İzdüşümsel nesne - Projective object

In kategori teorisi , bir kavramı yansıtmalı nesnenin bir kavramını genelleştirir yansıtmalı modülü . Yansıtmalı nesneler değişmeli kategorilerde kullanılan homolog cebir . İkili bir yansıtmalı nesne fikri bir o olduğunu birebir nesne .

Bir amacı, bir kategoride olan yansıtmalı herhangi halinde epimorphism ve morfizmalar , bir morfizmanın vardır , öyle ki , aşağıdaki diyagram günlük ulaşım yani: ${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ Displaystyle e: e \ twoheadrightarrow X}$ ${\ Displaystyle f: X P \}$${\ Displaystyle {\ overline {f}}: E P \}$${\ Displaystyle e \ Circ {\ overline {f}} f =}$

Yani, her morfizmanın olduğu aracılığıyla faktörler her epimorphism .${X \ displaystyle P \}$ ${\ Displaystyle E \ twoheadrightarrow X}$

Bir de lokal olarak küçük kategori , aşağıdaki ifade eşdeğerdir: olup yansıtmalı eğer Hom funktoru${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle P}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} (P -) \ kolon {\ mathcal {C}} \ mathbf \ olarak {Ayarla}}$

korur epimorphisms .

Let yapılar Abel kategori olmak. Bu bağlamda, bir amacı , bir adlandırılır yansıtmalı bir amacı ise ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ De displaystyle P \ {\ mathcal {C}}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} (P -) \ kolon {\ mathcal {C}} \ mathbf \ olarak {Ab}}$

Bir olan tam funktoru , olduğu kategori içinde değişmeli grupların . ${\ Displaystyle \ mathbf {Ab}}$

Özellikleri

• Birlikte- iki yansıtmalı nesnelerin yansıtmalı olan.
• Geri çekme izdüşümsel nesnenin yansıtmalı olan.

Yeter projektifler

Let bir olmak değişmeli kategori . olduğu söylenir yeterli projektifler , her nesne için ise arasında , bir yansıtmalı bir amacı vardır ve bir tam dizisi${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$

${\ Displaystyle P \ longrightarrow A \ longrightarrow 0}$

Başka bir deyişle, harita "epik", ya da bir epimorphism . ${\ A displaystyle p \ kolon P \}$

Örnekler

Tüm setleri yansıtmalı olan deyim eşdeğerdir seçim belitinin .

Abel grup kategorisinde yansıtmalı nesnelerdir serbest değişmeli gruplar .

Let bir olmak halka 1. sol arasında (değişmeli) kategorisini düşünün -modüller . Yansıtmalı nesneler kesin olan yansıtmalı sol R-modüller . Sonuç olarak, bir yansıtmalı nesnenin kendisi ikili olarak, içinde injektif amaçları tam olarak birebir kalan R modülleri . ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {R}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {R}}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {R}}.$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {R}}$

Kategori sola (sağ) de-modüller yeterli projektifler vardır. Bu, her sol (sağ) için, çünkü doğrudur Modül , biz alabilir (dolayısıyla yansıtmalı ve) özgür olmak bir jeneratör seti tarafından üretilen ithal Modül için (nitekim alabilir olmak ). Sonra kanonik projeksiyon gerekli olan örten . ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle M}$ ${\ M displaystyle \ pi \ kolon F \}$

Referanslar

Bu makale malzeme içeriyor Projektif nesne üzerinde PlanetMath altında lisanslıdır, Creative Commons Atıf / Share-Alike Lisansı .

Bu makale malzeme içeriyor Yeter projektifler üzerinde PlanetMath altında lisanslıdır, Creative Commons Atıf / Benzeri Paylaşım Lisansı .