Profinite grubu - Profinite group

Gelen matematik , profinite grupları olan topolojik gruplar monte bir anlamda olan sonlu gruplar . Sonlu bölümleriyle birçok özelliği paylaşırlar: örneğin, hem Lagrange teoremi hem de Sylow teoremleri kesin gruplara iyi genelleme yapar.

Bir profinite grubun kompakt olmayan bir genellemesi, yerel olarak profinite bir gruptur .

Tanım

Profinite grupları iki eşdeğer yoldan biriyle tanımlanabilir.

İlk tanım

Bir profinite grubu olduğu bir topolojik gruptur izomorfik için ters sınırının bir bölgesinin ters sisteminin bir ayrık sonlu gruplar . Bu bağlamda, bir ters sistemi oluşur yönlendirilmiş grubu , sonlu grupların bir koleksiyon , her biri ayrı bir topoloji ve bir toplama homomorfizmalar gibi ilgili kimlik olan ve toplama tatmin bileşimin özelliği . Ters limit şu şekildedir: ${\görüntüleme stili (I,\leq )}$${\displaystyle {\mathcal {G}}=\{G_{i}:i\in I\}}$ ${\displaystyle \{f_{i}^{j}:G_{j}\to G_{i}\mid i,j\in I,i\leq j\}}$${\displaystyle f_{i}^{i}}$${\görüntüleme stili G_{i}}$${\displaystyle f_{i}^{j}\circ f_{j}^{k}=f_{i}^{k}}$

${\displaystyle \varprojlim G_{i}=\left\{(g_{i})_{i\in I}\in \prod _{i\in I}G_{i}:f_{i}^{j }(g_{j})=g_{i}{\text{ tümü için }}j\geq i\doğru\}}$

göreli ürün topolojisi ile donatılmıştır . Gelen kategorik açıdan, bu özel bir durumdur cofiltered sınır inşaat. Ters limiti evrensel bir özellik olarak da tanımlayabiliriz .

İkinci tanım

Profinite bir grup, bir Hausdorff , kompakt ve tamamen bağlantısız topolojik gruptur: yani, aynı zamanda bir Stone uzayı olan bir topolojik grup . Bu tanım göz önüne alındığında, (ters) dahil etme ile sıralı açık normal alt gruplar boyunca aralıkların bulunduğu ters limiti kullanarak ilk tanımı elde etmek mümkündür . ${\displaystyle \varprojlim G/N}$${\görüntüleme stili N}$${\görüntüleme stili G}$

Örnekler

• Ayrık topoloji verilirse, sonlu gruplar kesindir .
• Toplama altındaki p -adic tamsayılar grubu profinitedir (aslında prosiklik ). Bu sonlu gruplarının ters sınırı , n doğal sayılar ve doğal harita üzerinde aralıkları için sınır işlemi için kullanılır. Bu profinite grup üzerindeki topoloji, p-adic değerlemesinden kaynaklanan topoloji ile aynıdır .${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z} }$${\görüntüleme stili n\geq m}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$
• Grup profinite tamsayılar sonlu grupların ters sınırıdır ve biz haritalar kullanmak için sınır sürecinde. Bu grup, tüm grupların ürünüdür ve herhangi bir sonlu alanın mutlak Galois grubudur.${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\görüntüleme stili n=1,2,3,\nokta }$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$${\görüntüleme stili m|n}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$
• Galois kuramı ait tarla uzantılarının sonsuz derece profinite olan Galois gruplarına doğal olarak yol açmaktadır. Özellikle, L / K a, Galois'in uzantısı , biz grubu dikkate G = Gal ( L / K tüm alan automorphisms oluşur) L tüm elemanları tutmak K sabit. Bu grup, sonlu Gal( F / K ) gruplarının ters sınırıdır; burada F , F / K'nin sonlu bir Galois uzantısı olduğu şekilde tüm ara alanlar üzerinde değişir . Limit işlemi için, Gal( F ₁ / K ) → Gal( F ₂ / K ) kısıtlama homomorfizmalarını kullanırız , burada F ₂ ⊆ F ₁ . Gal( L / K ) üzerinde elde ettiğimiz topoloji Wolfgang Krull'dan sonra Krull topolojisi olarak bilinir . Waterhouse (1974) , her profinite grubun, Galois'in bazı K alanı teorisinden doğan bir grupla eşbiçimli olduğunu , ancak bu durumda hangi K alanının olacağını (henüz) kontrol edemediğini gösterdi . Aslında, birçok K alanı için genel olarak hangi sonlu grupların K üzerinde Galois grupları olarak meydana geldiğini tam olarak bilemez . Bu, K alanı için  ters Galois problemidir . ( Karmaşık sayılar üzerindeki bir değişkendeki rasyonel fonksiyonların alanı gibi, bazı K alanları için ters Galois problemi çözülür.) Her profinite grup bir alanın mutlak Galois grubu olarak oluşmaz .
• Cebirsel geometride ele alınan temel gruplar da kesin gruplardır, kabaca konuşursak, cebir yalnızca cebirsel bir çeşitliliğin sonlu kaplamalarını 'görebilir' . Temel gruplar arasında cebirsel topoloji Ancak profinite olmayan genel olarak: bir önceden belirlenmiş bir grup için, olan temel grup, (grubunun tanıtımı düzeltmek eşittir 2 boyutlu bir CW kompleksi vardır; CW karmaşıktır 0-hücre vardır, her üreteç için bir döngü ve her ilişki için bir 2-hücre, ekleme haritası "açık" şekilde ilişkiye karşılık gelir: örneğin abc=1 ilişkisi için , ekleme haritası döngülerin temel gruplarının bir üretecini izler için bir , b , ve c amacıyla. hesaplama ile aşağıdaki van Kampen teoremi .)
• Yerel olarak sonlu köklü bir ağacın otomorfizma grubu profinitedir.

Özellikler ve gerçekler

• (keyfi olarak çok sayıda) profinite gruplarının her ürünü profinitedir; kesinlikten kaynaklanan topoloji, ürün topolojisi ile uyumludur . Sürekli geçiş haritalarına sahip bir ters profinite grup sisteminin ters limiti kesindir ve ters limit functor, profinite gruplar kategorisinde kesindir. Ayrıca, kesin olmak bir uzantı özelliğidir.
• Bir profinite grubun her kapalı alt grubunun kendisi profinitedir; kesinlikten kaynaklanan topoloji, altuzay topolojisi ile uyumludur . Eğer K bir profinite grubunun kapalı bir normal altgrup G , daha sonra faktör grubu G / K profinite olduğu; kesinlikten kaynaklanan topoloji bölüm topolojisi ile uyumludur .
• Her profinite G grubu kompakt Hausdorff olduğundan, G üzerinde bir Haar ölçümüne sahibiz , bu bize G'nin alt kümelerinin "büyüklüğünü" ölçmemize, belirli olasılıkları hesaplamamıza ve G üzerinde fonksiyonları entegre etmemize izin verir .
• Bir profinite grubun bir alt grubu ancak ve ancak kapalıysa ve sonlu indekse sahipse açıktır .
• Nikolay Nikolov ve Dan Segal'in bir teoremine göre , herhangi bir topolojik olarak sonlu olarak oluşturulmuş profinite grubunda (yani, yoğun bir sonlu olarak oluşturulmuş alt gruba sahip bir profinite grup ) sonlu indeksin alt grupları açıktır. Bu, Jean-Pierre Serre'nin topolojik olarak sonlu olarak oluşturulmuş pro-p grupları için daha önceki bir benzer sonucunu genelleştirir . Kanıt , sonlu basit grupların sınıflandırmasını kullanır .
• Yukarıdaki Nikolov-Segal sonucunun kolay bir sonucu olarak, G ve H profinite grupları arasındaki herhangi bir örtük ayrık grup homomorfizmi φ:  G → H , G topolojik olarak sonlu olarak üretildiği sürece süreklidir . Aslında, H'nin herhangi bir açık alt grubu sonlu indekslidir, dolayısıyla G'deki ön görüntüsü de sonlu indekslidir, dolayısıyla açık olmalıdır.
• Diyelim ki G ve H , bir izomorfizm ι tarafından ayrık gruplar olarak izomorfik olan topolojik olarak sonlu olarak oluşturulmuş profinite gruplardır. O zaman ι, yukarıdaki sonuca göre tekil ve süreklidir. Ayrıca ι ^-1 de süreklidir, dolayısıyla ι bir homeomorfizmadır. Bu nedenle, topolojik olarak sonlu olarak oluşturulmuş bir profinite grup üzerindeki topoloji, cebirsel yapısı tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir .

kesin tamamlama

İsteğe bağlı bir grubu göz önüne alındığında , ilgili profinite grubu vardır , profinite tamamlanması arasında . Bu grupların ters sınır olarak tanımlanmaktadır , ishal ile , normal alt içinde sonlu indeksi (bu normal alt edilir kısmi sıralı katsayılar arasındaki doğal homomorfizması ters sistemi anlamına dahil edilmesi ile). Doğal bir homomorfizması vardır ve görüntüsü bu homomorfizma altında yoğun içinde . Homomorfizmi grubu, ancak ve ancak birebirdir olan sonlu artıksal (yani , burada sonlu indeks bütün normal alt yoluyla kesiştiği çalışır). Homomorfizm aşağıdaki evrensel özellik ile karakterize edilir : herhangi bir profinite grup ve herhangi bir grup homomorfizmi verildiğinde , ile benzersiz bir sürekli grup homomorfizmi vardır . ${\görüntüleme stili G}$${\ Displaystyle {\widehat {G}}}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili G/N}$${\görüntüleme stili N}$${\görüntüleme stili G}$${\displaystyle \eta :G\rightarrow {\widehat {G}}}$${\görüntüleme stili G}$${\ Displaystyle {\widehat {G}}}$${\görüntüleme stili \eta }$${\görüntüleme stili G}$${\displaystyle \bigcap {N}=1}$${\görüntüleme stili \eta }$${\görüntüleme stili H}$${\ Displaystyle f:G\rightarrow H}$${\displaystyle g:{\widehat {G}}\rightarrow H}$${\displaystyle f=g\eta }$

sonsuz gruplar

Sonlu gruplara kavramsal ikili olan bir sonsuz grup kavramı vardır ; yani, bir grup G bu ise ind-sonlu doğrudan sınır sonlu grupların bir endüktif sistemi. (Özellikle, bir ind grubudur .) Genel terminoloji farklıdır: Sonlu olarak oluşturulmuş her alt grup sonluysa , bir G grubuna yerel olarak sonlu denir . Bu aslında 'sonsuz' olmakla eşdeğerdir.

Pontryagin dualitesi uygulanarak , değişmeli profinite grupların yerel olarak sonlu ayrık değişmeli gruplarla dualite içinde olduğu görülebilir . İkincisi sadece değişmeli burulma gruplarıdır .

Projektif profinite grupları

Profinite bir grup, her uzantı için kaldırma özelliğine sahipse projektiftir . Bu söyleyerek eşdeğerdir G bir profinite her surjective morfizmalar için ise yansıtmalı olan H → G bir var bölüm G → H .

Bir profinite G grubu için projektivite , iki özellikten birine eşdeğerdir:

• KOHOMOLOJİK boyut CD ( G ) ≤ 1;
• her asal p için G'nin Sylow p -alt grupları serbest prop - p - gruplarıdır.

Her yansıtmalı profinite grubu bir şekilde gerçekleştirilebilir mutlak Galois grubunun a sözde cebirsel kapalı alanda . Bu sonuç Alexander Lubotzky ve Lou van den Dries'den kaynaklanmaktadır .

prosiklik grup

Bir profinite grup , topolojik olarak tek bir element tarafından , yani alt grubun tarafından üretiliyorsa prosikliktir . ${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili \sigma }$${\displaystyle G={\overline {\langle \sigma \rangle }}}$${\displaystyle \langle \sigma \rangle =\sol\{\sigma ^{n}:n\in \mathbb {Z} \sağ\}}$

Bir topolojik grup , tüm rasyonel asal sayıların üzerinde olduğu ve ya veya ile izomorfik olduğu durumlarda prosiklik iff'dir . ${\görüntüleme stili G}$${\displaystyle G\cong \prod _{p}G_{p}}$${\görüntüleme stili p}$${\displaystyle G_{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} }$

Ayrıca bakınız

• Yerel olarak döngüsel grup
• yanlısı grup
• kesin tamsayı
• Artık özellik (matematik)
• Artık sonlu grup
• Hausdorff tamamlama

Referanslar

• Fried, Michael D.; Jarden, Moşe (2008). Alan aritmetiği . Ergebnisse der Mathematik ve ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 11 (3. gözden geçirilmiş baskı). Springer-Verlag . ISBN'si 978-3-540-77269-9. Zbl  1145.12001 .
• Nikolov, Nikolay; Segal, Dan (2006). "Sonlu olarak oluşturulmuş profinite gruplar üzerinde. I. güçlü tamlık ve tek tip sınırlar". arXiv : matematik.GR/0604399 ..
• Nikolov, Nikolay; Segal, Dan (2006). "Sonlu olarak oluşturulmuş profinite gruplar üzerinde. II. yarı basit gruplardaki ürünler". arXiv : matematik.GR/0604400 ..
• Lenstra, Hendrik (2003), Profinite Groups (PDF) , Oberwolfach'ta verilen konuşma.
• Lubotzky, Alexander (2001), "Kitap İncelemesi", Amerikan Matematik Derneği Bülteni , 38 (4): 475–479, doi : 10.1090/S0273-0979-01-00914-4. Profinite grupları hakkında birkaç kitabın gözden geçirilmesi.
• Serre, Jean-Pierre (1994), Cohomologie galoisienne , Matematik Ders Notları (Fransızca), 5 (5 ed.), Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-58002-7, MR  1324577 , Zbl  0812.12002. Serre, Jean-Pierre (1997), Galois kohomolojisi , Çeviren Patrick Ion, Springer-Verlag , ISBN 3-540-61990-9, Zbl  0902.12004
• Waterhouse, William C. (1974), "Profinite gruplar Galois gruplarıdır", Proceedings of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 42 (2): 639–640, doi : 10.2307/2039560 , JSTOR  2039560 , Zbl  0281.20031.