Ultrafiltre - Ultrafilter

{1,2,3,4} kümesinin güç kümesi kafesi, üst küme ↑{1,4} koyu yeşil renklidir. Açık yeşil öğeler de dahil edilerek daha büyük önemsiz filtreye ↑{1} genişletilebileceğinden, bu bir temel filtredir , ancak bir ultrafiltre değildir . ↑{1} daha fazla genişletilemeyeceği için bir ultrafiltredir.

Olarak matematiksel alanında sırası teorisi , bir ultra-filtre , belirli bir ilgili kısmi sıralı dizi (ya da "poşet") , belirli bir alt kümesi , yani maksimum filtre üzerinde olmaktadır, a, uygun filtre üzerinde bir daha büyük bir uygun filtre büyütülemez üzerinde . ${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili P}$ ${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili P}$

Eğer keyfi bir dizi, onun kuvvet kümesi tarafından sipariş seti dahil , her zaman olduğu Boole cebri ve dolayısıyla bir poşet ve ultrasüzgeçler üzerinde genellikle denir sette ultra süzgeçleri . Kümesi üzerindeki bir ultra süzgeç bir olarak kabul edilebilir sonlu ilave önlem ile . Bu görüşte, verilen ultrafiltreye ait olup olmamasına bağlı olarak , öğesinin her alt kümesi ya " neredeyse her şey " (ölçü 1'e sahiptir) ya da "neredeyse hiçbir şey" (ölçü 0'a sahiptir) olarak kabul edilir. ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili \wp (X),}$${\görüntüleme stili \wp (X)}$ ${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$

Ultra filtrelerin küme teorisi, model teorisi ve topolojide birçok uygulaması vardır .

Kısmi siparişlerde ultra filtreler

In order theory , bir ultrasüzgeç bir olan alt küme a kısmi sıralı kümesi ise maksimal tüm arasında uygun filtreler . Bu, uygun şekilde bir ultrafiltre içeren herhangi bir filtrenin tüm poza eşit olması gerektiği anlamına gelir.

Resmi olarak, eğer bir küme ise, o zamana kadar kısmen sıralanır${\görüntüleme stili P}$${\ Displaystyle \,\leq \,}$

• bir alt küme , eğer üzerinde bir filtre olarak adlandırılır${\displaystyle F\subseteq P}$${\görüntüleme stili P}$
  • ${\görüntüleme stili F}$ boş değil,
  • her biri için öyle bir unsur var ki ve ve${\displaystyle x,y\F'de,}$${\displaystyle z\F'de}$${\displaystyle z\leq x}$${\displaystyle z\leq y,}$
  • her için ve bunun da içinde olduğunu ima eder ;${\görüntüleme stili x\F}$${\ Displaystyle y\ P'de,}$ ${\görüntüleme stili x\leq y}$${\görüntüleme stili y}$${\görüntüleme stili F}$
• Bir öz alt kümesidir ait bir denir ultrasüzgeç üzerinde ise ${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili P}$
  • ${\görüntüleme stili U}$üzerinde bir filtredir ve${\görüntüleme stili P,}$
  • herhangi bir uygun filtre olup üzerinde düzgün uzanır (şekildedir, uygun bir alt-kümesi içinde olduğunu ).${\görüntüleme stili F}$${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili F}$

Ultra filtrelerin türleri ve varlığı

Her ultrafiltre tam olarak iki kategoriden birine girer: ana ve ücretsiz. Bir temel (ya da sabit ya da önemsiz ) ultrasüzgeç bir içeren bir filtre olup en elemanı . Sonuç olarak, temel ultrafiltreler , verilen pozun bazı (hepsi değil) öğeleri için formdadır . Bu durumda ultrafiltrenin ana elemanı olarak adlandırılır . Ana olmayan herhangi bir ultrafiltre, serbest (veya ana olmayan ) bir ultrafiltre olarak adlandırılır. ${\displaystyle F_{a}=\{x:a\leq x\}}$${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili bir}$

Bir güç kümesindeki ultrafiltreler için, bir temel ultrafiltre, belirli bir öğeyi içeren tüm alt kümelerden oluşur. Üzerindeki her bir ultrafiltre , aynı zamanda bir ana filtredir . Bu nedenle, bir ultra süzgeç üzerinde ve sonlu bir kümesi içerir ancak eğer esastır. Eğer sonsuz, bir ultra süzgeç üzerinde ve dolayısıyla bu içeriyorsa, eğer olmayan esastır Frechet filtresi arasında co-sonlu alt kümelerinin arasında ise sonlu her ultrafiltre esastır. ${\görüntüleme stili \wp (S),}$${\görüntüleme stili S}$${\displaystyle s\S.}$${\görüntüleme stili \wp (S)}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili \wp (S)}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili \wp (S)}$${\görüntüleme stili S.}$${\görüntüleme stili S}$

Her bir Boole cebir üzerinde filtre (ya da daha genel olarak, herhangi bir alt kümesi sonlu kesişim özellikli ) bir ultra bulunan (bkz lemma ultrasüzgeç ) ve ücretsiz ultrasüzgeçler nedenle var olduğunu, ancak deliller içeren seçim belitini ( AC formunda) arasında Zorn Lemması . Öte yandan, her filtrenin bir ultrafiltrede bulunduğu ifadesi AC anlamına gelmez . Gerçekten de, Zermelo-Fraenkel küme teorisi ( ZF ) aksiyomları ile seçim aksiyomu ( ZFC ) tarafından desteklenen ZF teorisi arasında iyi bilinen bir ara nokta olan Boolean asal ideal teoremine ( BPIT ) eşdeğerdir . Genel olarak, seçim aksiyomunu içeren kanıtlar, serbest ultrafiltrelerin açık örneklerini üretmez, ancak bazı ZFC modellerinde açık örnekler bulmak mümkündür ; örneğin, Gödel bunun, açık bir küresel seçim fonksiyonunun yazılabileceği inşa edilebilir evrende yapılabileceğini gösterdi . Gelen ZF Seçim aksiyomu olmadan, her ultrasüzgeç asıl olması mümkündür.

Boole cebrinde ultrafiltre

Kavramın önemli bir özel durumu, dikkate alınan poz bir Boole cebri ise ortaya çıkar . Bu durumda, ultrasüzgeçler her bir eleman için, içermesi ile karakterize edilmektedir Boole cebri, tam olarak elemanlarından biri ve ¬ (ikinci Boole tamamlayıcı arasında ): ${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili bir}$

Eğer bir Boole cebri ve üzerinde düzgün bir filtredir sonra aşağıdaki ifade eşdeğerdir: ${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili F}$${\görüntüleme stili P,}$

1. ${\görüntüleme stili F}$ üzerinde bir ultrafiltre ${\görüntüleme stili P,}$
2. ${\görüntüleme stili F}$Bir olan asal filtre üzerinde${\görüntüleme stili P,}$
3. her biri için her iki ya da (¬ )${\ Displaystyle a\in P,}$${\görüntüleme stili bir\F}$${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili \F.}$

1 ⇔ 2'nin ispatı da (Burris, Sankappanavar, 2012, Corollary 3.13, s.133)'de verilmiştir.

Ayrıca, bir Boole cebrindeki ultrafiltreler, maksimum ideallerle ve 2 elemanlı Boole cebri {true, false} ( 2 değerli morfizmler olarak da bilinir) ile homomorfizmlerle aşağıdaki gibi ilişkilendirilebilir:

• {Doğru, yanlış} üzerine bir Boole cebir bir homomorfizması göz önüne alındığında, ters görüntü "doğru" bir ultra süzgeç ve "yanlış" ters görüntüsü bir maksimal idealdir.
• Bir Boole cebrinin maksimal ideali verildiğinde, tamamlayıcısı bir ultrafiltredir ve maksimum ideali "false" olarak alan {true, false} üzerinde benzersiz bir homomorfizm vardır.
• Bir Boole cebri üzerinde bir ultrafiltre verildiğinde, tamamlayıcısı bir maksimal idealdir ve ultrafiltreyi "true" olarak alan {true, false} üzerinde benzersiz bir homomorfizm vardır.

Bir setin güç setinde ultrafiltre

Keyfi bir dizi göz önüne alındığında onun kuvvet kümesi tarafından sipariş seti dahil , her zaman bir Boole cebri olduğu; dolayısıyla yukarıdaki bölümün sonuçları Özel durum: Boole cebri geçerlidir. Bir (ultra)filtreye genellikle sadece "(ultra)filtre açık " denir . Yukarıdaki resmi tanımlar, aşağıdaki gibi güç kümesi durumuna özelleştirilebilir: ${\görüntüleme stili X,}$ ${\görüntüleme stili \wp (X),}$${\görüntüleme stili \wp (X)}$${\görüntüleme stili X}$

Rastgele bir küme verildiğinde, bir ultrafiltre, aşağıdakilerin alt kümelerinden oluşan bir kümedir : ${\görüntüleme stili X,}$${\görüntüleme stili \wp (X)}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili X}$

1. boş küme elemanı değildir ${\ Displaystyle U.}$
2. Eğer ve kümenin alt kümeleri , kümenin bir alt kümesiyse ve bir öğesiyse, o zaman aynı zamanda bir öğesidir.${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili X,}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili B,}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili U,}$${\görüntüleme stili B}$${\ Displaystyle U.}$
3. Eğer ve öğeleridir o zaman bir kesişim arasında ve${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili U,}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili B.}$
4. Eğer bir alt kümesi ise, o zaman ya da onun göreli tamamlayıcısı , bir elemanıdır.${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili X,}$${\görüntüleme stili A}$${\displaystyle X\setminus A}$${\ Displaystyle U.}$

Bir güç sette ultrafiltreler bakmanın diğer bir yolu şöyledir: Bir ultra süzgeç verilen yönelik bir işlev tanımlamak üzerinde ayarıyla eğer bir elementtir ve aksi. Böyle bir fonksiyona 2 değerli morfizm denir . Sonra ise sonlu toplamsal ve dolayısıyla bir içerik üzerinde ve unsurlarının her özellik birinin doğru olması hemen hemen her yerde hemen hemen her yerde ya da yanlış. Ancak, genellikle sayılabilir toplamsal değildir ve bu nedenle genel anlamda bir ölçü tanımlamaz . ${\görüntüleme stili \wp (X)}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili m}$${\görüntüleme stili \wp (X)}$${\görüntüleme stili m(A)=1}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili m(A)=0}$${\görüntüleme stili m}$${\görüntüleme stili \wp (X),}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili m}$

Bir filtre için bir ultra süzgeç değil, tek derdi ise ve eğer bırakarak başka yerde tanımlanmamış. ${\görüntüleme stili F}$${\görüntüleme stili m(A)=1}$${\ Displaystyle A\ F'de}$${\görüntüleme stili m(A)=0}$${\displaystyle X\setminus A\F'de,}$${\görüntüleme stili m}$

Uygulamalar

Güç kümeleri üzerindeki ultrafiltreler, topolojide , özellikle kompakt Hausdorff uzayları ile ilgili olarak ve ultraürünlerin ve ultragüçlerin yapımında model teorisinde faydalıdır . Kompakt bir Hausdorff uzayındaki her ultrafiltre tam olarak bir noktaya yakınsar. Benzer şekilde, Boole cebirlerindeki ultrafiltreler Stone'un temsil teoreminde merkezi bir rol oynar .

Bir pozetin tüm ultrafiltreleri kümesi doğal bir şekilde topolojilendirilebilir, yani aslında yukarıda bahsedilen temsil teoremi ile yakından ilişkilidir. öğesinin herhangi bir öğesi için , bu, yine bir Boole cebri olduğunda en kullanışlıdır , çünkü bu durumda tümü kümesi, üzerinde kompakt bir Hausdorff topolojisi için bir tabandır . Özellikle, bir güç kümesindeki ultrafiltreler göz önüne alındığında , ortaya çıkan topolojik uzay , ayrı bir kardinalite uzayının Stone-Čech kompaktlaştırılmasıdır .${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili P}$${\displaystyle D_{a}=\sol\{U\in G:a\in U\sağ\}.}$${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili D_{a}}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili \wp (S),}$${\görüntüleme stili |S|.}$

Ultraproduct inşaat modeli teorisi kullandığı ultrafiltreler üretmek için temel uzantıları yapıların. Örneğin, yapımında üstü bir numara bir ultraproduct olarak gerçek sayılar , söylem alan reel sayılar dizilerine gerçek sayılar uzatılır. Bu dizi uzayı, her bir gerçeği karşılık gelen sabit diziyle tanımlayarak gerçeklerin bir üst kümesi olarak kabul edilir . Bilinen işlevleri ve ilişkileri (örneğin, + ve <) gerçeklerden hipergerçeklere genişletmek için, doğal fikir onları noktasal olarak tanımlamaktır. Ancak bu, gerçeklerin önemli mantıksal özelliklerini kaybeder; örneğin, noktasal < toplam sıralama değildir. Bunun yerine işlevler ve ilişkiler " pointwise modulo " olarak tanımlanır , burada dizilerin indeks kümesinde bir ultrafiltre bulunur ; tarafından Los teoreminin , bu konserve belirtilen edilebilir reals tüm özelliklerini birinci dereceden mantık . Temel değilse , bu şekilde elde edilen genişleme önemsizdir. ${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili U}$

Olarak geometrik grup teorinin olmayan ana ultrasüzgeçler tanımlamak için kullanılır asimptotik koni bir grup. Bu yapı , gruba sonsuzdan , yani grubun büyük ölçekli geometrisinden bakmayı düşünmek için titiz bir yol sağlar . Asimptotik koniler özel örnekleridir ultralimits arasında metrik boşluklar .

Gödel'in Tanrı'nın varlığına ilişkin ontolojik kanıtı , tüm "pozitif özellikler" kümesinin bir ultrafiltre olduğu bir aksiyom olarak kullanır.

Gelen sosyal seçim teorisi olmayan anapara ultrasüzgeçler (a denilen bir kural tanımlamak için kullanılır sosyal refah fonksiyonu tercihlerini toplanmasını) sonsuz sayıda birey. Arrow'un sonlu sayıda birey için imkansızlık teoreminin aksine , böyle bir kural Arrow'un önerdiği koşulları (özellikleri) karşılar (örneğin, Kirman ve Sondermann, 1972). Bununla birlikte, Mihara (1997, 1999), bu tür kuralların, algoritmik veya hesaplanamaz oldukları için pratikte sosyal bilimciler için sınırlı bir ilgi alanı olduğunu göstermektedir.

Ayrıca bakınız

• Filtre (matematik)  – Matematikte, kısmen sıralı bir kümenin özel bir alt kümesi
• Topolojide  filtreler – Tüm temel topolojik kavramları ve sonuçları tanımlamak ve karakterize etmek için filtrelerin kullanılması.
• evrensel ağ

Notlar

Referanslar

bibliyografya

• Arkhangel'skii, Alexander Vladimirovich ; Ponomarev, VI (1984). Genel Topolojinin Temelleri: Problemler ve Alıştırmalar . Matematik ve Uygulamaları. 13 . Dordrecht Boston: D. Reidel . ISBN'si 978-90-277-1355-1. OCLC  9944489 .
• Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. Genel Topoloji: Bölüm 1-4 [ Topologie Générale ]. Éléments de matematik . Berlin New York: Springer Bilim ve İş Medyası. ISBN'si 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129 .
• Dixmier, Jacques (1984). Genel Topoloji . Matematikte Lisans Metinleri. Berberian tarafından tercüme edilmiştir, SK New York: Springer-Verlag . ISBN'si 978-0-387-90972-1. OCLC  10277303 .
• Dolecki, Szymon ; Mynard, Frederic (2016). Topolojinin Yakınsama Temelleri . New Jersey: Dünya Bilimsel Yayıncılık Şirketi. ISBN'si 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917 .
• Dugundji, James (1966). Topoloji . Boston: Allyn ve Bacon. ISBN'si 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485 .
• Csaszar, Akos (1978). Genel topoloji . Çeviren: Császár, Klára. Bristol İngiltere: Adam Hilger Ltd. ISBN 0-85274-275-4. OCLC  4146011 .
• Jech, Thomas (2006). Küme Teorisi: Üçüncü Binyıl Sürümü, Gözden Geçirilmiş ve Genişletilmiş . Berlin New York: Springer Bilim ve İş Medyası. ISBN'si 978-3-540-44085-7. OCLC  50422939 .
• Joshi, KD (1983). Genel Topolojiye Giriş . New York: John Wiley and Sons Ltd. ISBN 978-0-85226-444-7. OCLC  9218750 .
• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topolojik Vektör Uzayları . Saf ve uygulamalı matematik (İkinci baskı). Boca Raton, FL: CRC Basın. ISBN'si 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Schechter, Eric (1996). Analiz El Kitabı ve Temelleri . San Diego, CA: Akademik Basın. ISBN'si 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365 .
• Schubert, Horst (1968). Topoloji . Londra: Macdonald & Co. ISBN 978-0-356-02077-8. OCLC  463753 .

daha fazla okuma

• Konfor, WW (1977). "Ultra filtreler: bazı eski ve bazı yeni sonuçlar" . Amerikan Matematik Derneği Bülteni . 83 (4): 417–455. doi : 10.1090/S0002-9904-1977-14316-4 . ISSN  0002-9904 . MR  0454893 .
• Konfor, WW; Negrepontis, S. (1974), Ultrafiltreler teorisi , Berlin, New York: Springer-Verlag , MR  0396267
• Ultrafiltre içinde nLab