Basit grup - Simple group

Cebirsel yapı → Grup teorisi Grup teorisi
Temel kavramlar alt grup Normal alt grup bölüm grubu (Yarı-) direkt ürün Grup homomorfizmaları çekirdek resim doğrudan toplam çelenk ürünü basit sonlu sonsuz sürekli çarpımsal katkı döngüsel değişmeyen dihedral nilpotent çözülebilir eylem Grup teorisi sözlüğü grup teorisi konularının listesi
sonlu gruplar Sonlu basit grupların sınıflandırılması döngüsel dönüşümlü yalan türü sporadik Cauchy teoremi Lagrange teoremi Sylow teoremleri Hall teoremi p grubu Temel değişmeli grup Frobenius grubu Schur çarpanı Simetrik grup S n Klein dört grup V Dihedral grup D n Kuaterniyon grubu Q Disiklik grup Dic n
ayrık gruplar kafesler Tamsayılar ( )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Ücretsiz grup Modüler gruplar PSL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ SL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ aritmetik grubu kafes hiperbolik grup
Topolojik ve Lie grupları solenoid Daire Genel doğrusal GL( n ) Özel doğrusal SL( n ) Ortogonal O( n ) Öklid E( n ) Özel ortogonal SO( n ) Üniter U( n ) Özel üniter SU( n ) Simplektik Sp( n ) G, 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz poincare konformal difeomorfizm Döngü Sonsuz boyutlu Lie grubu O(∞) SU(∞) Sp(∞)
cebirsel gruplar Doğrusal cebir grubu indirgeyici grup değişmeli çeşit eliptik eğri
v T e

Gelen matematik , bir basit grup aşikar olmayan bir grubu olan tek normal alt olan önemsiz grubu ve grubun kendisi. Basit olmayan bir grup, önemsiz olmayan normal bir alt grup ve karşılık gelen bölüm grubu olmak üzere iki küçük gruba ayrılabilir . Bu süreç tekrarlanabilir ve sonlu gruplar için en sonunda Jordan-Hölder teoremi ile benzersiz olarak belirlenmiş basit gruplara ulaşılır .

2004 yılında tamamlanan sonlu basit grupların tam sınıflandırması , matematik tarihinde önemli bir dönüm noktasıdır.

Örnekler

Sonlu basit gruplar

Siklik grup G = ( Z / 3 , Z ,) = Z ₃ arasında uyum sınıfları modulo 3 (bakınız modüler aritmetik ) basittir. Eğer , H , bu grup, kendi bir alt grubu olan düzen (elementlerin sayısı) olmalıdır bölen mertebesinde G 3. yana 3 asal olan, onun sadece bölenler, 1 ve 3 bu yüzden ya H olan G ya da H önemsiz gruptur. Öte yandan, G = ( Z /12 Z , +) = Z ₁₂ grubu basit değildir. 0, 4 ve 8 modulo 12'nin uyum sınıflarının H kümesi , 3. dereceden bir alt gruptur ve bir değişmeli grubun herhangi bir alt grubu normal olduğundan normal bir alt gruptur . Benzer şekilde, tamsayıların ( Z , +) toplama grubu basit değildir; çift ​​tamsayılar kümesi önemsiz olmayan bir normal alt gruptur.

Tek basit değişmeli grupların asal düzenin döngüsel grupları olduğu sonucuna varmak için herhangi bir değişmeli grup için aynı tür akıl yürütme kullanılabilir . Belirsiz olmayan basit grupların sınıflandırılması çok daha az önemsizdir. En küçük nonabelian basit bir grubu olduğu alternatif grubu bir ₅ için 60 ve sırayla 60 her basit grubudur izomorfik A ₅ . İkinci en küçük nonabelian basit grup, 168 mertebesindeki projektif özel lineer grup PSL(2,7)'dir ve 168 mertebesinden her basit grup PSL(2,7) ile izomorfiktir .

Sonsuz basit gruplar

Sonsuz alternatif grup, yani tamsayıların sonlu olarak desteklenen permütasyonlarının bile grubu, A _∞ basittir. Bu grup, A _n → A _{n +1} standart gömmelere göre sonlu basit grup A _n'nin artan birleşimi olarak yazılabilir . Sonsuz basit grupların bir başka örneği ailesi, F'nin bir sonsuz alan ve n ≥ 2 olduğu PSL _n ( F ) ile verilmektedir .

Sonlu olarak oluşturulmuş sonsuz basit grupları oluşturmak çok daha zordur . İlk varoluş sonucu açık değildir; o kaynaklanmaktadır Graham Higman ve basit quotients oluşur Higman grubunda . Sonlu olarak sunulduğu ortaya çıkan açık örnekler, sonsuz Thompson gruplarını T ve V içerir . Sonlu olarak sunulan burulma içermeyen sonsuz basit gruplar Burger ve Mozes tarafından oluşturulmuştur.

sınıflandırma

Genel (sonsuz) basit gruplar için henüz bilinen bir sınıflandırma yoktur ve böyle bir sınıflandırma beklenmemektedir.

Sonlu basit gruplar

Sonlu basit gruplar belirli bir anlamda onlar şekilde biraz benzer tüm sonlu grupların "temel yapı taşlarıdır", çünkü önemli olan asal sayılar temel yapı taşlarıdır tamsayılar . Bu, belirli bir grubun herhangi iki kompozisyon serisinin permütasyon ve izomorfizme kadar aynı uzunluğa ve aynı faktörlere sahip olduğunu belirten Jordan-Hölder teoremi ile ifade edilir . Muazzam bir işbirliği çabasıyla, sonlu basit grupların sınıflandırılmasının 1983 yılında Daniel Gorenstein tarafından başarıldığı ilan edildi , ancak bazı problemler ortaya çıktı (özellikle 2004'te kapatılan quasithin gruplarının sınıflandırılmasında ).

Kısaca, sonlu basit gruplar 18 aileden birine ait veya 26 istisnadan biri olarak sınıflandırılır:

• Z _p - asal derecenin döngüsel grubu
• A _n – n ≥ 5 için alternatif grup

  Alternatif gruplar, bir elemanlı alan üzerinde, bu aileyi bir sonraki ile birleştiren Lie tipi gruplar olarak kabul edilebilir ve bu nedenle, değişmeli olmayan sonlu basit grupların tüm aileleri, Lie tipi olarak kabul edilebilir.

• Lie tipi grupların 16 ailesinden biri

  Göğüsler grup genellikle olsa kesinlikle öyle değil Lie tiptedir konuşma, bu formun sayılır, fakat daha ziyade Lie tip bir grup endeksi 2..

• 26 istisnadan biri, 20'si canavar grubunun alt grupları veya alt bölümleri olan ve "Mutlu Aile" olarak adlandırılan sporadik gruplar , geri kalan 6'sı ise parya olarak adlandırılır .

Sonlu basit grupların yapısı

Feit ve Thompson'ın ünlü teoremi , her tek sıralı grubun çözülebilir olduğunu belirtir . Bu nedenle, her sonlu basit grup, asal mertebeden döngüsel olmadıkça çift mertebeye sahiptir.

Schreirer varsayım grubu olduğunu iddia dış automorphisms her sonlu basit grup çözümlenebilir. Bu, sınıflandırma teoremi kullanılarak kanıtlanabilir.

Sonlu basit gruplar için tarih

Sonlu basit grupların tarihinde iki konu vardır – 1820'lerde Galois'in çalışmasından 1981'de Canavar'ın inşasına kadar gerçekleşen belirli basit grupların ve ailelerin keşfi ve inşası; ve 19. yüzyılda başlayan bu listenin eksiksiz olduğunun kanıtı, en önemlisi 1955'ten 1983'e (zaferin ilk ilan edildiği zaman) yer aldı, ancak genel olarak 2004'te bitirilmesine karar verildi. 2010 itibariyle, kanıtları iyileştirme çalışmaları ve anlayış devam eder; Basit grupların 19. yüzyıl tarihi için bakınız ( Silvestri 1979 ).

Yapı

Basit gruplar, en azından , Évariste Galois'in 1831'de kanıtladığı, beş veya daha fazla noktadaki alternatif grupların basit (ve dolayısıyla çözülemez) olduğunun farkına vardığı Galois teorisinden beri incelenmiştir. radikallerdeki beşliyi çözün. Galois ayrıca, bir asal sonlu alan, PSL(2, p ) üzerinde bir düzlemin projektif özel lineer grubunu inşa etti ve bunların p 2 veya 3 için basit olduklarını belirtti . Bu, Chevalier'e yazdığı son mektubunda yer alır ve sonlu basit grupların bir sonraki örneği.

Sonraki keşifler 1870'de Camille Jordan tarafından yapıldı. Jordan , şimdi klasik gruplar olarak bilinen sonlu asal mertebe alanları üzerinde 4 basit matris grubu ailesi bulmuştu .

Aynı zamanda, Mathieu grupları olarak adlandırılan ve ilk olarak Émile Léonard Mathieu tarafından 1861 ve 1873'te tanımlanan beş gruplu bir ailenin de basit olduğu gösterildi. Bu beş grup, sonsuz sayıda olasılık vermeyen yöntemlerle oluşturulduğundan , 1897 tarihli ders kitabında William Burnside tarafından " sporadik " olarak adlandırılmıştır .

Daha sonra Jordan'ın klasik gruplar üzerindeki sonuçları, karmaşık basit Lie cebirlerinin Wilhelm Killing tarafından sınıflandırılmasını takiben Leonard Dickson tarafından keyfi sonlu alanlara genelleştirildi . Dickson ayrıca G ₂ ve E ₆ tipi istisna grupları da oluşturdu , ancak F ₄ , E ₇ veya E ₈ tiplerini değil ( Wilson 2009 , s. 2). 1950'lerde, Claude Chevalley'in 1955 tarihli bir makalesinde klasik grupların ve istisnai tipteki grupların tek tip bir yapısını vermesiyle , Lie tipi gruplar üzerinde çalışmaya devam edildi . Bu, Chevalley yapısını "bükerek" elde edilen belirli bilinen grupları (yansıtmalı üniter gruplar) atladı. Kalan Lie tipi grupları, Steinberg, Tits ve Herzig ( ³ D ₄ ( q ) ve ² E ₆ ( q ) üreten ) ve Suzuki ve Ree ( Suzuki-Ree grupları ) tarafından üretildi .

Bu grupların (döngüsel gruplar, alternatif gruplar ve beş istisnai Mathieu grubuyla birlikte Lie tipi gruplar) tam bir liste olduğuna inanılıyordu, ancak Mathieu'nun 1964'teki çalışmasından bu yana neredeyse bir asırlık bir durgunluktan sonra, ilk Janko grubu keşfedildi ve geri kalan 20 sporadik grup 1965–1975'te keşfedildi veya tahmin edildi, 1981'de Robert Griess'in Bernd Fischer'ın " Canavar grubu " nu kurduğunu açıkladığında doruğa ulaştı . Canavar, 808.017.424.794.512.875.886.459.904,961.710.757.005.754.368.000.000.000 siparişe sahip en büyük sporadik basit gruptur. Canavar, 196.884 boyutlu Griess cebirinde 196.883 boyutlu sadık bir temsile sahiptir , yani Canavar'ın her bir öğesi 196.883'e 196.883 matris olarak ifade edilebilir.

sınıflandırma

Tam sınıflandırma genel olarak 1962-63 Feit-Thompson teoremi ile başlar, büyük ölçüde 1983'e kadar sürer, ancak sadece 2004'te tamamlanır.

Canavar'ın 1981'de inşa edilmesinden kısa bir süre sonra, grup teorisyenlerinin tüm sonlu basit grupları başarıyla listelediğini ve 1983'te Daniel Gorenstein tarafından zafer ilan edildiğini gösteren toplam 10.000 sayfadan fazla bir kanıt sağlandı. Bu erken oldu - daha sonra, özellikle kuasitin gruplarının sınıflandırılmasında bazı boşluklar keşfedildi, bu boşluklar sonunda 2004'te, şu anda genel olarak tam olarak kabul edilen 1.300 sayfalık bir kuasitin grupları sınıflandırması ile değiştirildi.

Basit olmama testleri

Sylow'un testi : n asal olmayan pozitif bir tam sayı olsun ve p n'nin bir asal böleni olsun. Eğer 1, n'nin 1 modulo p ile uyumlutek böleni ise, o zaman n sıralı basit bir grup yoktur.

Kanıt: Eğer n bir asal kuvvet ise, o zaman n mertebesinden bir grup önemsiz olmayan bir merkeze sahiptir ve bu nedenle basit değildir. Eğer n bir asal güç değil, o zaman her Sylow alt grup tarafından, düzgün ve Sylow Üçüncü Teoremi , biz Sylow sayısının biliyoruz p düzenin bir grup -subgroups n 1 modülo eşittir p ve böler n . 1, bu tür tek sayı olduğundan, Sylow p -alt grubu benzersizdir ve bu nedenle normaldir. Uygun, kimlik dışı bir alt grup olduğu için grup basit değildir.

Burnside : Değişken olmayan sonlu basit bir grup, en az üç farklı asal sayıya bölünebilen bir düzene sahiptir. Bu, Burnside teoreminden kaynaklanmaktadır .

Ayrıca bakınız

• Neredeyse basit grup
• Karakteristik olarak basit grup
• yarı basit grup
• yarı basit grup
• Sonlu basit grupların listesi

Referanslar

Notlar

ders kitapları

• Knapp, Anthony W. (2006), Temel cebir , Springer, ISBN 978-0-8176-3248-9
• Rotman, Joseph J. (1995), Gruplar teorisine giriş , Matematikte lisansüstü metinler, 148 , Springer, ISBN 978-0-387-94285-8
• Smith, Geoff; Tabachnikova, Olga (2000), Grup teorisinde konular , Springer lisans matematik serisi (2 ed.), Springer, ISBN 978-1-85233-235-8

Kağıtlar