Ayrık grup - Discrete group

Cebirsel yapı → Grup teorisi Grup teorisi
Temel kavramlar alt grup Normal alt grup bölüm grubu (Yarı-) direkt ürün Grup homomorfizmaları çekirdek resim doğrudan toplam çelenk ürünü basit sonlu sonsuz sürekli çarpımsal katkı döngüsel değişmeyen dihedral nilpotent çözülebilir Grup teorisi sözlüğü grup teorisi konularının listesi
sonlu gruplar Sonlu basit grupların sınıflandırılması döngüsel dönüşümlü yalan türü sporadik Cauchy teoremi Lagrange teoremi Sylow teoremleri Hall teoremi p grubu Temel değişmeli grup Frobenius grubu Schur çarpanı Simetrik grup S n Klein dört grup V Dihedral grup D n Kuaterniyon grubu Q Disiklik grup Dic n
ayrık gruplar kafesler Tamsayılar ( Z ) Ücretsiz grup Modüler gruplar PSL(2, Z ) SL(2, Z ) aritmetik grubu kafes hiperbolik grup
Topolojik ve Lie grupları solenoid Daire Genel doğrusal GL( n ) Özel doğrusal SL( n ) Ortogonal O( n ) Öklid E( n ) Özel ortogonal SO( n ) Üniter U( n ) Özel üniter SU( n ) Simplektik Sp( n ) G, 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz poincare konformal difeomorfizm döngü Sonsuz boyutlu Lie grubu O(∞) SU(∞) Sp(∞)
cebirsel gruplar Doğrusal cebir grubu indirgeyici grup değişmeli çeşit eliptik eğri
v t e

Her zamanki topolojilerine sahip tam sayılar, gerçek sayıların ayrı bir alt grubudur.

Gelen matematik bir topolojik grup gibi G denen Ayrık grup bir varsa sınır noktası içinde (diğer bir deyişle, her bir eleman için G , sadece bu eleman içeren bir mahalle vardır). Aynı şekilde, grup G ve sadece eğer ayrık kimlik olduğu izole .; diğer bir deyişle, alt uzay topolojisi ve H de G olduğu ayrık topolojisi . Örneğin, tam sayılar , Z , ayrı bir alt grup oluştururlar Reals , R (standart ile metrik topoloji ), ancak rasyonel sayılar , Q , yapma. Bir Ayrık grup a, topolojik grup G ile donatılmıştır ayrık topoloji .

Herhangi bir gruba ayrık topoloji verilebilir. Ayrık bir uzaydan gelen her harita sürekli olduğundan , ayrık gruplar arasındaki topolojik homomorfizmalar, tam olarak altta yatan gruplar arasındaki grup homomorfizmalarıdır . Bu nedenle, gruplar kategorisi ile ayrık gruplar kategorisi arasında bir eşbiçimlilik vardır . Ayrık gruplar bu nedenle altta yatan (topolojik olmayan) gruplarıyla tanımlanabilir.

Bir topolojik gruba veya Lie grubuna , 'doğaya karşı' ayrık topolojinin faydalı bir şekilde bahşedildiği bazı durumlar vardır . Bu, teoride örneğin olur Bohr kompaktifikasyonuyla ve içinde grup kohomolojisi Lie gruplarının teorisi.

Bir ayrı izometri grubu metrik alan her nokta için izometrileri altında uç kısmının görüntü seti olduğu bir izometri grubu, örneğin bir ayrık grubu . Ayrık simetri grubu , ayrık bir izometri grubu olan bir simetri grubudur.

Özellikleri

Topolojik gruplar homojen olduğundan, topolojik grubun ayrık olup olmadığını belirlemek için tek bir noktaya bakmak yeterlidir. Özellikle, bir topolojik grup, yalnızca kimliği içeren tekil bir açık küme ise, ayrıktır .

Ayrık bir grup, sıfır boyutlu bir Lie grubuyla aynı şeydir ( sayılamayan ayrık gruplar ikinci sayılabilir değildir, bu nedenle bu aksiyomu sağlamak için Lie gruplarına ihtiyaç duyan yazarlar bu grupları Lie grupları olarak görmezler). Kimlik bileşen ayrı bir grup sadece olan önemsiz bir alt grubu ise bileşenlerin grubu grubun kendisi izomorf.

Sonlu bir kümedeki tek Hausdorff topolojisi ayrık olan olduğundan, sonlu bir Hausdorff topolojik grubu zorunlu olarak ayrık olmalıdır. Hausdorff grubunun her sonlu alt grubunun ayrık olduğu sonucu çıkar.

Bir ayrık alt-grup , H ve G ise cocompact bir varsa kompakt bir alt kümesi K arasında G şekilde HK = G .

Ayrık normal alt gruplar , örtü grupları ve yerel olarak izomorfik gruplar teorisinde önemli bir rol oynar . Bağlı bir G grubunun ayrık bir normal alt grubu zorunlu olarak G'nin merkezinde yer alır ve bu nedenle değişmeli .

Diğer özellikler :

• her ayrı grup tamamen bağlantısız
• ayrık bir grubun her alt grubu ayrıktır.
• ayrık bir grubun her bölümü ayrıktır.
• sonlu sayıda ayrık grubun ürünü ayrıktır.
• ayrık bir grup, ancak ve ancak sonluysa kompakttır .
• her ayrık grup yerel olarak kompakttır .
• bir Hausdorff grubunun her ayrık alt grubu kapalıdır.
• bir kompakt Hausdorff grubunun her ayrık alt grubu sonludur.

Örnekler

• Friz grupları ve duvar kağıdı grupları , Öklid düzleminin izometri grubunun ayrık alt gruplarıdır . Duvar kağıdı grupları ortak kompakttır, ancak Friz grupları değildir.
• Bir kristalografik grup genellikle, bazı Öklid uzayının izometrilerinin birlikte kompakt, ayrı bir alt grubu anlamına gelir. Ancak bazen bir kristalografik grup , sıfır potansiyelli veya çözülebilir bir Lie grubunun birlikte kompakt ayrı bir alt grubu olabilir .
• Her üçgen grubu T , kürenin izometri grubunun ( T sonlu olduğunda ), Öklid düzleminin ( T'nin bir Z  +  Z sonlu indeks alt grubuna sahip olduğu zaman ) veya hiperbolik düzlemin ayrı bir alt grubudur .
• Fuşya grupları , tanım gereği, hiperbolik düzlemin izometri grubunun ayrı alt gruplarıdır.
  • Bir Fuchsian grup korur oryantasyonunu ve hiperbolik düzlemin üst yarı düzlem modeli üzerinde etki Lie grubu PSL ayrı bir alt-grubu (2, olan R ) İzometrileri koruyucu yönelim grubu üst yarı düzlem Hiperbolik modeline uçak.
  • Bir Fuşya grubu bazen hiperbolik düzlemi izometrik olarak üç boyutlu hiperbolik uzaya gömerek ve düzlemdeki grup hareketini tüm uzaya genişleterek bir Kleinian grubunun özel bir durumu olarak kabul edilir .
  • Modüler grubu PSL (2, Z ) PSL ayrı bir alt-grubu (2, olarak düşünülür R ). Modüler grup, PSL(2, R )' de bir kafestir , ancak eş-kompakt değildir.
• Klein grupları , tanım gereği, hiperbolik 3-uzaylı izometri grubunun ayrık alt gruplarıdır . Bunlar yarı-Fuşya gruplarını içerir .
  • Bir Kleinian grubu korur oryantasyonunu ve hiperbolik 3-boşluğunun üst yarım uzay modeline hareket Lie grubu PSL ayrı bir alt-grubu (2 olduğu Cı- ), İzometrileri koruyucu yönelim grubu üst yarı-uzay hiperbolik 3 modeline -Uzay.
• Bir kafes a Lie grubu olduğu bir ayrık alt grubudur Haar ölçü bölüm alanı sonludur.

Ayrıca bakınız

• kristalografik nokta grubu
• uyum alt grubu
• aritmetik grup
• geometrik grup teorisi
• hesaplamalı grup teorisi
• serbestçe süreksiz
• ücretsiz normal set

alıntılar

Referanslar