Asıl sayı - Cardinal number

X kümesinden Y kümesine bir bijektif fonksiyon , f : X → Y , kümelerin aynı kardinaliteye sahip olduğunu gösterir, bu durumda kardinal sayısı 4'e eşittir.

Aleph null , en küçük sonsuz kardinal

Gelen matematik , ana numaraları veya kardinal kısa, bir genelleme olarak doğal sayılar ölçmek için kullanılan önem düzeyi arasında (boyut) kümeleri . Sonlu bir kümenin kardinalitesi doğal bir sayıdır: kümedeki öğelerin sayısı. Sonluötesi sıklıkla kullanılarak ifade kardinal sayılar, İbrani sembolü ( aleph bir alt yazı takip), boyutlarını tanımlamak sonsuz kümeler . ${\görüntüleme stili \aleph }$

Kardinalite, ikili işlevler cinsinden tanımlanır . İki set aynı önem düzeyi var ise, ve ancak , bir orada bire-bir yazışma iki takım elemanları arasındaki (bijection). Sonlu kümeler söz konusu olduğunda, bu sezgisel boyut kavramıyla uyumludur. Sonsuz kümeler durumunda, davranış daha karmaşıktır. Georg Cantor'dan kaynaklanan temel bir teorem , sonsuz kümelerin farklı kardinalitelere sahip olmasının mümkün olduğunu ve özellikle gerçek sayılar kümesinin kardinalitesinin doğal sayılar kümesinin kardinalitesinden daha büyük olduğunu gösterir . Sonsuz kümenin uygun bir alt kümesinin , orijinal kümeyle aynı kardinaliteye sahip olması da mümkündür - bu, sonlu kümelerin uygun alt kümeleriyle gerçekleşemeyecek bir şeydir.

Sınır ötesi bir kardinal sayılar dizisi vardır:

${\displaystyle 0,1,2,3,\ldots ,n,\ldots ;\aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2},\ldots ,\aleph _{\alpha } ,\ldotlar .\ }$

Bu dizi, sıfırı (sonlu kardinaller) içeren doğal sayılarla başlar ve bunları aleph sayıları ( iyi sıralı kümelerin sonsuz kardinalleri ) takip eder. Aleph sayıları sıra sayılarına göre indekslenir . Seçim aksiyomu varsayımı altında , bu transfinit dizi her kardinal sayıyı içerir. Biri bu aksiyomu reddederse , aleph olmayan ek sonsuz kardinallerle durum daha karmaşıktır.

Kardinalite , küme teorisinin bir parçası olarak kendi iyiliği için incelenir . Aynı zamanda model teorisi , kombinatorik , soyut cebir ve matematiksel analiz gibi matematiğin dallarında kullanılan bir araçtır . In kategori teorisi , kardinal sayılar bir formu iskelet ait setleri kategorisinde .

Tarih

Kardinalite kavramı, şimdi anlaşıldığı gibi, 1874-1884'te küme teorisinin yaratıcısı Georg Cantor tarafından formüle edildi . Kardinalite, sonlu kümelerin bir yönünü karşılaştırmak için kullanılabilir. Örneğin, {1,2,3} ve {4,5,6} kümeleri eşit değildir , ancak aynı kardinaliteye sahiptir , yani üç. Bu, {1→4, 2→5, 3→6} denkliği gibi iki küme arasında bir önermenin (yani bire-bir yazışmanın) varlığıyla belirlenir .

Cantor, önerme kavramını sonsuz kümelere uyguladı (örneğin doğal sayılar kümesi N = {0, 1, 2, 3, ...}). Böylece, hepsi aynı kardinal sayıyı paylaşan N sayılabilir (sayılabilir sonsuz) kümeye sahip tüm kümeleri çağırdı . Bu ana sayı , aleph-null olarak adlandırılır . Sonsuz kümelerin kardinal sayılarını transfinit kardinal sayılar olarak adlandırdı . ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Cantor herhangi kanıtladı sınırsız alt kümesi içinde N ile aynı önem düzeyi olan N bu sezgi aykırı çalıştırmak gibi görünebilir bile,. Ayrıca tüm sıralı doğal sayı çiftlerinin sayılabilir olduğunu kanıtladı ; bu, tüm rasyonel sayılar kümesinin de sayılabilir olduğu anlamına gelir , çünkü her rasyonel bir çift tamsayı ile temsil edilebilir. Daha sonra, tüm gerçek cebirsel sayıların kümesinin de sayılabilir olduğunu kanıtladı . Her gerçek cebirsel sayı z , çözümü olduğu polinom denklemindeki katsayılar olan sonlu bir tamsayı dizisi, yani sıralı n-tuple ( a ₀ , a ₁ , ..., a _n ) olarak kodlanabilir. , a _i ∈ Z bir çift rasyonel ( b ₀ , b ₁ ) ile birlikte, öyle ki z , ( a ₀ , a ₁ , ..., a _n ) aralığındaki katsayılara sahip polinomun benzersiz köküdür ( b ₀ , b ₁ ).

1874 tarihli " On a Property of the Collection of the Collection of All Real Cebraic Numbers " adlı makalesinde Cantor, gerçek sayılar kümesinin kardinalitesinin N'den daha büyük olduğunu göstererek daha yüksek mertebeden kardinal sayıların var olduğunu kanıtladı . Kanıtı iç içe aralıklarla bir argüman kullandı , ancak 1891 tarihli bir makalesinde, ustaca ama daha basit çapraz argümanını kullanarak aynı sonucu kanıtladı . Gerçek sayılar kümesinin yeni kardinal sayısına sürekliliğin kardinalitesi denir ve Cantor bunun için sembolü kullandı . ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

Cantor ayrıca genel kardinal sayılar teorisinin büyük bir bölümünü geliştirdi; en küçük bir sonsuz - ötesi kardinal sayının ( , aleph-null) olduğunu ve her kardinal sayı için bir sonraki daha büyük kardinal olduğunu kanıtladı.${\displaystyle \aleph _{0}}$

${\displaystyle (\aleph _{1},\aleph _{2},\aleph _{3},\ldots).}$

Onun süreklilik hipotezi kardinalitesi o önermedir reel sayılar kümesinin aynıdır . Bu hipotezin matematiksel küme teorisinin standart aksiyomlarından bağımsız olduğu bulunmuştur; standart varsayımlardan ne kanıtlanabilir ne de çürütülebilir. ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$

Motivasyon

Gayri resmi kullanımda, bir ana sayı, 0'ın dahil edilmesi koşuluyla normalde bir sayma numarası olarak adlandırılan şeydir : 0, 1, 2, .... 0 ile başlayan doğal sayılarla tanımlanabilirler . Sayma sayıları şunlardır: tam olarak sonlu kardinal sayılar olarak tanımlanabilecek olan şey . Sonsuz kardinaller yalnızca daha üst düzey matematik ve mantıkta ortaya çıkar .

Daha resmi olarak, sıfır olmayan bir sayı iki amaç için kullanılabilir: bir kümenin boyutunu tanımlamak veya bir dizideki bir öğenin konumunu tanımlamak. Sonlu kümeler ve diziler için bu iki kavramın çakıştığını görmek kolaydır, çünkü dizideki bir konumu tanımlayan her sayı için tam olarak doğru boyutta bir dizi oluşturabiliriz. Örneğin, 3, <'a','b','c','d',...> dizisindeki 'c' konumunu tanımlar ve {a,b,c} kümesini oluşturabiliriz, 3 elementi olan.

Bununla birlikte, sonsuz kümelerle uğraşırken , ikisi arasında ayrım yapmak önemlidir, çünkü iki kavram aslında sonsuz kümeler için farklıdır. Konum yönü göz önüne alındığında sıra sayılarına yol açarken, boyut yönü burada açıklanan ana sayılarla genelleştirilir.

Kardinalin biçimsel tanımının ardındaki sezgi, sahip olduğu üye türlerine atıfta bulunmaksızın, bir kümenin göreli büyüklüğü veya "büyüklüğü" kavramının inşasıdır. Sonlu kümeler için bu kolaydır; sadece bir kümenin sahip olduğu eleman sayısını sayar. Daha büyük kümelerin boyutlarını karşılaştırmak için daha rafine kavramlara başvurmak gerekir.

Bir dizi , Y , en azından bir dizi olarak büyük olan , X bir varsa birebir eşleme elemanlarından X elemanlarına Y . Eklemeli eşleme, X kümesinin her öğesini Y kümesinin benzersiz bir öğesiyle tanımlar . Bu en kolay bir örnekle anlaşılır; X = {1,2,3} ve Y = {a,b,c,d} kümelerine sahip olduğumuzu varsayalım , o zaman bu boyut kavramını kullanarak bir eşleme olduğunu gözlemleyeceğiz:

1 → bir

2 → b

3 → c

bu, dolaylıdır ve dolayısıyla Y'nin , X'e eşit veya daha büyük bir kardinaliteye sahip olduğu sonucuna varır . d öğesinin kendisine öğe eşlemesi yoktur, ancak buna yalnızca bir eklemeli eşlemeye ihtiyacımız olduğundan ve zorunlu olarak bir dolaylı ve üzerine eşlemeye gerek duymadığımız için buna izin verilir . Bu kavramın avantajı sonsuz kümelere genişletilebilmesidir.

Daha sonra bunu eşitlik tarzı bir ilişkiye genişletebiliriz. İki set X ve Y aynı olması söylenir önem düzeyi bir mevcutsa bijection arasında X ve Y . Tarafından Schroeder-Bernstein teoremi , bu varlık orada eşdeğerdir hem bir birebir eşleme X için Y , ve bir birebir eşleme Y için X . Daha sonra yazarız | X | = | Y |. Kardinal sayısı X kendisi genellikle azından sıra olarak tanımlanır a | ile bir | = | X |. Buna von Neumann ana ataması denir ; bu tanımın anlamlı olması için, her kümenin bazı sıra sayılarıyla aynı kardinaliteye sahip olduğunun kanıtlanması gerekir ; bu ifade iyi sıralama ilkesidir . Bununla birlikte, nesnelere açıkça ad atamadan kümelerin göreli kardinalitesini tartışmak mümkündür.

Kullanılan klasik örnek, Hilbert'in Grand Hotel paradoksu olarak da adlandırılan sonsuz otel paradoksu örneğidir . Sonsuz sayıda odası olan bir otelde bir hancı olduğunu varsayalım. Otel doluyor ve ardından yeni bir misafir geliyor. 1 numaralı odadaki misafirin 2 numaralı odaya, 2 numaralı odadaki misafirin 3 numaralı odaya geçmesini isteyerek, 1 numaralı odayı boş bırakarak ilave misafiri yerleştirmek mümkündür. Bu eşlemenin bir bölümünü açıkça yazabiliriz:

1 → 2

2 → 3

3 → 4

...

n → n + 1

...

Bu atama ile, {1,2,3,...} kümesinin {2,3,4,...} kümesiyle aynı kardinaliteye sahip olduğunu görebiliriz, çünkü birinci ve ikinci arasındaki bir bijection gösterildi. Bu, aynı kardinalitenin uygun bir alt kümesine sahip herhangi bir küme (yani, bir Dedekind-sonsuz kümesi ) olan bir sonsuz kümenin tanımını motive eder ; bu durumda {2,3,4,...}, {1,2,3,...}'nin uygun bir alt kümesidir.

Bu büyük nesneler göz önüne alındığında, sayma düzeni kavramının, bu sonsuz kümeler için yukarıda tanımlanan kardinal kavramıyla örtüşüp örtüşmediğini görmek de istenebilir. Olmadığı olur; Yukarıdaki örneği göz önünde bulundurarak, "sonsuzdan büyük bir" nesne varsa, o zaman başladığımız sonsuz kümeyle aynı kardinaliteye sahip olması gerektiğini görebiliriz. Sayı için, sayma ve sırayla her sayıyı dikkate alma fikirlerine dayanan sıralar adı verilen farklı bir biçimsel kavram kullanmak mümkündür ve sonlu sayılardan çıktığımızda kardinalite ve sıralılık kavramlarının farklı olduğunu keşfederiz.

Gerçek sayıların kardinalitesinin, az önce açıklanan doğal sayılardan daha büyük olduğu kanıtlanabilir . Bu, Cantor'un köşegen argümanı kullanılarak görselleştirilebilir ; Klasik kardinalite soruları (örneğin süreklilik hipotezi ), bazı diğer sonsuz kardinal çiftleri arasında bir kardinal olup olmadığını keşfetmekle ilgilidir. Daha yakın zamanlarda, matematikçiler daha büyük ve daha büyük kardinallerin özelliklerini tarif ediyorlardı.

Kardinalite matematikte çok yaygın bir kavram olduğu için çeşitli isimler kullanılmaktadır. Kardinalitenin aynılığına bazen eşpotansiyel , denklik veya eş sayı olarak atıfta bulunulur . Bu nedenle, aynı kardinaliteye sahip iki kümenin sırasıyla eş potansiyel , eşit veya eş sayı olduğu söylenir .

Resmi tanımlama

Biçimsel olarak, seçim aksiyomunu varsayarsak, bir X kümesinin kardinalitesi, X ile α arasında bir orantı olacak şekilde en küçük sıra sayısı α'dır . Bu tanım, von Neumann ana ataması olarak bilinir . Seçim aksiyomu kabul edilmezse, farklı bir yaklaşıma ihtiyaç vardır. Bir dizi ait cardinality eski tanımı X (Cantor örtülü ve Frege ve açık Principia Mathematica ) sınıfı [gibidir X ile equinumerous bütün kümelerin] X . Bu, ZFC'de veya diğer aksiyomatik küme teorisi sistemlerinde çalışmaz, çünkü X boş değilse , bu koleksiyon bir küme olamayacak kadar büyüktür. Aslında, X ≠ ∅ için , bir m kümesini { m } × X ' e eşleyerek evrenden [ X ]'e bir enjeksiyon vardır ve dolayısıyla boyut sınırlaması aksiyomuyla [ X ] uygun bir sınıftır. Ancak tanım, tip teorisinde ve New Foundations ve ilgili sistemlerde işe yarar . Bununla birlikte, bu sınıftan en düşük rütbeye sahip X ile eşit olanlarla sınırlandırırsak , o zaman işe yarayacaktır (bu Dana Scott'a bağlı bir hiledir : işe yarar çünkü herhangi bir rütbeye sahip nesnelerin koleksiyonu bir kümedir).

Resmi olarak, kardinal sayılar arasındaki sıralama şu şekilde tanımlanır: | X | ≤ | Y | Bir vardır aracı birebir fonksiyonunu X için Y . Cantor-Bernstein-Schroeder teoremi | devletler eğer X | ≤ | Y | ve | Y | ≤ | X | sonra | X | = | Y |. Seçim aksiyomu iki set verilen bu deyimi eşdeğerdir X ve Y | ya X | ≤ | Y | veya | Y | ≤ | X |.

Bir dizi X'in olan Dedekind-sonsuz bir mevcutsa uygun alt kümesini Y ait X | ile X | = | Y | ve böyle bir altküme yoksa Dedekind-sonlu . Sonlu kardinaller sadece olan doğal sayılar kümesi anlamında, X sonlu ve sadece eğer | X | = | n | = n bazı doğal sayılar için n . Diğer herhangi bir küme sonsuzdur .

Seçim aksiyomunu varsayarak, Dedekind kavramlarının standart olanlara karşılık geldiği kanıtlanabilir. Ayrıca, doğal sayılar kümesinin kardinalinin ( alef null veya aleph-0, burada aleph, İbrani alfabesindeki ilk harftir , temsil edilir ) en küçük sonsuz kardinal olduğu da kanıtlanabilir (yani, herhangi bir sonsuz kümenin bir alt kümesi vardır). kardinalite ). Bir sonraki daha büyük kardinal, vb. ile gösterilir . Her α sıra sayısı için bir asal sayı vardır ve bu liste tüm sonsuz asal sayıları kapsar. ${\displaystyle \aleph _{0}}$${\görüntüleme stili \aleph }$${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{\alpha },}$

kardinal aritmetik

Doğal sayılar için olağan işlemleri genelleştiren kardinal sayılar üzerinde aritmetik işlemler tanımlayabiliriz . Sonlu kardinaller için bu işlemlerin doğal sayılar için olağan işlemlerle çakıştığı gösterilebilir. Ayrıca, bu işlemler sıradan aritmetik ile birçok özelliği paylaşır.

halef kardinal

Seçim aksiyomu geçerliyse, her kardinal κ'nin κ ⁺ ile gösterilen bir halefi vardır , burada κ ⁺ > κ ve κ ile halefi arasında hiçbir kardinal yoktur. (Seçim aksiyomu olmadan, Hartogs teoremi kullanılarak , herhangi bir κ kardinal sayısı için minimum κ ⁺ olduğu gösterilebilir, öyle ki ) Sonlu kardinaller için ardıl basitçe κ + 1'dir. ardıl kardinal, ardıl sıra sayısından farklıdır . ${\displaystyle \kappa ^{+}\nleq \kappa .}$

kardinal ekleme

Eğer X ve Y'nin olan ayrık , ekleme verilir birlik içinde , X ve Y . İki grup zaten ayrık değil ise, o zaman aynı cardinality ayrık kümeler ile ikame edilmiş olabilir (örneğin, yerine X ile X x {0} ve Y ile Y x {1}).

${\displaystyle |X|+|Y|=|X\cup Y|.}$

Sıfır, κ + 0 = 0 + κ = κ toplamsal bir kimliktir .

Toplama ilişkiseldir ( κ + μ ) + ν = κ + ( μ + ν ).

Toplama değişmeli κ + μ = μ + κ .

Toplama, her iki bağımsız değişkende de azalmaz:

${\displaystyle (\kappa \leq \mu )\rightarrow ((\kappa +\nu \leq \mu +\nu ){\mbox{ ve }}(\nu +\kappa \leq \nu +\mu )) .}$

Seçim aksiyomunu varsayarsak, sonsuz kardinal sayıların eklenmesi kolaydır. Ya olursa κ veya μ sonra, sonsuzdur

${\displaystyle \kappa +\mu =\max\{\kappa ,\mu \}\,.}$

Çıkarma

Sonsuz kardinal verilen seçme aksiyomu varsayarsak ve σ ve kardinal μ , bir kardinal vardır κ öyle ki μ + κ = σ ancak ve ancak μ ≤ σ . Yalnızca ve ancak μ < σ ise benzersiz (ve σ'ya eşit ) olacaktır .

kardinal çarpma

Kardinallerin ürünü Kartezyen ürününden gelir .

${\displaystyle |X|\cdot |Y|=|X\times Y|}$

κ ·0 = 0· κ = 0.

κ · μ = 0 → ( κ = 0 veya μ = 0).

Biri bir çarpımsal özdeşliktir κ ·1 = 1 · κ = κ .

Çarpma birleştiricidir ( κ · μ )· ν = κ ·( μ · ν ).

Çarpma değişmeli κ · μ = μ · κ .

Çarpma her iki bağımsız değişkende de azalmaz: κ ≤ μ → ( κ · ν ≤ μ · ν ve ν · κ ≤ ν · μ ).

Çarpma toplama üzerinden dağıtılır : κ ·( μ + ν ) = κ · μ + κ · ν ve ( μ + ν )· κ = μ · κ + ν · κ .

Seçim aksiyomunu varsayarsak, sonsuz kardinal sayıların çarpımı da kolaydır. κ veya μ sonsuz ise ve her ikisi de sıfır değilse , o zaman

${\displaystyle \kappa \cdot \mu =\max\{\kappa ,\mu \}.}$

Bölüm

Sonsuz kardinal verilen seçme aksiyomu varsayarsak ve π ve sıfır olmayan bir kardinal μ , bir kardinalin vardır κ öyle ki ^ ı · κ = π ve ancak eğer μ ≤ π . Yalnızca ve ancak μ < π ise benzersiz (ve π'ye eşit ) olacaktır .

kardinal üs

Üs şu şekilde verilir

${\displaystyle |X|^{|Y|}=\sol|X^{Y}\sağ|,}$

nerede X ^{, Y} , tüm kümesidir fonksiyonları gelen Y'ye için X .

κ ⁰ = 1 (özellikle 0 ⁰ = 1), bkz. boş fonksiyon .

1 ≤ μ ise , 0 ^μ = 0.

1 ^μ = 1.

κ ¹ = κ .

κ ^{μ + ν} = κ ^μ · κ ^ν .

κ ^{μ · ν} = ( κ ^μ ) ^ν .

( Κ · μ ) ^ν = κ ^ν · μ ^ν .

Üs, her iki bağımsız değişkende de azalmaz:

(1 ≤ ν ve κ ≤ μ ) → ( ν ^κ ≤ ν ^μ ) ve

( κ ≤ μ ) → ( κ ^ν ≤ μ ^ν ).

2 ^{| X |} kardinalitesi olan güç seti seti içinde X ve Cantor'un köşegen yöntemi gösterileri o 2 ^{| X |} > | X | herhangi kümesi için X . Bu, en büyük kardinal olmadığını kanıtlar (çünkü herhangi bir kardinal κ için her zaman daha büyük bir 2 ^κ kardinal bulabiliriz ). Aslında, sınıf kardinaller bir olan uygun sınıf . (Bu kanıt, bazı küme teorilerinde, özellikle Yeni Temeller'de başarısız olur .)

Bu bölümde kalan tüm önermeler, seçim aksiyomunu varsayar:

Eğer κ ve μ 1 'den her ikisi de, sonlu ve daha büyük olan, ve ν sonra, sonsuz κ ^ν = μ ^ν .

κ sonsuzsa ve μ sonluysa ve sıfır değilse , o zaman κ ^μ = κ .

2 ≤ κ ve 1 ≤ μ ve bunlardan en az biri sonsuz ise, o zaman:

Maks ( κ , 2 ^μ ) ≤ κ ^μ ≤ Maks (2 ^κ , 2 ^μ ).

Kullanma König teoremi bir ispat κ < κ ^{cf ( κ )} ve κ <cf (2 ^κ bir sonsuz ana için) k cf ( κ ) olan cofinality bir k .

kökler

Seçim aksiyomu varsayarsak ve sonsuz bir temel κ ve 0'dan büyük sonlu bir temel μ verildiğinde , temel ν tatmin edici olacaktır . ${\displaystyle \nu ^{\mu }=\kappa }$${\görüntüleme stili \kappa }$

Logaritmalar

Seçim aksiyomunu varsayarsak ve sonsuz bir temel κ ve 1'den büyük sonlu bir temel μ verildiğinde , λ'yı karşılayan bir temel λ olabilir veya olmayabilir . Bununla birlikte, böyle bir kardinal varsa, sonsuzdur ve κ'den küçüktür ve 1'den büyük herhangi bir sonlu ν kardinalitesi de tatmin edecektir . ${\displaystyle \mu ^{\lambda }=\kappa }$${\displaystyle \nu ^{\lambda }=\kappa }$

Sonsuz asılsayı logaritması k en önemli sayısı şu şekilde tanımlanır μ şekilde globülini k ≤ 2 ^μ . Sonsuz kardinaller Logaritma çalışmalarında örneğin matematik bazı alanlarda yararlı olan kardinal değişmezler arasında topolojik uzaylarda pozitif reel sayılar logaritma sahip özelliklerinden bazıları yoksun olsa da,.

süreklilik hipotezi

Sürekli hipotezi (CH) herhangi bir kardinal katı arasında olduğu belirtilmektedir ve ikinci asılsayı da genellikle ile gösterilir ; öyle sürekliliğinin kardinalitesi (kümesi reel sayılar ). Bu durumda , genelleştirilmiş süreklilik hipotezi (GCH), her sonsuz X kümesi için , | X  | ve 2 ^{| X  |} . Süreklilik hipotezi, küme teorisinin olağan aksiyomlarından bağımsızdır, Zermelo-Fraenkel aksiyomları ve seçim aksiyomu ( ZFC ). ${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}.}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}.}$

Ayrıca bakınız

Referanslar

Notlar

bibliyografya

• Dauben, Joseph Warren (1990), Georg Cantor: His Matematik ve Sonsuz Felsefesi , Princeton: Princeton University Press, ISBN 0691-02447-2
• Hahn, Hans , Infinity , Bölüm IX, Bölüm 2, The World of Mathematics , Cilt 3 . New York: Simon ve Schuster, 1956.
• Halmos, Paul , Naif küme teorisi . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Springer-Verlag, New York, 1974 tarafından yeniden basılmıştır. ISBN  0-387-90092-6 (Springer-Verlag baskısı).

Dış bağlantılar

• "Kardinal sayı" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]