Minimal polinom (alan teorisi) - Minimal polynomial (field theory)

Olarak alan teorisi , bir dalı matematik , minimal polinom bir değer a kabaca olup, polinom düşük bir derecede bu şekilde belirli bir tipte katsayılarına sahip α polinom bir köküdür. Minimal polinom ise a'dan varsa, bu uygulama benzersizdir. Polinomdaki en yüksek dereceli terimin katsayısının 1 olması gerekir ve kalan katsayılar için belirtilen tür tamsayılar , rasyonel sayılar , gerçek sayılar veya diğerleri olabilir.

Daha resmi olarak, bir alan uzantısına E / F ve uzantı alanı E'nin bir elemanına göre bir minimal polinom tanımlanır . Varsa, bir elemanın en az bir polinom, bir üyesidir F [ X ], polinomların halka büyüklüğünün x katsayılı F . Bir öğe verilen α arasında E , izin J α tüm polinomların kümesi f ( x olarak) F : [ X ], öyle ki f ( a ) = 0 elemanı α denen kökü ya da sıfır , her polinomun J a . Grubu J α bir olduğu için böyle isimlendirilen yere ait F [ X ]. Tüm katsayıları 0 olan sıfır polinomu, tüm α ve i için 0 α i = 0 olduğundan, her J α içindedir . Bu, sıfır polinomunu farklı α değerlerini türlere sınıflandırmak için kullanışsız hale getirir , bu nedenle istisna edilmiştir. Herhangi bir sıfır olmayan polinom varsa J a , o zaman α bir adlandırılır cebirsel elemanı üzerinde F ve vardır mghorta polinom en az derece J a . Bu, E / F'ye göre α'nın minimal polinomudur . Bu eşsiz ve olduğu indirgenemez üzerinde F . Sıfır polinomu, J α'nın tek üyesi ise , o zaman α , F üzerinden bir transandantal öğe olarak adlandırılır ve E / F'ye göre minimum polinomu yoktur .

Minimal polinomlar, alan uzantılarını oluşturmak ve analiz etmek için kullanışlıdır. Tüm α minimal polinom ile cebirseldir bir ( x ), her ikisi de içeren en küçük alan F ve a bir izomorfik için bölüm halka F : [ X ] / ⟨ bir ( x )⟩, burada ⟨ bir ( x )⟩ doğru olan F : [ x tarafından oluşturulan] bir ( x ). Minimal polinomlar, eşlenik elemanları tanımlamak için de kullanılır .

Tanım

Let D / F bir olmak cisim genişlemesi , α bir unsuru E ve F : [ X polinomların] halkası x fazla F . Eleman α olduğunda en az bir polinom sahip α üzerinde cebirseldir F olduğunu zaman f ( α bir sıfır olmayan polinom için) = 0 , f ( x olarak) F [ X ]. Daha sonra α'nın minimal polinomu, kök olarak α'ya sahip F [ x ] ' deki tüm polinomlar arasında en düşük derecedeki monik polinom olarak tanımlanır .

Benzersizlik

Let bir ( x ) minimum polinom a ile ilgili olarak D / F . Özgünlüğü bir ( x ) göz önüne alınarak kurulur halka homomorfizmi alt a dan F [ X için] E yerine o a için , x olduğu, alt a ( f ( x )) = f ( α ). Alt çekirdek a , ker (alt α ), tüm polinomların kümesidir F [ x var] α bir kök olarak. Yani, yukarıdan ker (alt α ) = J α . Sub α bir halka homomorfizmi olduğundan, ker (sub α ), F [ x ] 'in idealidir . Yana F [ X ] a, ana halka her zaman F bir alandır, ker polinom en az bir (alt vardır α ker (alt oluşturur) a ). Böyle bir polinom, ker (alt α ) ' daki tüm sıfır olmayan polinomlar arasında en az dereceye sahip olacaktır ve a ( x ), bunlar arasında benzersiz monik polinom olarak alınır.

Monik polinomun benzersizliği

Varsayalım p ve q, içinde mghorta polinomlar olan J a minimum derece n yana> 0 p - q J α ve C ( p - q ) ' n, o, aşağıdaki p - q = 0, yani p = q .

Özellikleri

Minimal bir polinom indirgenemez. Let D / F üzerinde bir alan uzantısı F yukarıdaki gibi, a e ve f F [ X ] için en az bir polinom a . F = gh varsayalım , burada g , h F [ x ] f'den daha düşük derecededir . Şimdi f ( α ) = 0. Alanlar aynı zamanda integral alanlar olduğundan , g ( α ) = 0 veya h ( α ) = 0'a sahibiz. Bu, f derecesinin minimumluğuyla çelişir . Böylece minimal polinomlar indirgenemez.

Örnekler

Bir Galois alan uzantısının minimum polinomu

Bir Galois alan uzantısı Verilen herhangi minimal polinom değil de olduğu gibi hesaplanabilir

Galois eyleminde dengeleyici yoksa . İndirgenemez olduğu için köklerine bakılarak çıkarılabilir , minimal polinomdur. Aynı tür formülün , stabilizatör grubu nerede ile değiştirilerek bulunabileceğini unutmayın . Örneğin, eğer o zaman stabilizatörü ise , bu nedenle minimum polinomdur.

İkinci dereceden alan uzantıları

Q ( 2 )

Eğer F = Q , E = R , α = 2 , daha sonra da en az bir polinom a olan bir ( X ) = x 2 2. taban alanı - F bunun katsayıları olasılıklarını belirler önemlidir bir ( x ) . Aldığımız Örneğin, F = R , o zaman için en az polinom a = 2 olduğu bir ( x ) = x - 2 .

Q ( d )

Genel olarak, karesiz olarak verilen ikinci dereceden genişleme için, bir elementin minimum polinomunun hesaplanması Galois teorisi kullanılarak bulunabilir. Sonra

özellikle, bu ve anlamına gelir . Bu, modüler aritmetik kullanarak bir dizi ilişkiyi belirlemek için kullanılabilir .

Biquadratic alan uzantıları

Eğer α = 2 + 3 , daha sonra minimal polinom Q [ X ] ise bir ( x ) = x 4 - 10 x 2 + 1 = ( x - 2 - 3 ) ( x + 2 - 3 ) ( x - 2 + 3 ) ( x + 2 + 3 ).

Galois eyleminin stabilize olup olmadığına dikkat edin . Dolayısıyla, minimal polinom bölüm grubu kullanılarak bulunabilir .

Birliğin kökleri

Minimal polinomlar Q [ X ] bir birlik kökleri olan devirli polinomlar .

Swinnerton-Dyer polinomları

İlk n asal sayıların kareköklerinin toplamının Q [ x ] 'deki minimal polinomu benzer şekilde oluşturulur ve buna Swinnerton-Dyer polinomu denir .

Ayrıca bakınız

Referanslar

  • Weisstein, Eric W. "Cebirsel Sayı Minimal Polinom" . MathWorld .
  • Minimal polinom de PlanetMath .
  • Pinter, Charles C. Soyut Cebir Kitabı . Dover Books on Mathematics Serisi. Dover Yayınları, 2010, s. 270–273. Mayıs ISBN   978-0-486-47417-5