Yalan türü grubu - Group of Lie type

Yalan grubu ile karıştırılmamalıdır .
Cebirsel yapı → Grup teorisi
Grup teorisi
döngüsel grup.svg
Temel kavramlar
Grup homomorfizmaları
sonlu gruplar
Sonlu basit grupların sınıflandırılması
Modüler gruplar
  • PSL(2, )
  • SL(2, )
Topolojik ve Lie grupları
Sonsuz boyutlu Lie grubu
  • O(∞)
  • SU(∞)
  • Sp(∞)
cebirsel gruplar

Gelen matematik , spesifik olarak grup teorinin ifade Lie tip grup genellikle belirtir sonlu grupların yakın grubuna ilgili rasyonel nokta a indirgeyici cebirsel grubu , bir değerlerle sınırlı alan . Lie tipinin tümce grubu, yaygın olarak kabul edilen kesin bir tanıma sahip değildir, ancak Lie tipinin sonlu basit gruplarının önemli koleksiyonunun kesin bir tanımı vardır ve sonlu basit grupların sınıflandırmasındaki grupların çoğunu oluştururlar .

"Lie tipi gruplar" adı, (sonsuz) Lie gruplarıyla yakın ilişkiden kaynaklanmaktadır , çünkü kompakt bir Lie grubu , gerçek sayılar alanı üzerindeki indirgeyici lineer cebirsel grubun rasyonel noktaları olarak görülebilir . Dieudonné (1971) ve Carter (1989) , Lie tipi gruplar için standart referanslardır.

Klasik gruplar

Ana madde: Klasik grup

Bu soruya ilk yaklaşım, Jordan (1870) tarafından sonlu ve diğer alanlar üzerinde sözde klasik grupların tanımı ve ayrıntılı çalışmasıydı . Bu gruplar LE Dickson ve Jean Dieudonné tarafından incelenmiştir . Emil Artin , tesadüf durumlarını sınıflandırmak amacıyla bu tür grupların sıralarını araştırdı.

Klasik bir grup, kabaca konuşursak, özel bir lineer , ortogonal , simplektik veya üniter gruptur . Bunların birkaç küçük varyasyonu vardır, türetilmiş alt gruplar veya merkezi bölümler alınarak verilir , ikincisi projektif doğrusal gruplar verir . Sonlu alanlar (veya başka herhangi bir alan) üzerinde, gerçek sayılar üzerinde oluşturulduğuna çok benzer şekilde oluşturulabilirler. Bunlar seri A 'ya tekabül n , B , n , Cı- N , D , n , 2 A , n , 2 D , n Chevalley Steinberg grupları.

Chevalley grupları

Chevalley grupları, sonlu alanlar üzerindeki Lie grupları olarak düşünülebilir. Teori, cebirsel gruplar teorisi ve Chevalley'nin  ( 1955 ) Lie cebirleri üzerindeki çalışmasıyla açıklığa kavuşturuldu , bu sayede Chevalley grup kavramı izole edildi. Chevalley , tamsayılar üzerinde karşılık gelen cebirsel grupları tanımlamak için kullanılabilecek tüm karmaşık basit Lie cebirleri (veya daha doğrusu onların evrensel zarflama cebirleri ) için bir Chevalley temeli (bir tür integral form ama sonlu alanlar üzerinde ) inşa etti. Özellikle, herhangi bir sonlu alandaki değerlerle puanlarını alabilirdi. A cebir Lie için n , B , n , Cı- N , D , n , bu iyi bilinen klasik grupları verdi, ama yapımı da E cebir olağanüstü Lie ilişkili gruplar veren 6 , E 7 , E 8 , F 4 ve G 2 . Tip G olanlar 2 (bazen Dickson grupları ) daha önce inşa edilmiş Dickson (1905) , ve E tipi olanlar 6 ile Dickson (1901) .

Steinberg grupları

Ana maddeler: 3 D 4 ve 2 E 6

Chevalley'in yapısı bilinen tüm klasik grupları vermedi: üniter grupları ve bölünmemiş ortogonal grupları ihmal etti . (1959) Steinberg bu grupları ve iki yeni aileleri verdi Chevalley 'yapısının bir modifikasyonunu bulunan 3 D 4 , 2 e 6 ile farklı bir bakış açısından yaklaşık olarak aynı zamanda keşfedilen ikinci olan, Tits (1958) . Bu yapı, üniter grubun olağan yapısını genel doğrusal gruptan genelleştirir.

Üniter grup şu şekilde ortaya çıkar: karmaşık sayılar üzerindeki genel lineer grup , Dynkin diyagramı A n'nin (devriğin tersinin alınmasına karşılık gelir) tersine çevrilmesiyle verilen bir diyagram otomorfizmasına ve yer değiştiren karmaşık konjugasyon alarak verilen bir alan otomorfizmasına sahiptir. Üniter grup, bu iki otomorfizmin ürününün sabit noktaları grubudur.

Aynı şekilde, birçok Chevalley grubu , Dynkin diyagramlarının otomorfizmaları tarafından indüklenen diyagram otomorfizmalarına ve sonlu bir alanın otomorfizmaları tarafından indüklenen alan otomorfizmalarına sahiptir. Üniter duruma benzer şekilde, Steinberg bir diyagramın çarpımının ve bir alan otomorfizminin sabit noktalarını alarak grup aileleri oluşturdu.

Bunlar verdi:

  • üniter grup 2 A , n , A sırası 2 otomorfizması gelen N ;
  • Daha fazla ortogonal gruplar 2 D , n , D, sırası 2 otomorfizması gelen N ;
  • E 6'nın 2. dereceden otomorfizminden yeni seri 2 E 6 ;
  • D 4'ün 3. dereceden otomorfizminden yeni seri 3 D 4 .

Karmaşık sayıların 3. dereceden bir otomorfizmi olmadığından, 3 D 4 tipi grupların gerçekler üzerinde hiçbir analogu yoktur. D 4 diyagramının simetrileri de denemeye yol açar .

Suzuki-Ree grupları

Ana maddeler: Suzuki grupları ve Ree grubu

Suzuki  ( 1960 ), ilk bakışta bilinen cebirsel gruplarla ilgisiz görünen yeni bir sonsuz dizi grup buldu. Ree  ( 1960 , 1961 ) cebirsel B grubu biliyorlardı 2 olan kare oldu karakteristik 2'de bir "ekstra" otomorfizm vardı Frobemino otomorfizm . Sonlu bir karakteristik 2 alanı da karesi Frobenius haritası olan bir otomorfizme sahipse, o zaman Steinberg'in yapısının bir analogunun Suzuki gruplarını verdiğini buldu. Böyle bir otomorfizme sahip alanlar 2 2 n +1 mertebesindeki alanlardır ve karşılık gelen gruplar Suzuki gruplarıdır.

2 B 2 (2 2 n +1 ) = Suz(2 2 n +1 ).

(Kesinlikle söylemek gerekirse, Suz(2) grubu basit olmadığı için Suzuki grubu olarak sayılmaz: 20. dereceden Frobenius grubudur .) Ree iki yeni benzer aile bulabildi.

2 F 4 (2 2 n +1 )

ve

2 G 2 (3 2 n +1 )

F olduğu gerçeğini kullanarak basit grupların 4 ve G'nin 2 karakteristik karakteristik 2 ve 3 ilave otomorfizmalar sahip (yaklaşık olarak, konuşma p bir çokluğu bağlarına ok göz ardı bırakılır p diyagramı otomorfizmalar çekerken Dynkin diyagramında gösterilmiştir. ) En küçük grup 2 F 4 tipi (2) 2 F 4 basit değildir, ancak basit bir alt grubu olan endeks denilen 2, Göğüsler grup matematikçi adını ( Jacques Tits ). Küçük grubu 2 G 2 tipte (3) 2 G 2 basit değildir, ancak A izomorf endeksi 3 basit bir normal alt grup vardır 1 (8). Gelen basit sonlu grupların sınıflandırılması , Ree grupları

2 G 2 (3 2 n +1 )

yapısı açıkça tespit edilmesi en zor olanlardır. Bu gruplar aynı zamanda ilk modern sporadik grubun keşfinde de rol oynamıştır. q = 3 n için Z /2 Z × PSL(2, q ) biçiminde evrişim merkezileştiricilere sahipler ve benzer biçimde Z /2 Z × PSL(2, 5) olan grupları araştırarak Janko aşağıdakileri buldu: sporadik grubu  J 1 .

Suzuki grupları 3 ile bölünemeyen için sadece sınırlı olmayan değişmeli basit gruplarıdır Bunlar sahip sipariş 2 2 (2 , n + 1) (2 : 2 (2 , n + 1) + 1) (2 (2 , n + 1) - 1).

Sonlu basit gruplarla ilişkiler

Lie tipinin sonlu grupları , 1830'larda Évariste Galois tarafından PSL(2, p ) tarafından inşa edilen , asal sonlu alanlar üzerinde projektif özel lineer gruplarla , döngüsel , simetrik ve alternatif gruplardan sonra matematikte ilk düşünülen gruplar arasındaydı. İle başlayan Lie tip sonlu grupların sistematik araştırma Camille Ürdün teoremi bu yansıtmalı özel lineer grubu PSL (2, q ) için basit q ≠ 2, daha yüksek boyutlarda izdüşümsel gruplarına 3. Bu teoremi genelleştirilmiş ve önemli verir sonlu basit grupların sonsuz ailesi PSL( n , q ) . Diğer klasik gruplar , 20. yüzyılın başlarında Leonard Dickson tarafından incelenmiştir . 1950'lerde Claude Chevalley , uygun bir yeniden formüle edildikten sonra, yarı basit Lie gruplarıyla ilgili birçok teoremin, keyfi bir k alanı üzerindeki cebirsel gruplar için analogları kabul ettiğini fark etti ve bu, şimdi Chevalley grupları olarak adlandırılanların inşasına yol açtı . Ayrıca, kompakt basit Lie grupları durumunda olduğu gibi, karşılık gelen grupların soyut gruplar olarak neredeyse basit olduğu ortaya çıktı ( Tits basitlik teoremi ). 19. yüzyıldan beri diğer sonlu basit grupların (örneğin, Mathieu grupları ) var olduğu bilinmesine rağmen , yavaş yavaş neredeyse tüm sonlu basit grupların Chevalley'in yapısının döngüsel ve alternatif gruplarla birlikte uygun uzantılarıyla açıklanabileceği inancı oluştu. Ayrıca, istisnalar, sporadik gruplar , Lie tipi sonlu gruplarla birçok özelliği paylaşır ve özellikle, Göğüsler anlamında geometrilerine göre oluşturulabilir ve karakterize edilebilir .

İnanç şimdi bir teorem haline geldi - sonlu basit grupların sınıflandırılması . Sonlu basit gruplar listesinin incelenmesi, sonlu bir alan üzerindeki Lie tipi grupların, döngüsel gruplar, alternatif gruplar, Tits grubu ve 26 sporadik basit grup dışındaki tüm sonlu basit grupları içerdiğini gösterir .

Küçük yalan grupları

Genel olarak, basit bağlantılı basit cebirsel grubun bir endomorfizmiyle ilişkili sonlu grup, basit bir grubun evrensel merkezi uzantısıdır, bu nedenle mükemmeldir ve önemsiz Schur çarpanına sahiptir . Bununla birlikte, yukarıdaki ailelerdeki en küçük gruplardan bazıları ya mükemmel değildir ya da "beklenenden" daha büyük bir Schur çarpanına sahiptir.

Grubun mükemmel olmadığı durumlar şunlardır:

  • A 1 (2) = SL(2, 2) 6. dereceden çözülebilir (3 noktada simetrik grup)
  • A 1 (3) = SL(2, 3) 24. dereceden çözülebilir (4 noktada dönüşümlü grubun çift kapağı)
  • 2 A 2 (4) Çözülebilir
  • B 2 (2) Mükemmel değil, ancak simetrik gruba 6 noktada izomorfiktir, bu nedenle türetilmiş alt grubu indeks 2'ye sahiptir ve 360 ​​derece basittir.
  • 2 B 2 (2) = Suz(2) 20. dereceden çözülebilir (bir Frobenius grubu)
  • 2 F 4 (2) Mükemmel değil, ancak türetilmiş grup indeks 2'ye sahiptir ve basit Tits grubudur .
  • G 2 (2) Mükemmel değil, ancak türetilmiş grup indeks 2'ye sahip ve 6048 mertebesinde basit.
  • 2 G 2 (3) Mükemmel değil, ancak türetilmiş grup indeks 3'e sahiptir ve 504 mertebesinde basit gruptur.

Grubun mükemmel olduğu ancak beklenenden daha büyük bir Schur çarpanına sahip olduğu bazı durumlar şunlardır:

  • A 1 (4) Schur çarpanı fazladan bir Z /2 Z'ye sahiptir , bu nedenle basit grubun Schur çarpanı 1 yerine 2. sıraya sahiptir.
  • A 1 (9) Schur çarpanında fazladan bir Z /3 Z vardır , bu nedenle basit grubun Schur çarpanı 2 yerine 6. sıraya sahiptir.
  • A 2 (2) Schur çarpanı fazladan bir Z /2 Z'ye sahiptir , bu nedenle basit grubun Schur çarpanı 1 yerine 2. sıraya sahiptir.
  • A 2 (4) Schur çarpanı fazladan bir Z /4 Z × Z /4 Z 'ye sahiptir , bu nedenle basit grubun Schur çarpanı 3 yerine 48 sırasına sahiptir.
  • A 3 (2) Schur çarpanı fazladan bir Z /2 Z'ye sahiptir , bu nedenle basit grubun Schur çarpanı 1 yerine 2. sıraya sahiptir.
  • B 3 (2) = C 3 (2) Schur çarpanı fazladan bir Z /2 Z'ye sahiptir , bu nedenle basit grubun Schur çarpanı 1 yerine 2. sıraya sahiptir.
  • B 3 (3) Schur çarpanında fazladan bir Z /3 Z vardır , bu nedenle basit grubun Schur çarpanı 2 yerine 6. sıraya sahiptir.
  • D 4 (2) Schur çarpanında fazladan bir Z /2 Z × Z /2 Z vardır , bu nedenle basit grubun Schur çarpanı 1 yerine 4'e sahiptir.
  • F 4 (2) Schur çarpanı fazladan bir Z /2 Z'ye sahiptir , bu nedenle basit grubun Schur çarpanı 1 yerine 2. sıraya sahiptir.
  • G 2 (3) Schur çarpanında fazladan bir Z /3 Z vardır , bu nedenle basit grubun Schur çarpanı 1 yerine 3 sırasına sahiptir.
  • G 2 (4) Schur çarpanı fazladan bir Z /2 Z'ye sahiptir , bu nedenle basit grubun Schur çarpanı 1 yerine 2. sıraya sahiptir.
  • 2 A 3 (4) Schur çarpanı fazladan bir Z /2 Z'ye sahiptir , bu nedenle basit grubun Schur çarpanı 1 yerine 2. sıraya sahiptir.
  • 2 A 3 (9) Schur çarpanında fazladan bir Z /3 Z × Z /3 Z vardır , bu nedenle basit grubun Schur çarpanı 4 yerine 36 mertebesine sahiptir.
  • 2 A 5 (4) Schur çarpanında fazladan bir Z /2 Z × Z /2 Z vardır , bu nedenle basit grubun Schur çarpanı 3 yerine 12'ye sahiptir.
  • 2 E 6 (4) Schur çarpanında fazladan bir Z /2 Z × Z /2 Z vardır , bu nedenle basit grubun Schur çarpanı 3 yerine 12'ye sahiptir.
  • 2 B 2 (8) Schur çarpanında fazladan bir Z /2 Z × Z /2 Z vardır , bu nedenle basit grubun Schur çarpanı 1 yerine 4'e sahiptir.

Lie tipinin çeşitli küçük grupları (ve alternatif gruplar) arasında şaşırtıcı sayıda "kazara" izomorfizm vardır. Örneğin, SL(2, 4), PSL(2, 5) gruplarının ve 5 noktadaki alternatif grubun tümü izomorfiktir.

Bu istisnaların tam listesi için sonlu basit grupların listesine bakın . Bu özel özelliklerin çoğu, belirli sporadik basit gruplarla ilgilidir.

Alternatif gruplar bazen alan üzerinde tek elemanlı Lie tipi gruplarmış gibi davranırlar . Küçük alternatif grupların bazıları da istisnai özelliklere sahiptir. Değişken gruplar genellikle 2. dereceden bir dış otomorfizm grubuna sahiptir, ancak 6 noktadaki alternatif grup, 4. dereceden bir dış otomorfizm grubuna sahiptir . Alternatif gruplar genellikle 2. dereceden bir Schur çarpanına sahiptir, ancak 6 veya 7 puanlık gruplarda 6. dereceden bir Schur çarpanı vardır .

Notasyon sorunları

Lie tipinin sonlu grupları için standart bir notasyon yoktur ve literatür onlar için düzinelerce uyumsuz ve kafa karıştırıcı notasyon sistemi içerir.

  • Basit bir grup PSL ( n , q ), genellikle bir grup PSL (aynı değildir , n , F q hakkındaki) F q cebirsel grubu PSL (noktaları -valued n ). Sorun, SL( n ) → PSL( n ) gibi cebirsel grupların bir örtülü haritasının, bazı (cebirsel olarak kapalı olmayan) alandaki değerlere sahip karşılık gelen grupların bir örtülü haritasını indüklememesidir. Sonlu alanlarda değerlere sahip diğer cebirsel grupların puanlarında da benzer problemler vardır.
  • A n −1 tipindeki gruplar bazen PSL( n , q ) ( projektif özel lineer grup) veya L ( n , q ) ile gösterilir.
  • C tipi gruplar , n bazen Sp (2 ile gösterilmiştir , n , q ) (simplektik grubu) ya da (ait) Sp ile ( n , q ).
  • D tipi gruplar için gösterim n ( "ortogonal" grupları), özellikle kafa. Kullanılan bazı semboller O( n , q ), O − ( n , q ), PSO( n , q ), Ω n ( q ), ancak o kadar çok uzlaşım vardır ki bunların hangi gruplara karşılık geldiğini tam olarak söylemek mümkün değildir. açıkça belirtilmeden. Sorunun kaynağı, basit grubun ortogonal grup O veya projektif özel ortogonal grup PSO değil, daha ziyade klasik bir gösterimi olmayan PSO'nun bir alt grubu olmasıdır. Özellikle pis tuzak olduğunu gibi bazı yazarlar, ATLAS , kullanım O ( n , q, bir grup için) olup dik grup, ancak karşılık gelen basit bir grup. Ω, PΩ gösterimi Jean Dieudonné tarafından tanıtıldı , ancak tanımı n ≤ 4 için basit değil ve bu nedenle aynı gösterim biraz farklı bir grup için kullanılabilir, bu n ≥ 5 ile uyumlu ancak daha düşük boyutta değil.
  • Steinberg grupları için, bazı yazarlar , diğer yazarların 2 A n ( q ) ile belirttiği grup için 2 A n ( q 2 ) (vb.) yazar . Sorun şu ki, ilgili iki alan var, biri q 2 mertebesinden ve onun sabit q mertebesinden alan ve insanlar, gösterime dahil edilmesi gereken farklı fikirlere sahipler. " 2 A n ( q 2 )" kuralı daha mantıklı ve tutarlıdır, ancak " 2 A n ( q ) " kuralı çok daha yaygındır ve cebirsel gruplar için olan anlaşmaya daha yakındır .
  • Yazarlar, A n ( q ) gibi grupların basit veya basit bağlantılı cebirsel grupta değerleri olan nokta grupları olup olmadığına göre farklılık gösterir . Örneğin, A n ( q ) ya özel lineer grup SL( n +1, q ) veya projektif özel lineer grup PSL( n +1, q ) anlamına gelebilir . Yani 2 A 2 (4), yazara bağlı olarak 4 farklı gruptan herhangi biri olabilir.

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar