Grupların doğrudan ürünü - Direct product of groups

Cebirsel yapı → Grup teorisi Grup teorisi
Temel kavramlar alt grup Normal alt grup bölüm grubu (Yarı-) direkt ürün Grup homomorfizmaları çekirdek resim doğrudan toplam çelenk ürünü basit sonlu sonsuz sürekli çarpımsal katkı döngüsel değişmeyen dihedral nilpotent çözülebilir eylem Grup teorisi sözlüğü grup teorisi konularının listesi
sonlu gruplar Sonlu basit grupların sınıflandırılması döngüsel dönüşümlü yalan türü sporadik Cauchy teoremi Lagrange teoremi Sylow teoremleri Hall teoremi p grubu Temel değişmeli grup Frobenius grubu Schur çarpanı Simetrik grup S n Klein dört grup V Dihedral grup D n Kuaterniyon grubu Q Disiklik grup Dic n
ayrık gruplar kafesler Tamsayılar ( )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Ücretsiz grup Modüler gruplar PSL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ SL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ aritmetik grubu kafes hiperbolik grup
Topolojik ve Lie grupları solenoid Daire Genel doğrusal GL( n ) Özel doğrusal SL( n ) Ortogonal O( n ) Öklid E( n ) Özel ortogonal SO( n ) Üniter U( n ) Özel üniter SU( n ) Simplektik Sp( n ) G, 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz poincare konformal difeomorfizm Döngü Sonsuz boyutlu Lie grubu O(∞) SU(∞) Sp(∞)
cebirsel gruplar Doğrusal cebir grubu indirgeyici grup değişmeli çeşit eliptik eğri
v T e

Gelen matematik , spesifik olarak , grup teorisi , doğrudan ürünün iki alan bir işlemdir grupları G ve H ve genellikle gösterilen yeni bir grup, inşa G x H . Bu operasyon grubu-teorik analog olan Kartezyen ürünün ait setleri ve çeşitli önemli unsurlardan biri olan doğrudan ürün matematik.

Değişken gruplar bağlamında , doğrudan çarpım bazen doğrudan toplam olarak adlandırılır ve gösterilir . Doğrudan toplamlar, değişmeli grupların sınıflandırılmasında önemli bir rol oynar: sonlu değişmeli grupların temel teoremine göre , her sonlu değişmeli grup, döngüsel grupların doğrudan toplamı olarak ifade edilebilir . ${\ Displaystyle G\oplus H}$

Tanım

G ( * işlemiyle ) ve H ( ∆ işlemiyle ) verilen gruplarda , G × H doğrudan çarpımı aşağıdaki gibi tanımlanır:

Ortaya çıkan cebirsel nesne, bir grup için aksiyomları karşılar. özellikle:

ilişkilendirme

İlgili ikili işlem G x H olan birleştirici .

Kimlik

Doğrudan bir ürün türünde bir kimlik elemanı , yani (1 _G , 1 _H ) , 1 _G kimlik elemanıdır G ve 1 _H kimlik elemanıdır  H .

tersler

Ters bir elemanın ( g , h ) arasında G x H çifti ( g ^-1 , h ^-1 ) , g ^-1 tersidir g olarak G , ve h ^-1 tersi olan saat içinde  H .

Örnekler

• Toplama altındaki reel sayıların grubu R olsun . O zaman doğrudan çarpım R × R , vektör toplama işlemi altındaki tüm iki bileşenli vektörlerin ( x , y ) grubudur :

( x ₁ , y ₁ ) + ( x ₂ , y ₂ ) = ( x ₁ + x ₂ , y ₁ + y ₂ ) .

• Çarpma işlemi altındaki pozitif reel sayıların grubu R ⁺ olsun . O zaman doğrudan çarpım R ⁺ × R ⁺ , bileşen bazında çarpma işlemi altında birinci çeyrekteki tüm vektörlerin grubudur.

( x ₁ , y ₁ ) × ( x ₂ , y ₂ ) = ( x ₁ × x ₂ ,  y ₁ × y ₂ ) .

• Let G ve H olduğu siklik gruplar iki elemanın her biri:

Daha sonra doğrudan ürünü G x H olduğu izomorfik için Klein dört grup :

${\görüntüleme stili G\times H}$

*	(1,1)	(a,1)	(1,b)	(a,b)
(1,1)	(1,1)	(a,1)	(1,b)	(a,b)
(a,1)	(a,1)	(1,1)	(a,b)	(1,b)
(1,b)	(1,b)	(a,b)	(1,1)	(a,1)
(a,b)	(a,b)	(1,b)	(a,1)	(1,1)

Temel özellikler

cebirsel yapı

Let G ve H izin grupları P = G x H ve aşağıdaki iki dikkate alt kümelerini ve  P :

G ′ = { ( g , 1) : g ∈ G }    ve    H ′ = { (1, h ) : h ∈ H } .

Bunların her ikisi de aslında alt bölgesinin P , izomorf ilk oluşan G , ve ikinci izomorf olmak H . Bunları sırasıyla G ve H ile tanımlarsak , doğrudan ürün P'nin orijinal G ve H gruplarını alt gruplar olarak içerdiğini düşünebiliriz .

P'nin bu alt grupları aşağıdaki üç önemli özelliğe sahiptir: (Yine G ′ ve H 'yi sırasıyla G ve H ile tanımladığımızı söyleyerek .)

1. Kesişme G ∩ H olduğu önemsiz .
2. P'nin her elemanı, G'nin bir elemanı ile H'nin bir elemanının  çarpımı olarak benzersiz bir şekilde ifade edilebilir .
3. Her eleman G HafiflettiDİYARBAKIR her elemanı ile , H .

Birlikte, bu üç özellik, doğrudan ürün P'nin cebirsel yapısını tamamen belirler . Yani, eğer p olan herhangi bir alt grubu olan grup G ve H , sonra, özellikleri üzerinde tatmin P doğrudan ürün için zorunlu izomorf G ve H . Bu durumda P , bazen G ve H alt gruplarının dahili doğrudan ürünü olarak adlandırılır .

Bazı bağlamlarda, yukarıdaki üçüncü özellik aşağıdaki ile değiştirilir:

3′. Hem G ve H olan , normal olarak P .

Önemsiz kesişme, iki normal alt elemanları zorunlu gidip çünkü bu özellik, dikkate alınarak çıkarılabilir bir gerçek özellik 3 eşdeğerdir komütatör [ g , h ] herhangi birinin g olarak G , h olarak H .

Örnekler

Sunumlar

G × H'nin cebirsel yapısı , doğrudan ürün için G ve H'nin sunumları açısından bir sunum yapmak için kullanılabilir . Spesifik olarak, varsayalım

${\displaystyle G=\langle S_{G}\orta R_{G}\rangle \ \ }$ ve ${\displaystyle \\H=\langle S_{H}\orta R_{H}\rangle,}$

nerede ve (ayrık) üreten kümeler ve ve ilişkileri tanımlıyorlar. Sonra ${\ Displaystyle S_{G}}$${\ Displaystyle S_{H}}$${\görüntüleme stili R_{G}}$${\görüntüleme stili R_{H}}$

${\displaystyle G\times H=\langle S_{G}\cup S_{H}\mid R_{G}\cup R_{H}\cup R_{P}\rangle }$

burada her öğesinin öğesinin her öğesiyle değişip değişmediğini belirten bir ilişkiler kümesidir . ${\görüntüleme stili R_{P}}$${\ Displaystyle S_{G}}$${\ Displaystyle S_{H}}$

örneğin eğer

${\displaystyle G=\langle a\mid a^{3}=1\rangle \ \ }$ ve ${\displaystyle \ \ H=\langle b\mid b^{5}=1\rangle }$

sonra

${\displaystyle G\times H=\langle a,b\mid a^{3}=1,b^{5}=1,ab=ba\rangle .}$

Normal yapı

Yukarıda bahsedildiği gibi, G ve H alt grupları G × H'de normaldir . Spesifik olarak, fonksiyonları tanımlamak π _G : G x H → G ve π _H : G x H → H ile

π _G ( g , h ) = g     ve     π _H ( g , h ) = h .

Daha sonra π _G ve π _H olan homomorfizmleri olarak bilinen projeksiyon homomorfizmalar olan badem, H ve G, sırasıyla.

İzler G x H , bir bir uzantısı arasında G ile H (veya tersi). Durumunda G, X , H , bir bir sonlu grup , aşağıdaki bileşimin faktörler arasında G x H tam olarak birlik bileşimi faktör G ve bileşimi faktör H .

Diğer özellikler

evrensel özellik

Doğrudan ürün G × H , aşağıdaki evrensel özellik ile karakterize edilebilir . Let π _G : G x H → G ve π _H : G, X , H → H projeksiyon homomorfizmleri olabilir. Daha sonra herhangi bir grup için P ve herhangi bir homomorfizmalar ƒ _G : P → G ve ƒ _H : p → H , benzersiz bir homomorfizması vardır ƒ: P → G x H Aşağıdaki şemada yapma gidip :

Spesifik olarak, homomorfizma ƒ şu formülle verilir:

ƒ( p ) =  ( ƒ _G ( p ), ƒ _H ( p ) ) .

Bu, kategori teorisindeki ürünler için evrensel özelliğin özel bir durumudur .

alt gruplar

Eğer bir bir alt grubudur , G ve B bir alt grubudur , H , daha sonra, doğrudan ürünün bir x B bir alt grubudur G x H . Örneğin, izomorfik kopyası G de G x H ürünüdür G x {1} , {1} olan önemsiz alt grubu H .

Eğer bir ve B normaldir, o zaman A x B normal bir alt-grubu olan G x H . Ayrıca, doğrudan ürünlerin bölümü , bölümlerin doğrudan ürününe izomorfiktir:

( G × H )/( A × B ) ≅ ( G / A )×( H / B ) .

Genel olarak, G × H'nin her alt grubunun, G'nin bir alt grubu ile H'nin bir alt grubunun ürünü olmasının doğru olmadığına dikkat edin . Örneğin, G olmayan her hangi bir grubu, daha sonra ürün G x G bir sahiptir diyagonal alt grup

Δ = { ( g , g ) : g ∈ G }

bu, G'nin iki alt grubunun doğrudan ürünü değildir .

Doğrudan ürünlerin alt grupları Goursat'ın lemması ile tanımlanır . Diğer alt gruplar , G ve H'nin fiber ürünlerini içerir .

Eşlenik ve merkezileştiriciler

İki elemanın ( g ₁ , h ₁ ) ve ( g ₂ , h ₂ ) olan iki bileşenli içinde G x H , ancak ve ancak, eğer gr ₁ ve g ₂ eşleniği olan G ve h ₁ ve h ₂ konjuge olan H . Her bir eşlenik sınıfı, bu aşağıdaki G x H , sadece bir eşlenik sınıfının Kartezyen ürün G ve bir eşlenik sınıfı H .

Aynı doğrultuda, eğer ( g , h ) ∈ G x H , merkezleme bölgesinin ( g , h ) arasında bağlanan merkezilendiricilerin ürünü basitçe g ve h :

C _{G × H} ( g , h )  =  C _G ( g ) × C _H ( h ) .

Benzer bir şekilde, orta ve G x H merkezlerinin ürünüdür G ve H :

Z, ( G x H )  =  Z, ( G ) x , Z ( H ) .

Normalleştiriciler , doğrudan ürünlerin tüm alt gruplarının kendileri doğrudan ürünler olarak ayrışmadığından daha karmaşık bir şekilde davranır.

Otomorfizmler ve endomorfizmler

Eğer α bir bir otomorfizm ait G ve β bir otomorfizması olan H , daha sonra ürün fonksiyonu α x β : G x H → G x H tarafından tanımlanan

( α × β )( g , h ) = ( α ( g ), β ( h ) )

G × H'nin bir otomorfizmidir . İzler Aut ( G x H ) doğrudan ürün için izomorfik bir alt grubu olan Aut ( G ) x Aut ( H ) .

G × H'nin her otomorfizminin yukarıdaki forma sahip olduğu genel olarak doğru değildir . (Yani, Aut( G ) × Aut( H ) genellikle Aut( G × H ) ' nin uygun bir alt grubudur .) Örneğin, G herhangi bir grup ise, o zaman G × G'nin ikisini değiştiren bir otomorfizm σ vardır . faktörler, yani

σ ( g ₁ , g ₂ ) = ( g ₂ , g ₁ ) .

Başka bir örnek olarak, otomorfizmaları grubu Z, X , Z olan GL (2, Z ) , her grup 2 × 2 matrisler tamsayı girişleri ile belirleyici , ± 1 . Bu otomorfizma grubu sonsuzdur, ancak otomorfizmaların yalnızca sonlu bir kısmı yukarıda verilen forma sahiptir.

Genel olarak, her Endomorfizma ait G x H bir şekilde yazılabilir 2 × 2 matris

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix}}}$

burada α , G'nin bir endomorfizmidir , δ , H'nin bir endomorfizmidir ve β : H → G ve γ : G → H homomorfizmalardır. Böyle bir matris , α görüntüsündeki her öğenin β görüntüsündeki her öğeyle ve γ görüntüsündeki her öğenin δ görüntüsündeki her öğeyle yer değiştirmesi özelliğine sahip olmalıdır .

Zaman G ve H ayrıştırılamaz, puntasız grubu olup, daha sonra otomorfizma grubu Aut (olmak, nispeten daha basittir G ) x Aut ( H ise) G ve H izomorfik değildir ve Aut ( G 2 wr) halinde G ≅ H , wr belirtmektedir çelenk ürünü . Bu, Krull-Schmidt teoreminin bir parçasıdır ve daha genel olarak sonlu doğrudan ürünler için geçerlidir.

genellemeler

Sonlu doğrudan ürünler

Aynı anda ikiden fazla grubun direkt çarpımını almak mümkündür. Sonlu dizisi ele alındığında G ₁ ..., G, _n, grupların, doğrudan ürünü

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}G_{i}\;=\;G_{1}\times G_{2}\times \cdots \times G_{n}}$

aşağıdaki gibi tanımlanır:

Bu, iki grubun doğrudan çarpımı ile aynı özelliklerin çoğuna sahiptir ve cebirsel olarak benzer şekilde karakterize edilebilir.

Sonsuz doğrudan ürünler

Sonsuz sayıda grubun doğrudan çarpımını almak da mümkündür. G ₁ , G ₂ , ... grupların sonsuz dizisi için , bu, sonsuz doğrudan ürünün elemanları sonsuz demetler olmak üzere, yukarıdakinin sonlu doğrudan çarpımı gibi tanımlanabilir.

Daha genel olarak, dizinlenmiş bir grup ailesi {  G _i  } _{i ∈ I} verildiğinde, doğrudan ürün Π _{i ∈ I} G _i aşağıdaki gibi tanımlanır:

Sonlu bir doğrudan çarpımın aksine, sonsuz doğrudan çarpım Π _{i ∈ I} G _i , { G _i  } _{i ∈ I} izomorfik alt gruplarının elemanları tarafından üretilmez  . Bunun yerine, bu alt gruplar, yalnızca sonlu sayıda özdeş olmayan bileşene sahip tüm öğelerden oluşan , sonsuz doğrudan toplam olarak bilinen doğrudan ürünün bir alt grubunu oluşturur .

Diğer ürünler

yarı direkt ürünler

G ve H alt gruplarına sahip bir P grubunun , aşağıdaki üç koşulu sağladığı sürece , G ve H'nin doğrudan ürününe izomorf olduğunu hatırlayın :

1. Kesişme G ∩ H olduğu önemsiz .
2. P'nin her elemanı, G'nin bir elemanı ile H'nin bir elemanının  çarpımı olarak benzersiz bir şekilde ifade edilebilir .
3. Hem G ve H olan , normal olarak P .

Bir semidirect ürün arasında G ve H , böylece iki alt sadece biri, üçüncü durum rahatlatıcı ile elde edilen G , H gerekli olan normal olması. Ortaya çıkan ürün hala sıralı çiftlerden ( g , h ) oluşur , ancak çarpma için biraz daha karmaşık bir kurala sahiptir.

İki alt gruptan hiçbirinin normal olmamasını gerektirmeden üçüncü koşulu tamamen gevşetmek de mümkündür. Bu durumda, P grubu , G ve H'nin Zappa–Szép ürünü olarak adlandırılır .

Ücretsiz ürünler

Ücretsiz ürün ve G ve H , genellikle belirtilen, G * H , alt grupları haricinde, doğrudan ürüne benzer G ve H ve G * H gidip için gerekli değildir. Yani, eğer

G = < S _G | R _G〉     ve     H =〈S _H | R ' _{, H} > ,

G ve H için sunumlar , o zaman

G ∗ H =〈S _G ∪ S _H | R _G ∪ R _H〉 .

Doğrudan ürünün aksine, ücretsiz ürünün öğeleri sıralı çiftlerle temsil edilemez. Aslında, herhangi iki önemsiz grubun serbest ürünü sonsuzdur. Ücretsiz ürün aslında heap içinde grupların kategorisinde .

Alt yönlendirme ürünleri

Eğer G ve H grubunu ifade etmekte, bir subdirect ürün arasında G ve H ve herhangi bir alt grubunun bir G x H haritalar surjectively üzerine G ve H projeksiyon homomorfizmalar altında. By Goursat Lemma , her subdirect ürünü bir lif ürünüdür.

Elyaf ürünler

Let G , H ve Q grupları ve izin φ : G → S ve χ : H → Q homomorfizmalar olabilir. Fiber ürün ve G ve H fazla Q olarak da bilinen, geri çekilme , aşağıdaki alt grubudur G x H :

G × _Q H  =  { ( g , h ) ∈ G × H  : φ(g) = χ(h) } .

Eğer φ : G → S ve χ : H → S olan epimorphisms , o zaman bu subdirect ürünüdür.

Referanslar

• Artin, Michael (1991), Cebir , Prentice Hall , ISBN 978-0-89871-510-1
• Herstein, İsrail Nathan (1996), Soyut cebir (3. baskı), Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall Inc., ISBN 978-0-13-374562-7, MR  1375019.
• Herstein, İsrail Nathan (1975), Cebirde Konular (2. baskı), Lexington, Mass.: Xerox College Publishing, MR  0356988.
• Lang, Serge (2002), Cebir , Matematikte Lisansüstü Metinler , 211 (Gözden geçirilmiş üçüncü baskı), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556
• Lang, Serge (2005), Lisans Cebir (3. baskı), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-22025-3.
• Robinson, Derek John Scott (1996), Gruplar teorisinde bir ders , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94461-6.