak ve benzer için , ayırt edilir . Örneğin, ile beste yaparken , biri veya kullanmalıdır . Zıt kategori özelliğinin ardından , . ${\displaystyle F\kolon C\to D}$ ${\displaystyle F^{\mathrm {op} }\colon C^{\mathrm {op} }\to D^{\mathrm {op} }}$${\ Displaystyle C^{\mathrm {op} }}$${\ Displaystyle D^{\mathrm {op} }}$${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili D}$${\displaystyle F^{\mathrm {op} }}$${\görüntüleme stili F}$${\ Displaystyle C^{\mathrm {op} }}$${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili D}$${\displaystyle F^{\mathrm {op} }}$${\görüntüleme stili F}$${\displaystyle F\colon C_{0}\to C_{1}}$${\displaystyle G\colon C_{1}^{\mathrm {op} }\to C_{2}}$${\displaystyle G\circ F^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle G^{\mathrm {op} }\circ F}$${\displaystyle (F^{\mathrm {op} })^{\mathrm {op} }=F}$

Bifunctors ve multifunctors

Bifunctor ( ikili işlev olarak da bilinir ), etki alanı bir ürün kategorisi olan bir işlevdir . Örneğin, Hom işlevi C ^op × C → Set türündedir . İki argümanda bir functor olarak görülebilir . Hom funktoru doğal bir örnektir; bir argümanda kontravaryant, diğerinde kovaryanttır.

Çok işlevli , işlev kavramının n değişkene genelleştirilmesidir . Bu nedenle, örneğin, bir çift işlevli, n = 2 olan bir çok işlevlidir .

Örnekler

Diyagram : kategoriler için C ve J , tip bir diyagramıdır J bölgesindeki C kovaryant funktor olup. ${\ Displaystyle D\ iki nokta üst üste J\'den C'ye}$

(Kategori teorik) presheaf : kategoriler için C ve J , bir J üzerinde -presheaf C bir kontravaryant funktor olup. ${\displaystyle D\iki nokta üst üste C\to J}$

Presheaves: Eğer X bir olan topolojik uzay , daha sonra açık kümeler halinde X bir formu kısmen sıralı dizi Aç ( X dahil altında). Her kısmi sıralı kümesi gibi, Açık ( X ) tek ok ekleyerek küçük bir kategoriyi oluşturan U → V ancak ve ancak . Açık (on kontravaryant fanktorlar X ) olarak adlandırılan presheaves üzerinde X . Örneğin, her açık set atayarak U birleştirici cebir gerçek değerli sürekli fonksiyonların U , tek bir ilgili cebirlerin bir presheaf elde X . ${\ Displaystyle U\subseteq V}$

Sabit funktor: funktor C → D her nesne haritalar C sabit bir nesne için X olarak D ve her morfizmalar C ile kimlik morfizma için X . Bu tür bir funktor denen sabit ya da seçim funktoru.

Endofunctor : Bir kategoriyi aynı kategoriye eşleyen bir işlev; örneğin, polinom functor .

Identity functor : C kategorisinde , 1 _C veya id _{C olarak} yazılır , bir nesneyi kendisine ve bir morfizmi kendisine eşler. Kimlik functor bir endofunctor.

Çapraz funktor : diyagonal funktor gelen funktor olarak tanımlanır D funktoru kategori D ^Cı her nesne gönderir D bu nesne sabit functor.

Limit functor : Sabit bir indeks kategorisi J için , eğer her J → C fonksiyon bir limite sahipse (örneğin C tamamlanmışsa), o zaman limit functor C ^J → C her bir fonksiyona kendi limitini atar. Bu işlevin varlığı , köşegen işleve sağ-eklemli olduğu fark edilerek ve Freyd birleşik işlev teoremi çağrılarak kanıtlanabilir . Bu , tercih edilen aksiyomun uygun bir versiyonunu gerektirir . Benzer açıklamalar, colimit işlevi için de geçerlidir (her işleve kendi colimitini atar ve kovaryanttır).

Güç functor ayarlar: Güç seti funktoru P  : Set → Seti onun için her set eşleyen güç seti ve her işlevi gönderir haritaya imajının . Bir de düşünebiliriz kontravaryant kuvvet kümesi functor gönderir gönderir haritaya onun için ters görüntüsü${\displaystyle f\kolon X\to Y}$${\ Displaystyle U\in {\matematiksel {P}}(X)}$${\displaystyle f(U)\in {\mathcal {P}}(Y)}$${\displaystyle f\kolon X\to Y}$${\görüntüleme stili V\alt küme Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(V)\subseteq X.}$

Örneğin, eğer öyleyse . Diyelim ve . Daha sonra herhangi bir alt gönderir fonksiyonu arasında olan görüntüye bu durumda vasıtalarının, , eşleme altından gösterir , bu da aşağıdaki gibi yazılabilir olabilir, böylece . Diğer değerleri için, dikkat sonuç oluşturur önemsiz topolojisi ile . Ayrıca , bu örnekteki işlevin güç kümesiyle eşlenmesine rağmen, genel olarak durumun böyle olması gerekmediğine dikkat edin. ${\displaystyle X=\{0,1\}}$${\displaystyle F(X)={\matematiksel {P}}(X)=\{\{\},\{0\},\{1\},X\}}$${\displaystyle f(0)=\{\}}$${\görüntüleme stili f(1)=X}$${\görüntüleme stili F(f)}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili f(U)}$${\displaystyle \{\}\mapsto f(\{\})=\{\}}$${\ Displaystyle \mapsto }$${\görüntüleme stili F(f)}$${\görüntüleme stili (F(f))(\{\})=\{\}}$${\displaystyle \{0\}\mapsto f(\{0\})=\{f(0)\}=\{\{\}\},\{1\}\mapsto f(\{1\ })=\{f(1)\}=\{X\},\{0,1\}\mapsto f(\{0,1\})=\{f(0),f(1)\ }=\{\{\},X\}.}$${\görüntüleme stili f(\{0,1\})}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili X}$

İkili vektör uzayı :Hervektör uzayınakendidual uzayınıve herlineer haritayadualini veya devrikiniatayanharita, sabit biralanüzerindeki tüm vektör uzayları kategorisindenkendisinekarşı değişken bir fonksiyondur.

Temel grup: Sivri topolojik uzaylar kategorisini düşünün , yani ayırt edici noktaları olan topolojik uzaylar. Nesneler çiftlerdir ( X , x ₀ ) , burada X bir topolojik uzaydır ve x ₀ , X'te bir noktadır . A morfizmanın ( X , X ₀ ) için ( Y , Y ₀ ) , bir tarafından verilir sürekli harita f  : X → Y ile f ( x ₀ ) = y ₀ .

Her topolojik alanı için X ayırt edici noktası x ₀ , tek bir tanımlayabilir temel grup en göre x _{, 0} gösterilen, π ₁ ( X , x ₀ ) . Bu grup içinde Homotopy esas alınarak ilmeklerin sınıfları x ₀ birleştirme grubu işlemi ile. Eğer f  : X → Y, bir morfizmanın olan sivri boşluklar daha sonra her döngü, X temel nokta ile x ₀ ile oluşabilir f bir döngü elde etmek için Y , temel noktası ile y ₀ . Bu işlem, homotopi denklik bağıntısı ve döngülerin bileşimi ile uyumludur ve π( X , x ₀ ) ile π( Y , y ₀ ) arasında bir grup homomorfizmi elde ederiz . Böylece sivri topolojik uzaylar kategorisinden gruplar kategorisine bir işlev elde ederiz .

Topolojik uzaylar kategorisinde (ayırt edici noktası olmayan), genel eğrilerin homotopi sınıfları düşünülür, ancak bir bitiş noktasını paylaşmadıkça oluşturulamazlar. Böylece temel grup yerine temel grupoid elde edilir ve bu yapı işlevseldir.

Sürekli fonksiyonların cebiri: topolojik uzaylar kategorisinden (morfizmler olarak sürekli haritalar ile) gerçek ilişkisel cebirler kategorisine bir karşı değişken fonksiyon, her topolojik uzay X'e tüm gerçek değerli sürekli fonksiyonların cebiri C( X ) atanarak verilir. o boşlukta. Her sürekli harita f  : X → Y bir cebir homomorfizmasını indükler C( f ) : C( Y ) → C( X ) kuralı C( f )( φ ) = φ ∘ f C( Y ' deki her φ için ).

Tanjant ve cotangent grupları: her gönderir harita türevlenebilir manifoldu onun için tanjant demeti her düz harita kendi için türevinin kategorisine türevlenebilir manifoldlarının kategorisinden bir bildirdiğinden funktor olan vektör demetleri .

Bu yapıları noktasal olarak yapmak , sivri diferansiyellenebilir manifoldlar kategorisinden gerçek vektör uzayları kategorisine bir kovaryant fonksiyon olan teğet uzayı verir . Benzer şekilde, kotanjant uzay bir karşı değişken fonksiyondur, esasen yukarıdaki ikili uzay ile teğet uzayın bileşimidir .

Grup eylemleri/temsilleri: Her G grubu , morfizmleri G öğesinin öğeleri olan tek bir nesneye sahip bir kategori olarak düşünülebilir . A funktor G için Set sonra bir şey değildir olan grup etkisi arasında G , belirli bir dizi, örneğin, bir ile G -Set. Benzer şekilde, bir funktor G için vektör uzayı kategorisinde , Vect _K , a, doğrusal temsili bir G . Genel olarak, bir G → C işlevi , C kategorisindeki bir nesne üzerinde G'nin bir "eyimi" olarak düşünülebilir . Eğer C grubudur, daha sonra bu eylem bir grup homomorfizma.

Lie cebirleri: Her gerçek (karmaşık) Lie grubuna gerçek (karmaşık) Lie cebiri atamak bir işlev tanımlar.

Tensör ürünler: Eğer Cı sabit bir alan üzerinde vektör uzayı kategorisini belirtir doğrusal haritalar morfizimler, daha sonra da tensör ürün bir functor tanımlar Cı x Cı → Cı iki bağımsız değişkenleri bildirdiğinden olan. ${\görüntüleme stili V\otimes W}$

Unutkan fanktorlar: funktor U  : Grp → Seti bir harita grubu altında yatan setine ve bir grup homomorfizması setlerinin altında yatan işleve bir funktoru olduğunu. Bazı yapıları "unutan" bu gibi işlevlere unutkan işlevler denir . Başka bir örnek, bir halkayı temeldeki katkı değişmeli grubuna eşleyen Rng → Ab functor'dur . İçinde morfizmalar rasgele sayı üreteci ( halka homomorfizmleri ) içerisinde morfizimler haline Ab (değişmeli grup homorfizmleri).

Serbest işlevler: Unutkan işlevcilerin ters yönüne gitmek serbest işlevlerdir. Ücretsiz funktor F  : Set → Grp her set gönderir X için serbest grubun ürettiği X . Fonksiyonlar, serbest gruplar arasındaki grup homomorfizmalarına eşlenir. Yapılandırılmış kümelere dayalı birçok kategori için ücretsiz yapılar mevcuttur. Ücretsiz nesneye bakın .

Homomorfi grupları: her çifti için , A , B ve değişmeli grupları bir değişmeli grubu Hom (atayabilir bir , B her oluşan) grubu homomorfizmalar gelen A için B . Bu, birinci argümanda kontravaryant ve ikinci argümanda kovaryant olan bir functordur, yani bir functor Ab ^op × Ab → Ab'dir (burada Ab , grup homomorfizmaları olan değişmeli grupların kategorisini belirtir ). Eğer f  : A ₁ → bir ₂ ve g  : B ₁ → oda ₂ içinde morfizimler olan Ab , ardından grup homomorfizması Hom ( f , g ) : Hom ( A ₂ , B ₁ ) → Hom ( A ₁ , B ₂ ) olduğu tarafından verilen φ ↦ g ∘ φ ∘ f . Bkz. Hom functor .

Temsil edilebilir işlevler: Önceki örneği herhangi bir C kategorisine genelleyebiliriz . Her çift için X , Y, nesnelerin C bir set atayabilir Hom ( X , Y, ) gelen Morfizmlerin X için Y . Bu , ilk argümanda ters değişken ve ikincide kovaryant olan Set için bir işlev tanımlar , yani bu bir işlevdir C ^op × C → Set . Eğer f  : X, ₁ → x ₂ ve g  : Y, ₁ → Y ₂ içinde morfizimler olan C , sonra harita, Hom ( f , g Hom (:) x ₂ , Y, ₁ ) → Hom ( X ₁ , Y, ₂ ) verilmektedir tarafından φ ↦ g ∘ φ ∘ f .

Bunun gibi işlevlere temsil edilebilir işlevler denir . Birçok ortamda önemli bir amaç, belirli bir işlevcinin temsil edilebilir olup olmadığını belirlemektir.

Özellikleri

Functor aksiyomlarının iki önemli sonucu şunlardır:

• F , C'deki her değişmeli diyagramı D' deki değişmeli diyagrama dönüştürür ;
• Eğer f bir olduğunu izomorfizm olarak C , daha sonra F ( f ) 'de bir izomorfizm olan D .

Eğer bir örneğin, fanktorlar oluşturmak için F adlı bir funktor olan A için B ve G, bir funktor olan B için C kompozit functor oluşturabilen sonra bir G ∘ F adlı A için C . Fonksiyonların bileşimi tanımlandığı yerde ilişkiseldir. İşlevlerin bileşiminin kimliği, kimlik işlevidir. Bu, functorların kategori kategorilerinde, örneğin küçük kategoriler kategorisinde morfizmler olarak kabul edilebileceğini gösterir .

Tek nesneli küçük bir kategori monoid ile aynı şeydir : tek nesne kategorisinin morfizmleri monoidin öğeleri olarak düşünülebilir ve kategorideki kompozisyon monoid işlemi olarak düşünülebilir. Tek nesne kategorileri arasındaki işlevler, monoid homomorfizmlerine karşılık gelir . Yani bir anlamda, keyfi kategoriler arasındaki işlevler, monoid homomorfizmaların birden fazla nesneye sahip kategorilere bir tür genelleştirilmesidir.

Diğer kategorik kavramlarla ilişkisi

Let C ve D olmak kategoriler. Tüm functors toplanması C için D : Bir kategori nesne oluşturan funktoru kategorisi . Bu kategorideki morfizmalar, functorlar arasındaki doğal dönüşümlerdir .

İşlevler genellikle evrensel özelliklerle tanımlanır ; örnekler tensör çarpımı , grupların veya vektör uzaylarının doğrudan toplamı ve doğrudan çarpımı , serbest grup ve modüllerin inşası, doğrudan ve ters limitlerdir. Limit ve colimit kavramları yukarıdakilerin birkaçını genelleştirir.

Evrensel yapılar genellikle birleşik işlev çiftlerine yol açar .

Bilgisayar uygulamaları

İşlevler bazen işlevsel programlamada görünür . Örneğin, programlama dili Haskell bir sahip sınıf bir olduğunu polytypic fonksiyonu eşleştirmek için kullanılan fonksiyonlar ( morfizimler üzerinde HASK bazı yeni türleri arasında fonksiyonlara mevcut türleri arasında, Haskell tiplerinin kategorisinde). Functorfmap

Ayrıca bakınız

• işlev kategorisi
• Kan uzantısı
• sözde fonktör

Notlar

Referanslar

• Jacobson, Nathan (2009), Temel cebir , 2 (2. baskı), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7.

Dış bağlantılar

• "Functor" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
• bkz functor içinde nLab ve orada tartışıldığı ve bağlantılı varyasyonları.
• André Joyal , CatLab , kategorik matematiğin açıklanmasına adanmış bir wiki projesi
• Hillman, Chris. "Kategorik Bir Astar". CiteSeerX  10.1.1.24.3264 : |url=Kategori teorisine eksik veya boş ( yardım ) resmi giriş.
• J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, Soyut ve Somut Kategoriler-Kedilerin Sevinci
• Stanford Felsefe Ansiklopedisi : " Kategori Teorisi " — Jean-Pierre Marquis tarafından. Kapsamlı bibliyografya.
• kategori teorisi üzerine akademik konferansların listesi
• Baez, John, 1996," The Tale of n -category. " Daha yüksek dereceli kategorilere resmi olmayan bir giriş.
• WildCats , Mathematica için bir kategori teorisi paketidir . Nesnelerin manipülasyonu ve görselleştirilmesi, morfizmler , kategoriler, işlevler, doğal dönüşümler , evrensel özellikler .
• Catsters , kategori teorisi hakkında bir YouTube kanalı.
• Kategoriler, mantık ve fiziğin temelleri ile ilgili kaydedilmiş konuşmaların video arşivi .
• Sonlu kümeler kategorisinde kategorik yapı örnekleri üreten etkileşimli Web sayfası .