Grup teorisi sözlüğü - Glossary of group theory

Cebirsel yapı → Grup teorisi Grup teorisi
Temel kavramlar alt grup Normal alt grup bölüm grubu (Yarı-) direkt ürün Grup homomorfizmaları çekirdek resim doğrudan toplam çelenk ürünü basit sonlu sonsuz sürekli çarpımsal katkı döngüsel değişmeyen dihedral nilpotent çözülebilir eylem Grup teorisi sözlüğü grup teorisi konularının listesi
sonlu gruplar Sonlu basit grupların sınıflandırılması döngüsel dönüşümlü yalan türü sporadik Cauchy teoremi Lagrange teoremi Sylow teoremleri Hall teoremi p grubu Temel değişmeli grup Frobenius grubu Schur çarpanı Simetrik grup S n Klein dört grup V Dihedral grup D n Kuaterniyon grubu Q Disiklik grup Dic n
ayrık gruplar kafesler Tamsayılar ( )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Ücretsiz grup Modüler gruplar PSL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ SL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ aritmetik grubu kafes hiperbolik grup
Topolojik ve Lie grupları solenoid Daire Genel doğrusal GL( n ) Özel doğrusal SL( n ) Ortogonal O( n ) Öklid E( n ) Özel ortogonal SO( n ) Üniter U( n ) Özel üniter SU( n ) Simplektik Sp( n ) G, 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz poincare konformal difeomorfizm Döngü Sonsuz boyutlu Lie grubu O(∞) SU(∞) Sp(∞)
cebirsel gruplar Doğrusal cebir grubu indirgeyici grup değişmeli çeşit eliptik eğri
v T e

Bir grup , bir özdeşlik öğesini kabul eden ve her öğenin bir tersi olacak şekilde bir çağrışımsal işlemle birlikte bir kümedir .

Makale boyunca, bir grubun kimlik öğesini belirtmek için kullanıyoruz . ${\görüntüleme stili e}$

A

değişmeyen grup

Bir grup ise değişmeli ise yani değişmeli herkes için , ∈ . Benzer şekilde, bir grup olduğu nonabelian bu ilişki bir çifti için tutmak için başarısız olursa , ∈ .${\görüntüleme stili (G,*)}$${\görüntüleme stili *}$${\görüntüleme stili g*h=h*g}$${\görüntüleme stili g}$${\görüntüleme stili h}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili g}$${\görüntüleme stili h}$${\görüntüleme stili G}$

yükselen alt grup

Bir alt-grup , H , bir grup G olan yükselen bir artan var ise alt grup serisi başlangıç olarak H ve sona eren G serisi her terim, öyle ki, normal bir alt-grubu , bunu takip eden. Seri sonsuz olabilir. Seri sonluysa , alt grup normalin altındadır .

otomorfizm

Bir grubun otomorfizmi , grubun kendisine izomorfizmidir .

C

bir grubun merkezi

Bir grubun merkezi G ile gösterilen Z'nin ( G ) , bu grup elemanları seti olduğu tüm elemanları ile gidip G ise, tüm grubu h ∈ G şekilde hg = GH tüm g ∈ G . Z, ( G ) , her zaman a, normal bir alt-grup içinde , G . Bir grup  G olduğu değişmeli ancak ve ancak , Z ( G ) = G .

merkezsiz grup

Bir grup G kendi halinde puntasız olan merkezi Z'nin ( G ) olan önemsiz .

merkezi alt grup

Bir grubun alt grubu, grubun merkezinde yer alıyorsa, o grubun merkezi bir alt grubudur .

sınıf işlevi

Bir sınıf işlevi bir grup G bunun üzerine sabit olduğu bir fonksiyonudur eşlenik sınıfları arasında G .

sınıf No

Sınıf numarası bir grup olan sayısıdır eşlenik sınıfları .

komütatör

Komütatör iki eleman arasında g ve h bir grubun  G elemanıdır [ g , h ] = gr ^-1 h ^-1 gh . Bazı yazarlar komütatörü bunun yerine [ g , h ] = ghg ^-1 h ^-1 olarak tanımlar . İki eleman g ve h'nin komütatörü, ancak ve ancak g ve h değişkense, yani ve ancak ve ancak gh = hg ise grubun kimliğine eşittir .

komütatör alt grubu

Bir grubun komütatör alt grubu veya türetilmiş alt grubu, grubun tüm komütatörleri tarafından oluşturulan alt gruptur.

kompozisyon serisi

G grubunun bir kompozisyon serisi , sonlu uzunlukta bir normal altı seridir .

${\displaystyle 1=H_{0}\triangleleft H_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft H_{n}=G,}$

katı içerikleri ile, her biri bu şekilde , H _ı maksimal sıkı normal alt bölgesinin H _{i + 1} . Eşdeğer olarak, bir bileşim serisi, her şekilde normalden düşük dizi faktör grubu , H _{ı + 1} / H _i olan basit . Faktör gruplarına kompozisyon faktörleri denir.

eşlenik kapalı alt grup

Bir alt-grup bir grup olduğu söylenir eşlenik kapalı olan bir alt-grubu, herhangi iki eleman ise iki bileşenli grubunda da alt grupta conjugate.

eşlenik sınıf

Eşlenik sınıfları bir grup G kişilerce alt kümeleridir G olan grup elementleri ihtiva eden iki bileşenli birbirleriyle.

eşlenik elemanlar

İki elemanın x ve y , bir grup  G olan iki bileşenli bir element varsa g ∈ G şekilde gr ^-1 x g = Y . Eleman g ^-1 x g , ifade edilmiş x ^g , konjugat olarak adlandırılır x ile gr . Bazı yazarlar x ile g'nin eşlenikini gxg ^-1 olarak tanımlar . Bu genellikle ^g x ile gösterilir . Eşlenik bir denklik bağıntısıdır . Onun denklik sınıfları denir eşlenik sınıfları .

konjuge alt gruplar

İki alt grup H ₁ ve H ₂ bir grup G olan iki bileşenli alt gruplar varsa, bir g ∈ G şekilde gH ₁ gr ^-1 = H ₂ .

kontranormal alt grup

Bir alt-grup bir grubun G a, contranormal alt grup arasında G onun ise , normal kapak olup G, kendisi.

döngüsel grup

Bir siklik grup olduğu bir grup olduğu oluşturulmuş bir eleman olduğu bir grubu, örneğin, bu, tek bir eleman ile, g grubunun her elemanı arka arkaya grup işlemi uygulanarak elde edilebilir, örneğin bu gruptaki  g veya onun ters.

NS

türetilmiş alt grup

Komütatör alt grubu için eşanlamlı .

doğrudan ürün

Doğrudan ürün iki grubun G ve H ile gösterilen G x H , bir Kartezyen ürün altında yatan setleri G ve H , bir bileşen odaklı olarak tanımlanan ikili işlem ile donatılmış, ( g ₁ , h ₁ ) · ( g ₂ , h ₂ ) = ( g ₁ ⋅ g ₂ , h ₁ ⋅ h ₂ ) . Bu işlemle G × H'nin kendisi bir grup oluşturur.

F

faktör grubu

Bölüm grubunun eş anlamlısı .

FC grubu

Bir grup, elemanlarının her eşlenik sınıfı sonlu kardinaliteye sahipse bir FC grubudur .

sonlu grup

Bir sonlu grup sonlu bir grup olduğu için olan, çeşitli unsurları ve sonlu sayıda bir grubunu temsil eder.

sonlu olarak oluşturulmuş grup

Bir grup G bir sonlu oluşturulan sonlu varsa jeneratör sonlu grubu varsa, bir, S elemanlarının G gibi her elemanı, G ve sonlu sayıda elemanların birleşimi olarak yazılabilir S ve tersleri S'nin elemanları .

G

jeneratör

Bir set üreten bir grubun G bir alt kümesidir S ve G , her eleman, bu G sonlu sayıda elemanlarının (grup işlemi ile) bir kombinasyonu olarak ifade edilebilir , S ve elemanlarının tersleri S .

grup otomorfizmi

Otomorfizme bakınız .

grup homomorfizmi

Homomorfizme bakınız .

grup izomorfizmi

İzomomorfizme bakın .

H

homomorfizma

Verilen iki grup ( G *) ve ( H , ·) , bir homomorfizma gelen G için , H , bir bir fonksiyonu h  : G → H , öyle ki tüm a ve b olarak G , h ( a * b ) = h ( a ) · h ( b ) .

ben

bir alt grup indeksi

Göstergesi a alt grup H bir grup G ile gösterilen | G  : H | ya da [ G  : H ] ya da ( G  : H ) , sayısıdır kalan sınıfları arasında H bölgesindeki G . Bir için normal bir alt-grup , N bir grup G , endeksi N bölgesindeki G eşittir amacıyla bir bölüm grubunun G / K . Bir için sonlu alt grup H sonlu grup G , endeksi H bölgesindeki G emirlerinin bölümüne eşit olan G ve H .

izomorfizm

Verilen iki grup ( G *) ve ( H , ·) , bir izomorfizm arasında G ve H a, örten homomorfizması gelen G için , H , bir bir şekilde bu gruplar arasında, elemanlar arasında bire bir karşılık olduğu, verilen grup işlemlerine saygı duyar. İki grup olan izomorf birinden diğerine bir grup İzomorfizma eşlemesi mevcutsa. İzomorfik gruplar, yalnızca tek tek elementler üzerinde farklı etiketlerle temelde aynı olarak düşünülebilir.

L

alt grupların kafesi

Alt kafes bir grup olan kafes onun tarafından tanımlanan alt , kısmi sıralı tarafından resim dahil .

yerel döngüsel grup

Bir grup, sonlu olarak oluşturulmuş her alt grup döngüsel ise yerel olarak döngüseldir . Her döngüsel grup yerel olarak döngüseldir ve sonlu olarak oluşturulmuş her yerel döngüsel grup döngüseldir. Her yerel döngüsel grup değişmeli . Yerel döngüsel bir grubun her alt grubu , her bölüm grubu ve her homomorfik görüntüsü yerel olarak döngüseldir.

n

normal kapanma

Normal kapanış bir alt ve  S grubunun  G tüm kesişimidir , normal alt bölgesinin  G ihtiva  S .

normal çekirdek

Normal çekirdek a alt grup H bir grup G büyük olan , normal alt grup arasında G içerdiği H .

normalleştirici

Bir alt kümesi için, S bir grup  G , normalleştirici bir S olarak G , belirtilen K _G ( G ) , bir alt-grubu olan G ile tanımlanır

${\displaystyle \mathrm {N} _{G}(S)=\{g\in G\mid gS=Sg\}.}$

normal seri

Bir normal bir dizi bir grup  G dizisidir Normal alt ait G dizisinin her bir eleman bir sonraki elemanın normal bir alt grubu olacak şekildedir:

${\displaystyle 1=A_{0}\triangleleft A_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft A_{n}=G}$

ile birlikte

${\displaystyle A_{i}\triangleleft G}$.

normal alt grup

Bir alt-grup K bir grubun G olan , normal olarak , G (A ile belirtilmiştir varsa) konjugasyon bir elemanın , n ve N bir eleman ile gr arasında G her zaman N tüm halinde olduğu, g ∈ G ve n ∈ N , gng ^{- 1} ∈ N . Normal bir alt grup K bir grup G oluşturmak için kullanılabilir bölüm grubu G / K ( G mod N ).${\displaystyle N\üçgensol G}$

Ö

yörünge

X kümesine etki eden bir G grubunu ele alalım . Yörünge bir eleman x de X elemanların kümesidir X olduğu X elemanları tarafından hareket ettirilebilir G . x'in yörüngesi G ⋅ x ile gösterilir

grup sıralaması

Bir grup sırası olan önem düzeyi arasında (elemanların yani sayısı) . Sonlu düzene sahip bir gruba sonlu grup denir .${\görüntüleme stili (G,*)}$${\görüntüleme stili G}$

grup elemanının sırası

Bir öğe sırasının g bir grup G küçük olan pozitif tam sayı , n , öyle ki gr ^{, n} = e . Böyle bir tamsayı yoksa, g'nin mertebesinin sonsuz olduğu söylenir. Sonlu bir grubun mertebesi her elemanın mertebesine bölünebilir .

P

mükemmel çekirdek

Mükemmel çekirdek bir grubun, en büyük olan mükemmel bir alt grubudur.

mükemmel grup

Bir mükemmel grup kendi eşittir bir grup komütatör alt grup .

periyodik grup

Her grup elemanı sonlu düzene sahipse , bir grup periyodiktir . Her sonlu grup periyodiktir.

permütasyon grubu

Bir permütasyon grubu , bir öğesi olan gruptur permütasyonlar belirli bir bölgesinin grubu M ( örten fonksiyonlar seti M olan kendine) ve grup işlemi olduğu bir bileşim , bu permütasyon. Setinin tüm permütasyon oluşan gruptan M olan simetrik grup arasında M .

p -grubu

Eğer p bir olduğunu asal sayı , sonra da p -grubu her elemanın mertebesi bir güç olduğu biridir p . Sonlu grup bir p , ancak ve ancak -grubu sipariş grubunun bir gücü p .

p -alt grubu

Aynı zamanda bir p -grubu olan bir alt grup . Çalışma s -subgroups merkez amacı Sylow teoremi .

Q

bölüm grubu

Bir grubu göz önüne alındığında, ve normal bir alt grubu içinde , bölüm grubu dizi / bölgesinin sol kalan sınıfları işlemi ile beraber , normal alt, homomorfizmalar ve faktör grupları arasındaki ilişki özetlenebilir homomorfizmalar ilgili temel teoremi .${\görüntüleme stili G}$ ${\görüntüleme stili N}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili N}$ ${\displaystyle \{aN:a\in G\}}$${\görüntüleme stili aN*bN=abN.}$

r

gerçek eleman

Bir öğe g bir grubun G denen gerçek elemanı arasında G aynı aitse eşlenik sınıfı bir varsa onun tersi olarak saat içinde G ile ,${\ Displaystyle g^{h}=g^{-1}}$ olarak tanımlanır h ^-1 gh . Bir grubun bir elemanı G ve ancak tüm eğer gerçek temsiller arasında G izi karşılık gelen matrisin gerçek bir sayıdır.${\görüntüleme stili g^{h}}$

S

seri alt grup

Bir alt-grup , H , bir grup G a, seri alt grup arasında G bir zincir olup olmadığını Cı alt gruplarının G den H için G , ardışık alt gruplarının her çifti için bu X ve Y de C , X, a, normal bir alt-grubu içinde Y . Zincir sonlu ise, o zaman , H a, normalin altında bir alt grup arasında G .

basit grup

Bir basit bir grup a, aşikar olmayan bir grup olan tek normal alt önemsiz ve grup bir şekilde yapılabilmektedir.

alt grup

Bir alt-grup bir grubun G a, alt kümesi , H elemanlarının G kısıtlanması ile donatılmıştır zaman kendisini bir grup oluşturan bir grup çalışması ve G için H x H . Bir alt H bir grup G bir alt grubudur , G , ancak ve ancak bu boş olmayan ve eğer kapalı ve sadece her için eğer olduğunu, ürün ve tersleri altında a ve b olarak H , ab ve bir ^-1 da vardır H .

alt grup serisi

Bir alt-grup seri bir grup G dizisidir alt bölgesinin G serideki her bir elemanı, bir sonraki elemanın bir alt grubudur, öyle ki:

${\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq A_{n}=G.}$

normalin altında alt grup

Bir alt-grup , H , bir grup G a, normalin altında bir alt grubu bir G grubunun alt gruplarının sınırlı bir zinciri ise, her biri , normal başlayarak, aşağıdaki olarak H ve sona eren G .

simetrik grup

Verilen bir dizi E , simetrik grup arasında M tüm kümesi permütasyon ait M (set tüm örten fonksiyonlar ile ilgili M için M ile) bileşim grubu işlemi olarak permütasyon. Bir simetrik grubu sonlu grubu boyutu n gösterilir S _{, n} . (Aynı büyüklükteki herhangi iki kümenin simetrik grupları izomorfiktir .)

T

burulma grubu

Periyodik grubun eş anlamlısı .

geçişli normal alt grup

Bir grubun alt grubuna, alt grubun her normal alt grubu tüm grupta da normal ise, grupta geçişli normal olduğu söylenir .

önemsiz grup

Bir önemsiz grubu tek bir eleman, yani grubun birim elemandan oluşan bir gruptur. Tüm bu gruplar izomorfik ve bir çoğu kez söz önemsiz grubunda.

Temel tanımlar

Alt grup . Bir alt-kümesi bir grupki bu işlemi grubu kalırsınırlandırılmıştırbir adlandırılan alt grup arasında. ${\görüntüleme stili H}$${\görüntüleme stili (G,*)}$${\görüntüleme stili *}$${\görüntüleme stili H}$${\görüntüleme stili G}$

Bir alt kümesini göz önüne alındığında arasında . İçeren en küçük alt grubu ile belirtiriz . tarafından oluşturulan alt grubu olarak adlandırılır . ${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili <S>}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili <S>}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili S}$

Normal alt grup . a, normal bir alt-grup içindetüm isedevede,aynı zamanda aittir. ${\görüntüleme stili H}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili g}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili h}$${\görüntüleme stili H}$${\ Displaystyle g*h*g^{-1}}$${\görüntüleme stili H}$

Belirli bir grubun hem alt grupları hem de normal alt grupları , alt kümelerin dahil edilmesi altında tam bir kafes oluşturur ; bu özellik ve ilgili bazı sonuçlar kafes teoremi ile açıklanmıştır .

Grup homomorfizmi . Bunlar, özel özelliği olanişlevlerdir. ${\displaystyle f\colon (G,*)\to (H,\times )}$

${\görüntüleme stili f(a*b)=f(a)\kez f(b),}$

herhangi bir öğe için ve bir . ${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili b}$${\görüntüleme stili G}$

Bir grup homomorfizminin çekirdeği . Öyle öngörüntü içinde kimlik değer kümesi bir grup homomorfizmasının ait. Her normal alt grup, bir grup homomorfizminin çekirdeğidir ve bunun tersi de geçerlidir.

Grup izomorfizmi . Ters fonksiyonlara sahip grup homomorfizmaları. Bir izomorfizmin tersinin de bir homomorfizma olması gerektiği ortaya çıktı.

İzomorfik gruplar . İki grup olan izomorf birinden diğerine bir grup İzomorfizma eşlemesi mevcutsa. İzomorfik gruplar, yalnızca tek tek elementler üzerinde farklı etiketlerle temelde aynı olarak düşünülebilir. Grup teorisinin temel problemlerinden biri , grupların izomorfizme kadar sınıflandırılmasıdır .

Grupların doğrudan çarpımı , doğrudan toplamı ve yarı doğrudan çarpımı . Bunlar, yeni gruplar oluşturmak için grupları birleştirmenin yollarıdır; açıklama için lütfen ilgili bağlantılara bakın.

Grup türleri

Sonlu olarak oluşturulan grup . Böyle bir sonlu küme varsa,ozaman sonlu olarak üretildiği söylenir. Eğersadece bir eleman için alınabilir,a, siklik grup sonlu düzen, bir sonsuz siklik grup muhtemelen grubunu ya da birtek eleman ile. ${\görüntüleme stili S}$${\displaystyle <S>=G,}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili \{e\}}$

Basit grup . Basit gruplar, yalnızcave kendilerinin normal alt gruplara sahipolduğu gruplardır . İsim yanıltıcıdır çünkü basit bir grup aslında çok karmaşık olabilir. Bir örnek, sırası yaklaşık 10 ⁵⁴ olan canavar grubudur . Her sonlu grup, grup uzantıları aracılığıyla basit gruplardan oluşturulur, bu nedenle sonlu basit grupların incelenmesi, tüm sonlu grupların incelenmesinin merkezinde yer alır. Sonlu basit gruplar bilinir ve sınıflandırılır . ${\görüntüleme stili e}$

Herhangi bir sonlu değişmeli grubun yapısı nispeten basittir; her sonlu değişmeli grup, döngüsel p-gruplarının doğrudan toplamıdır . Bu, tüm tam bir sınıflandırmaya kadar uzatılabilir sonlu üretilmiş Abelyen grupların tüm değişmeli gruplar ise, üretilen sonlu dizi.

Değişken olmayan gruplar için durum çok daha karmaşıktır.

Ücretsiz grup . Herhangi bir grubu göz önüne alındığında, bir içeren en küçük grubu gibi bir grubu tanımlamak serbest yarıgrup arasında. Grup,bir grup oluşturmak için gerekli olan diğer öğelerle birlikteöğelerinden oluşturulabilen sonlu dizilerden (kelimeler) oluşur. Dizelerin çarpımı, örneğin birleştirme ile tanımlanır.${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili A}$${\displaystyle (abb)*(bca)=abbbca.}$

Her grup , temel olarak, tarafından oluşturulan serbest bir grubun faktör grubudur . Daha fazla açıklama için lütfen bir grubun sunumuna bakın . Daha sonra bu sunumlar hakkında algoritmik sorular sorulabilir, örneğin: ${\görüntüleme stili (G,*)}$${\görüntüleme stili G}$

• Bu iki sunum izomorfik grupları belirtiyor mu?; veya
• Bu sunum önemsiz grubu belirtiyor mu?

Bunun genel durumu kelime problemidir ve bu soruların birçoğu aslında herhangi bir genel algoritma tarafından çözülemez.

Genel lineer grubu GL (ile gösterilmiş, N , F ), grubudur-by- tersinir matrisler matrislerin elemanları alınır, bu alanda , gerçek sayılar ya da kompleks sayı olarak. ${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili n}$ ${\görüntüleme stili F}$

Grup temsili (bir grubun sunumuyla karıştırılmamalıdır). Bir grup temsili , bir gruptan genel bir lineer gruba bir homomorfizmadır. Temel olarak, belirli bir soyut grubu,incelenmesi çok daha kolay olan,tersine çevrilebilir matrislerin somut bir grubu olarak "temsil etmeye" çalışır.

Ayrıca bakınız

• Lie grupları ve Lie cebirleri sözlüğü
• Halka teorisi sözlüğü
• Kompozisyon serisi
• Normal seri