Axiom - Axiom


Vikipedi, özgür ansiklopedi

Bir aksiyomu veya postülası olarak alınır bir ifadedir gerçek bir olarak hizmet öncül ileri muhakeme ve bağımsız değişkenler için veya başlangıç noktası. Kelimesi Yunanca gelen AXIOMA ( ἀξίωμα 'layık veya uygun gördük ki' ya da ') olarak belirgin kendisini takdirle olanı.'

Çalışmanın farklı alanlarda bağlamında kullanıldığında terim tanımında ince farklar vardır. Tanımlandığı gibi klasik felsefesi , bir aksiyomu böyledir bir ifadedir belirgin Çekişmelerde veya sorgulamadan kabul edildiğini veya köklü. Modern kullanıldığı şekliyle mantık , bir aksiyomu muhakeme için öncül veya başlangıç noktasıdır.

Kullanıldığı gibi , matematik terimi aksiyomu : İki ilgili fakat ayırt anlamda kullanılır "mantıksal aksiyomların" ve "mantıksal olmayan aksiyomlarını" . Mantıksal aksiyonları genellikle tanımlayan mantık sistemi içinde doğru olduğu alınır ifadeler (örneğin, ( A ve B ) anlamına gelir bir , genellikle sembolik olarak gösterilmiştir) ise mantıksal olmayan aksiyonları (örneğin, bir + b = b + bir ) gibi bir matematiksel teorinin alan elemanları (yaklaşık asli iddialar aslında aritmetik ). İkinci anlamda kullanıldığında, "aksiyomu", "postulat" ve "varsayım" birbirinin yerine kullanılabilir. Genel olarak, olmayan bir mantıksal aksiyomu bir aşikar gerçeği değil, matematiksel bir teori inşa etmek kesinti kullanılan resmi bir mantıksal ifade değildir. Bir bilgi sistemi axiomatize için onun istemler cümle (aksiyonları) küçük, iyi anlaşılmış grubu elde edilebilir olduğunu göstermektir. Belirli bir matematiksel domain axiomatize birden çok yolu tipik vardır.

Herhangi aksiyomu diğer ifadeleri mantıksal türetildiği bir başlangıç noktası olarak hizmet veren bir ifadedir. O "doğru" olması bir aksiyom için (ve eğer öyleyse, ne anlama geldiğini) anlamlı olup olmadığı tartışma konusu olan matematik felsefesi .

etimoloji

Kelime aksiyomu gelen Yunan sözcüğü ἀξίωμα ( AXIOMA ), bir isim fiil fiil dan ἀξιόειν ( axioein sırayla geliyor ki, "gerektirecek" "layık gördükleri için" anlamına gelir), aynı zamanda ἄξιος ( AXIOS "anlamına gelen) dengesinde olma" ve bu nedenle '(aynı) değeri (şekilde) sahip olan', ' '',' değerli doğru. Arasında Antik Yunan filozoflarının bir aksiyom kanıt gerek kalmadan gerçek olamayacak kadar görülebilir bir iddia oldu.

Kelimesinin kök anlamı önermesiyle "talep" olduğunu; Örneğin, Öklid biri bazı şeyler, örneğin yapılabilir herhangi iki nokta vb düz bir çizgi ile birleştirilebilir olduğunu kabul istemektedir

Eski geometri önermeler ve önermeleri arasında bir ayrım yapılmaktadır. Öklid'in kitaplarında yorumlarken ederken, Proclus ", demifltir Geminus , öyle değil çünkü bu [4] Postülaları ilk üç Postülatları gibi, bir önerme olarak değil bir aksiyom olarak kabul edilmemesi gerektiğini tutulan bazı inşaat olasılığını iddia ama ifade önemli bir özellik." Boethiues olarak 'önerme' tercüme petitio ve belitleri denilen komünler notiones ancak daha sonra el yazmalarında bu kullanım her zaman kesinlikle tutuldu değil.

Tarihsel gelişim

Erken Yunanlılar

Sonuçlar (yeni bilgi) ses argümanlar uygulanması yoluyla tesislerinde (eski bilgi) den izleyin sayede mantıksal-tümdengelim yöntemi ( syllogisms , çıkarsama kuralları), antik Yunanlılar tarafından geliştirilen ve çağdaş matematiğin temel ilkesi haline gelmiştir. Totolojiler şey varsayılır ise dışlanmış, hiçbir şey çıkarılabilir. Aksiyomlar ve postülatlar tümdengelim bir bilgi verilmiş cisim altta yatan temel varsayımları vardır. Onlar gösteri olmadan kabul edilir. (Diğer tüm iddialar teoremleri biz matematik bahsediyoruz eğer) bu temel varsayımlar yardımıyla kanıtlanmalıdır. Ancak, matematiksel bilginin yorumlanması Modern eski çağlardan günümüze değişti ve sonuç terimleri aksiyomu ve postülası onlar için mi daha, günümüz matematikçi için biraz farklı bir anlama sahip Aristo ve Euclid .

Eski Yunanlılar kabul geometri sadece bir kaç itibariyle bilimler ve bilimsel gerçeklerle eşit geometri teoremleri düzenledi. Bu nedenle bunlar, gelişmiş ve hata önleme aracı olarak mantıksal-tümdengelen yöntemi kullanılır ve yapılandırılması ve iletişim bilgisi için. Aristoteles'in Posterior analitiği klasik görünümün kesin fuar olduğunu.

Bir "aksiyomu", klasik terminolojide, bilimin birçok dalında ortak bir aşikar varsayım anılacaktır. Buna iyi bir örnek iddiası olacağını

eşit miktarda eşittir alınan zaman, eşit miktarda elde edilir.

Çeşitli bilimlerin temeli de kanıt olmadan kabul edildi belirli ek hipotezler yatıyordu. Böyle bir hipotez bir adlandırıldı önerme . Aksiyomlar birçok bilimler için ortak iken, her bir bilim önermeleri farklıydı. Onların geçerlilik gerçek dünya tecrübesi vasıtasıyla kurulacak gerekiyordu. Nitekim, Aristo öğrenen postulaların gerçeği hakkında şüphe olması durumunda bir bilim içeriği başarıyla tebliğ edilemeyeceğini uyarır.

Klasik yaklaşım tarafından iyi gösterilmektedir Öklid 'Element "ortak kavramları" (çok temel, aşikar iddialar) bir listesini takip önermelerin sonucu bir liste (Deneyimlerimize çekilen sağduyulu geometrik gerçekler) verilir,.

Postulaları
  1. Bir çizmek mümkündür çizgide başka herhangi bir noktaya herhangi bir noktadan.
  2. Her iki yönde sürekli bir çizgi parçası uzatmak mümkündür.
  3. Tarif etmek mümkündür daire herhangi bir merkez ve bir yarıçapı ile.
  4. Her şey olduğu doğrudur doğru açılar birbirine eşittir.
  5. ( " Paralel önerme ") iki düz çizgi üzerine düşen bir düz çizgi yaparsanız, doğrudur iç açıları aynı tarafta en az iki dik açı süresiz olarak üretildiklerinde, iki düz çizgi, kesiştiği olan bu yöne açıları iki dik açı daha azdır.
Ortak kavramlar
  1. aynı şey eşit olan şeyler de birbirine eşittir.
  2. eşittir eşittir eklenirse, bütünlerin eşittir.
  3. eşittir eşittir çıkarılır ise, kalanları eşittir.
  4. biri denk şeyler başka birbirine eşittir.
  5. Bütün kısmından daha büyüktür.

Modern gelişme

Son 150 yıl içinde matematik tarafından çıkarılan bir ders uzak matematiksel iddialar (aksiyonları, postulatlar, anlam şerit yararlı olmasıdır önermeler , teoremi) ve tanımlar. Bir ihtiyacını itiraf etmeliyim ilkel kavramları herhangi çalışmada, veya tanımlanmamış terimleri veya kavramlar. Bu çıkarma veya kayıt altına matematiksel bilgi daha genel çok farklı anlamlara sahip ve birden fazla bağlamda, bu nedenle yararlı hale getirir. Alessandro Padoa , Mario Pieri ve Giuseppe Peano bu hareketin öncü olmuşlardır.

Yapısalcı matematik daha da ileri giderek, ve teorileri ve belitleri (örneğin geliştirir alan teorisi , grup teori , topoloji , vektör uzayı olmadan) bir göz önünde belirli bir uygulama. Bir "aksiyom" ve "önermesiyle" arasındaki ayrım ortadan kalkar. Öklid önermeleri kârlı onlar geometrik gerçekleri büyük zenginlik yol söyleyerek motive olurlar. Bu karmaşık gerçeklerin gerçeği temel hipotez kabul dayanmaktadır. Ancak, Öklid'in beşinci önerme dışarı atarak biz daha geniş bağlamlarda anlam taşıyan teoriler olsun hiperbolik geometri örneğin. Biz sadece "hat" ve daha fazla esneklik ile "paralel" gibi etiketler kullanmaya hazır olmalıdır. Postülatlar biçimsel ifadeleri olarak tamamen kabul edilmelidir hiperbolik geometri öğretti matematikçiler gelişimi değil, deneyime dayalı gerçekler olarak.

Matematikçiler istihdam zaman alan aksiyomlarını, niyetler daha soyut. Alan teorisinin önermeler herhangi bir özel uygulama ilgilendirmeyen; matematikçi şimdi tamamlandı soyutlama çalışır. Alanların birçok örnek vardır; alan teorisi hepsini hakkında doğru bilgi verir.

Alan teorisinin aksiyomları olduklarını söylemek doğru değil "kanıt olmadan gerçek olarak kabul edilmektedir önermeler." Aksine, alan aksiyomları kısıtlamaları kümesidir. Toplama, çarpma verilen herhangi bir sistemi bu kısıtlamalar karşılayan, o zaman bir anında bu sistem hakkında ek bilgi büyük bir bilmek konumdadır.

Modern matematik matematiksel teoriler matematiksel nesneler olarak kabul edilebilir bir düzeye kadar temellerini formalizes ve matematik kendisi bir kolu olarak kabul edilebilir mantık . Frege , Russel , Poincaré , Hilbert ve Gödel bu gelişmede kilit isimlerinden bazıları.

Modern anlayışında, aksiyomlar kümesi herhangi bir tahsilat diğer resmi olarak belirtilen iddialar belli iyi tanımlanmış kurallar uygulanarak izleyin hangi resmen belirtilen iddiaların. Bu görünümde, mantık sadece başka biçimsel sistem haline gelir. Aksiyomların bir dizi olmalıdır tutarlı ; o aksiyomundan bir çelişki türetmek imkansız olmalıdır. Aksiyomların kümesi de yedek olmayan olmalıdır; diğer aksiyomlarından çıkarılabilir edilebilir bir iddia bir aksiyom olarak kabul edilmesi gerekmez.

Bu matematik çeşitli dalları, belki de tüm matematik, temel aksiyomları tutarlı koleksiyon karşısında varılabilecek Modern logicians erken umudu oldu. Biçimci programın ilk başarılarından Hilbert ait resmiyet Öklid geometrisi ve bu aksiyomların tutarlılık ilgili gösteri.

Daha geniş bir kapsamda, üzerinde matematiğin tüm temel almak bir girişim vardı Cantor kümesi teorisi . İşte ortaya çıkması Russell'ın paradoksu ve benzeri çatışkıları naif küme kuramı , böyle bir sistemde tutarsız olduğu ortaya dönüşebilir ihtimalini gündeme getirdi.

1931 yılında Gödel bunun (aksiyomların herhangi yeterince büyük kümesi için, mümkün olduğunu gösterdi biçimci proje belirleyici bir yara aldı Peano aksiyomlardan kimin gerçeği belitlerinin kümesinin bağımsız bir bildiri oluşturmak için örneğin). Bir şekilde doğal sonucu , Gödel'in gibi bir teorinin tutarlılık kanıtladı Peano aritmetik bu teori kapsamında bir kanıtlanamayan iddia.

Bunun sistem tarafından yerine getirildiği, çünkü Peano aritmetik kıvamında inanmanın makul olduğu doğal sayılar , bir sonsuz ama sezgisel olarak erişilebilir biçimsel sisteme. Ancak, şu anda modern tutarlılığını gösteren bilinen hiçbir yolu yoktur Zermelo-Fraenkel aksiyomlarıyla seti teorisi için. Bundan başka, tekniklerini kullanarak zorlayarak ( Cohen ) bir o gösterebilir sürekli hipotezi (Cantor) Zermelo-Fraenkel aksiyomların bağımsızdır. Böylece, aksiyomların bile bu çok genel seti matematik kesin temeli olarak kabul edilemez.

Diğer bilimler

Aksiyomlar özellikle de, matematik, aynı zamanda diğer bilimlerde yalnızca önemli bir rol oynamaktadır Teorik fizik . Özellikle, muazzam eserini Isaac Newton esas dayanır Öklid olmayan ilişkisi üzerine bir önerme ile artar Belitleriyle, uzay-zaman ve her an içinde yer alan fizik.

1905 yılında, Newton'un aksiyomları olanlar tarafından değiştirildi Albert Einstein 'ın özel görelilik ve daha sonra olanlar tarafından genel görelilik .

Albert Einstein ve arkadaşları (bkz başka kağıt EPR paradoksu hemen çelişki), Niels Bohr yorumlanması söz konusu, kuantum mekaniği . Bu Bohr göre, bu yeni teori olmalıdır 1935 yılında oldu olasılıksal Einstein'a göre olması gerektiği, oysa deterministik . Özellikle, bunun ile elde edilen "teoremi", grubu, yani, altta yatan kuantum mekanik teori, aynı olduğu gibiydi. Einstein bile kuantum mekaniği için determinizminin zorlamak için "gizli değişkenler" eklemek yeterli olacağını varsaydık. Ancak, otuz yıl sonra, 1964 yılında, John Bell (bkz karmaşık optik korelasyon içeren bir teoremi bulunan Bell eşitsizlikleri Bohr'un aksiyomlar kullanılarak karşılaştırıldığında Einstein'ın aksiyomlar kullanılarak ölçülebilir farklı sonuçlar vermiştir ki,). Bir deney kadar Ve kabaca başka yirmi yıl sürdü Alain Aspect Bohr'un aksiyomlardan değil Einstein'ın lehine sonuçları geldi. (Bohr'un aksiyomlar sadece şunlardır: teori anlamında olasılık olmalıdır Kopenhag yorumuna .)

Sonuç olarak, açıkça onlar "gerçeklik" ve deneylerin "yerellik" üzerine ince noktalarını ilgilendiren bu yüzden beri daha Einstein'ın aksiyomlarını alıntı gerekli değildir.

Ne olursa olsun, Matematik ve yukarıda belirtilen bilimlerde aksiyomların rolü farklıdır. Matematikte bir ne "kanıtlıyor" ne de teoremleri kümesi için bir aksiyom "disproves"; nokta Aksiyomların tarafından tespit kavramsal alanda, teoremleri mantıksal olarak basitçe olmasıdır. Bir yana aksine, fizik deneyleri ile bir karşılaştırma her zaman mantıklı sahte fiziksel teori modifikasyonu gerekmektedir.

Matematiksel mantık

Alanında matematiksel mantık : net bir ayrım aksiyomlarının iki kavramın arasında yapılır mantıksal ve mantıksal olmayan ( "aksiyomların" ve "önermeleri" arasında eski ayrıma biraz benzer sırasıyla).

Mantıksal aksiyomlar

Bunlar kesin formüller bir de resmi dilin olduğu evrensel olarak geçerli yani, olan formüller memnun her tarafından atama değerlerinin. Genellikle tek olarak mantıksal aksiyomlar alır en azından tüm kanıtlayan için yeterlidir totolojilerle bazı asgari seti totolojileri dilinde; durumunda yüklem mantığı bundan daha mantıklı aksiyomlar kanıtlamak için gereklidir mantıksal doğruları dar anlamda totolojilerdir değildir.

Örnekler

Önermeler mantığı

Gelen önermeler mantığı nerede şu formlarla, itibariyle mantıksal aksiyomlarından tüm formülleri almak yaygındır , ve dilin herhangi formüller olabilir ve birlikte nereye ilkel bağlaçlar "sadece " için olumsuzlama hemen aşağıdaki önermenin ve " " için ima bunun sonucunda önermelere öncül gelen:

Bu modellerin her biri bir olduğunu aksiyomu şema , aksiyomların sonsuz sayıda üretmek için bir kural. Örneğin, , ve vardır önerme değişkenler , daha sonra ve dolayısıyla aksiyomu şema 1 her iki örneği vardır ve belitleridirler. Sadece bu üç aksiyomu schemata ve o gösterilebilir modüs ponens bir önermeler mantığı tüm totolojileri kanıtlayabilirim. Aynı zamanda bu şemaların hiçbir çifti ile tüm totolojileri ispat için yeterli olduğu gösterilebilir modüs ponens .

İlkel eklemlerin aynı ya da farklı setleri içeren diğer belit şemaları alternatif yapılabilir.

Bu belit çizelgesi, ayrıca kullanılan yüklem hesabı , ancak ek mantıksal aksiyomların Diferensiyel nicelik dahil etmek için ihtiyaç vardır.

Birinci dereceden mantık

Eşitlik aksiyomu. Let bir olmak birinci dereceden dil . Her bir değişken için , formül

evrensel geçerlidir.

Bu, herhangi bir için, yani değişken sembol , formül bir belit olarak kabul edilebilir. Ayrıca, bu örnekte, bunun için belirsizlik düşüp "ilkel kavramları", ya evde ne anlama geldiğini kesin bir kavramın hiç bitmeyen dizi değil (bu konuda, "eşit olmak" için, ya) olmak zorundadır iyi ilk kurulan veya sembolün tamamen formel ve sözdizimsel kullanımı sadece bir dize ve sembollerin sadece bir dize, ve gerçekten de böyle yapıyor matematiksel mantık olarak kabul edip yürürlüğe gerekir.

Başka, daha ilginç bir örnek aksiyomu şeması olarak bilinen şeyle bize sağlayan olmasıdır Evrensel örnekleme o :

Evrensel örnekleme o Axiom şeması. Bir formülü Verilen birinci dereceden dilinde , değişken ve bir dönem olduğunu ikame için de formül

evrensel geçerlidir.

Burada sembol , formül açılımı terim ile ikame . (Bkz değişkenlerin Değişiklik .) Gayri açısından, bu örnek bize belli bir özellik olduğunu biliyorsanız, ifade sağlayan her için de geçerlidir ve bu bizim yapısında belirli bir nesne için standları, o zaman iddia gerekir . Yine, biz formül iddia ediyorlar geçerlidir yani, daha düzgün bir bu gerçeğin "kanıt" ya konuşan bir vermek gerekir metaproof . Aslında bu örnekler metatheorems biz çok anlayışıyla ilgileniyor beri matematiksel mantık bizim teorisinin kanıtı kendisi. Bunun yanında, biz de olabilir Varoluşçu Genelleştirme :

Varoluşçu Genelleme için Axiom şeması. Bir formülü Verilen birinci dereceden dilinde , değişken ve bir dönem için değiştirilebilir olan içinde formül

evrensel geçerlidir.

Sigara mantıksal aksiyomlar

Sigara mantıksal aksiyomlar teorisi özgü varsayımların rol oynamaktadır formülleri vardır. İki farklı yapılara, örneğin, akıl doğal sayılar ve tam sayıları , aynı mantıksal aksiyomlarını kapsayabilir; mantıksal olmayan aksiyomlarının belirli bir yapısı hakkında özel bir (ya da örneğin, yapılar set ne yakalamak amaçlayan grup ). Dolayısı ile de non-mantıksal aksiyonları, mantıksal aksiyomların farklı olarak, olmadığında totolojilerdir . Olmayan bir mantıksal aksiyomu için bir başka isim önerme .

Hemen hemen her modern matematiksel teori mantıksal olmayan verili bir aksiyomlar kümesinden başlar ve prensipte her teori bu şekilde axiomatized olabilir ve mantıksal formüller çıplak diline aşağı resmiyet olduğu düşünüldü.

Sigara mantıksal aksiyomlar genellikle sadece olarak anılacaktır aksiyomlardan matematiksel içinde söylem . Bazı mutlak anlamda doğru olduğunu iddia anlamına gelmez. Örneğin, bazı gruplarda, grup operasyondur değişmeli ve bu ek aksiyomun tanıtımıyla iddia edilebilir, ancak bu aksiyomu olmadan biz (daha genel) grup teorisini geliştirmeye oldukça iyi yapabilir ve hatta alabilir onun olmayan değişmeli grup çalışma için bir belit olarak olumsuzlaması.

Bu durumda, bir aksiyomu bir için temel bir temeli olan formel mantık sistemi ile birlikte çıkarım kurallarına bir tanımlayan tümdengelen sistemi .

Örnekler

Bu bölüm (bundan böyle, aksiyomların) mantıksal olmayan bir dizi aksiyoma tamamen geliştirilmiştir matematiksel teoriler örneklerini verir. Bu konuların herhangi bir titiz tedavi bu aksiyomların bir şartname ile başlar.

Gibi temel teorileri, aritmetik , gerçek analiz ve karmaşık analizler genellikle olmayan aksiyom tanıtıldı, ancak örtük veya açık aksiyomlar aksiyomları edilir kullanılıyor dair bir varsayım genellikle yoktur Zermelo-Fraenkel teorisini set seçimi ile, ZFC kısaltılmış veya bazı çok benzer bir sistem axiomatic dizi teori gibi von Neumann-Bernays-Gödel teori set , bir tutucu uzantısı ZFC arasında. Gibi Bazen biraz daha güçlü teoriler Morse-Kelley teorisini ayarlamak veya bir ile teoriyi set şiddetle ulaşılmaz kardinal bir kullanımına izin veren Grothendieck evrenin kullanılır, ama aslında çoğu matematikçiler aslında gibi ZFC daha zayıf sistemlerde ihtiyaç duydukları tüm kanıtlayabilirim ikinci aritmetik sipariş .

Matematik topoloji çalışma boyunca her boyunca uzanan bir nokta grubu topolojisi , cebirsel topoloji , diferansiyel topolojisi ve bu gibi tüm ilgili özel araçların, homoloji teorisi , eşyerellik teori . Gelişimi soyut cebir kendisiyle getirdiği grup teorisi , yüzük , alanlar ve Galois teorisi .

Bu liste de dahil olmak üzere matematik en alanları içerecek şekilde genişletilebilir ölçü teorisi , ergodic teorisi , olasılık , temsil teorisi ve diferansiyel geometri .

Aritmetik

Sayıların aksiyomatik en çok kullanılan olan aksiyomlaştırılması ait birinci dereceden aritmetik . Onlar hakkında çok önemli gerçekleri kanıtlamak için yeterince güçlü bir aksiyomlar kümesi vardır sayılar teorisi ve Gödel ünlü kurmak için izin ikinci eksiklik teoremini .

Biz bir dile sahip sabit bir semboldür ve bir olduğunu tek terimli fonksiyon Aşağıdaki önermelere:

  1. herhangi biri için formül bir serbest değişkenle.

Standart bir yapıdır burada doğal sayılar kümesidir, bir ardıl fonksiyonu ve doğal sayı 0 olarak yorumlanır.

Öklid geometrisi

Muhtemelen aksiyomların eski ve en ünlü, liste 4 + 1 olan Öklid postülatları ait düzlem geometrisi . Aksiyonları için yaklaşık iki bin "4 + 1" olarak adlandırılır beşinci (paralel) önerme ilk dört türetilebilen olduğundan şüphelenilen ( "bir hat dışında bir noktaya boyunca bir paralel tam olarak var"). Sonuçta, beşinci postulat ilk dört bağımsız olduğu bulunmuştur. Gerçekten de, bir çizgi var dışarıda biri noktasından o tam olarak bir paralel varsayabiliriz veya bu sonsuz sayıda mevcuttur. Bu seçim, bize hangi iç geometri iki alternatif şekillerini verir açılar a üçgen , sırasıyla tam olarak 180 derece veya daha az, kadar ekleyin ve Öklid ve şekilde bilinmektedir hiperbolik geometriler. Bir ikinci önerme ( "bir çizgi süresiz uzatılabilir") daha sonra kaldırırsa, eliptik geometrisi bir hat dışında bir noktadan geçen bir paralellik olduğu ortaya çıkar, ve burada, bir üçgenin iç açıları fazla 180 dereceye kadar ekleyin .

Gerçek analizi

Çalışmanın amaçları etki alanı içinde olan gerçek sayılar . Gerçek sayılar benzersiz (kadar dışarı toplanır eşbiçimlilik bir özelliklerine göre) Dedekind sipariş tamamlama alanı olan üst sınırla birlikte gerçek sayılar herhangi boş olmayan seti en küçük üst sınır vardır, yani. Bununla birlikte, aksiyomların olarak bu özellikleri ifade eden kullanımını gerektirir , ikinci dereceden mantık . Löwenheim-Skolem teoremleri biz kendimizi kısıtlamak eğer bize Birinci derece mantık , reals herhangi aksiyomdur sistemi büyük olan reals ve modellere göre daha küçük olan iki modelde de dahil olmak üzere diğer modelleri kabul ediyor. İkincisinin Bazı incelenir standart dışı analiz .

matematiksel mantık Rolü

Tümdengelimli sistemler ve eksiksiz

Bir tümdengelen sistemi kümesinden oluşur mantıksal aksiyomların, bir dizi mantıksal olmayan aksiyomların ve bir dizi ait çıkarım kurallarına . Bir tümdengelim sisteminin arzu edilen özelliği olması olduğunu tam . Bir sistem eğer tam olduğu söylenir, tüm formüller için ,

bu ise bir ifade için, bir mantıksal sonucu içinde aslında orada bir var kesinti gelen ifadenin . Bu bazen "kanıtlanabilir olduğu doğrudur her şey" olarak ifade edilir, fakat "gerçek" Burada değil, örneğin "amaçlanan yorumlanmasında doğru" "aksiyomlar kümesi tarafından gerçek yapılan" anlamına geldiğini anlaşılmalıdır. Gödel'in tamlık teoremi tümdengelen sisteminin belli bir yaygın olarak kullanılan tip tamlığını kurar.

"Tamlık" o bağlamında olduğundan daha burada farklı bir anlamı vardır unutmayın Gödel'in ilk eksiklik teoremi hiçbir belirtiyor, tekrarlamalı , tutarlı olmayan mantıksal aksiyomların seti Aritmetik Teorisi taşımaktadır tam anlamıyla her zaman olacak o bir aritmetik ifadeyi var ne öyle ki ne de aksiyomlar verilen setten ispat edilebilir.

Kavramı, bir yandan, bu şekilde var bir tümdengelen sistem bütünlüğü bu ve diğer taraftan da mantıksal olmayan bir dizi aksiyoma tamlığı . Tamlık teoremi ve eksiklik teoremi, isimleri rağmen birbiriyle çelişmektedir yoktur.

diğer tartışmalar,

Erken matematikçiler kabul aksiyomatik geometri bir model olarak fiziksel alan ve açıkçası sadece tek bir modeli söz konusu olabilir. Mevcut olabilecek alternatif matematiksel sistemler gibi 19. yüzyılın matematikçi ve sistemlerin geliştiriciler için çok sıkıntı olduğunu düşüncesi Boole cebri geleneksel aritmetik onları türetmek için ayrıntılı çabalar. Galois sadece bu çabalar büyük ölçüde boşa edildi onun zamansız ölümünden önce gösterdi. Sonuçta, cebirsel sistemler arasında soyut paralellikler ayrıntıları ve daha önemli olduğu görüldü Modern cebir doğdu. Modern görünümü aksiyomlarının yılında yeter ki tutarsız olduğu bilinen almadığından dolayı, formüllerin herhangi kümesi olabilir.

Ayrıca bakınız

Referanslar

daha fazla okuma

Dış bağlantılar