grupoid - Groupoid

In matematik özellikle, kategori teorisi ve homotopi teorisi , bir grupoid (daha az sıklıkta Brandt grupoid veya sanal grup ) kavramını genelleştirir grubunun birkaç eşdeğer şekillerde. Bir grupoid şu şekilde görülebilir:

• Grup bir ile kısmi işlevli olarak değiştirilmesi ikili işlem ;
• Kategori gösterdiği her morfizmanın ters çevrilebilir olduğunu. Bu tür bir kategori, grup teorisine benzetilerek ters olarak adlandırılan tekli bir işlemle artırılmış olarak görülebilir. Yalnızca bir nesnenin olduğu bir grupoid, olağan bir gruptur.

Bağımlı tiplemenin varlığında, genel olarak bir kategori, yazılan bir monoid olarak görülebilir ve benzer şekilde, bir grupoid, basitçe yazılan bir grup olarak görülebilir. Morfizimler başka bir nesneden birini almak ve türleri bağımlı ailesini oluştururlar, böylece morfizimler yazmış olabilir , derler. O zaman kompozisyon bir toplam fonksiyondur: , böylece . ${\displaystyle g:A\sağ ok B}$${\ Displaystyle h:B\sağ ok C}$${\displaystyle \circ :(B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow B)\rightarrow A\rightarrow C}$${\displaystyle h\circ g:A\rightarrow C}$

Özel durumlar şunları içerir:

• Setoidler : denklik bağıntısı ile gelen kümeler ,
• G-setleri :bir grubun eylemiyle donatılmış setler.${\görüntüleme stili G}$

Grupoidler genellikle manifoldlar gibi geometrik nesneler hakkında akıl yürütmek için kullanılır . Heinrich Brandt  ( 1927 ), grupoidleri Brandt yarı grupları aracılığıyla örtük olarak tanıttı .

Tanımlar

Bir grupoid bir cebirsel yapıdır boş olmayan bir grubu kapsayan bir ikili kısmi işlevli ' tanımlanır' . ${\görüntüleme stili (G,\ast )}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili \ast }$${\görüntüleme stili G}$

Cebirsel

Bir grupoid, tekli bir işlem ve kısmi bir işlev içeren bir kümedir . Burada * ikili bir işlem değildir, çünkü tüm eleman çiftleri için mutlaka tanımlanmamıştır . Tanımlanan kesin koşullar burada açıklanmaz ve duruma göre değişir. ${\görüntüleme stili G}$ ${\displaystyle {}^{-1}:G\to G,}$ ${\ Displaystyle *:G\times G\rightharpoonup G}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili *}$

${\görüntüleme stili \ast }$ve ^-1 aşağıdaki aksiyomatik özelliklere sahiptir: Tümü için , , ve in , ${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili b}$${\görüntüleme stili c}$${\görüntüleme stili G}$

1. İlişkisellik : Eğervetanımlanırsa, o zamanvetanımlanır ve eşittir. Tersine, eğer birivetanımlanırsa, o zaman hemvehem de=.${\görüntüleme stili a*b}$${\görüntüleme stili b*c}$${\görüntüleme stili (a*b)*c}$${\ Displaystyle a*(b*c)}$${\görüntüleme stili (a*b)*c}$${\ Displaystyle a*(b*c)}$${\görüntüleme stili a*b}$${\görüntüleme stili b*c}$${\görüntüleme stili (a*b)*c}$${\ Displaystyle a*(b*c)}$
2. Ters :veher zaman tanımlanır.${\ Displaystyle a^{-1}*a}$${\ Displaystyle a*{a^{-1}}}$
3. Kimlik :Tanımlanmışsa, o zamanve. (Önceki iki aksiyom, bu ifadelerin tanımlı ve açık olduğunu zaten gösteriyor.)${\görüntüleme stili a*b}$${\ Displaystyle a*b*{b^{-1}}=a}$${\görüntüleme stili {a^{-1}}*a*b=b}$

Bu aksiyomlardan iki kolay ve kullanışlı özellik gelir:

• ${\görüntüleme stili (a^{-1})^{-1}=a}$,
• Eğer o zaman, tanımlanır .${\görüntüleme stili a*b}$${\ Displaystyle (a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}}$

kategori teorik

Bir grupoid, her morfizmin bir izomorfizm , yani ters çevrilebilir olduğu küçük bir kategoridir . Daha doğrusu, bir grupoid G :

• Bir dizi G ₀ arasında nesneler ;
• Nesnelerin her çifti için x ve y de G ₀ , bir (büyük olasılıkla boş) vardır G ( x , y ve) Morfizm (ya da oklar ile ilgili) x ile y . Bu geç f  : X → y belirtmek için f bir elemanıdır G ( x , y ).
• Her x nesnesi için , G'nin belirlenmiş bir öğesi ( x , x );${\displaystyle \mathrm {id} _{x}}$
• x , y ve z nesnelerinin her üçlüsü için bir fonksiyon ;${\displaystyle \mathrm {comp} _{x,y,z}:G(y,z)\times G(x,y)\rightarrow G(x,z):(g,f)\mapsto gf}$
• Her nesne çifti için x , y bir fonksiyon ;${\displaystyle \mathrm {inv} :G(x,y)\rightarrow G(y,x):f\mapsto f^{-1}}$

tatmin edici, herhangi bir f  : x → y , g  : y → z , ve h  : z → w :

• ${\displaystyle f\ \mathrm {id} _{x}=f}$ve ;${\displaystyle \mathrm {id} _{y}\ f=f}$
• ${\görüntüleme stili (hg)f=h(gf)}$;
• ${\displaystyle ff^{-1}=\mathrm {id} _{y}}$ve .${\displaystyle f^{-1}f=\mathrm {id} _{x}}$

Eğer f bir elemanıdır G ( x , y ) daha sonra x adlandırılan kaynağı arasında f yazılı, s ( f ), ve y olarak adlandırılır hedef bölgesinin f yazılı t ( f ). Bir grupoid G bazen , tüm morfizmlerin kümesinin nerede olduğu şeklinde gösterilir ve iki ok , kaynağı ve hedefi temsil eder. ${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}}$${\görüntüleme stili G_{1}}$${\displaystyle G_{1}\to G_{0}}$

Daha genel olarak, sonlu fiber ürünleri kabul eden keyfi bir kategoride bir grupoid nesne düşünülebilir .

Tanımların karşılaştırılması

Cebirsel ve teorik kategori tanımları, şimdi gösterdiğimiz gibi eşdeğerdir. Kategori teorisi anlamında bir grupoid göz önüne alındığında, let G olmak ayrık birleşimi setleri tüm G ( x , y ) (dan Morfizmlerin yani setleri x için y ). Sonra ve G üzerinde kısmi işlemler haline gelir ve aslında her yerde tanımlanacaktır. Cebirsel anlamda bir grupoid veren ∗ olmak ve ⁻¹ olmak olarak tanımlarız . G _0'a (ve dolayısıyla 'ye ) açık referans bırakılabilir. ${\displaystyle \mathrm {comp} }$${\displaystyle \mathrm {inv} }$${\displaystyle \mathrm {inv} }$${\displaystyle \mathrm {comp} }$${\displaystyle \mathrm {inv} }$${\displaystyle \mathrm {id} }$

Tersine, cebirsel anlamda bir grupoid G verildiğinde , elemanları üzerinde iff a ∗ a ^-1 = b ∗ b ^{-1 ile} bir denklik ilişkisi tanımlayın . G ₀ , , ie'nin denklik sınıfları kümesi olsun . Ifade bir * bir ^-1 göre ise ile . ${\görüntüleme stili\sim }$${\ Displaystyle a\sim b}$${\görüntüleme stili\sim }$${\displaystyle G_{0}:=G/\!\!\sim }$${\displaystyle 1_{x}}$${\görüntüleme stili bir\G'de}$${\displaystyle x\in G_{0}}$

Şimdi tanımlayan tüm öğeleri kümesinin olarak ön şekilde bulunmaktadır. Verilen ve bunların bileşimi olarak tanımlanır . Bunun iyi tanımlandığını görmek için, o zamandan beri ve var olduğunu gözlemleyin , . O zaman x üzerindeki özdeşlik morfizmi ' dir ve f'nin kategori teorik tersi f ^-1'dir . ${\görüntüleme stili G(x,y)}$${\displaystyle 1_{x}*f*1_{y}}$${\görüntüleme stili f\in G(x,y)}$${\görüntüleme stili g\in G(y,z),}$${\displaystyle gf:=f*g\in G(x,z)}$${\ Displaystyle (1_{x}*f)*1_{y}}$${\displaystyle 1_{y}*(g*1_{z})}$${\displaystyle (1_{x}*f*1_{y})*(g*1_{z})=f*g}$${\displaystyle 1_{x}}$

Yukarıdaki tanımlardaki kümeler , genellikle kategori teorisinde olduğu gibi sınıflarla değiştirilebilir .

Köşe grupları ve yörüngeler

Bir grupoid verilen G , tepe grupları veya izotropi grupları ya da nesne grupları içinde G formunun alt kümeleridir G ( x , x ), x herhangi bir amacı, G . Yukarıdaki aksiyomlardan, her eleman çifti oluşturulabilir olduğundan ve tersler aynı köşe grubunda olduğundan bunların gerçekten gruplar olduğu kolayca çıkar.

Yörünge bir grupoid ait G noktasında grubu ile verilir , iki nokta ise G. bir morfizma ile x birleştirilebilir her noktaya içeren ve aynı yörüngelerde olan, bunların köşe grupları ve vardır izomorfik edin: bir morfizmanın olan dan hiç haritalama tarafından verilen, daha sonra eşbiçimlilikle . ${\görüntüleme stili x\in X}$${\görüntüleme stili s(t^{-1}(x))\alt küme X}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili y}$${\görüntüleme stili G(x)}$${\görüntüleme stili G(y)}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili y}$${\displaystyle g\to fgf^{-1}}$

Yörüngeler, X kümesinin bir bölümünü oluşturur ve yalnızca bir yörüngesi varsa (eşdeğer olarak, bir kategori olarak bağlıysa ) bir grupoid geçişli olarak adlandırılır . Bu durumda, tüm köşe grupları izomorfiktir (diğer yandan, bu geçişlilik için yeterli bir koşul değildir; karşı örnekler için aşağıdaki bölüme bakın ).

Alt grupoidler ve morfizmler

Bir subgroupoid ait bir olan alt kategori kendisi grupoid olur. Bu denir geniş veya tam Çünkü eğer geniş veya tam olursa, sırasıyla bir alt kategori yani olarak veya her için . ${\displaystyle G\sağsağ oklar X}$ ${\displaystyle H\sağ sağ oklar Y}$${\görüntüleme stili X=Y}$${\görüntüleme stili G(x,y)=H(x,y)}$${\görüntüleme stili x,y\Y'de}$

Bir grupoid morfizmi , basitçe iki (kategori-teorik) grupoid arasındaki bir işlevdir.

Grupoidlerin belirli morfizmleri ilgi çekicidir. Bir morfizmanın grupoidler bir adlandırılır Faybreyşın her bir nesne için ise bir ve her morfizma arasında başlayan bir morfizmanın olduğu bir başlayan bu şekilde . Bir fibrasyon, bir örtü morfizmi veya ayrıca böyle bir benzersiz ise , grupoidlerin örtülmesi olarak adlandırılır . Grupoidlerin örtü morfizmleri özellikle yararlıdır çünkü uzayların örtücü haritalarını modellemek için kullanılabilirler . ${\ Displaystyle p:E\'den B'ye}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili b}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili p(x)}$${\görüntüleme stili e}$${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili p(e)=b}$${\görüntüleme stili e}$

Belirli bir grupoidin örtü morfizmleri kategorisinin, grupoidin kümeler üzerindeki eylemleri kategorisine eşdeğer olduğu da doğrudur . ${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili B}$

Örnekler

topoloji

Bir Verilen topolojik uzay , izin kümesi olsun . Noktadan morfizimler noktasına olan denklik sınıfları arasında sürekli yolları arasından için olmaları durumunda, iki kanal eşit olmak üzere homotopik . Bu tür iki morfizm, önce birinci yol, sonra ikinci yol izlenerek oluşturulur; homotopi denkliği, bu bileşimin birleştirici olduğunu garanti eder . Bu grupoid , ile gösterilen (veya bazen, )' nin temel grupoidi olarak adlandırılır . Her zamanki temel grup , noktanın köşe grubudur . ${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili G_{0}}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili q}$ ${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili q}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili \pi _{1}(X)}$${\görüntüleme stili \Pi _{1}(X)}$${\görüntüleme stili \pi _{1}(X,x)}$${\görüntüleme stili x}$

Temel grupoidin yörüngeleri, 'nin yola bağlı bileşenleridir . Buna göre, yola bağlı bir uzayın temel grupoidi geçişlidir ve herhangi bir taban noktasındaki temel grupların izomorfik olduğu bilinen gerçeğini geri alırız. Ayrıca, bu durumda, temel grupoid ve temel gruplar kategoriler olarak eşdeğerdir ( genel teori için aşağıdaki bölüme bakın ). ${\görüntüleme stili \pi _{1}(X)}$${\görüntüleme stili X}$

Bu fikrin önemli bir uzantısı temel grupoid dikkate almaktır "temel noktaları" seçilmiş bir dizi olduğunu. Burada , yalnızca bitiş noktaları ait olduğu yollar dikkate alındığında, ' nin (geniş) bir alt grubudur . Set , eldeki durumun geometrisine göre seçilebilir. ${\görüntüleme stili \pi _{1}(X,A)}$${\görüntüleme stili A\alt küme X}$${\görüntüleme stili \pi _{1}(X,A)}$${\görüntüleme stili \pi _{1}(X)}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili A}$

denklik bağıntısı

Eğer a, setoid , bir yani belirli bir eşdeğerlik ilişki , daha sonra, aşağıdaki gibi, bu denklik ilişkisi oluşturulabilir "i temsil eden" bir grupoidinin: ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili\sim }$

• Groupoid'in nesneleri ;${\görüntüleme stili X}$
• Herhangi iki elemanları için ve de , tek bir morfizmanın olduğu için (göre denote ) ancak ve ancak ;${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili y}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili y}$${\görüntüleme stili (y,x)}$${\görüntüleme stili x\sim y}$
• Bileşimi ve bir .${\görüntüleme stili (z,y)}$${\görüntüleme stili (y,x)}$${\görüntüleme stili (z,x)}$

Bu grupoidin tepe grupları her zaman önemsizdir; dahası, bu grupoid genel olarak geçişli değildir ve yörüngeleri tam olarak denklik sınıflarıdır. İki aşırı örnek var:

• Her eleman ise diğer her elemanı ile ilişki içinde , elde ettiğimiz çift grupoid bir bütününü sahiptir, oklar grubu olarak ve geçişli hangi.${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X\kez X}$
• öğesinin her öğesi yalnızca kendisiyle ilişki içindeyse , oklar kümesi olan ve tamamen geçişsiz olan grupoid birimi elde edilir (her tekil bir yörüngedir).${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle s=t=id_{X}}$${\görüntüleme stili \{x\}}$

Örnekler

Örneğin, bir düzgün örten batırma arasında düz manifoldlar , o zaman bu yana bir denklik ilişkisi izomorf bir topolojiye sahip olan bölüm topoloji ve topolojik boşlukların örten dönüşüm altında. Yazarsak , bir grupoid elde ederiz.${\displaystyle f:X_{0}\to Y}$ ${\displaystyle X_{0}\times _{Y}X_{0}\subset X_{0}\times X_{0}}$${\görüntüleme stili Y}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle X_{1}=X_{0}\times _{Y}X_{0}}$

${\displaystyle X_{1}\sağsağ oklar X_{0}}$

bu, bazen düz manifoldların örtük bir şekilde daldırılmasının banal grupoidi olarak adlandırılır .

Čech grupoidi

Bir Čech groupoid ^{pg 5} , bir manifoldun açık bir kapağı tarafından verilen bir denklik ilişkisi ile ilişkili özel bir grupoid türüdür . Nesneleri ayrık bir birlik tarafından verilir${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$${\görüntüleme stili X}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}=\coprod U_{i}}$

ve okları kesişme noktalarıdır

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}=\coprod U_{ij}}$

Kaynak ve hedef haritalar daha sonra uyarılmış haritalar tarafından verilir.

${\displaystyle {\begin{aligned}s=\phi _{j}:U_{ij}\to U_{j}\\t=\phi _{i}:U_{ij}\to U_{i}\ bitiş{hizalı}}}$

ve dahil etme haritası

${\displaystyle \varepsilon :U_{i}\to U_{ii}}$

bir grupoidin yapısını veren. Aslında, bu ayar yapılarak daha da genişletilebilir.

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}={\mathcal {G}}_{1}\times _{{\mathcal {G}}_{0}}\cdots \times _{{\ matematiksel {G}}_{0}}{\matematik {G}}_{1}}$

birleştirilebilir ok demetlerini temsil ettiği -yinelenen fiber ürün olarak . Fiber ürünün yapı haritası, dolaylı olarak hedef haritadır, çünkü${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {G}}_{n}}$${\görüntüleme stili n}$

${\displaystyle {\begin{matrix}U_{ijk}&\to &U_{ij}\\\downarrow &&\downarrow \\U_{ik}&\to &U_{i}\end{matrix}}}$

haritaların hedef haritalar olduğu bir kartezyen diyagramdır . Bu yapı, bazı ∞-grupoidler için bir model olarak görülebilir . Ayrıca, bu yapının bir başka eseri de k-cocycles${\görüntüleme stili U_{i}}$

${\displaystyle [\sigma ]\in {\check {H}}^{k}({\mathcal {U}},{\underline {A}})}$

değişmeyen grupların bazı sabit demetleri için bir fonksiyon olarak temsil edilebilir

${\displaystyle \sigma :\coprod U_{i_{1}\cdots i_{k}}\to A}$

kohomoloji sınıflarının açık bir temsilini vermek.

Grup eylemi

Eğer grup grubu üzerinde etkili olan , o zaman oluşturabilen aksiyon grupoid (veya dönüşüm grupoid bu temsil eder) grubu bir işlem , aşağıdaki gibi: ${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili X}$

• Nesneler öğeleridir ;${\görüntüleme stili X}$
• Herhangi iki elemanları için ve de , morfizma gelen için elemanlara tekabül ait bu şekilde ;${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili y}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili y}$${\görüntüleme stili g}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili gx=y}$
• Kompozisyon Morfizmlerin yorumladığı ikili çalışmasını ait .${\görüntüleme stili G}$

Daha açıkça, aksiyon grupoid küçük kategoridir ile ve ve kaynak ve hedef haritalarla ve . Genellikle belirtilir (veya doğru bir eylem için). Groupoid'deki çarpma (veya kompozisyon) daha sonra sağlanan tanımlanır . ${\displaystyle \mathrm {ob} (C)=X}$${\displaystyle \mathrm {hom} (C)=G\times X}$${\görüntüleme stili s(g,x)=x}$${\görüntüleme stili t(g,x)=gx}$${\ Displaystyle G\ltimes X}$${\görüntüleme stili X\rtimes G}$${\görüntüleme stili (h,y)(g,x)=(hg,x)}$${\görüntüleme stili y=gx}$

İçin in , tepe grubu olanlar oluşur ile sadece olan izotropi alt grup ile (tepe grupları da izotropi grupları olarak adlandırılır neden olan) belirli bir işlem için. Benzer şekilde, eylem grupoidinin yörüngeleri , grup eyleminin yörüngesidir ve grup eylemi, ancak ve ancak grup eylemi geçişliyse geçişlidir . ${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili (g,x)}$${\görüntüleme stili gx=x}$${\görüntüleme stili x}$

-sets'i tanımlamanın başka bir yolu da functor kategorisidir , burada tek elemanlı grupoid (kategori) ve gruba izomorfiktir . Aslında, bu kategorinin her bir functor'u bir set tanımlar ve her in için (yani içindeki her morfizm için ) bir bijection'a neden olur  : . Functor'ın kategorik yapısı , sette bir eylemi tanımlayan bize güvence verir . (Benzersiz) gösterilebilir funktor  : olan Cayley gösterimi arasında . Aslında, bu funktor izomorf ve bu gönderir kümesine tanımla "set" ve morfizmanın arasında (diğer bir deyişle elemanı arasında permütasyonuna) kümesinin . Biz çıkarsamak Yoneda gömme grubu olduğu grup izomorf , bir alt-grubu grubunun permütasyon arasında . ${\görüntüleme stili G}$ ${\displaystyle [\mathrm {Gr} ,\mathrm {Set} ]}$${\displaystyle \mathrm {Gr} }$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili F}$${\displaystyle X=F(\mathrm {Gr} )}$${\görüntüleme stili g}$${\görüntüleme stili G}$${\displaystyle \mathrm {Gr} }$ ${\ Displaystyle F_{g}}$${\displaystyle X\to X}$${\görüntüleme stili F}$${\görüntüleme stili F}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili G}$ ${\görüntüleme stili F}$${\displaystyle \mathrm {Gr} \to \mathrm {Ayar} }$${\görüntüleme stili G}$${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,-)}$${\displaystyle \mathrm {ob} (\mathrm {Gr} )}$${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,\mathrm {Gr} )}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili g}$${\displaystyle \mathrm {Gr} }$${\görüntüleme stili g}$${\görüntüleme stili G}$${\ Displaystyle F_{g}}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili G}$${\displaystyle \{F_{g}\orta g\in G\}}$${\görüntüleme stili G}$

Sınırlı set

Her sayıyı negatife alan sonlu küme üzerindeki grup eylemini düşünün , so ve . Bölüm grubu, bu grup eyleminin denklik sınıfları kümesidir ve üzerinde bir grup eylemi vardır . ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle X=\{-2,-1,0,1,2\}}$${\ Displaystyle -2\mapsto 2}$${\ Displaystyle 1\mapsto -1}$${\görüntüleme stili [X/G]}$${\görüntüleme stili \{[0],[1],[2]\}}$${\görüntüleme stili [0]}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$

bölüm çeşitliliği

Herhangi sonlu grup eşleştiren bir grup eylem vermek afin uzay (bu automorphisms grup olduğundan). Daha sonra, bir bölüm grupoidi , orijinde dengeleyici olan bir noktası olan formlarda olabilir. Bunun gibi örnekler orbifoldlar teorisinin temelini oluşturur . Yaygın olarak incelenen bir diğer orbifold ailesi, Calabi-Yau orbifoldları gibi ağırlıklı projektif uzaylar ve bunların alt uzaylarıdır . ${\görüntüleme stili G}$${\ Displaystyle GL(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle [\mathbb {A} ^{n}/G]}$${\görüntüleme stili G}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (n_{1},\ldots ,n_{k})}$

Grupoidlerin lif ürünü

Grupoid morfizmleri olan grupoidlerin bir diyagramı verildi

${\displaystyle {\begin{hizalı}&&X\\&&\downarrow \\Y&\rightarrow &Z\end{hizalı}}}$

burada ve biz grupoid oluşturabilen eşyasını üçe , , ve de . Morfizmalar bir Morfizmlerin çifti olarak tanımlanabilir ve üçlü için böyle bir değişmeli diyagramıdır orada arasında , ve . ${\displaystyle f:X\to Z}$${\ Displaystyle g:Y\'den Z'ye}$${\displaystyle X\times _{Z}Y}$${\görüntüleme stili (x,\phi ,y)}$${\displaystyle x\in {\metin{Ob}}(X)}$${\displaystyle y\in {\metin{Ob}}(Y)}$${\displaystyle \phi :f(x)\to g(y)}$${\görüntüleme stili Z}$${\görüntüleme stili (\alfa ,\beta )}$${\displaystyle \alpha :x\to x'}$${\görüntüleme stili \beta :y\y'ye"}$${\görüntüleme stili (x,\phi ,y),(x',\phi ',y')}$${\görüntüleme stili Z}$${\displaystyle f(\alpha ):f(x)\to f(x')}$${\ Displaystyle g(\beta ):g(y)\to g(y')}$${\görüntüleme stili \phi ,\phi '}$

homolojik cebir

İki terimli bir kompleks

${\displaystyle C_{1}{\overset {d}{\rightarrow }}C_{0}}$

somut bir Abelian kategorisindeki nesnelerin bir grupoid oluşturmak için kullanılabilir. Nesne olarak kümeye ve oklar olarak kümeye sahiptir ; kaynak morfizmi sadece üzerine izdüşümdür , hedef morfizm ise ile oluşturulmuş ve üzerine izdüşümü ekleyen izdüşümdür . Yani , biz var ${\görüntüleme stili C_{0}}$${\displaystyle C_{1}\oplus C_{0}}$${\görüntüleme stili C_{0}}$${\görüntüleme stili C_{1}}$${\görüntüleme stili d}$${\görüntüleme stili C_{0}}$${\displaystyle c_{1}+c_{0}\in C_{1}\oplus C_{0}}$

${\displaystyle t(c_{1}+c_{0})=d(c_{1})+c_{0}.}$

Tabii ki, eğer değişmeli kategori bir şemadaki tutarlı kasnakların kategorisiyse , o zaman bu yapı bir grupoid ön demeti oluşturmak için kullanılabilir .

Bulmacalar

Rubik Küpü gibi bulmacalar grup teorisi kullanılarak modellenebilirken (bkz. Rubik Küp grubu ), bazı bulmacalar grupoidler olarak daha iyi modellenir.

On beş bulmacanın dönüşümleri bir grupoid oluşturur (bir grup değil, çünkü tüm hareketler oluşturulamaz). Bu grupoid , konfigürasyonlara etki eder .

Mathieu grupoidi

Mathieu grupoid tarafından meydana getirilen bir grupoid olan John Horton Conway 13 nokta üzerine etki eden şekilde, bir uç oluşturan bir kopyasını sabitleme elemanları Mathieu grubu M ₁₂ .

Gruplarla ilişki

Grup benzeri yapılar
	bütünlük	çağrışım	Kimlik	ters çevrilebilirlik	değişebilirlik
yarıgrupoid	Gereksiz	Gerekli	Gereksiz	Gereksiz	Gereksiz
Küçük Kategori	Gereksiz	Gerekli	Gerekli	Gereksiz	Gereksiz
grupoid	Gereksiz	Gerekli	Gerekli	Gerekli	Gereksiz
magma	Gerekli	Gereksiz	Gereksiz	Gereksiz	Gereksiz
yarıgrup	Gerekli	Gereksiz	Gereksiz	Gerekli	Gereksiz
birim magma	Gerekli	Gereksiz	Gerekli	Gereksiz	Gereksiz
Döngü	Gerekli	Gereksiz	Gerekli	Gerekli	Gereksiz
yarı grup	Gerekli	Gerekli	Gereksiz	Gereksiz	Gereksiz
Ters Yarıgrup	Gerekli	Gerekli	Gereksiz	Gerekli	Gereksiz
monoid	Gerekli	Gerekli	Gerekli	Gereksiz	Gereksiz
değişmeli monoid	Gerekli	Gerekli	Gerekli	Gereksiz	Gerekli
Grup	Gerekli	Gerekli	Gerekli	Gerekli	Gereksiz
değişmeli grup	Gerekli	Gerekli	Gerekli	Gerekli	Gerekli
^α Birçok kaynakta kullanılanKapanış, farklı şekilde tanımlansa da bütünlüğe eşdeğer bir aksiyomdur.

Bir grupoidin yalnızca bir nesnesi varsa, morfizmleri grubu bir grup oluşturur . Cebirsel tanımı kullanarak, böyle bir grupoid kelimenin tam anlamıyla sadece bir gruptur. Grup teorisinin birçok kavramı , grup homomorfizminin yerini alan functor kavramıyla grupoidlere genellenir .

Her geçişli/bağlı grupoid - yani, yukarıda açıklandığı gibi, herhangi iki nesnenin en az bir morfizmle bağlı olduğu biri - bir eylem grupoidine (yukarıda tanımlandığı gibi) izomorfiktir . Geçişlilik olarak, eylemin altında yalnızca bir yörünge olacaktır . ${\görüntüleme stili (G,X)}$

Az önce bahsedilen izomorfizmin benzersiz olmadığını ve doğal bir seçim olmadığını unutmayın . Esas olarak bir geçişli için böyle bir izomorfizm grupoid seçimi bir nesne çekme tutarındadır , bir grup izomorfizm gelen için ve her biri için diğer daha bir morfizma gelen için . ${\görüntüleme stili x_{0}}$ ${\görüntüleme stili h}$${\ Displaystyle G(x_{0})}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili x_{0}}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili x_{0}}$${\görüntüleme stili x}$

Bir grupoid geçişli değilse , bağlı bileşenleri olarak da adlandırılan (muhtemelen her bağlı bileşen için farklı gruplar ve kümeler ile) yukarıdaki tipteki grupoidlerin ayrık bir birleşimine izomorfiktir . ${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili X}$

Kategori-teorik terimlerle, bir grupoidin her bağlı bileşeni, tek bir nesneye, yani tek bir gruba sahip bir grupoide eşdeğerdir (ancak izomorf değildir ). Bu nedenle, herhangi bir grupoid, çok sayıda ilişkisiz grup kümesine eşdeğerdir . Başka bir deyişle, yerine İzomorfizm denklik için, bir kümesi belirleyin gerekmez , ancak yalnızca grupları Örneğin, ${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili G.}$

• Temel grupoid toplanması eşdeğerdir temel grup , her biri yolu bağlı bileşen arasında , ancak izomorfizm her bir bileşenin noktaların grubu belirtilmesi gerekir;${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$
• Eşdeğerlik ilişkisine sahip küme , her denklik sınıfı için önemsiz grubun bir kopyasına eşdeğerdir (bir grupoid olarak) , ancak bir izomorfizm, her denklik sınıfının ne olduğunu belirtmeyi gerektirir:${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili\sim }$
• Grubu , bir ile donatılmış eylem grubunun bir kopyasını (a grupoidinin gibi) eşdeğer olan her biri için bir yörüngede eylem, ancak izomorfizm her yörünge ayarladıklarınızla belirtilmesi gerekir.${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili G}$

Bir grupoidin sadece bir grup koleksiyonuna çökmesi, kategori-teorik bir bakış açısından bile bazı bilgileri kaybeder, çünkü bu doğal değildir . Bu nedenle, yukarıdaki örneklerde olduğu gibi, diğer yapılar açısından grupoidler ortaya çıktığında, tüm grupoidi korumak yardımcı olabilir. Aksi takdirde, her birini tek bir grup açısından görmek için bir yol seçilmelidir ve bu seçim keyfi olabilir. Topoloji örneğinde , aynı yola bağlı bileşendeki her noktadan her noktaya tutarlı bir yol seçimi (veya yolların denklik sınıfları) yapılması gerekir . ${\görüntüleme stili G(x)}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili q}$

Daha aydınlatıcı bir örnek olarak, tek bir endomorfizm ile grupoidlerin sınıflandırılması, tamamen grup teorik değerlendirmelerine indirgenmez. Bu, vektör uzaylarının tek bir endomorfizm ile sınıflandırılmasının önemsiz olduğu gerçeğine benzer .

Grupoidlerin morfizmleri, gruplarınkinden daha fazla çeşitte bulunur: örneğin, fibrasyonlarımız , örtücü morfizmlerimiz , evrensel morfizmlerimiz ve bölüm morfizmlerimiz var . Bu nedenle, bir alt-grup bir grubun bir işlem verir setinde kalan sınıfları arasında içinde ve bu nedenle bir kaplama morfizmalar , diyelim ki, için , burada bir grupoid olan tepe grupları izomorf . Bu şekilde, grubun sunumları, grupoidin sunumlarına "kaldırılabilir" ve bu, alt grubun sunumları hakkında bilgi edinmenin yararlı bir yoludur . Daha fazla bilgi için, Referanslar'da Higgins ve Brown'ın kitaplarına bakın. ${\görüntüleme stili H}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili H}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili K}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili K}$${\görüntüleme stili H}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili K}$${\görüntüleme stili H}$

Grupoidlerin kategorisi

Olan nesnelerdir morfizimler olan grupoid morfizimler denir grupoidler ve kategori grupoid kategori veya grupoidler kategorisi ve ile gösterilir Grpd .

Kategori Grpd küçük kategorilerin kategorisi gibi olduğu, Kartezyen kapalı : Herhangi bir grupoidler için bir grupoid gerçekleştirebilmesi eşyasını morfizimler olan oklar Morfizmlerin doğal denkliği ve. Bu nedenle, eğer sadece gruplar ise, o zaman bu tür oklar morfizmlerin eşleniğidir. Ana sonuç, herhangi bir grupoid için doğal bir bijeksiyon olmasıdır. ${\görüntüleme stili H,K}$${\ Displaystyle \ operatör adı {GPD} (H,K)}$${\ Displaystyle H\to K}$${\görüntüleme stili H,K}$${\görüntüleme stili G,H,K}$

${\displaystyle \operatöradı {Grpd} (G\times H,K)\cong \operatöradı {Grpd} (G,\operatöradı {GPD} (H,K)).}$

Bu sonuç, tüm grupoidler sadece gruplar olsa bile ilgi çekicidir . ${\görüntüleme stili G,H,K}$

Bir diğer önemli özelliği Grpd hem olmasıdır eksiksiz ve cocomplete .

Kedi ile İlişkisi

Dahil etme hem sol hem de sağ bir eke sahiptir : ${\displaystyle i:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {Cat}}$

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Grpd} }(C[C^{-1}],G)\cong \hom _{\mathbf {Cat} }(C,i(G))}$

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Cat} }(i(G),C)\cong \hom _{\mathbf {Grpd} }(G,\mathrm {Çekirdek} (C))}$

Burada gösterir bir kategorinin yerelleştirme her morfizmanın tersine çevirir ve tüm izomorfizmleri alt kategorisini ifade eder. ${\ Displaystyle C[C^{-1}]}$${\displaystyle \mathrm {Çekirdek} (C)}$

sSet ile İlişkisi

Sinir funktoru gömer Grpd simplicial setleri kategorisinin tam alt kategorisi olarak. Bir grupoidin siniri her zaman bir Kan kompleksidir . ${\displaystyle N:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {sSet} }$

Sinirin sol bir eklemi var

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Grpd} }(\pi _{1}(X),G)\cong \hom _{\mathbf {sSet} }(X,N(G))}$

Burada, X basit kümesinin temel grupoidini gösterir. ${\görüntüleme stili \pi _{1}(X)}$

Grpd'deki Grupoidler

Grupoidler, çift grupoidler kategorisine dahil olan grupoidlerden türetilebilecek ek bir yapı vardır . Çünkü Grpd 2 kategoridir ekstra yapısı olmadığı için, bu nesneler yerine 1-kategorisinin 2 kategorisini oluştururlar. Esasen, bu grupoidler olan functors ile${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1},{\mathcal {G}}_{0}}$

${\displaystyle s,t:{\mathcal {G}}_{1}\to {\mathcal {G}}_{0}}$

ve bir kimlik functor tarafından verilen bir gömme

${\displaystyle i:{\mathcal {G}}_{0}\to {\mathcal {G}}_{1}}$

Bu 2-grupoidleri düşünmenin bir yolu, dikey ve yatay olarak bir araya gelebilen nesneler, morfizmler ve kareler içermeleridir. Örneğin verilen kareler

${\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \end{matrix}}}$ ve ${\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet \end{matrix}}}$

ile aynı morfizmalar, dikey olarak bir diyagram verir yapışık olabilir${\görüntüleme stili bir}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\ &\bullet \end{matris}}}$

dikey oklar oluşturularak başka bir kareye dönüştürülebilir. Karelerin yatay ekleri için benzer bir bileşim yasası vardır.

Geometrik yapılara sahip grupoidler

Geometrik nesneleri incelerken, ortaya çıkan grupoidler genellikle bir topoloji taşır , onları topolojik grupoidlere veya hatta bazı türevlenebilir yapılara dönüştürerek onları Lie grupoidlerine dönüştürür . Bu son objeler de bunlarla ilişkili açısından incelenebilir Lie algebroids arasındaki ilişkiye benzer şekilde, Lie gruplarının ve Lie cebirleri .

Geometriden kaynaklanan grupoidler genellikle grupoid çarpımı ile etkileşime giren başka yapılara sahiptir. Örneğin, Poisson geometrisinde , uyumlu bir simplektik forma sahip bir Lie grupoidi olan bir simplektik grupoid kavramı vardır . Benzer şekilde, uyumlu bir Riemann metriği veya karmaşık yapı vb. ile grupoidler olabilir .

Ayrıca bakınız

• grupoid kohomoloji
• ∞-grupoid
• 2-grup
• Homotopi tipi teorisi
• ters kategori
• Grupoid cebir ( cebirsel grupoid ile karıştırılmamalıdır )
• R-cebiri

Notlar

Referanslar

• Brandt, H (1927), "Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes", Mathematische Annalen , 96 (1): 360–366, doi : 10.1007/BF01209171 , S2CID  119597988
• Brown, Ronald, 1987, " Gruplardan grupoidlere: kısa bir araştırma " Bull. Londra Matematik. Soc. 19 : 113-34. Brandt'ın ikinci dereceden formlar üzerindeki çalışmasından başlayarak 1987'ye kadar grupoidlerin tarihini inceler. İndirilebilir sürüm birçok referansı günceller.
• —, 2006. Topoloji ve grupoidler. Kitapçı. Daha önce 1968 ve 1988'de yayınlanmış bir kitabın gözden geçirilmiş ve genişletilmiş baskısı. Grupoidler, topolojik uygulamaları bağlamında tanıtılmaktadır.
• —, Yüksek boyutlu grup teorisi Grupoid kavramının, homotopi teorisinde ve grup kohomolojisinde uygulamaları olan daha yüksek boyutlu homotopi grupoidlerine nasıl yol açtığını açıklar . Birçok referans.
• Dicks, Warren; Ventura, Enric (1996), Serbest bir grubun bir enjektif endomorfizm ailesi tarafından tespit edilen grup , Mathematical Surveys and Monographs, 195 , AMS Bookstore, ISBN 978-0-8218-0564-0
• Dokuchaev, M.; Exel, R.; Piccione, P. (2000). "Kısmi Gösterimler ve Kısmi Grup Cebirleri". Cebir Dergisi . Elsevier. 226 : 505-532. arXiv : matematik/9903129 . doi : 10.1006/jabr.1999.8204 . ISSN  0021-8693 . S2CID  14622598 .
• F. Borceux, G. Janelidze, 2001, Galois teorileri. Cambridge Üniv. Basmak. Galois teorisinin genellemelerinin nasıl Galois grupoidlerine yol açtığını gösterir .
• Cannas da Silva, A. ve A. Weinstein , Değişmez Cebirler için Geometrik Modeller. Özellikle Bölüm VI.
• Golubitsky, M. , Ian Stewart, 2006, " Ağların doğrusal olmayan dinamikleri: grupoid biçimcilik ", Bull. Amer. Matematik. Soc. 43 : 305-64
• "Grupoid" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
• Higgins, PJ, "Bir grup grafiğinin temel grupoidi ", J. London Math. Soc. (2) 13 (1976) 145—149.
• Higgins, PJ ve Taylor, J., "Temel grupoid ve bir yörünge uzayının homotopi çapraz kompleksi ", Kategori teorisinde (Gummersbach, 1981), Matematik Ders Notları, Cilt 962. Springer, Berlin (1982), 115 —122.
• Higgins, PJ, 1971. Kategoriler ve grupoidler. Matematikte Van Nostrand Notları. Tekrar basılmıştır Teoride reprints ve kategorileri Uygulamaları , No. 7 (2005), s 1-195.; ücretsiz indirilebilir . Grupoidlere özel vurgu yaparak kategori teorisine önemli bir giriş . Grup teorisinde, örneğin Grushko teoreminin genelleştirilmesinde ve topolojide, örneğin temel grupoidde , grupoidlerin uygulamalarını sunar .
• Mackenzie, KCH, 2005. Lie grupoidleri ve Lie cebirlerinin genel teorisi. Cambridge Üniv. Basmak.
• Weinstein, Alan, " Groupoids: iç ve dış simetriyi birleştirmek — Bazı örnekler üzerinden bir tur. " Postscript'te de mevcuttur . , AMS Bildirimleri, Temmuz 1996, s. 744–752.
• Weinstein, Alan, " Momentumun Geometrisi " (2002)
• RT Zivaljeviç. "Birleştiricilerde grupoidler - yerel simetri teorisinin uygulamaları". Gelen cebirsel ve geometrik kombinatorik , hacmi 423 Contemp. Matematik ., 305-324. Amer. Matematik. Soc., Providence, RI (2006)
• temel grupoid içinde nLab
• Çekirdek olarak nLab