Sonlu basit grupların listesi - List of finite simple groups

Gelen matematik , sonlu basit gruplar sınıflandırılması her olduğu durumları sonlu basit bir grup olduğu , siklik ya da alternatif ya da bir 16 ailelerinde Lie tip gruplar , veya 26 biri sporadik grupları .

Aşağıdaki liste, sıraları , Schur çarpanının boyutu, dış otomorfizm grubunun boyutu , genellikle bazı küçük temsiller ve tüm kopyaların listeleri ile birlikte tüm sonlu basit grupları verir .

Özet

Aşağıdaki tablo, sonlu basit grupların 18 ailesinin ve sıralarıyla birlikte 26 sporadik basit grubun tam listesidir. Her ailenin basit olmayan üyeleri ve bir aile içinde veya aileler arasında çoğaltılan üyeler listelenir. (Çoğaltmaları kaldırırken, A ₈  =  A ₃ (2) ve A ₂ (4) grubunun her ikisinin de 20160 derecesine sahip olması ve B _n ( q ), q tek, n  > 2 için C _n ( q ) ile aynı sıraya sahiptir . Sonraki grup çiftlerinin en küçüğü, her ikisi de 4585351680 sırasına sahip olan B ₃ (3) ve C ₃ (3)'tür.)

Değişen gruplar A _n ve Lie tipi A _n ( q ) grupları için notasyonlar arasında talihsiz bir çelişki var . Bazı yazarlar , onları ayırt etmek için A _n için çeşitli farklı yazı tipleri kullanır . Özellikle, bu makalede, A _n alternatif gruplarını Roman yazı tipinde ve Lie tipi grupları A _n ( q ) italik olarak ayarlayarak ayrım yapıyoruz .

Aşağıda, n pozitif bir tamsayıdır ve q , belirtilen kısıtlamalarla birlikte bir p asal sayısının pozitif gücüdür . ( a , b ) gösterimi , a ve b tam sayılarının en büyük ortak bölenini temsil eder .

Sınıf	Aile	Sipariş	İstisnalar	kopyalar
döngüsel gruplar	Z p	p	Yok	Yok
Alternatif gruplar	bir n n  > 4	${\displaystyle {\frac {n!}{2}}}$	Yok
Klasik Chevalley grupları	bir n ( q )	${\displaystyle {\frac {q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}}{(n+1,q-1)}}\prod _{i=1}^{ n}\sol(q^{i+1}-1\sağ)}$	A 1 (2), A 1 (3)
	B n ( q ) n  > 1	${\displaystyle {\frac {q^{n^{2}}}{(2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\ sağ)}$	B 2 (2)
	C n ( q ) n  > 2	${\displaystyle {\frac {q^{n^{2}}}{(2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\ sağ)}$	Yok	C n (2 m ) ≃ B n (2 m )
	D n ( q ) n  > 3	${\displaystyle {\frac {q^{n(n-1)}(q^{n}-1)}{(4,q^{n}-1)}}\prod _{i=1}^ {n-1}\sol(q^{2i}-1\sağ)}$	Yok	Yok
Olağanüstü Chevalley grupları	E 6 ( q )	${\displaystyle {\frac {q^{36}}{(3,q-1)}}\prod _ {i\in \{2,5,6,8,9,12\}}\left(q ^{i}-1\sağ)}$	Yok	Yok
	E 7 ( q )	${\displaystyle {\frac {q^{63}}{(2,q-1)}}\prod _ {i\in \{2,6,8,10,12,14,18\}}\sol (q^{i}-1\sağ)}$	Yok	Yok
	E 8 ( q )	${\displaystyle q^{120}\prod _ {i\in \{2,8,12,14,18,20,24,30\}}\sol(q^{i}-1\sağ)}$	Yok	Yok
	F 4 ( q )	${\displaystyle q^{24}\prod _ {i\in \{2,6,8,12\}}\left(q^{i}-1\sağ)}$	Yok	Yok
	G, 2 ( q )	${\displaystyle q^{6}\prod _ {i\in \{2,6\}}\sol(q^{i}-1\sağ)}$	G, 2 (2)	Yok
Klasik Steinberg grupları	2 Bir n ( q 2 ) n  > 1	${\displaystyle {\frac {q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}}{(n+1,q+1)}}\prod _{i=1}^{ n}\sol(q^{i+1}-(-1)^{i+1}\sağ)}$	2 A 2 (2 2 )	2 A 3 (2 2 ) ≃ B 2 (3)
	2 D n ( q 2 ) n  > 3	${\displaystyle {\frac {q^{n(n-1)}}{(4,q^{n}+1)}}\left(q^{n}+1\sağ)\prod _{i =1}^{n-1}\sol(q^{2i}-1\sağ)}$	Yok	Yok
Olağanüstü Steinberg grupları	2 E 6 ( q 2 )	${\displaystyle {\frac {q^{36}}{(3,q+1)}}\prod _ {i\in \{2,5,6,8,9,12\}}\left(q ^{i}-(-1)^{i}\sağ)}$	Yok	Yok
	3 B 4 ( q 3 )	${\displaystyle q^{12}\left(q^{8}+q^{4}+1\sağ)\left(q^{6}-1\sağ)\left(q^{2}-1 \sağ)}$	Yok	Yok
Suzuki grupları	2 B 2 ( q ) q  = 2 2 n +1 n  ≥ 1	${\displaystyle q^{2}\sol(q^{2}+1\sağ)\sol(q-1\sağ)}$	Yok	Yok
Ree grupları + Göğüsler grubu	2 F 4 ( q ) q  = 2 2 n +1 n  ≥ 1	${\displaystyle q^{12}\sol(q^{6}+1\sağ)\sol(q^{4}-1\sağ)\sol(q^{3}+1\sağ)\sol( q-1\sağ)}$	Yok	Yok
	2 K 4 (2)′	2 12 (2 6 + 1)(2 4 − 1)(2 3 + 1)(2 − 1)/2 =17 971 200
	2 G 2 ( q ) q = 3 2 n +1 n  ≥ 1	${\displaystyle q^{3}\sol(q^{3}+1\sağ)\sol(q-1\sağ)}$	Yok	Yok
Mathieu grupları	M 11	7920
	M 12	95 040
	M 22	443 520
	M 23	10 200 960
	M 24	244 823 040
Janko grupları	J 1	175 560
	J 2	604 800
	J 3	50 232 960
	J 4	86 775 571 046 077 562 880
Conway grupları	Ortak 3	495 766 656 000
	Ortak 2	42 305 421 312 000
	Ortak 1	4 157 776 806 543 360 000
Fischer grupları	Fi 22	64 561 751 654 400
	Fi 23	4 089 470 473 293 004 800
	Fi 24 ′	1 255 205 709 190 661 721 292 800
Higman-Sims grubu	HS	44 352 000
McLaughlin grubu	McL	898 128 000
tutulan grup	o	4 030 387 200
Rudvalis grubu	Ru	145 926 144 000
Suzuki sporadik grubu	Suz	448 345 497 600
O'Nan grubu	O'N	460 815 505 920
Harada-Norton grubu	HN	273 030 912 000 000
Lyon grubu	Ly	51 765 179 004 000 000
Thompson grubu	Th	90 745 943 887 872 000
Bebek Canavar grubu	B	4 154 781 481 226 426 191 177 580 544 000 000
canavar grubu	M	808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000

Döngüsel gruplar , Z _p

Basitlik: p için basit bir asal sayı.

Sipariş: p

Schur çarpanı: Önemsiz.

Dış otomorfizm grubu: p  − 1 dereceli döngü .

Diğer isimler: Z/ p Z, C _p

Açıklamalar: Bunlar mükemmel olmayan tek basit gruplardır .

Alternatif gruplar , A _n , n > 4

Basitlik: n < 5 için çözülebilir , aksi takdirde basit.

Sıra: n !/2, n  > 1 olduğunda .

Çarpan Schur: 2 , n  = 5 veya n  > 7, 6 , n  = 6 veya 7; bkz . alternatif ve simetrik grupların örtücü grupları

Dış otomorfizm grubu: Genel olarak 2. İstisnalar: n  = 1, n  = 2 için önemsizdir ve n  = 6 için sıra 4'e sahiptir (temel değişmeli).

Diğer isimler: Alt _n .

İzomorfizmler: A ₁ ve A ₂ önemsizdir. Bir ₃ 3. düzenin siklik olduğu ₄ izomorf A ₁ (çözülebilir) (3). A ₅ , A ₁ (4) ve A ₁ (5) ile izomorfiktir . A ₆ , A ₁ (9) ve türetilmiş grup B ₂ (2)' ile izomorfiktir . A ₈ , A ₃ (2) ile izomorfiktir .

Açıklamalar: Bir kütüğü 2 alt grubu simetrik grubun permütasyon n noktaları , n  > 1.

Yalan türü grupları

Notasyon: n pozitif bir tamsayıdır, q > 1 bir asal sayının kuvvetidir p ve bazı temel sonlu alanların sırasıdır . Dış otomorfizm grubunun sırası d ⋅ f ⋅ g olarak yazılır , burada d "köşegen otomorfizmler" grubunun sırasıdır, f "alan otomorfizmaları"nın (döngüsel) grubunun (bir Frobenius tarafından oluşturulan) düzenidir. otomorfizm ) ve g , "grafik otomorfizmleri" grubunun sırasıdır ( Dynkin diyagramının otomorfizmlerinden gelir ). Dış otomorfizm grubu semidirect ürün izomorf ki bu grupların hepsi , ilgili sipariş siklik olan , f, g, d türü dışında, , düzenin grubu tek, olduğu ve (yalnızca ) , simetrik grup üçe elementler. ( a , b ) gösterimi , a ve b tam sayılarının en büyük ortak bölenini temsil eder . ${\displaystyle D\rtimes (F\times G)}$${\görüntüleme stili D,F,G}$${\ Displaystyle D_{n}(q)}$${\görüntüleme stili q}$${\görüntüleme stili d=4}$${\displaystyle C_{2}\times C_{2}}$${\görüntüleme stili n=4}$${\displaystyle G=S_{3}}$

Chevalley grupları , A _n ( q ), B _n ( q ) n > 1, C _n ( q ) n > 2, D _n ( q ) n > 3

	Chevalley grupları , A n ( q ) lineer grupları	Chevalley grupları , B n ( q ) n  > 1 ortogonal gruplar	Chevalley grupları , C n ( q ) n  > 2 simplektik grup	Chevalley grupları , D n ( q ) n  > 3 ortogonal grup
Basitlik	A 1 (2) ve A 1 (3) çözülebilir, diğerleri basittir.	B 2 (2) basit değildir ancak türetilmiş grubu B 2 (2)′, indeks 2'nin basit bir alt grubudur; diğerleri basit.	hepsi basit	hepsi basit
Sipariş	${\displaystyle {\frac {q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}}{(n+1,q-1)}}\prod _{i=1}^{ n}\sol(q^{i+1}-1\sağ)}$	${\displaystyle {\frac {q^{n^{2}}}{(2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\ sağ)}$	${\displaystyle {\frac {q^{n^{2}}}{(2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\ sağ)}$	${\displaystyle {\frac {q^{n(n-1)}(q^{n}-1)}{(4,q^{n}-1)}}\prod _{i=1}^ {n-1}\sol(q^{2i}-1\sağ)}$
Schur çarpanı	Basit gruplar için, A 1 (4) (sıradan 2), A 1 (9) (sıradan 6), A 2 (2) (sıradan 2) hariç , ( n +1, q -1) dereceli döngüseldir , A 2 (4) (sıra 48, mertebe 3, 4, 4) siklik gruplarının çarpımı, A 3 (2) (sıra 2).	(2, q −1) B 2 (2) = S 6 ( B 2 (2) için 2. sıra, B 2 (2)′ için 6. sıra ) ve B 3 (2) ( Sıra 2) ve B 3 hariç (3) (sıra 6).	(2, q −1) C 3 (2) (sıra 2) hariç .	Sırası (4, olduğu q , n -1) (siklik n için tek elementer değişmeli n dışında bile) D 4 (2) (sırası ile 4, temel değişmeli).
Dış otomorfizm grubu	(2, q −1)⋅ f ⋅1 için n  = 1; ( n +1, q −1)⋅ f ⋅2 n  > 1 için, burada q  =  p f	(2, q −1)⋅ f ⋅1 için q tek veya n  > 2; (2, q −1)⋅ f ⋅2 için q çift ​​ve n  = 2, burada q  =  p f	(2, q −1)⋅ f ⋅1, burada q  =  p f	(2, q −1) 2 ⋅ f ⋅ S 3 için n  = 4, (2, q −1) 2 ⋅ f ⋅2 için n  > 4 çift, (4, q n −1)⋅ f ⋅2 için n tek, burada q  =  p f ve S 3 , 3. dereceden simetrik gruptur! 3 noktada.
Diğer isimler	Projektif özel lineer gruplar , PSL n +1 ( q ), L n +1 ( q ), PSL( n + 1, q )	O 2 n +1 ( q ), Ω 2 n +1 ( q ) ( q tek için).	Projektif simplektik grup, PSp 2 n ( q ), PSp n ( q ) (önerilmez), S 2 n ( q ), Abelian grup (arkaik).	O 2 n + ( q ), PΩ 2 n + ( q ). " Hipoabelian grup ", karakteristik 2'deki bu grup için eski bir isimdir.
izomorfizmler	A 1 (2) simetrik gruba göre 6 mertebesinde izomorfiktir . A 1 (3), alternatif grup A 4 (çözülebilir) için izomorfiktir . Bir 1 (4) ve bir 1 (5), her iki değişken, A grubu izomorfik 5 . A 1 (7) ve A 2 (2) izomorfiktir. A 1 (8) türetilmiş grup 2 G 2 (3)' için izomorfiktir . A 1 (9), A 6'ya ve türetilmiş B 2 (2)' grubuna izomorfiktir . A 3 (2), A 8'e göre izomorfiktir .	B , n (2 m ) izomorf C , n (2 m ). B 2 (2) simetrik gruba 6 noktada izomorfiktir ve türetilmiş B 2 (2)' grubu A 1 (9) ve A 6'ya göre izomorfiktir . B 2 (3), 2 A 3 (2 2 ) ile izomorfiktir .	C n (2 m ) B n (2 m ) ile izomorfiktir
Uyarılar	Bu gruplar, determinant 1'in elemanları alınarak ( özel lineer gruplar SL n +1 ( q ) verilerek ) ve sonra merkeze göre bölümlendirilerek GL n +1 ( q ) genel lineer gruplarından elde edilir .	2 n +1 boyutunda ortogonal gruptan determinant ve spinor norm haritalarının çekirdeği alınarak elde edilen gruptur . B 1 ( q ) da mevcuttur, ancak A 1 ( q ) ile aynıdır . B 2 ( q olduğunda) önemsiz olmayan bir grafik otomorfizm sahip q, 2 bir güçtür.	Bu grup, 2 n boyutlu simplektik gruptan merkezden dışarı doğru bölümlendirilerek elde edilir . C 1 ( q ) da mevcuttur, ancak A 1 ( q ) ile aynıdır . C 2 ( q ) da mevcuttur, ancak B 2 ( q ) ile aynıdır .	Bu, determinantın çekirdeğini (veya karakteristik 2'de Dickson değişmezi ) ve spinor norm haritalarını alıp sonra merkezi öldürerek 2 n boyutunda bölünmüş ortogonal gruptan elde edilen gruptur . D 4 tipi gruplar , deneme otomorfizmini içeren, sıra dışı derecede büyük bir diyagram otomorfizm grubuna 6 derece sahiptir . D 2 ( q ) da mevcuttur, ancak A 1 ( q )× A 1 ( q ) ile aynıdır . D 3 ( q ) da mevcuttur, ancak A 3 ( q ) ile aynıdır .

Chevalley grupları , E ₆ ( q ), E ₇ ( q ), E ₈ ( q ), F ₄ ( q ), G ₂ ( q )

	Chevalley grupları , E 6 ( q )	Chevalley grupları , E 7 ( q )	Chevalley grupları , E 8 ( q )	Chevalley grupları , F 4 ( q )	Chevalley grupları , G 2 ( q )
Basitlik	hepsi basit	hepsi basit	hepsi basit	hepsi basit	G 2 (2) basit değildir, ancak onun türetilmiş grubu G 2 (2)′, indeks 2'nin basit bir alt grubudur; diğerleri basit.
Sipariş	q 36 ( q 12 −1)( q 9 −1)( q 8 −1)( q 6 −1)( q 5 −1)( q 2 −1)/(3, q −1)	q 63 ( q 18 −1)( q 14 −1)( q 12 −1)( q 10 −1)( q 8 −1)( q 6 −1)( q 2 −1)/(2, q − 1)	q 120 ( q 30 −1)( q 24 −1)( q 20 −1)( q 18 −1)( q 14 −1)( q 12 −1)( q 8 −1)( q 2 −1)	q 24 ( q 12 −1)( q 8 −1)( q 6 −1)( q 2 −1)	q 6 ( q 6 −1)( q 2 −1)
Schur çarpanı	(3, q -1)	(2, q -1)	önemsiz	F 4 (2) (sıra 2) hariç önemsiz	G 2 (3) (sıra 3) ve G 2 (4) (sıra 2) dışındaki basit gruplar için önemsiz
Dış otomorfizm grubu	(3, q −1)⋅ f ⋅2, burada q  =  p f	(2, q −1)⋅ f ⋅1, burada q  =  p f	1⋅ f ⋅1, burada q  =  p f	1⋅ f ⋅1 q tek için, 1⋅ f ⋅2 q çift ​​için, burada q  =  p f	1⋅ f ⋅1 q için 3'ün kuvveti değil, 1⋅ f ⋅2 q için 3'ün kuvveti, burada q  =  p f
Diğer isimler	Olağanüstü Chevalley grubu	Olağanüstü Chevalley grubu	Olağanüstü Chevalley grubu	Olağanüstü Chevalley grubu	Olağanüstü Chevalley grubu
izomorfizmler					Türetilen grup G 2 (2) 'izomorf 2 A 2 (3 2 ).
Uyarılar	27 boyutunun iki temsili vardır ve 78 boyutunun Lie cebirine etki eder.	56 boyutunun bir temsiline sahiptir ve 133 boyutunun karşılık gelen Lie cebirini etkiler.	248 boyutunun karşılık gelen Lie cebiri üzerinde hareket eder. E 8 (3), Thompson basit grubunu içerir.	Bu gruplar , onlara 26 boyutlu temsiller veren 27 boyutlu istisnai Ürdün cebirleri üzerinde hareket eder. Ayrıca 52 boyutunun karşılık gelen Lie cebirleri üzerinde de etkilidirler. F 4 ( q ), q 2'nin kuvveti olduğunda önemsiz olmayan bir grafik otomorfizmasına sahiptir .	Bu gruplar, sonlu alanlar üzerinde 8 boyutlu Cayley cebirlerinin otomorfizm gruplarıdır ve bu onlara 7 boyutlu temsiller verir. Ayrıca 14 boyutun karşılık gelen Lie cebirleri üzerinde de etkilidirler. G 2 ( q ), q 3'ün kuvveti olduğunda önemsiz olmayan bir grafik otomorfizmasına sahiptir. Ayrıca, bölünmüş Cayley genelleştirilmiş altıgenleri olarak adlandırılan belirli nokta-çizgi geometrilerinin otomorfizma grupları olarak görünürler. .

Steinberg grupları , ² A _n ( q ² ) n > 1, ² D _n ( q ² ) n > 3, ² E ₆ ( q ² ), ³ D ₄ ( q ³ )

	Steinberg grupları , 2 A n ( q 2 ) n  > 1 üniter grup	Steinberg grupları , 2 D n ( q 2 ) n  > 3 ortogonal grup	Steinberg grupları , 2 E 6 ( q 2 )	Steinberg grupları , 3 D 4 ( q 3 )
Basitlik	2 A 2 (2 2 ) çözülebilir, diğerleri basit.	hepsi basit	hepsi basit	hepsi basit
Sipariş	${\displaystyle {1 \over (n+1,q+1)}q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}\prod _{i=1}^{n}\ sol(q^{i+1}-(-1)^{i+1}\sağ)}$	${\displaystyle {1 \over (4,q^{n}+1)}q^{n(n-1)}(q^{n}+1)\prod _{i=1}^{n- 1}\sol(q^{2i}-1\sağ)}$	q 36 ( q 12 −1)( q 9 +1)( q 8 −1)( q 6 −1)( q 5 +1( q 2 −1)/(3, q +1)	q 12 ( q 8 + q 4 +1)( q 6 −1)( q 2 −1)
Schur çarpanı	2 A 3 (2 2 ) (sıra 2), 2 A 3 (3 2 ) hariç basit gruplar için ( n +1, q +1) mertebesi ( n +1, q +1 ) ( mertebe 36, mertebeden döngüsel grupların çarpımı 3,4), 2 A 5 (2 2 ) (düzey 12, mertebe 2,2,3 siklik gruplarının çarpımı)	Döngüsel düzen (4, q n +1)	(3, q, haricinde 1) 2 E 6 (2 2 ) (sırayla 12, emir 2,2,3 siklik gruplarının ürünü).	önemsiz
Dış otomorfizm grubu	( n +1, q +1)⋅ f ⋅1, burada q 2  =  p f	(4, q n +1)⋅ f ⋅1, burada q 2  =  p f	(3, q +1)⋅ f ⋅1, burada q 2  =  p f	1⋅ f ⋅1, burada q 3  =  p f
Diğer isimler	Twisted Chevalley grubu, projektif özel üniter grup, PSU n +1 ( q ), PSU( n + 1, q ), U n +1 ( q ), 2 A n ( q ), 2 A n ( q , q 2 )	2 D n ( q ), O 2 n - ( q ), PΩ 2 n - ( q ), bükülmüş Chevalley grubu. "Hipoabelian grup", karakteristik 2'deki bu grup için eski bir isimdir.	2 E 6 ( q ), bükülmüş Chevalley grubu	3 D 4 ( q ), D 4 2 ( q 3 ), Twisted Chevalley grupları
izomorfizmler	Çözülebilir grup 2 A 2 (2 2 ), 9. dereceden bir temel değişmeli grup tarafından 8. dereceden kuaterniyon grubunun bir uzantısına izomorfiktir. 2 A 2 (3 2 ), türetilmiş G 2 (2)' grubuna izomorfiktir . 2 A 3 (2 2 ), B 2 (3) ile izomorfiktir .
Uyarılar	Bu elde edilen yekpare bir grup içinde , n belirleyici 1 elemanlarının alt grubunu alarak ve o sırada + 1 boyutları quotienting merkezi tarafından.	Bu, determinantın çekirdeğini (veya karakteristik 2'de Dickson değişmezi ) ve spinor norm haritalarını alıp sonra merkezi öldürerek 2 n boyutunda bölünmemiş ortogonal gruptan elde edilen gruptur . 2 D 2 ( q 2 ) de mevcuttur, ancak A 1 ( q 2 ) ile aynıdır . 2 D 3 ( q 2 ) de mevcuttur, ancak 2 A 3 ( q 2 ) ile aynıdır .	2 E 6'nın (2 2 ) istisnai çift kapaklarından biri , bebek canavar grubunun bir alt grubudur ve temel değişmeli düzen 4'ün istisnai merkezi uzantısı, canavar grubunun bir alt grubudur.	3 D 4 (2 3 ), determinant 3'ün kökleri olmayan benzersiz 26 boyutlu kafesi üzerinde hareket eder.

Suzuki grupları , ² B ₂ (2 ^{2 n +1} )

Basitlik: n ≥ 1 için basit. ² B ₂ (2) grubu çözülebilir.

Sıra: q ² ( q ² + 1) ( q  − 1), burada q  = 2 ^{2 n +1} .

Schur çarpanı: n ≠ 1 için önemsiz, ² için 4. dereceden temel değişmeli B ₂ (8).

Dış otomorfizm grubu:

1⋅ f ⋅1,

burada f  = 2 n + 1.

Diğer isimler: Suz(2 ^{2 n +1} ), Sz(2 ^{2 n +1} ).

İzomorfizmler: ² B ₂ (2), 20. dereceden Frobenius grubudur.

Açıklamalar: Suzuki grubu, (2 ^{2 n +1} ) ²  +1 büyüklük kümeleri üzerinde hareket eden ve 2 ^{2 n +1} elemanlı alan üzerinde 4 boyutlu temsilleri olan Zassenhaus gruplarıdır . Sıralaması 3'e bölünemeyen tek döngüsel olmayan basit gruplardır. Sporadik Suzuki grubu ile ilgili değildirler.

Ree grupları ve Tits grubu , ² F ₄ (2 ^{2 n +1} )

Basitlik: Basit n  ≥ 1 türetilen grup ² F ₄ (2) 'de indeks 2 arasında basit ² F ₄ (2) ve adı Meme grubu Belçika matematikçiden alan, Jacques Tits .

Sıra: q ¹² ( q ⁶  + 1) ( q ⁴  − 1) ( q ³  + 1) ( q  − 1), burada q  = 2 ^{2 n +1} .

Göğüsler grubu 17971200 = 2 ¹¹ ⋅ 3 ³ ⋅ 5 ² ⋅ 13 düzenine sahiptir .

Schur çarpanı: Önemsiz için n  ≥ 1 ve Meme grubu için.

Dış otomorfizm grubu:

1⋅ f ⋅1,

burada f  = 2 n  + 1. Göğüsler grubu için 2'yi sıralayın.

Açıklamalar: Lie türünün diğer basit gruplarından farklı olarak, Tits grubunun bir BN çifti yoktur , ancak otomorfizm grubu bu nedenle çoğu yazar onu Lie türünün bir tür onursal grubu olarak sayar.

Ree grupları , ² G ₂ (3 ^{2 n +1} )

Basitlik: n  ≥ 1 için basit ² G ₂ (3) grubu basit değildir, ancak türetilmiş grubu ² G ₂ (3)′, indeks 3'ün basit bir alt grubudur.

Sıra: q ³ ( q ³  + 1) ( q  − 1), burada q  = 3 ^{2 n +1}

Schur çarpanı: n  ≥ 1 ve ² G ₂ (3)' için önemsiz .

Dış otomorfizm grubu:

1⋅ f ⋅1,

burada f  = 2 n  + 1.

Diğer isimler: Ree(3 ^{2 n +1} ), R(3 ^{2 n +1} ), E ₂ ^∗ (3 ^{2 n +1} ) .

İzomorfizmler: Türetilmiş grup ² G ₂ (3)', A ₁ (8) ile izomorfiktir .

Açıklamalar: ² G ₂ (3 ^{2 n +1} ) 3 ^{3(2 n}  +1 ⁾ + 1 nokta üzerinde çift ​​geçişli bir permütasyon gösterimine sahiptir ve 3 ^{2 n +1} elemanlı alan üzerinde 7 boyutlu bir vektör uzayı üzerinde hareket eder .

sporadik gruplar

Mathieu grupları , M ₁₁ , M ₁₂ , M ₂₂ , M ₂₃ , M ₂₄

	Mathieu grubu, M 11	Mathieu grubu, M 12	Mathieu grubu, M 22	Mathieu grubu, M 23	Mathieu grubu, M 24
Sipariş	2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 11 = 7920	2 6 ⋅ 3 3 ⋅ 5 ⋅ 11 = 95040	2 7 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 = 443520	2 7 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 10200960	2 10 ⋅ 3 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 244823040
Schur çarpanı	önemsiz	2. sipariş	Sipariş döngüsü 12	önemsiz	önemsiz
Dış otomorfizm grubu	önemsiz	2. sipariş	2. sipariş	önemsiz	önemsiz
Uyarılar	Bir 4-geçişli bir permütasyon grubu 11 noktalarda ve M noktası dengeleyicidir 12 (M, 5-geçişli 12-noktalı bir permütasyon gösteriminde 12 ). M 11 grubu ayrıca M 23'te bulunur . M bir alt grubu 11 4-geçişli 11 noktalı bir permütasyon temsili bir nokta tespit bazen E denir 10 , ve alternatif A grubu izomorfik indeks 2 bir alt grubu olan 6 .	M 24'te yer alan 12 noktada 5-geçişli bir permütasyon grubu .	Bir 3-geçişli bir permütasyon grubu 22 noktalarda ve M noktası dengeleyicidir 23 (M 4-geçişli 23 puanlık bir permütasyon gösteriminde 23 ). M bir alt grubu 22 3-geçişli 22 noktalı bir permütasyon temsili bir nokta tespit bazen E denir 21 , ve (yani izomorfik PSL (3,4) izomorf  A 2 (4)).	Bir 4-geçişli bir permütasyon grubu 23 noktalarda ve M noktası dengeleyicidir 24 (M, 5-geçişli 24 olan permütasyon gösteriminde 24 ).	24 noktada 5 geçişli bir permütasyon grubu .

Janko grupları , J ₁ , J ₂ , J ₃ , J ₄

	Janko grubu, J 1	Janko grubu, J 2	Janko grubu, J 3	Janko grubu, J 4
Sipariş	2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 19 = 175560	2 7 ⋅ 3 3 ⋅ 5 2 ⋅ 7 = 604800	2 7 ⋅ 3 5 ⋅ 5 ⋅ 17 ⋅ 19 = 50232960	2 21 ⋅ 3 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 3 ⋅ 23 ⋅ 29 ⋅ 31 ⋅ 37 ⋅ 43 = 86775571046077562880
Schur çarpanı	önemsiz	2. sipariş	Sipariş 3	önemsiz
Dış otomorfizm grubu	önemsiz	2. sipariş	2. sipariş	önemsiz
Diğer isimler	J(1), J(11)	Hall–Janko grubu, HJ	Higman–Janko–McKay grubu, HJM
Uyarılar	G 2'nin (11) bir alt grubudur ve bu nedenle 11 elemanlı alan üzerinde 7 boyutlu bir temsili vardır.	Otomorfizmalarını J 2 : J 2 2 olarak adlandırılan, 100 nokta bir seviye 3 grafiğin otomorfizmaları grubudur Hail Janko grafiktir . Aynı zamanda, sekizgen yakınında Hall-Janko olarak adlandırılan düzenli bir yakın sekizgenin otomorfizm grubudur . J grubu 2 içerdiği  G 2 (4).	J 3, diğer sporadik gruplarla (veya başka herhangi bir şeyle) ilgisiz görünüyor. Üçlü kapağı, 4 elemanlı saha üzerinde 9 boyutlu üniter bir temsile sahiptir.	2 elemanlı alan üzerinde 112 boyutlu gösterime sahiptir.

Conway grupları , Co ₁ , Co ₂ , Co ₃

	Conway grubu, Co 1	Conway grubu, Co 2	Conway grubu, Co 3
Sipariş	2 21 ⋅ 3 9 ⋅ 5 4 ⋅ 7 2 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 23 = 41577768065433360000	2 18 ⋅ 3 6 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 42305421312000	2 10 ⋅ 3 7 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 495766656000
Schur çarpanı	2. sipariş	önemsiz	önemsiz
Dış otomorfizm grubu	önemsiz	önemsiz	önemsiz
Diğer isimler	·1	·2	· 3, Cı- 3
Uyarılar	Co 1'in mükemmel çift örtülü Co 0'ı Sülük kafesinin otomorfizm grubudur ve bazen ·0 ile gösterilir.	Co 0'ın alt grubu ; Leech kafesinde bir norm 4 vektörünü düzeltir .	Co 0'ın alt grubu ; Leech kafesinde bir norm 6 vektörünü düzeltir . 276 noktada çift geçişli permütasyon gösterimine sahiptir.

Fischer grupları , Fi ₂₂ , Fi ₂₃ , Fi ₂₄ ′

	Fischer grubu, Fi 22	Fischer grubu, Fi 23	Fischer grubu, Fi 24 ′
Sipariş	2 17 ⋅ 3 9 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 = 64561751654400	2 18 ⋅ 3 13 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 23 = 4089470473293004800	2 21 ⋅ 3 16 ⋅ 5 2 ⋅ 7 3 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 23 ⋅ 29 = 1255205709190661721292800
Schur çarpanı	sipariş 6	önemsiz	Sipariş 3
Dış otomorfizm grubu	2. sipariş	önemsiz	2. sipariş
Diğer isimler	M (22)	M (23)	M (24)′, F 3+
Uyarılar	Fi 23'te çift ​​kapağı bulunan bir 3-transpozisyon grubu .	Fi 24 ' içinde yer alan bir 3-transpozisyon grubu .	Üçlü kapak canavar grubunda yer alır.

Higman-Sims grubu , HS

Sıra: 2 ⁹ ⋅ 3 ² ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 11 = 44352000

Schur çarpanı: 2. Sıra.

Dış otomorfizm grubu: Sıra 2.

Açıklamalar: Higman Sims grafiğinde 100 puanlık bir rank 3 permütasyon grubu olarak hareket eder ve Co ₂ ve Co _{3'te bulunur} .

McLaughlin grubu , McL

Sıra: 2 ⁷ ⋅ 3 ⁶ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 11 = 898128000

Schur çarpanı: Sıra 3.

Dış otomorfizm grubu: Sıra 2.

Açıklamalar: McLaughlin grafiğinde 275 puanla 3. sıra permütasyon grubu olarak hareket eder ve Co ₂ ve Co _{3'te bulunur} .

Grup , O

Sıra: 2 ¹⁰ ⋅ 3 ³ ⋅ 5 ² ⋅ 7 ³ ⋅ 17 = 4030387200

Schur çarpanı: Önemsiz.

Dış otomorfizm grubu: Sıra 2.

Diğer isimler: Held–Higman–McKay grubu, HHM, F ₇ , HTH

Açıklamalar: Canavar grubunda 7. dereceden bir öğeyi merkezileştirir.

Rudvalis grubu , Ru

Sıra: 2 ¹⁴ ⋅ 3 ³ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 13 ⋅ 29 = 145926144000

Schur çarpanı: 2. Sıra.

Dış otomorfizm grubu: Önemsiz.

Açıklamalar: Çift örtü, Gauss tamsayıları üzerinde 28 boyutlu bir kafes üzerinde hareket eder .

Suzuki sporadik grubu , Suz

Sıra: 2 ¹³ ⋅ 3 ⁷ ⋅ 5 ² ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 = 448345497600

Schur çarpanı: Sıra 6.

Dış otomorfizm grubu: Sıra 2.

Diğer isimler: Sz

Açıklamalar: 6 katlı kapak, Eisenstein tamsayıları üzerinde 12 boyutlu bir kafes üzerinde hareket eder . Lie tipi Suzuki gruplarıyla ilgili değildir.

O'Nan grubu , O'N

Sıra: 2 ⁹ ⋅ 3 ⁴ ⋅ 5 ⋅ 7 ³ ⋅ 11 ⋅ 19 ⋅ 31 = 460815505920

Schur çarpanı: Sıra 3.

Dış otomorfizm grubu: Sıra 2.

Diğer isimler: O'Nan–Sims grubu, O'NS, O–S

Açıklamalar: Üçlü kapak, bir dış otomorfizm tarafından değiştirilen 7 elemanlı alan üzerinde iki adet 45 boyutlu temsile sahiptir.

Harada–Norton grubu , HN

Sıra: 2 ¹⁴ ⋅ 3 ⁶ ⋅ 5 ⁶ ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 19 = 273030912000000

Schur çarpanı: Önemsiz.

Dış otomorfizm grubu: Sıra 2.

Diğer isimler: F ₅ , D

Açıklamalar: Canavar grubunda 5. dereceden bir öğeyi merkezileştirir.

Lyons grubu , Ly

Sıra: 2 ⁸ ⋅ 3 ⁷ ⋅ 5 ⁶ ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 31 ⋅ 37 ⋅ 67 = 51765179004000000

Schur çarpanı: Önemsiz.

Dış otomorfizm grubu: Önemsiz.

Diğer isimler: Lyons–Sims grubu, LyS

Açıklamalar: 5 elemanlı alan üzerinde 111 boyutlu gösterime sahiptir.

Thompson grubu , Th

Sıra: 2 ¹⁵ ⋅ 3 ¹⁰ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ² ⋅ 13 ⋅ 19 ⋅ 31 = 90745943887872000

Schur çarpanı: Önemsiz.

Dış otomorfizm grubu: Önemsiz.

Diğer isimler: F ₃ , E

Açıklamalar: Canavarda 3. dereceden bir öğeyi merkezileştirir ve E ₈ (3)'te bulunur, dolayısıyla 3 öğeli alan üzerinde 248 boyutlu bir temsili vardır.

Bebek Canavar grubu , B

Sipariş:

   2 ⁴¹ ⋅ 3 ¹³ ⋅ 5 ⁶ ⋅ 7 ² ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 31 ⋅ 47

= 4154781481226426191177580544000000

Schur çarpanı: 2. Sıra.

Dış otomorfizm grubu: Önemsiz.

Diğer isimleri: F ₂

Açıklamalar: Çift kapak canavar grubunda yer alır. Karmaşık sayılar üzerinde 4371 boyutunda bir temsile (önemsiz değişmez ürün olmadan) ve alan üzerinde değişmeli ancak birleştirici olmayan bir ürünü koruyan 2 elemanlı 4370 boyutunda bir temsile sahiptir.

Fischer–Griess Canavarı grubu , M

Sipariş:

   2 ⁴⁶ ⋅ 3 ²⁰ ⋅ 5 ⁹ ⋅ 7 ⁶ ⋅ 11 ² ⋅ 13 ³ ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 29 ⋅ 31 ⋅ 41 ⋅ 47 ⋅ 59 ⋅ 71

= 808017424794512875886459904961710757005754368000000000

Schur çarpanı: Önemsiz.

Dış otomorfizm grubu: Önemsiz.

Diğer isimler: F ₁ , M ₁ , Canavar grubu, Dost dev, Fischer'ın canavarı.

Açıklamalar: Alt bölüm olarak diğer sporadik grupların 6'sı hariç tümünü içerir. İlgili canavarca kaçak içki . Canavar, 196.883 boyutlu Griess cebirinin ve sonsuz boyutlu canavar tepe operatörü cebirinin otomorfizm grubudur ve canavar Lie cebiri üzerinde doğal olarak hareket eder .

Küçük sıralı döngüsel olmayan basit gruplar

Sipariş	faktörlü sipariş	Grup	Schur çarpanı	Dış otomorfizm grubu
60	2 2 ⋅ 3 ⋅ 5	A 5 = A 1 (4) = A 1 (5)	2	2
168	2 3 ⋅ 3 ⋅ 7	A 1 (7) = A 2 (2)	2	2
360	2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5	A 6 = A 1 (9) = B 2 (2)′	6	2×2
504	2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 7	A 1 (8) = 2 G 2 (3)′	1	3
660	2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11	Bir 1 (11)	2	2
1092	2 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 13	Bir 1 (13)	2	2
2448	2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 17	Bir 1 (17)	2	2
2520	2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7	bir 7	6	2
3420	2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 19	Bir 1 (19)	2	2
4080	2 4 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 17	Bir 1 (16)	1	4
5616	2 4 ⋅ 3 3 ⋅ 13	Bir 2 (3)	1	2
6048	2 5 ⋅ 3 3 ⋅ 7	2 A 2 (9) = G 2 (2)′	1	2
6072	2 3 ⋅ 3 ⋅ 11 ⋅ 23	Bir 1 (23)	2	2
7800	2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 13	Bir 1 (25)	2	2×2
7920	2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 11	M 11	1	1
9828	2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 7 ⋅ 13	Bir 1 (27)	2	6
12180	2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 29	Bir 1 (29)	2	2
14880	2 5 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 31	Bir 1 (31)	2	2
20160	2 6 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7	Bir 3 (2) = A 8	2	2
20160	2 6 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7	Bir 2 (4)	3×4 2	D 12
25308	2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 19 ⋅ 37	Bir 1 (37)	2	2
25920	2 6 ⋅ 3 4 ⋅ 5	2 A 3 (4) = B 2 (3)	2	2
29120	2 6 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 13	2 B 2 (8)	2 2	3
32736	2 5 ⋅ 3 ⋅ 11 ⋅ 31	Bir 1 (32)	1	5
34440	2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 41	Bir 1 (41)	2	2
39732	2 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 43	Bir 1 (43)	2	2
51888	2 4 ⋅ 3 ⋅ 23 ⋅ 47	Bir 1 (47)	2	2
58800	2 4 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 7 2	Bir 1 (49)	2	2 2
62400	2 6 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 13	2 bir 2 (16)	1	4
74412	2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 13 ⋅ 53	Bir 1 (53)	2	2
95040	2 6 ⋅ 3 3 ⋅ 5 ⋅ 11	M 12	2	2

(100.000'den az siparişler için tamamlandı)

Hall (1972) , bir milyondan küçük 56 döngüsel olmayan basit düzen grubunu listeler.

Ayrıca bakınız

• Küçük grupların listesi

Notlar

Referanslar

daha fazla okuma

• Yalan Türü Basit Gruplar tarafından Roger W. Carter , ISBN  0-471-50683-4
• Conway, J.H .; Curtis, RT; Norton, SP ; Parker, RA; ve Wilson, RA : " Sonlu Gruplar Atlası: Basit Gruplar için Maksimal Alt Gruplar ve Sıradan Karakterler. " Oxford, İngiltere 1985.
• Daniel Gorenstein , Richard Lyons, Ronald Solomon Sonlu Basit Grupların Sınıflandırılması (cilt 1) , AMS, 1994 (cilt 3) , AMS, 1998
• Hall, Marshall Jr. (1972), "Bir milyondan az sıralı basit gruplar", Journal of Algebra , 20 : 98–102, doi : 10.1016/0021-8693(72)90090-7 , ISSN  0021-8693 , MR  0285603
• Wilson, Robert A. (2009), The sonlu basit gruplar , Graduate Texts in Mathematics 251, 251 , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-84800-988-2 , ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl  1203.20012
• Sonlu Grup Temsilleri Atlası : sporadik gruplar da dahil olmak üzere birçok sonlu basit grup için temsilleri ve diğer verileri içerir .
• Sıralama kısıtlamaları ile 10 ^10'a kadar ve 10 ^48'e kadar değişmeyen basit grupların sıraları.

Dış bağlantılar

• 10.000.000.000 sıraya kadar değişmeyen basit grupların sıraları.