Kategori teorisi - Category theory

X , Y , Z nesneleri ve f , g , g ∘ f morfizmleriyle bir kategorinin şematik gösterimi . (Kategorinin üç özdeşlik morfizmi 1 _X , 1 _Y ve 1 _Z , açıkça temsil edilirse, sırasıyla X, Y ve Z harflerinden üç ok olarak görünecektir.)

Kategori teorisi, matematiksel yapıyı ve onun kavramlarını , düğümleri nesneler olarak adlandırılan ve etiketli yönlendirilmiş kenarları oklar (veya morfizmler ) olarak adlandırılan kategori adı verilen etiketli bir yönlendirilmiş grafik açısından biçimlendirir . Bir kategorinin iki temel özelliği vardır: okları ilişkisel olarak oluşturma yeteneği ve her nesne için bir kimlik okunun varlığı . Kategori teorisinin dili, kümeler , halkalar ve gruplar gibi diğer üst düzey soyutlamaların kavramlarını resmileştirmek için kullanılmıştır . Gayri resmi olarak, kategori teorisi genel bir fonksiyonlar teorisidir .

Kategori teorisinde kullanılan "morfizm" terimi de dahil olmak üzere birçok terim, matematiğin geri kalanındaki kullanımlarından farklı olarak kullanılmaktadır. Kategori teorisinde morfizmler, kategori teorisinin kendisine özgü koşullara uyar.

Samuel Eilenberg ve Saunders Mac Lane , matematiksel yapıyı koruyan süreçleri anlamak amacıyla cebirsel topoloji çalışmalarında 1942-45 yılları arasında kategoriler, işlevler ve doğal dönüşümler kavramlarını tanıttı .

Kategori teorisinin programlama dili teorisinde pratik uygulamaları vardır , örneğin fonksiyonel programlamada monadların kullanımı . Ayrıca matematik için aksiyomatik bir temel olarak, küme teorisine ve önerilen diğer temellere alternatif olarak kullanılabilir .

Temel konseptler

Kategoriler, diğer matematiksel kavramların soyutlamalarını temsil eder. Matematik Birçok alanda olduğu gibi kategori teorisi ile resmiyet edilebilir kategoriler . Bu nedenle kategori teorisi, bu alanlardaki birçok karmaşık ve ince matematiksel sonucu çok daha basit bir şekilde ifade etmeyi ve kanıtlamayı mümkün kılmak için soyutlamayı kullanır.

Bir kategorinin temel bir örneği , nesnelerin kümeler olduğu ve okların bir kümeden diğerine işlevler olduğu kümeler kategorisidir . Ancak, bir kategorinin nesnelerinin kümelenmesine ve okların işlev olmasına gerek yoktur. Matematiksel bir kavramı nesnelerin ve okların davranışına ilişkin temel koşulları karşılayacak şekilde resmileştirmenin herhangi bir yolu geçerli bir kategoridir ve kategori teorisinin tüm sonuçları ona uygulanır.

Kategori teorisinin "oklarının" genellikle iki nesneyi birbirine bağlayan bir süreci veya birçok durumda iki nesneyi birbirine bağlayan "yapıyı koruyan" bir dönüşümü temsil ettiği söylenir. Bununla birlikte, çok daha soyut kavramların nesneler ve morfizmlerle temsil edildiği birçok uygulama vardır. Okların en önemli özelliği, "oluşturulabilmeleri", yani yeni bir ok oluşturacak şekilde sıralanabilmeleridir.

kategorilerin uygulamaları

Kategoriler şimdi matematiğin birçok dalında görünür, bazı alanları teorik bilgisayar bilimleri karşılık geldikleri edebilir türleri veya veritabanı şemaları ve matematiksel fizik onlar tanımlamak için kullanılabilecek vektör alanları . Muhtemelen kategori teorisinin saf matematik dışındaki ilk uygulaması, Robert Rosen'ın otonom canlı organizmaların "metabolizma-onarım" modeliydi .

Yarar

Kategoriler, nesneler ve morfizmler

Kategorilerin incelenmesi, ilgili matematiksel yapıların çeşitli sınıflarında yaygın olarak bulunanları, aralarındaki yapıyı koruyan fonksiyonlarla ilişkilendirerek aksiyomatik olarak yakalama girişimidir . Kategori teorisinin sistematik bir incelemesi, bir kategorinin aksiyomlarından bu tür matematiksel yapıların herhangi biri hakkında genel sonuçları kanıtlamamıza izin verir.

Aşağıdaki örneği düşünün. Sınıf Grp ait gruplar "grup yapısı" sahip olan tüm nesnelerin oluşur. Grupları tanımlayan aksiyomlar kümesinden mantıksal çıkarımlar yaparak gruplarla ilgili teoremleri kanıtlamaya devam edilebilir . Örneğin, bir grubun kimlik öğesinin benzersiz olduğu aksiyomlardan hemen kanıtlanır .

Kategori teorisi, yalnızca belirli bir yapıya sahip olan bireysel nesnelere (örn. gruplar) odaklanmak yerine, bu nesneler arasındaki morfizmleri – yapıyı koruyan eşlemeleri – vurgular ; Bu morfizmleri inceleyerek, nesnelerin yapısı hakkında daha fazla bilgi edinilebilir. Gruplar söz konusu olduğunda, morfizmler grup homomorfizmalarıdır . İki grup arasındaki bir grup homomorfizmi tam anlamıyla "grup yapısını korur"; gayri resmi olarak, birinci grubun yapısı hakkındaki bilgileri ikinci gruba taşıyacak şekilde bir grubu diğerine götüren bir "süreç"tir. Grup homomorfizmalarının incelenmesi, grupların genel özelliklerini ve grup aksiyomlarının sonuçlarını incelemek için bir araç sağlar.

Soruşturma Benzer bir tipi, bir çalışma olarak birçok matematiksel teorileri, ortaya çıkan sürekli Aralarındaki (morfizimler) topolojik boşluklar içinde topoloji (ilgili kategori olarak adlandırılır Üst ) ve çalışma düz fonksiyonları olarak (morfizimler) manifold teorisi .

Bununla birlikte, tüm kategoriler "yapı koruma (set) işlevleri" olarak ortaya çıkmaz; standart örnek, sivri topolojik uzaylar arasındaki homotopiler kategorisidir .

Fonksiyonlar yerine ilişkileri aksiyomatize edersek , alegori teorisi elde edilir .

işlevler

Bir kategorinin kendisi bir tür matematiksel yapıdır, bu nedenle bu yapıyı bir anlamda koruyan "süreçler" arayabiliriz; böyle bir işleme functor denir .

Diyagram takibi , diyagramlarda birleştirilmiş soyut "oklar" ile tartışmanın görsel bir yöntemidir. İşlevler, belirli tanımlayıcı değişme koşullarına tabi olarak kategoriler arasındaki oklarla temsil edilir. Fonksiyonlar kategorik diyagramları ve dizileri tanımlayabilir (inşa edebilir) (cf. Mitchell, 1965). Bir functor, bir kategorinin her nesnesini başka bir kategorinin nesnesini ve birinci kategorideki her morfizmi ikincide bir morfizmi ilişkilendirir.

Sonuç olarak, bu bir kategoriler ve işlevler kategorisini tanımlar - nesneler kategorilerdir ve morfizmler (kategoriler arasındaki) işlevlerdir.

Kategoriler ve işlevler üzerinde çalışmak, yalnızca bir matematiksel yapı sınıfını ve aralarındaki morfizmleri değil, daha çok çeşitli matematiksel yapı sınıfları arasındaki ilişkileri incelemektir . Bu temel fikir ilk olarak cebirsel topolojide su yüzüne çıktı . Zor topolojik sorular , genellikle çözülmesi daha kolay olan cebirsel sorulara çevrilebilir . Bir topolojik uzayın temel grubu veya temel grupoidi gibi temel yapılar, bu şekilde grupoidler kategorisinin functorları olarak ifade edilebilir ve kavram cebir ve uygulamalarında yaygındır.

Doğal dönüşümler

Yine soyutlamak gerekirse, bazı diyagramatik ve/veya sıralı yapılar genellikle "doğal olarak ilişkilidir" - ilk bakışta belirsiz bir kavram. Bu , bir functor'u diğerine "haritalamanın" bir yolu olan doğal dönüşüm kavramını netleştirmeye yol açar . Matematikteki birçok önemli yapı bu bağlamda incelenebilir. "Doğallık", fizikteki genel kovaryans gibi , başlangıçta görünenden daha derine inen bir ilkedir . İki işlev arasındaki bir ok, belirli doğallık veya değişebilirlik koşullarına tabi olduğunda doğal bir dönüşümdür.

Fonksiyonlar ve doğal dönüşümler ("doğallık") kategori teorisindeki anahtar kavramlardır.

Kategoriler, nesneler ve morfizmler

Kategoriler

Bir C kategorisi aşağıdaki üç matematiksel varlıktan oluşur:

• Bir sınıf ob ( C , öğeleri denir), nesneler ;
• Öğeleri morfizmler veya haritalar veya oklar olarak adlandırılan bir hom( C ) sınıfı . Her morfizm f'nin bir kaynak nesnesi a ve hedef nesnesi b vardır . İfadesi f  : a → b , sözlü "olarak ifade edilecektir f bir morfizmanın olan bir karşı b ". Sentezleme hom ( a , b ) - alternatif olarak ifade Hom _C ( bir , b ) , mor ( a , b ) ya da Cı- ( a , b ) - anlamına gelir hom-sınıfı tüm Morfizmlerin bir etmek , b .
  
  
• Bir ikili işlem olarak adlandırılan ∘, Morfizmlerin bileşimi , bu tür herhangi bir üç nesneler için bu bir , b ve c , elimizdeki ∘: hom ( b , c ) x Hom ( a , b ) → Hom ( a , c ) . f  : a → b ve g  : b → c'nin bileşimi g ∘ f veya gf olarak yazılır ve iki aksiyom tarafından yönetilir:
  • Birleşim : Eğer f  : a → b , g  : b → c ve h  : C → d sonra s ∘ ( g ∘ f ) = ( h ∘ g ) ∘ f ve
  • Kimlik : her nesne için x , bir morfizmalar vardır 1 _x  : x → X adı verilen kimlik morfizmanın x , örneğin her morfizmanın söz konusu f  : bir → b , elimizdeki 1 _b ∘ f = f = f ∘ 1 _bir .

Aksiyomlardan, her nesne için tam olarak bir kimlik morfizmi olduğu kanıtlanabilir . Bazı yazarlar, her nesneyi kimlik morfizmi ile tanımlayarak az önce verilen tanımdan saparlar.

morfizmalar

Morfizmler arasındaki ilişkiler ( fg = h gibi ) genellikle , nesneleri temsil eden "noktalar" (köşeler) ve morfizmleri temsil eden "oklar" ile değişmeli diyagramlar kullanılarak tasvir edilir .

Morfizmler aşağıdaki özelliklerden herhangi birine sahip olabilir. Bir morfizm f  : a → b a'dır :

• monomorfizm (veya monik ) eğer f ∘ g ₁ = f ∘ g ₂ tüm morfizmler için g ₁ = g ₂ anlamına geliyorsa g ₁ , g ₂  : x → a .
• epimorfizm (veya epik ) eğer g ₁ ∘ f = g ₂ ∘ f tüm morfizmler için g ₁ = g ₂ anlamına geliyorsa g ₁ , g ₂  : b → x .
• f hem epik hem de monik ise bimorfizm .
• izomorfizm bir morfizmanın mevcutsa g  : b → bir şekilde ön ∘ g = 1 _b ve g ∘ f = 1 _{, bir} .
• a = b ise endomorfizm . ucu ( a ) endomorfizmalar sınıfını belirtmektedir bir .
• otomorfizm eğer f bir Endomorfizma ve bir izomorfizması hem de. aut( a ), a öğesinin otomorfizm sınıfını belirtir .
• f'nin sağ tersi varsa, yani f ∘ g = 1 _b ile g  : b → a morfizmi varsa geri çekme .
• f'nin sol tersi varsa, yani g  : b → a ile g ∘ f = 1 _a morfizmi varsa bölüm .

Her geri çekme bir epimorfizmdir ve her bölüm bir monomorfizmdir. Ayrıca, aşağıdaki üç ifade eşdeğerdir:

• f bir monomorfizm ve bir geri çekmedir;
• f bir epimorfizm ve bir kesittir;
• f bir izomorfizmdir.

işlevler

İşlevler , kategoriler arasında yapıyı koruyan haritalardır. Tüm (küçük) kategoriler kategorisindeki morfizmler olarak düşünülebilirler.

Bir C kategorisinden D kategorisine A ( kovaryant ) functor F , F  : C → D olarak yazılır , şunlardan oluşur:

• Her nesne için x de C , bir amacı , F ( x olarak) D ; ve
• Her morfizmanın için f  : X → y de C , bir morfizmanın F ( f ): F ( x ) → F ( y ) ,

aşağıdaki iki özellik geçerli olacak şekilde:

• Her nesne için x de C , F (1 _x ) = 1 _{F ( x )} ;
• Tüm morfizmler için f  : x → y ve g  : y → z , F ( g ∘ f ) = F ( g ) ∘ F ( f ) .

Bir kontravariant functor F : C → D , "morfizmleri tersine çevirmesi" ("tüm okları tersine çevirmesi") dışında bir kovaryant functor gibidir. Daha spesifik olarak, her morfizmanın f  : X → y de C , bir morfizmanın atanmalıdır F ( f :) F ( y ) → F ( x ) içinde D . Diğer bir deyişle, bir kontravaryant funktor bir bildirdiğinden funktor olarak hareket karşısında kategorisi Cı ^op için D .

Doğal dönüşümler

Bir doğal dönüşüm iki functors arasındaki bir ilişkidir. Functors genellikle "doğal yapıları" ve doğal dönüşümleri tanımlar, ardından bu tür iki yapı arasındaki "doğal homomorfizmleri" tanımlar. Bazen oldukça farklı iki yapı "aynı" sonucu verir; bu, iki functor arasındaki doğal bir izomorfizm ile ifade edilir.

Eğer F ve G kategorileri arasında (bildirdiğinden) fanktorlar olan Cı ve D , den daha sonra doğal dönüşüm η F için G her nesne için ortakları X olarak Cı bir morfizmanın η _x  : F ( x →) G ( x ) içinde D şekildedir her morfizmanın için f  : X → Y de C , elimizdeki η _Y ∘ F ( f ) = G ( f ) ∘ η _X ; bu, aşağıdaki diyagramın değişmeli olduğu anlamına gelir :

İki fanktorlar F ve G olarak adlandırılır doğal izomorfik doğal bir dönüşüm vardır, eğer F için G η bu şekilde _X, her nesne için bir izomorfizm olan X in C .

Diğer kavramlar

Evrensel yapılar, limitler ve paraleller

Kategori teorisi dilini kullanarak, birçok matematiksel çalışma alanı kategorize edilebilir. Kategoriler kümeleri, grupları ve topolojileri içerir.

Her kategori bütün nesneleri gibi, ortak olarak sahip olduğu özellikler ile ayırt edilir boş grubu ya da iki topolojileri ürününün , bir kategorinin tanımında, nesneler atom olarak kabul edilir ama, örneğin, biz bilmiyoruz bir amacı olup bir olduğunu bir küme, bir topoloji veya başka herhangi bir soyut kavram. Bu nedenle, zorluk, bu nesnelerin iç yapısına atıfta bulunmadan özel nesneleri tanımlamaktır. Öğelere atıfta bulunmadan boş kümeyi veya açık kümelere atıfta bulunmadan ürün topolojisini tanımlamak için, bu nesneler, ilgili kategorilerin morfizmleri tarafından verildiği gibi, diğer nesnelerle ilişkileri açısından karakterize edilebilir. Bu nedenle görev, ilgilenilen nesneleri benzersiz bir şekilde belirleyen evrensel özellikleri bulmaktır .

Kategori limiti , bir colimit kavramını elde etmek için geliştirilip ikileştirilebiliyorsa , çok sayıda önemli yapı tamamen kategorik bir şekilde tanımlanabilir .

eşdeğer kategoriler

Şunu sormak doğal bir sorudur: Bir kategoriye ilişkin teoremlerin diğer kategoriye ilişkin teoremlere kolayca dönüştürülebilmesi anlamında, hangi koşullar altında iki kategori temelde aynı olarak kabul edilebilir? Böyle bir durumu tanımlamak için kullanılan ana araca , iki kategori arasında uygun işlevler tarafından verilen kategorilerin denkliği denir . Kategorik denklik matematikte çok sayıda uygulama bulmuştur .

Diğer kavramlar ve sonuçlar

Kategorilerin ve fonktörlerin tanımları, kategorik cebirin yalnızca temellerini sağlar; ek önemli konular aşağıda listelenmiştir. Tüm bu konular arasında güçlü ilişkiler olmasına rağmen, verilen sıra daha sonraki okumalar için bir rehber olarak kabul edilebilir.

• Funktoru kategorisi D ^C den fanktorlar nesneler olarak var C için D gibi functors doğal dönüşümler ve Morfizm olarak. Yoneda lemma kategori teorisinin en ünlü temel sonuçlarından biridir; functor kategorilerinde temsil edilebilir functorları tanımlar.
• Dualite : Kategori teorisindeki her ifade, teorem veya tanım , esasen "tüm okları tersine çevirerek" elde edilen bir ikiliye sahiptir. C kategorisinde bir ifade doğruysa , ikili C ^op kategorisinde doğrudur . Kategori teorisi düzeyinde şeffaf olan bu ikilik, genellikle uygulamalarda gizlenir ve şaşırtıcı ilişkilere yol açabilir.
• Birleşik işlevler : Bir işlev, ters yönde eşlenen başka bir işleve bitişik sol (veya sağ) olabilir. Bu tür bir çift birleşik işlev, tipik olarak bir evrensel özellik tarafından tanımlanan bir yapıdan doğar; bu, evrensel özellikler hakkında daha soyut ve güçlü bir görüş olarak görülebilir.

Daha yüksek boyutlu kategoriler

Yukarıdaki kavramların çoğu, özellikle kategorilerin denkliği, birleşik işlev çiftleri ve işlev kategorileri, daha yüksek boyutlu kategoriler bağlamına yerleştirilebilir . Kısaca, iki nesne arasındaki bir morfizmi "bizi bir nesneden diğerine götüren bir süreç" olarak düşünürsek, yüksek boyutlu kategoriler "yüksek boyutlu süreçleri" dikkate alarak bunu faydalı bir şekilde genelleştirmemize izin verir.

Örneğin, bir (katı) 2-kategori , "morfizmler arasındaki morfizmler", yani bir morfizmi diğerine dönüştürmemize izin veren süreçlerle birlikte bir kategoridir. Daha sonra bu "bimorfizmleri" hem yatay hem de dikey olarak "oluşturabiliriz" ve iki bileşim yasasını ilişkilendiren 2 boyutlu bir "değişim yasası"na ihtiyacımız var. Bu bağlamda, standart bir örnek kedi , bütün (küçük) kategorilerin 2-kategori ve bu örnekte, Morfizmlerin bimorphisms basitçe doğal dönüşümler genel anlamda Morfizmlerin. Başka bir temel örnek, tek bir nesneye sahip 2 kategoriyi düşünmektir; bunlar esasen tek biçimli kategorilerdir . İki kategoriler, morfizmlerin bileşiminin kesinlikle birleştirici olmadığı, sadece bir izomorfizme "kadar" ilişkisel olduğu 2 boyutlu kategorilerin daha zayıf bir kavramıdır.

Bu süreç tüm n doğal sayıları için genişletilebilir ve bunlara n- kategorileri denir . Bir kavramı bile yoktur ω-kategori tekabül sıra sayısı co .

Daha yüksek boyutlu kategoriler, Ronald Brown tarafından tanıtılan bir kavram olan yüksek boyutlu cebirin daha geniş matematiksel alanının bir parçasıdır . Bu fikirlere sohbet niteliğinde bir giriş için bkz. John Baez, 'A Tale of n -categories' (1996).

Tarihsel notlar

Öncelikle, bir kategori kavramının tamamının esasen yardımcı bir kavram olduğu gözlemlenmelidir; temel kavramlarımız esasen bir işlev ve doğal dönüşüm kavramlarıdır [...]

—  Samuel Eilenberg ve Saunders Mac Lane , Doğal eşdeğerliklerin genel teorisi

1942-45'te Samuel Eilenberg ve Saunders Mac Lane , topolojideki, özellikle cebirsel topolojideki çalışmalarının bir parçası olarak kategoriler, işlevler ve doğal dönüşümleri tanıttı . Bunların çalışma sezgisel ve geometrik geçişin önemli bir parçası olduğunu homoloji için homolog cebir . Eilenberg ve Mac Lane daha sonra amaçlarının doğal dönüşümleri anlamak olduğunu yazdı. Bu, kategoriler gerektiren tanımlayıcı işlevler gerektiriyordu.

Stanislaw Ulam ve onun adına yazanlar, 1930'ların sonlarında Polonya'da ilgili fikirlerin geçerli olduğunu iddia ettiler. Eilenberg Polonyalıydı ve 1930'larda Polonya'da matematik okudu. Kategori teorisi aynı zamanda, bir bakıma, Emmy Noether'in (Mac Lane'in öğretmenlerinden biri) soyut süreçleri resmileştirme çalışmalarının bir devamıdır ; Noether, bir tür matematiksel yapıyı anlamanın, o yapıyı koruyan süreçleri ( homomorfizmler ) anlamayı gerektirdiğini fark etti . Eilenberg ve Mac Lane, topolojik yapıları , onları karakterize eden cebirsel yapılarla ( topolojik değişmezler ) ilişkilendiren süreçleri ( işlevler ) anlamak ve resmileştirmek için kategoriler ortaya koydu .

Kategori teorisi başlangıçta homolojik cebirin ihtiyacı için tanıtıldı ve modern cebirsel geometrinin ihtiyacı için geniş ölçüde genişletildi ( şema teorisi ). Kategori teorisi evrensel cebirin bir uzantısı olarak görülebilir , çünkü ikincisi cebirsel yapıları inceler ve birincisi her türlü matematiksel yapı için geçerlidir ve ayrıca farklı nitelikteki yapılar arasındaki ilişkileri de inceler. Bu nedenle matematik boyunca kullanılır. Başvuruları matematiksel mantık ve semantik ( kategorik soyut makine ) sonradan geldi.

Topoi (tekil topos ) olarak adlandırılan belirli kategoriler , matematiğin temeli olarak aksiyomatik küme teorisine bir alternatif olarak bile hizmet edebilir . Bir topos, iki ek topos aksiyomu ile belirli bir kategori türü olarak da düşünülebilir. Kategori teorisinin bu temel uygulamaları, yapıcı matematiğin temeli ve gerekçesi olarak oldukça ayrıntılı bir şekilde çalışılmıştır . Topos teorisi , geometrik kökenleri olan bir soyut demet teorisi biçimidir ve anlamsız topoloji gibi fikirlere yol açar .

Kategorik mantık şimdi , kartezyen kapalı bir kategorinin bir lambda hesabının sözdizimsel olmayan bir açıklaması olarak alındığı işlevsel programlama ve alan teorisindeki uygulamalarla, sezgisel mantık için tip teorisine dayanan iyi tanımlanmış bir alandır . En azından, kategori teorik dili, bu ilgili alanların tam olarak ne ortak noktaya sahip olduğunu açıklığa kavuşturur (bazı soyut anlamda).

Kategori teorisi diğer alanlarda da uygulanmıştır. Örneğin, John Baez arasında bir bağlantı göstermiştir Feynman diyagramları içinde fiziği ve monoidal kategoriler. Daha spesifik kategori teorisi, bir diğer uygulama: topos teoride, kitabı örneğin bkz matematiksel müzik teorisinde yapılmıştır Müzik TOPOS, Kavramlar Geometrik mantık, teori ve Performansı ile Guerino Mazzola'nın .

Lisans öğrencilerine matematik için bir temel olarak kategorileri tanıtmaya yönelik daha yakın tarihli çabalar arasında William Lawvere ve Rosebrugh (2003) ve Lawvere ve Stephen Schanuel (1997) ve Mirroslav Yotov (2012) yer almaktadır.

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

alıntılar

Kaynaklar

• Adámek, Jiří; Herrlich, Horst ; Strecker, George E. (2004). Soyut ve Somut Kategoriler . Heldermann Verlag Berlin.
• Barr, Michael ; Wells, Charles (2012) [1995], Bilgisayar Bilimi için Kategori Teorisi , Kategorilerin Teori ve Uygulamalarında Yeniden Baskılar, 22 (3. baskı).
• Barr, Michael ; Wells, Charles (2005), Toposes, Triples and Theories , Reprints in Theory and Applications of Kategoriler, 12 , MR  2178101.
• Borceux, Francis (1994). Kategorik cebir el kitabı . Matematik Ansiklopedisi ve Uygulamaları. Cambridge Üniversitesi Yayınları. s. 50–52. ISBN'si 9780521441780.
• Freyd, Peter J. (2003) [1964]. Abelian Kategoriler . Kategorilerin Teorisi ve Uygulamalarında Yeniden Basımlar. 3 .
• Freyd, Peter J .; Scedrov, Andre (1990). Kategoriler, alegoriler . Kuzey Hollanda Matematik Kütüphanesi. 39 . Kuzey Hollanda. ISBN'si 978-0-08-088701-2.
• Goldblatt, Robert (2006) [1979]. Topoi: Mantığın Kategorik Analizi . Mantık çalışmaları ve matematiğin temelleri. 94 . Dover. ISBN'si 978-0-486-45026-1.
• Herrlich, Horst ; Strecker, George E. (2007). Kategori Teorisi (3. baskı). Heldermann Verlag Berlin. ISBN'si 978-3-88538-001-6..
• Kashiwara, Masaki ; Schapira, Pierre (2006). Kategoriler ve Kasnaklar . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 332 . Springer. ISBN'si 978-3-540-27949-5.
• Lawvere, F. William ; Rosebrugh, Robert (2003). Matematik için kümeler . Cambridge Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 978-0-521-01060-3.
• Lawvere, F. William; Schanuel, Stephen Hoel (2009) [1997]. Kavramsal Matematik: Kategorilere İlk Giriş (2. baskı). Cambridge Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 978-0-521-89485-2.
• Leinster, Tom (2004). Daha Yüksek Operadlar, Daha Yüksek Kategoriler . Daha Yüksek Operadlar . Londra Matematik. Toplum Ders Notu Serisi. 298 . Cambridge Üniversitesi Yayınları. P. 448. Bibcode : 2004hohc.book.....L . ISBN'si 978-0-521-53215-0. Arşivlenmiş orijinal 2003-10-25 tarihinde . 2006-04-03 alındı .
• Leinster, Tom (2014). Temel Kategori Teorisi . İleri Matematikte Cambridge Çalışmaları. 143 . Cambridge Üniversitesi Yayınları. arXiv : 1612.09375 . ISBN'si 9781107044241.
• Lurie, Yakup (2009). Yüksek Topos Teorisi . Matematik Çalışmaları Annals. 170 . Princeton Üniversitesi Yayınları. arXiv : matematik.CT/0608040 . ISBN'si 978-0-691-14049-0. MR  2522659 .
• Mac Lane, Saunders (1998). Çalışan Matematikçi için Kategoriler . Matematikte Lisansüstü Metinler. 5 (2. baskı). Springer-Verlag. ISBN'si 978-0-387-98403-2. MR  1712872 .
• Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1999) [1967]. Cebir (2. baskı). Chelsea. ISBN'si 978-0-8218-1646-2.
• Martini, A.; Ehri, H.; Nunes, D. (1996). "Temel kategori teorisinin unsurları" . Teknik Rapor . 96 (5).
• Mayıs, Peter (1999). Cebirsel Topolojide Kısa Bir Ders . Chicago Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 978-0-226-51183-2.
• Mazzola, Guerino (2002). Müziğin Toposu, Kavramların Geometrik Mantığı, Teori ve Performans . Birkhäuser. ISBN'si 978-3-7643-5731-3.
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, der. (2004). Kategorik temeller. Sıralama, topoloji, cebir ve demet teorisinde özel konular . Matematik Ansiklopedisi ve Uygulamaları. 97 . Cambridge Üniversitesi Yayınları . ISBN'si 978-0-521-83414-8. Zbl  1034.18001 .
• Pierce, Benjamin C. (1991). Bilgisayar Bilimcileri için Temel Kategori Teorisi . MİT Basın. ISBN'si 978-0-262-66071-6.
• Schalk, A.; Simmons, H. (2005). Dört kolay hareketle Kategori Teorisine giriş (PDF) . Arşivlenmiş orijinal (PDF) 2017-03-21 tarihinde . 2007-12-03 alındı .Yüksek Lisansın bir parçası olarak sunulan bir ders için notlar. yılında Matematiksel Mantık , Manchester Üniversitesi .
• Simpson, Carlos (2010). Daha yüksek kategorilerin homotopi teorisi . arXiv : 1001.4071 . Bibcode : 2010arXiv1001.4071S ., bir kitap taslağı.
• Taylor, Paul (1999). Matematiğin Pratik Temelleri . İleri Matematikte Cambridge Çalışmaları. 59 . Cambridge Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 978-0-521-63107-5.
• Turi, Daniele (1996–2001). "Kategori Teorisi Ders Notları" (PDF) . Erişim tarihi: 11 Aralık 2009 .Dayanarak Mac Lane 1998 .

daha fazla okuma

• Marki, Jean-Pierre (2008). Geometrik Açıdan: Kategori Teorisi Tarihi ve Felsefesi Üzerine Bir Çalışma . Springer. ISBN'si 978-1-4020-9384-5.

Dış bağlantılar

• Kategori Teorisi ve Uygulaması , kategori teorisinin elektronik dergisi, tam metin, ücretsiz, 1995'ten beri.
• nLab , matematik, fizik ve felsefe üzerine n- kategorik bakış açısına vurgu yapan bir wiki projesi .
• n-Category Café , esasen kategori teorisindeki konular üzerine bir kolokyumdur.
• Kategori Teorisi , ders notlarına ve kategori teorisi üzerine ücretsiz olarak temin edilebilen kitaplara bağlantılar içeren bir web sayfası.
• Hillman, Chris, Kategorik Bir Astar , CiteSeerX  10.1.1.24.3264, kategori teorisine resmi bir giriş.
• Adamek, J.; Herrlich, H.; Stecker, G. "Soyut ve Somut Kategoriler-Kedilerin Sevinci" (PDF) .
• Jean-Pierre Marquis tarafından Stanford Felsefe Ansiklopedisi'nde kapsamlı bir kaynakça ile "Kategori Teorisi" girişi .
• kategori teorisi üzerine akademik konferansların listesi
• Baez, John (1996). " n- kategoriler Masalı " . — Daha yüksek dereceli kategorilere resmi olmayan bir giriş.
• WildCats , Mathematica için bir kategori teorisi paketidir . Nesnelerin manipülasyonu ve görselleştirilmesi, morfizmler , kategoriler, işlevler , doğal dönüşümler , evrensel özellikler .
• Catster'ın YouTube'daki kanalı ,kategori teorisiyle ilgili bir kanal.
• Kategori teorisi de PlanetMath ..
• Kategoriler, mantık ve fiziğin temelleri ile ilgili kaydedilmiş konuşmaların video arşivi .
• Sonlu kümeler kategorisinde kategorik yapı örnekleri üreten etkileşimli Web sayfası .
• Bilimler için Kategori Teorisi , bilimler boyunca bir araç olarak kategori teorisi üzerine bir talimat.
• Programcılar için Kategori Teorisi Bilgisayar programcıları için kategori teorisini açıklayan blog şeklinde bir kitap.
• Kategori teorisine giriş.