Döngüsel grup - Cyclic group

Cebirsel yapı → Grup teorisi Grup teorisi
Temel kavramlar alt grup Normal alt grup bölüm grubu (Yarı-) direkt ürün Grup homomorfizmaları çekirdek resim doğrudan toplam çelenk ürünü basit sonlu sonsuz sürekli çarpımsal katkı döngüsel değişmeyen dihedral nilpotent çözülebilir eylem Grup teorisi sözlüğü grup teorisi konularının listesi
sonlu gruplar Sonlu basit grupların sınıflandırılması döngüsel dönüşümlü yalan türü sporadik Cauchy teoremi Lagrange teoremi Sylow teoremleri Hall teoremi p grubu Temel değişmeli grup Frobenius grubu Schur çarpanı Simetrik grup S n Klein dört grup V Dihedral grup D n Kuaterniyon grubu Q Disiklik grup Dic n
ayrık gruplar kafesler Tamsayılar ( )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Ücretsiz grup Modüler gruplar PSL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ SL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ aritmetik grubu kafes hiperbolik grup
Topolojik ve Lie grupları solenoid Daire Genel doğrusal GL( n ) Özel doğrusal SL( n ) Ortogonal O( n ) Öklid E( n ) Özel ortogonal SO( n ) Üniter U( n ) Özel üniter SU( n ) Simplektik Sp( n ) G, 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz poincare konformal difeomorfizm Döngü Sonsuz boyutlu Lie grubu O(∞) SU(∞) Sp(∞)
cebirsel gruplar Doğrusal cebir grubu indirgeyici grup değişmeli çeşit eliptik eğri
v T e

Gelen grup teorinin , bir dalı soyut cebir , bir siklik grubu ya da monogenous grubu a, grubu olduğu oluşturulan tek bir eleman olarak. Yani, bir 'dir, resim arasında tersinir bir tek, elemanların birleştirici ikili işlem ve bir eleman içerir  g grubunun her elemanı arka arkaya grup işlemi uygulanarak elde edilebilir, öyle ki  g veya tersi. Her eleman, çarpımsal gösterimde g'nin bir kuvveti olarak veya toplama gösteriminde g'nin bir katı olarak yazılabilir. Bu eleman g , grubun üreteci olarak adlandırılır .

Her sonsuz siklik gruptur izomorfik için katkı maddesi grubu arasında Z , tamsayılar . Her sonlu siklik grup için n aditif grubu izomorf Z / N Z , tam sayılar modulo n . Her döngüsel grup bir değişmeli gruptur (yani grup işleminin değişmeli olduğu anlamına gelir ) ve sonlu olarak oluşturulmuş her değişmeli grup, döngüsel grupların doğrudan bir ürünüdür .

Her döngüsel asal mertebe grubu , daha küçük gruplara ayrılamayan basit bir gruptur . Olarak basit sonlu grupların sınıflandırılması , üç sonsuz sınıfların bir asıl düzenin siklik gruplar oluşur. Asal mertebenin döngüsel grupları, bu nedenle, tüm grupların oluşturulabileceği yapı taşları arasındadır.

Tanım ve gösterim

Altı karmaşık birlik kökü, çarpma altında döngüsel bir grup oluşturur. Burada z bir üreteçtir, ancak z ² değildir, çünkü güçleri z'nin tek güçlerini üretemez .

Her eleman için g Herhangi bir grupta G , bir bir oluşturabilen alt grup tüm tamsayı güçlerin ⟨ g ⟩ = { g ^K | k ∈ Z }, g'nin döngüsel bir alt grubu olarak adlandırılır . Sipariş ve g ⟨elemanların sayısı g ⟩; yani, bir elemanın sırası, döngüsel alt grubunun sırasına eşittir.

Bir siklik grup : döngüsel alt-gruplarının birisine eşit olan bir grup olduğu G = ⟨ gr ⟩ bir eleman için g olarak adlandırılan, jeneratör .

Bir için sonlu siklik grubu G düzenin N Elimizdeki G = { e , g , g ² , ..., g ^{, n -1} } e elementi ve bir g ⁱ = g ^j her i ≡ j ( mod N ); özellikle g ⁿ = g ⁰ = e ve g ^-1 = g ^{n -1} . Bu çarpma ile tanımlanan bir arka grup genellikle C belirtilir _{, n} , ve söylemek G olduğu izomorf standart siklik grup C _n . Böyle bir grup ayrıca , toplama notasyonunda standart döngüsel grup olan toplama işlemi ile modulo n tamsayıları grubu Z / n Z için izomorfiktir . İzomorfizm altında kay kare testi ile tanımlanan kay kare testi ( g ⁱ ) = i elementi e 0 tekabül ürünler toplamları karşılık gelir ve güç birçok karşılık gelmektedir.

Örneğin, birliğin karmaşık 6. kökleri kümesi

${\displaystyle G=\left\{\pm 1,\pm {\left({\tfrac {1}{2}}{+}{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\sağ) },\pm {\sol({\tfrac {1}{2}}{-}{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\sağ)}\sağ\}}$

çarpma işleminde bir grup oluşturur. Döngüseldir, yani G = ⟨ z ⟩ = { 1, z , z ² , z ³ , z ⁴ , z ⁵ } ile z ⁶ = 1 olan ilkel kök tarafından üretildiğinden, bir harf değişikliği altında, bu, g ^j · g çarpımı ile C ₆ = ⟨ g ⟩ = { e , g , g ² , g ³ , g ⁴ , g ⁵ } olarak tanımlanan 6. dereceden standart döngüsel grupla (yapısal olarak aynı) izomorfiktir ^k = g ^{j+k (mod 6)} , böylece g ⁶ = g ⁰ = e. Bu gruplar ayrıca izomorfik Z / 6 Z ekleme işlemleri {0,1,2,3,4,5} = modülo ile 6 z ^k ve g ^k tekabül k . Örneğin, 1 + 2 ≡ 3 (mod 6) z ¹ · z ² = z ^3'e karşılık gelir ve 2 + 5 ≡ 1 (mod 6) z ^2'ye karşılık gelir · z ⁵ = z ⁷ = z ¹ , vb. . Herhangi bir elemanı, ⟨gibi kendi siklik alt grubu oluşturur z ² ⟩ = { e , z ² , z ⁴ amacıyla 3}, C izomorf ₃ ve Z / 3 Z ; ve ⟨ z ⁵ ⟩ = { e , z ⁵ , z ¹⁰ = z ⁴ , z ¹⁵ = z ³ , z ²⁰ = z ² , z ²⁵ = z } = G , böylece z ⁵ sipariş 6'ya sahiptir ve alternatif bir üreteçtir ve G . ${\displaystyle z={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i=e^{2\pi i/6}:}$

Yerine bölüm gösterimler Z / N , Z , Z / ( n ) ya da , Z / N , bazı yazarlar, sonlu bir siklik grubunu temsil ettiği olarak Z _{, n} , ancak notasyonu ile çelişkili sayı teorisi , Z, _p , bir belirtmektedir s -adic numara halka veya lokalizasyon bir de asal ideali .

Sonsuz döngüsel gruplar

p1, ( *∞∞ )	s11g, (22∞)
İki friz grubu Z'ye göre izomorfiktir . Bir üreteçle, p1'in ötelemeleri ve p11g'nin kayma yansımaları vardır.

Öte yandan, G = ⟨ g ⟩ sonsuz bir döngüsel grupta , g ^k kuvvetleri tüm k tam sayıları için ayrı elemanlar verir , böylece G = { ... , g ^-2 , g ^-1 , e , g , g ² , ...} ve G standart grup C = C izomorf _∞ ve Z , tamsayılar katkı grubu. Bir örnek, ilk friz grubudur . Burada sonlu döngüler yoktur ve "döngüsel" adı yanıltıcı olabilir.

Bu karışıklığı önlemek için, Bourbaki , tek üreticili bir grup için monojen grup terimini tanıttı ve "döngüsel grup" terimini, "sonsuz döngüsel grup" teriminden kaçınarak, sonlu bir monojen grup anlamına gelecek şekilde kısıtladı.

Örnekler

Dönme simetrisindeki döngüsel grup örnekleri

Cı 1.	Cı- 2	Cı- 3
Cı- 4	C 5	Cı 6

Tamsayı ve modüler toplama

Z tamsayıları kümesi, toplama işlemiyle bir grup oluşturur. Bu sonsuz bir döngüsel gruptur , çünkü tüm tamsayılar tek bir sayının art arda eklenmesi veya çıkarılmasıyla yazılabilir. Bu grupta 1 ve -1 sadece üreteçlerdir. Her sonsuz döngüsel grup Z'ye göre izomorfiktir .

Her bir pozitif tam sayı için n , tamsayılar grubu modulo  n tekrar ekleme işlemi ile, sonlu bir siklik grubu ifade oluşturur, Z / N Z . Tam sayı modüler i , bu grubun bir jeneratör i olan göreceli asal için n bu unsurlar tam sayı eklenmesi ile grubun tüm diğer elemanları oluşturabildiğinden. (Örneğin, üretici sayısıdır φ ( n ), φ olan Euler totient fonksiyonu her sonlu bir siklik grubunu temsil eder.) G izomorf Z / N Z , n = | G | grubun sırasıdır.

Döngüsel grupları tanımlamak için kullanılan tamsayılar ve modüler tamsayılar üzerindeki toplama işlemleri, Z ve Z / n Z veya Z /( n ) olarak da gösterilen değişmeli halkaların toplama işlemleridir . Eğer p a, asal , o zaman Z / p , Z a, sonlu alan ve genellikle gösterilir F _p veya GF ( s Galois alanı için).

modüler çarpma

Her bir pozitif tamsayı için , n , tam sayı dizisi modulo  n nispeten asal olduğu  N (olarak yazılır Z / N Z ) ^x ; Bu bir grup oluşturan çarpma işlemi altında. Bu grup, her bir siklik değildir, ancak her böyledir , n , 1, 2, 4, a, tek bir asal güç , veya tek bir asal iki kez, bir güç (dizi A033948 olarak OEIS ). Bu, Z / n Z halkasının çarpımsal birimleri grubudur ; vardır φ ( n bunların), yine burada φ olan Euler totient fonksiyonu . Örneğin, ( Z /6 Z ) ^× = {1,5} ve 6, bir tek asal sayının iki katı olduğundan, bu döngüsel bir gruptur. Buna karşılık, ( Z /8 Z ) ^× = {1,3,5,7} bir Klein 4-grubudur ve döngüsel değildir. ( Z / n Z ) ^× döngüsel olduğunda, üreteçleri ilkel kök modulo n olarak adlandırılır .

Bir p asal sayısı için , ( Z / p Z ) ^× grubu her zaman döngüseldir ve p dereceli sonlu alanının sıfır olmayan öğelerinden oluşur . Daha genel olarak, herhangi bir alanın çarpımsal grubunun her sonlu alt grubu döngüseldir.

dönme simetrileri

Bir çokgenin dönme simetrileri kümesi, sonlu bir döngüsel grup oluşturur. Çokgeni bir döndürmeyle (boş döndürme dahil) kendisine taşımanın n farklı yolu varsa, bu simetri grubu Z / n Z ile izomorfiktir . Üç veya daha yüksek boyutta , döngüsel olan , ancak tümü bir eksen etrafında dönmeyen , bunun yerine rotor yansımaları olan başka sonlu simetri grupları vardır .

Bir bütün döndürme grubu daire S ¹ ( daire grubu da belirtilecektir, S ¹ ) olduğu değil olan tam sayı güçler her dönüşleri oluşturmak tek bir dönüşü yoktur, çünkü siklik. Aslında, sonsuz siklik grup Cı- _∞ olan sayılabilir iken, S ¹ değildir. Rasyonel açıları ile rotasyonlar grubu olan döngüsel değil hala sayılabilir, ancak.

galois teorisi

Bir n- inci birlik kök a, karmaşık sayı olan n inci gücü, 1 , kök bölgesinin polinom x ^N  - 1. Tüm grubu , n birlik formunun inci kökleri seviyesinde bir siklik grup , n çarpma altında. Örneğin, polinom z ³ − 1 çarpanları ( z − 1)( z − ω )( z − ω ² ) , burada ω = e ^{2 πi /3} ; {1, ω , ω ² } = { ω ⁰ , ω ¹ , ω ² } kümesi çarpma altında döngüsel bir grup oluşturur. Galois grubu arasında alan uzantısına ait rasyonel sayı tarafından üretilen n- birlik formları farklı bir grup, çarpımsal grubu izomorf (th kökleri Z / N Z ) ^x emri cp ( n ) değil, sadece bazı siklik olduğu, tüm  n (yukarıya bakın).

Bir alan uzantısı olarak adlandırılan siklik uzantısı olan Galois grubu siklik ise. Karakteristik sıfır alanlar için , bu tür uzantılar Kummer teorisinin konusudur ve radikaller tarafından çözülebilirlik ile yakından ilişkilidir . p karakteristiğinin sonlu alanlarının bir uzantısı için , onun Galois grubu her zaman sonlu ve döngüseldir ve Frobenius eşlemesinin bir gücü tarafından üretilir . Tersine, sonlu bir alan F ve sonlu bir döngüsel grup G verildiğinde , Galois grubu G olan F'nin sonlu bir alan uzantısı vardır .

alt gruplar

Döngüsel grupların tüm alt grupları ve bölüm grupları döngüseldir. Spesifik olarak, Z'nin tüm alt grupları, m pozitif bir tam sayı ile ⟨ m ⟩ = m Z biçimindedir . Bu alt grubun bütün birbirinden farklı olan ve birbirinden önemsiz grubu {0} 0 = Z hepsi vardır, izomorfik için Z . Alt grupların kafes içinde Z'ye izomorftur çift tarafından sipariş doğal sayıların kafesin bölünebilme . Asal bir sayı, çünkü bu şekilde, s herhangi bir aşikar olmayan bölenler sahiptir, p , Z , bir maksimal uygun bir alt grubu, ve bölüm grubu , Z / p , Z ise basit ; aslında, bir döngüsel grup, ancak ve ancak sırası asal ise basittir.

Tüm bölüm grupları Z / n Z , Z /0 Z = Z /{0} dışında sonludur . Her pozitif bölen için d ve n , bölüm grubu , Z / N , Z düzeninin tam olarak bir alt grubu olan d tarafından oluşturulan, artık madde sınıfı arasında , n / d . Başka alt grup yoktur.

Ek özellikler

Her döngüsel grup değişmeli . Yani, grup işlemi değişmeli : gh = hg ( G'deki tüm g ve h için ). Bu, r + s ≡ s + r (mod n ) olduğundan tamsayı ve modüler toplama grupları için açıktır ve hepsi bu standart gruplara eşbiçimli oldukları için tüm döngüsel gruplar için bunu takip eder. n düzeyindeki sonlu bir döngüsel grup için , g ⁿ , herhangi bir g öğesinin kimlik öğesidir . Bu, her k tamsayı için kn ≡ 0 (mod n ) olduğundan , modüler toplamaya izomorfizmi kullanarak bunu takip eder . (Bu aynı zamanda Lagrange teoremi nedeniyle n mertebesinden genel bir grup için de geçerlidir .)

Bir için asal güç p ^k , grup Z / p ^K , Z , bir adlandırılır birincil siklik grup . Değişmeli gruplar temel teoremi durumları her bu sonlu üretilen değişmeli grubu primer siklik ve sonsuz siklik gruba sonlu doğrudan ürünüdür.

Döngüsel bir grup değişmeli olduğundan, eşlenik sınıflarının her biri tek bir öğeden oluşur. n dereceli bir döngüsel grup bu nedenle n eşlenik sınıfına sahiptir.

Eğer d a, bölen bir n , elemanların daha sonra sayı , Z / N Z sipariş bilgisi d olan φ ( d ), ve sipariş bölme elemanlarının sayısı d tam bir d . Eğer G sonlu bir grup olduğu, her biri için n > 0 , G, en azından aşağıdakileri içerir , n bölünmesi için elemanları , n , o G siklik olmalıdır. Bir öğe sırasının m de Z / N Z olduğu , n / gcd ( n , m ).

Eğer , n ve m, olan göreceli asal , daha sonra doğrudan ürünü iki siklik gruba , Z / N , Z ve Z / m , Z siklik grubu izomorf Z / mil Z ve tersi de geçerlidir: Bu bir şeklidir Çin kalan teoremi . Örneğin, Z / 12 Z, doğrudan ürünün izomorf Z / 3 , Z X , Z / 4 , Z (izomorfik altında k 12 mod) → ( k , 3 mod K 4 mod); ancak her elemanın en fazla 6 sıralı olduğu Z /6 Z × Z /2 Z ile izomorf değildir .

Eğer p a, asal sayı , daha sonra herhangi bir grup p elemanlarının basit bir grup izomorf Z / s Z . Bir dizi N denen siklik sayı ise , Z / N , Z için yalnızca grubudur , n tam olarak ne zaman doğru olan gcd ( N , φ ( n )) 1 = . Döngüsel sayılar tüm asal sayıları içerir, ancak bazıları 15 gibi bileşiktir . Ancak, 2 hariç tüm döngüsel sayılar tektir. Döngüsel sayılar:

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 29, 31, 33, 35, 37, 41, 43, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 67, 69, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 87, 89, 91, 95, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 115, 119, 123, 127, 131, 133, 137, 139, 141, 143, ... (dizi A003277 olarak OEIS )

Tanım, döngüsel grupların grup sunumuna sahip olduğunu hemen ima eder C _∞ = ⟨ x | ⟩ ve C _n = ⟨ x | x ⁿ ⟩ sonlu n için .

ilişkili nesneler

temsiller

Temsil teorisi siklik grubunun genel sonlu grupların temsil teorisi için kritik bir nokta bir durumdur. In karmaşık durumda , bir halkalı grubun bir temsilidir karakter teori ve şeffaf temsil teorisi arasında bağlantı yapma, lineer karakterlerin doğrudan toplamı halinde parçalanır. İçinde olumlu bir özelliktir durumda siklik grubun ayrıştırılamaz temsilleri siklik grupların temsil teorisi için bir model ve endüktif temelini oluşturan Sylow alt daha genel olarak ve siklik kusur bloklarının temsil teorisi.

döngü grafiği

Bir döngü grafiği , bir grubun çeşitli döngülerini gösterir ve özellikle küçük sonlu grupların yapısını görselleştirmede yararlıdır . Döngüsel bir grup için bir döngü grafiği basitçe dairesel bir grafiktir , burada grup sırası düğüm sayısına eşittir. Tek bir oluşturucu, grubu grafikte yönlü bir yol olarak tanımlar ve ters oluşturucu geriye doğru bir yol tanımlar. Önemsiz yollar (kimlik) bir döngü olarak çizilebilir, ancak genellikle bastırılır. Z ₂ bazen bir multigraf olarak iki eğri kenar ile çizilir .

Bir siklik grup, Z _{, n} sırası ile, n , tek bir döngü için uygun olan bir şekilde sadece grafikle n köşelerinde elemanları ile taraflı çokgen.

24. sıraya kadar döngü grafikleri

Z 1	Z 2	Z 3	Z 4	Z 5	Z 6 = Z 3 × Z 2	Z 7	Z 8
Z 9	Z 10 = Z 5 × Z 2	Z 11	Z 12 = Z 4 × Z 3	Z 13	Z 14 = Z 7 × Z 2	Z 15 = Z 5 × Z 3	Z 16
Z 17	Z 18 = Z 9 × Z 2	Z 19	Z 20 = Z 5 × Z 4	Z 21 = Z 7 × Z 3	Z 22 = Z 11 × Z 2	Z 23	Z 24 = Z 8 × Z 3

Cayley grafiği

Paley grafik düzenine 13, Cayley grafik olarak oluşturulan bir circulant grafik Z jeneratör seti / 13 {1,3,4}

Bir Cayley grafik bir çift (tanımlanmış bir grafiktir G , S ) G bir grup olduğu ve G grubu için jeneratörler bir dizi; her grup elemanı için bir tepe noktası ve bir jeneratörlü elemanın her bir ürünü için bir kenarı vardır. Tek üreteci ile sonlu bir döngüsel grup durumunda, Cayley grafiği bir döngü grafiğidir ve üreteci ile sonsuz bir döngüsel grup için Cayley grafiği çift sonsuz yol grafiğidir . Ancak, Cayley grafikleri diğer üreteç kümelerinden de tanımlanabilir. Rasgele üreteç setleri ile çevrimsel grupların Cayley grafiklerine çevrimsel grafikler denir . Bu grafikler geometrik olarak bir daire veya bir çizgi üzerinde eşit aralıklı noktalar kümesi olarak temsil edilebilir ve her nokta birbiriyle aynı uzaklıklar kümesiyle komşulara bağlanır. Bunlar tam olarak tepe-geçişli grafikleri olan simetri grubu , geçişli bir siklik grup içerir.

endomorfizmler

Endomorfizma halkası değişmeli grup Z / N Z olduğu izomorfik için Z / N Z için yükseltilmiş halka . Bu izomorfizm altında, r sayısı, her öğeyi r kopyasının toplamına eşleyen Z / n Z'nin endomorfizmine karşılık gelir . Bu bijection, ancak ve ancak, eğer R ile göreceli asal olan n , böylece otomorfizma grubu arasında , Z / N Z ünite grubunun (izomorf Z / N Z ) ^x .

Benzer şekilde, katkı maddesi grubu Endomorfizma halkası Z halka izomorf Z . Otomorfizm grubu, ({−1, +1}, ×) ≅ C ₂ olan Z halkasının birimleri grubuna göre izomorfiktir .

İlgili grup sınıfları

Diğer birkaç grup sınıfı, döngüsel gruplarla olan ilişkilerine göre tanımlanmıştır:

Neredeyse döngüsel gruplar

Bir grup, sonlu indeksin ( alt grubun sahip olduğu kosetlerin sayısı) döngüsel bir alt grubunu içeriyorsa , sanal olarak döngüsel olarak adlandırılır . Diğer bir deyişle, çevrimsel alt grubun bir üyesi ile belirli bir sonlu kümenin bir üyesi çarpılarak hemen hemen çevrimsel bir gruptaki herhangi bir elemana ulaşılabilir. Her döngüsel grup, her sonlu grup gibi neredeyse döngüseldir. Sonsuz bir grup, ancak ve ancak sonlu olarak oluşturulmuşsa ve tam olarak iki ucu varsa, sanal olarak döngüseldir ; Böyle bir grubun bir örneğidir doğrudan ürünü arasında Z / N Z ve Z faktörü eder, Z, sonlu indeksine sahiptir  , n . Bir Gromov hiperbolik grubunun her bir değişmeli alt grubu neredeyse döngüseldir.

Yerel olarak döngüsel gruplar

Bir lokal siklik grup , her biri bir grup olduğu sonlu oluşturulan alt grup döngüsel. Bir örnek, rasyonel sayıların toplama grubudur : her sonlu rasyonel sayı kümesi, tek bir birim kesrin tamsayı katlarının bir kümesidir, en küçük ortak paydalarının tersidir ve bir alt grup olarak, bunun tamsayı katlarının döngüsel bir grubunu oluşturur. birim kesir. Bir grup yerel olarak döngüseldir, ancak ve ancak alt grup örgüsü bir dağıtım örgüsü ise .

Döngüsel olarak sıralanmış gruplar

Bir siklik sıralı grup bir ile bir grup birlikte bir siklik amacıyla grup yapısı korunmuş. Her döngüsel gruba, tamsayıların (veya tamsayıların grubun sırasına göre modulo) sıralanmasıyla tutarlı, döngüsel olarak sıralı bir grup olarak bir yapı verilebilir. Döngüsel olarak sıralanmış bir grubun her sonlu alt grubu döngüseldir.

Metasiklik ve polisiklik gruplar

Bir metasiklik grup , bölümü de döngüsel olan bir döngüsel normal alt grup içeren bir gruptur . Bu gruplar, siklik grupları, disiklik grupları ve iki siklik grubun doğrudan ürünlerini içerir. Polisiklik gruplar grubu uzantısının birden fazla seviyesine izin vererek metacyclic grupları genelleme. Bir grup, sonlu bir azalan alt grup dizisine sahipse, her biri bir önceki alt grupta normal olan ve önemsiz grupta biten bir döngüsel bölüm varsa, polisikliktir. Sonlu olarak oluşturulmuş her değişmeli grup veya nilpotent grup polisikliktir.

Ayrıca bakınız

• Döngü grafiği (grup)
• döngüsel modül
• döngüsel eleme
• Prüfer grubu ( sayılabilir sonsuz analog)
• Çember grubu ( sayılamayan sonsuz analog)

Dipnotlar

Notlar

alıntılar

Referanslar

• Alonso, JM; ve diğerleri (1991), "Kelime hiperbolik grupları üzerine notlar", Geometrik bir bakış açısından Grup teorisi (Trieste, 1990) (PDF) , River Edge, NJ: World Scientific, Corollary 3.6, MR  1170363 , orijinalinden arşivlendi (PDF) 2013 -04-25 , alındı 2013-11-26
• Alspach, Brian (1997), " Abelian gruplar üzerinde izomorfizm ve Cayley grafikleri", Graph simetri (Montreal, PQ, 1996) , NATO Adv. bilim Enst. Sör. C Matematik. Fizik Sci., 497 , Dordrecht: Kluwer Acad. Yayın, s. 1-22, ISBN 978-0-792-34668-5, MR  1468786
• Aluffi, Paolo (2009), "6.4 Örnek: Döngüsel Grupların Alt Grupları", Cebir, Bölüm 0 , Matematikte Lisansüstü Çalışmalar , 104 , American Mathematical Society, s. 82–84, ISBN 978-0-8218-4781-7
• Bourbaki, Nicolas (1998-08-03) [1970], Algebra I: Chapters 1-3 , Elements of Mathematics, 1 (ciltli yeniden basım ed.), Springer Science & Business Media, ISBN 978-3-540-64243-5
• Coxeter, HSM ; Moser, WOJ (1980), Ayrık Gruplar için Jeneratörler ve İlişkiler , New York: Springer-Verlag, s. 1, ISBN'si 0-387-09212-9
• Lajoie, Caroline; Mura, Roberta (Kasım 2000), "Bir isimde ne var? Döngüsel gruplarla bağlantılı bir öğrenme zorluğu", For the Learning of Mathematics , 20 (3): 29–33, JSTOR  40248334
• Cox, David A. (2012), Galois Teorisi , Saf ve Uygulamalı Matematik (2. baskı), John Wiley & Sons, Teorem 11.1.7, s. 294, doi : 10.1002/9781118218457 , ISBN 978-1-118-07205-9
• Gallian, Joseph (2010), Çağdaş Soyut Cebir (7. baskı), Cengage Learning, Alıştırma 43, s. 84, ISBN 978-0-547-16509-7
• Gannon, Terry (2006), Moonshine canavarın ötesinde: cebir, modüler formlar ve fiziği birbirine bağlayan köprü , matematiksel fizik üzerine Cambridge monografları, Cambridge University Press, s. 18, ISBN 978-0-521-83531-2, Z _n basit ise n asaldır.
• Jungnickel, Dieter (1992), " N sıralı döngüsel grubun benzersizliği üzerine ", American Mathematical Monthly , 99 (6): 545–547, doi : 10.2307/2324062 , JSTOR  2324062 , MR  1166004
• Fuchs, László (2011), Kısmi Sıralı Cebirsel Sistemler , Saf ve uygulamalı matematikte uluslararası monograf serisi, 28 , Courier Dover Yayınları, s. 63, ISBN 978-0-486-48387-0
• Kurzweil, Hans; Stellmacher, Bernd (2004), Sonlu Gruplar Teorisi: Bir Giriş , Universitext, Springer, s. 50, ISBN'si 978-0-387-40510-0
• Motwani, Rajeev ; Raghavan, Prabhakar (1995), Rastgele Algoritmalar , Cambridge University Press, Teorem 14.14, s. 401, ISBN'si 978-0-521-47465-8
• Cevher, Øystein (1938), "Yapılar ve grup teorisi. II", Duke Mathematical Journal , 4 (2): 247–269, doi : 10.1215/S0012-7094-38-00419-3 , hdl : 10338.dmlcz/100155 , MR  1546048
• Rotman, Joseph J. (1998), Galois Teorisi , Universitext, Springer, Teorem 62, s. 65, ISBN'si 978-0-387-98541-1
• Stallings, John (1970), "Groups of kohomological boyut one", Applications of Categorical Algebra (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XVIII, New York, 1968) , Providence, RI: Amer. Matematik. Soc., s. 124–128, MR  0255689
• Stewart, Ian ; Golubitsky, Martin (2010), Korkunç Simetri: Tanrı bir Geometri mi? , Courier Dover Yayınları, s. 47–48, ISBN 978-0-486-47758-9
• Vilfred, V. (2004), "Dirkülan grafiklerde", Balakrishnan, R.'de; Sethuraman, G.; Wilson, Robin J. (eds.), Graph Theory and Its Applications (Anna University, Chennai, 14-16 Mart 2001) , Alpha Science, s. 34-36, ISBN 8173195692
• Vinogradov, IM (2003), "§ VI İLKEL KÖKLER VE ENDEKSLER" , Elements of Number Theory , Mineola, NY: Dover Publications, s. 105–132, ISBN 0-486-49530-2

daha fazla okuma

• Herstein, IN (1996), Soyut cebir (3. baskı), Prentice Hall , s. 53–60, ISBN 978-0-13-374562-7, MR  1375019

Dış bağlantılar

• Milne, Grup teorisi, http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/gt.html
• Döngüsel gruplara giriş
• Weisstein, Eric W. "Döngüsel Grup" . Matematik Dünyası .
• GroupNames üzerinde küçük düzenin döngüsel grupları