Boole cebirleri için Stone'un temsil teoremi - Stone's representation theorem for Boolean algebras

In matematik , Boolean cebiri için Stone'un temsil teoremi devletler her o Boole cebri olan izomorfik belli etmek setleri alanında . Teorem, 20. yüzyılın ilk yarısında ortaya çıkan Boole cebrinin daha derin anlaşılması için esastır . Teorem ilk olarak Marshall H. Stone tarafından kanıtlandı . Taş yaptığı çalışma ile kendisine önderlik etti spektral teori ait operatörleri bir üzerinde Hilbert uzay .

Taş boşluklar

Her Boole cebri B , burada S ( B ) olarak gösterilen ve Stone uzayı olarak adlandırılan ilişkili bir topolojik uzaya sahiptir . Noktaları S ( B ) olan ultrasüzgeçler ilgili B eşdeğer ile veya homomorfizmleri B için iki elemanı Boole cebri . S ( B ) üzerindeki topoloji , formun tüm setlerinden oluşan (kapalı) bir temel tarafından üretilir.

burada b , B'nin bir öğesidir . Bu, homomorfizm ağlarının iki elemanlı Boole cebrine noktasal yakınsamasının topolojisidir.

Her Boole cebri için B , S ( B ) a, kompakt tamamen kesilmiş Hausdorff alanı ; bu tür uzaylara Taş uzaylar (ayrıca profinite uzaylar ) denir . Tersine, herhangi bir topolojik uzay verilen X , alt kümelerini toplanması X edilir clopen (kapalı ve açık her ikisi) bir Boole cebri olduğunu.

temsil teoremi

Stone'un temsil teoreminin basit bir versiyonu, her Boole cebri B'nin , Stone uzayının S ( B ) klopen altkümelerinin cebirine eşbiçimli olduğunu belirtir . İzomorfizm , b içeren tüm ultrafiltreler kümesine bir öğe gönderir . Bu, S ( B ) üzerindeki topoloji seçiminden ve B'nin bir Boole cebri olması nedeniyle bir clopen kümesidir .

Kategori teorisi dilini kullanarak teoremi yeniden ifade etmek ; teoremi devletler olduğu ikilik arasındaki kategoriye ait Boole cebirleri ve Taş alanlarda kategorisinde. Bu ikilik, Boole cebirleri ve onların Stone uzayları arasındaki denkliğe ek olarak, bir Boole cebri A'dan bir Boole cebri B'ye her homomorfizmin, doğal bir şekilde S ( B )'den S ( A )'ya sürekli bir fonksiyona karşılık geldiği anlamına gelir . Başka bir deyişle, bir orada kontravaryant funktor bir verir eşdeğerlik kategoriler arasında. Bu, kategorilerin önemsiz olmayan ikiliğinin erken bir örneğiydi.

Teorem, topolojik uzaylar ve kısmen sıralı kümeler arasındaki ikilikler için daha genel bir çerçeve olan Stone dualitesinin özel bir durumudur .

İspat, ya seçim aksiyomunu ya da onun zayıflamış bir biçimini gerektirir. Spesifik olarak, teorem , her Boole cebirinin bir asal ideale sahip olduğunu belirten zayıflamış bir seçim ilkesi olan Boolean asal ideal teoremine eşdeğerdir .

Klasik Stone dualitesinin Boole uzayları (=sıfır boyutlu yerel olarak kompakt Hausdorff uzayları) ve sürekli haritalar (sırasıyla mükemmel haritalar) kategorisine bir uzantısı GD Dimov (sırasıyla HP Doctor tarafından) elde edildi.

Ayrıca bakınız

alıntılar

Referanslar