Grupların doğrudan toplamı - Direct sum of groups

Gelen matematik , bir grup G denir doğrudan toplamı iki normal bir alt ile önemsiz kesişme bu ise üretilen alt gruplar. Gelen soyut cebir , grupların bu yapı usulü doğrudan toplamları genelleştirilebilir vektör uzayı , modüller ve diğer yapılar; daha fazla bilgi için modüllerin doğrudan toplamı makalesine bakın . Önemsiz olmayan alt grupların doğrudan toplamı olarak ifade edilebilen bir grup, ayrıştırılabilir olarak adlandırılır ve bir grup böyle bir doğrudan toplam olarak ifade edilemezse, o zaman ayrıştırılamaz olarak adlandırılır .

Tanım

Bir G grubuna , eğer iki alt grup H ₁ ve H _2'nindoğrudan toplamı denir:

Her bir H ₁ ve H ₂ normal alt grupları G ,
H ₁ ve H ₂ alt grupları önemsiz kesişmeye sahiptir (yani, ortak olarak yalnızca G'nin kimlik elemanına sahip ), ${\görüntüleme stili e}$
G = < H ₁ , H ₂ >; diğer bir deyişle, G, alt tarafından oluşturulur , H ₁ ve H ₂ .

Daha genel olarak, G'ye , aşağıdaki durumlarda sonlu bir alt grup { H _i } kümesinin doğrudan toplamı denir.

Her bir H _i a, normal bir alt-grup içinde , G ,
her H _i'nin <{ H _j : j ≠ i }> alt grubuyla önemsiz bir kesişimi vardır ,
G = <{ H _ben }>; başka bir deyişle, G , { H _i } alt grupları tarafından üretilir .

Eğer G bir alt grubunun doğrudan toplamıdır H ve K sonra geç G = H + , K ve eğer G alt kümesinin doğrudan toplamıdır { H _i } sonra sık sık mal G = Σ H _i . Açıkça söylemek gerekirse, doğrudan bir toplam, alt grupların zayıf bir doğrudan ürününe izomorfiktir .

Özellikler

Eğer G = H + K , o zaman ispat edilebilir:

Herkes için saat içinde H , k içinde K , biz buna sahip h * k = k * h
tüm g olarak G , benzersiz vardır h olarak , H , k olarak K , öyle ki g = h * k
Bir bölümde toplamın iptali var; yani ( H + K )/ K , H'ye izomorfiktir

Yukarıdaki iddialar G = Σ H _i durumu için genelleştirilebilir , burada { H _i } sonlu bir alt grup kümesidir:

Eğer i ≠ j , o zaman tüm saat _i içinde , H _ı , H _j olarak H _j , o sahip h _i * h _J = h _j * h _ı
her g de G , elemanların özel bir takım vardır h _ı olarak H _ı şekildedir

g = h ₁ ∗ h ₂ ∗ ... ∗ h _ben ∗ ... ∗ h _n

Bir bölümde toplamın iptali var; öyle ki ((Σ H _i ) + K )/ K , Σ H _i ile izomorfiktir .

Her g'nin benzersiz bir şekilde şu şekilde ifade edilebildiği doğrudan çarpımla benzerliğe dikkat edin.

g = ( h ₁ , h ₂ , ..., h _ben , ..., h _n ).

Yana h _i * h _J = h _j * h _ı tüm i ≠ j , doğrudan bir toplamı unsurların bu çarpma doğrudan ürünün karşılık gelen elemanların çoğalması izomorf izler; bu nedenle, sonlu alt grup kümeleri için, Σ H _i , ×{ H _i } doğrudan çarpımına eş biçimlidir .

Doğrudan toplama

Bir grup Verilen , bir alt grup demek bir olan doğrudan summand bir başka alt grubu vardır, eğer bir şekilde . ${\görüntüleme stili G}$ ${\görüntüleme stili H}$ ${\görüntüleme stili G}$ ${\görüntüleme stili K}$ ${\görüntüleme stili G}$ ${\görüntüleme stili G=H+K}$

Değişmeli gruplarda, eğer a, bölünebilir alt grup arasında , daha sonra doğrudan bir toplam kısmı olup . ${\görüntüleme stili H}$ ${\görüntüleme stili G}$ ${\görüntüleme stili H}$ ${\görüntüleme stili G}$

Örnekler

Biz alırsak bunun açıktır alt doğrudan ürünüdür . $G=\prod _{i\in I}H_{i}$ ${\görüntüleme stili G}$ $H_{i_{0}}\times \prod _{i\not =i_{0}}H_{i}$

Eğer a, bölünebilir bir alt grubu , bir değişmeli grubunun başka bir alt grubu vardır ve bu şekilde . ${\görüntüleme stili H}$ ${\görüntüleme stili G}$ ${\görüntüleme stili K}$ ${\görüntüleme stili G}$ ${\ Displaystyle G=K+H}$
Eğer aynı zamanda bir vektör uzayı yapısına sahipse , o zaman bölüme eşbiçimli olacak başka bir alt uzayın doğrudan toplamı olarak yazılabilir . ${\görüntüleme stili G}$ ${\görüntüleme stili G}$ $\mathbb {R}$ ${\görüntüleme stili K}$ ${\görüntüleme stili G/K}$

Ayrıştırmaların doğrudan toplamlara denkliği

Sonlu bir grubun ayrıştırılamaz alt grupların doğrudan toplamına ayrıştırılmasında, alt grupların gömülmesi benzersiz değildir. Örneğin, Klein grubunda buna sahibiz. $V_{4}\cong C_{2}\times C_{2}$

V_{4}=\langle (0,1)\rangle +\langle (1,0)\rangle,

ve

V_{4}=\langle (1,1)\rangle +\langle (1,0)\rangle .

Bununla birlikte, Remak-Krull Schmidt teoremi verilen bir devlet sonlu grup G = Σ bir _i Σ = B _j , her biri bir _i ve her bir B _j önemsiz olmayan ve ayrıştırılamaz olan, iki toplam yeniden sıralama ve eşit koşullar kadar sahip izomorfizm.

Remak-Krull-Schmidt teoremi sonsuz gruplar için başarısız olur; bu yüzden sonsuz G = H + K = L + M durumunda, tüm alt gruplar önemsiz ve ayrıştırılamaz olsa bile, H'nin L veya M ile izomorf olduğu sonucuna varamayız .

Sonsuz kümeler üzerinden toplamlar için genelleme

G'nin sonsuz (belki de sayılamayan) bir alt grup kümesinin doğrudan toplamı olduğu durumda yukarıdaki özellikleri tanımlamak için daha fazla özen gösterilmesi gerekir.

Eğer gr bir elemanıdır kartezyen ürün tt { H _ı gruplarının bir dizi} izin g _ı olduğu I inci eleman g ürün elde edilir. Dış direk toplam grupları {bir dizi H _i } (Σ olarak yazılır _E { H _i }) tt {oluşan bir alt grup H _ı , her eleman için,}, g Σ bir _E { H _ı }, g _i olan kimlik tüm ancak sınırlı bir sayıda g _ı (eşit biçimde, yalnızca sınırlı sayıda g _i kimlik değildir). Dış doğrudan toplamdaki grup işlemi, olağan doğrudan çarpımda olduğu gibi noktasal çarpmadır. $e_{H_{i}}$

Bu altküme gerçekten de bir grup oluşturur ve sonlu bir grup { H _i } için dış doğrudan toplam, doğrudan ürüne eşittir.

Eğer G = Σ H _ı , o G Σ izomorf _E { H _i }. Böylece, bir anlamda, doğrudan toplam, "iç" bir dış doğrudan toplamdır. Her bir eleman için, g olarak G , özel bir sonlu grubu olduğu S ve özel bir takım { h _i ∈ H _i : i ∈ S şekilde} g = Π { h _i : i in S }.

Languages

In other projects